数字信号处理第10章平稳随机信号资料

10.2 随机过程的基本概念
随机过程
– 随机试验E的可能结果为(s,t)，试验的样本空间S 为{x1(t)、 x2(t) … xi(t)…}, xi(t)为第i个样本函数。 每次实验之后，(s,t)取空间S中的某一个样本函 数，于是用(s,t)表示该随机过程，简记为(t) 。
– 几个基本概念
• 随机过程：所有样本函数的集合，t与s均可变； • 样本函数：确定的时间函数，t是变量，s是固定的； • 样本随机变量：t固定时，随机信号的状态; • 样本值：确定的数值，t与s均固定
10.1 引言 10.2 随机过程的基本概念 10.3 平稳随机过程 10.4 高斯过程 10.5 窄带随机过程 10.6 正弦波加窄带高斯过程 10.7 随机过程通过线性系统
3.1 引言
随机信号
– 如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完 全预知，这种信号就称为随机信号。
随机噪声
– 通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声，简 称噪声。
x1(t)
x2(t)
(si,t)= xi(t),Fra Baidu bibliotek本 函数;
实 数 值
xi(t)
(si,tk)
样 本 函
(s,tk)= (tk),随机 变量;
数
(si,tk)= 确定实数
xN(t)
tk
t
– 随机过程的两种基本表征
• 样本函数集合
随机(s过, t )程
确定样本函数集合
(si ,t)
i 1,2,...
D[ X ] [xi E( X )]2 Pi
i
式中，Pi是随机变量X取值为xi 的概率。
对于连续随机变量，方差的定义可表示为
D[ X ]
[ xi
E(X
)]2
f
( x)dx
另外，还可以表示为
D[ X ] E[ X E( X )]2 E[ X 2 2XE( X ) E2 ( X )] E( X 2 ) E2 ( X )
概率分布函数F(x)
定义随机变量X的概率分布函数F(x)是X取小于或等 于 某个数值x的概率P(X≤x)，即
F(x)=P(X ≤x) 上述定义中，随机变量X可以是连续随机变量，也 可以 是离散随机变量。
对于离散随机变量，其分布函数可表示为
F(x) P(X x) P(xi ) i 1, 2,3, xi x
• 随机变量集合
随机(s过, t )程
随机变量集合 (s,ti ) i 1,2,...
随机过程的统计特征
随机过程的概率密度函数
– 一阶概率分布与密度函数 F (x1,t1) P[ (t1) x1]
f (x1, t1) x1 F (x1, t1)
– 二阶概率分布与密度函数
F (x1, x2;t1,t2 ) P[ (t1) x1, (t2 ) x2 ]
– 自相关函数
R(t1, t2 ) E[ (t1) (t2 )] x1x2 f (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
– 自协方差
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
式中，f(x)为随机变量X的概率密度。
数学期望的性质如下：
（1）若C为一常数，则常数的数学期望等于常数， 即E(C)=C；
（2）若有两个随机变量X和Y，它们的数学期望 E(X)和E(Y)存在，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
若随即变量X1,X2,…,Xn的数学期望都存在，则 E(X1+X2+…+Xn)也存在，且有 E(X1+X2+…+Xn)＝E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)
式中 P(xi )(i 1, 2,3, ) ，是随机变量X取值为xi的概率。
概率密度函数f(x)
f (x) dF(x) dx
概率密度函数是分布函数的导数。从图形上看，概率密 度就是分布函数曲线的斜率。
概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2）
f (x)dx 1
b
（3） a f (x)dx P(a X b)
随机噪声和随机信号统称为随机过程
随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个 变量来表示，如果变量的取值是随机的，则 称变量为随机变量。例如，在一定时间内电 话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则 称它为离散随机变量。否则就称为连续随机 变量。
随机变量的统计特征
数字期望
数字期望（简称均值）是用来描述随机变量X的 统计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。
对于离散随机变量X，设 P(xi )(i 1, 2, , k) 是其取值xi 的概率，则其数字期望定义为
k
E( X ) xiP(xi )
对于连续随机变量X，i1其数学期望定义为
E(X ) xf (x)dx
2 f (x1, x2;t1,t2 ) x1x2 F(x1, x2;t1,t2 )
随机过程(t)的数字特征
– 数学期望
a(t)
E
(t)
xf
(
x,
t)dx
– 方差
2 (t) D (t) E{ (t) E (t)}2
E 2 (t) {E (t)}2 x2 f (x,t)dx a(t)2
（3）若随机变量X和Y相互独立，且E(X)和E(Y)
存在，则E(XY)也存在，且有
E(XY)=E(X)E(Y)
方差
方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方 差定义为随机变量X与其数学期望E(X)之差的平 方的数学 期望，即 D[X]=E[X-E(X)]2
对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为
随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够 较全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许 多实际问题中，我们往往并不关心随机变量的概 率分布，而只想了解随机变量的某些特征，例如 随机变量的统计平均值，以及随机变量的取值相 对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机变 量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。
方差的性质如下：
（1）常数的方差等于0，即D[X]=0；
（2）设D[X]存在，C为常数，则
D[X+C]=D[X]
D(CX)=C2D(X)；
（3）设D[X]和D[Y]都存在，且X和Y相互独立， 则D[X+Y]=D[X]+D[Y]。
对于多个独立的随机变量X1,X2,…,Xn，不难证明 有D(X1+X2+…+Xn)＝D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)