误差理论及实验数据处理

可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
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材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
1）绝对值相等的正误差和负误差出现的机会大体相同。
2）绝对值小的误差出现的可能性大，而绝对值大的误
xi yi xi )2
=
−1.488
得到经验公式
σ cr = 335 −1.488λ
附录Ⅲ 几种常用材料的主要力学性能（等）
材料名称 钢
铝合金
铜合金
灰铸铁 球墨铸铁
混凝土 橡胶
类别 通用标准
牌号 Q235 40Cr 16Mn 2A02 7A04 锡青铜 （软） 铝青铜 （软） 镀青铜 （软）
HT150
∂f ∂xn
Δ xn
⎞ ⎟ ⎠
这是指测量值的取舍问题。在测量值中有时会出现一个或少数几个与别的测量值相差甚
大的值，对于这些个别测量值的处理不当将会影响实验的最终结果。从正态误差分布曲线知
道，大误差出现的可能性是很小的，因而决定测量数据的取舍通常遵循下列判别准则。
（1）3 倍标准偏差准则（3σ 的准则） 当个别测量值的误差值超过标准偏差 3 倍时就 应该舍弃该测量值。 Δk ≥ 3σ 时，舍弃 mk ，则出 现误差大于 3σ 的测量值的概率小于 0.003，即在 多于 300 次的测量中才有可能出现一次这样的误差 （图 I-2），即为 3σ 的准则（即舍弃 Δ ≥ 3σ 的测量
xi xi yi xi )2
，b= n n
xi yi − xi2 − (
xi yi xi )2
·100·
附录
把以上结果代入式（Ⅱ–1），即得用最小二乘法拟合的直线方程。 例如，某一型号的钢材其长细比λ（在 40～100 之间）测得的临界应力σ cr 见表Ⅱ–1
表Ⅱ–1 钢材长细比与临界应力
长细比
金属材料 学力 学性能实验术语
本标准规定了金属材料力学性能实验的一般术语和拉伸、压 缩、扭转、剪切、弯曲、硬度、冲击、蠕变、持久强度、应力松 弛、断裂、疲劳、工艺、磨损等实验所使用的名词术语
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材料力学实验指导与实验基本训练
类别
金属拉伸 实验
金属压弯 扭实验
金属冲击 实验
金属疲劳 实验
标准编号
+
i
(30 − 32.9)2 + (32 − 32.9)2 + (33 − 32.9)2 + (33 − 32.9)2 + (33 − 32.9)2 = 256.9
标准偏差
n
∑ σ =
Δi2
i
=
256.9 = 5.069
n
10
根据半次准则 n = 10 次， ρΔ = 95% ，则 Δ = 1.96σ = 1.96 × 5.069 = 9.94
至会导致错误的理论。误差理论就是研究正确处理误差，以最好地（最近似地）反映客观“真
值”（最可能值或最理想值）的一般理论。
1．量测误差
对于同一量进行多次测量，其每一次的测量结果必然不尽相同，量测误差就是每次测量值与真
值之间的差别。造成误差的原因很多，其中一种是实验操作错误或粗心大意而引起的。例如，将刻
附录
附录
附录Ⅰ 误差理论及实验数据处理
本节分别讨论实验分析过程中的量测误差、计算误差及误差处理。
在实验分析过程中一切度量都只能近似地进行，所以量得的值都是近似值，它与“真值”
（真值或称为最可能值或最理想值）之间的差别即称为误差。在通常的工程技术或实验中，
误差是用常识或经验来解决的，但是在较复杂的情况下这种做法就会影响实验的精确度，甚
各实验点的数据确定近似的直线方程，即
y = a + bx
（Ⅱ-1）
通常称为直线拟合，最小二乘法是直线拟合的一种，此外还有端直法，平均法。下面我
们具体讨论最小二乘法。
设测试的物理量为 x1, x2, x3,", xn 。与其相对应的测试物理量为 y1, y2, y3,", yn 。设方程 式（Ⅱ-1）为各实验点的最佳拟合方程，且由式（Ⅱ-1）计算出来的与 xi 相对应的值为 yi 。 即
26.5 26.5
130～245
300～400
103～113
39～42ຫໍສະໝຸດ 157～324370～680
103～113
39～42
245
390～588
103～113
39～42
—
98～275（拉） 250～657（压）
78～147
44
412
588
158
60～63
—
0.3～1.0
137～35.3
—
—
—
0.008
40
59
81
91
100
σ cr
275
248
218
192
190
根据各实验点的数据确定近似的直线方程 y = a + bx ，即 σcr = a + bλ
由
∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ a =
yi n
xi2 − xi2 − (
xi xi yi xi )2
= 335 ， b = n n
xi yi − xi2 − (
标准名称
适用范围
（续）
GB/T 228.1—2010
金属材料拉伸实 验第 1 部分：室温 实验方法
规定了金属材料拉伸实验方法的原理、定义、符号和说明、 试样及其尺寸测量、实验设备、实验要求、性能测定、测定结 果数值修约和实验报告；适用于金属材料室温拉伸性能的测 定。但对于小横截面的金属产品，例如金属箔、超细丝和毛细 管等的拉伸实验需要协议
可见，其中量测值 45 的误差12.1＞9.94 ，应该舍弃。
于是，相应的最可能值、误差平方和、标准偏差等值变为 n = 9 次
n
10
∑ mi ∑ mi
n
∑ m = i=1 n
= i=1 9
= 31.6 ， Δi2 = 94.24 ， σ =
i
n
∑ Δi2
i = 3.24 n
Δ /σ = 1.92 ，则 Δ = 1.92σ = 1.92 × 3.24 = 6.22 。
值），它在处理较大量的实验数据时采用。如果采
用的是 2σ 的准则（即舍弃 Δ ≥ 2σ 的测量值），则 误差出现大于 2σ 的概率小于 0.04。
图 I–2 标准偏差准则
（2）半次准则
在 n 次的实验测量中，出现误差Δ 的可能次数小于半次的测量值应该舍弃。在实验数据
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附录
较少时可采用此判别准则。 设出现误差小于Δ 的概率为
最可能值
n
10
∑ ∑ m =
mi
i =1
=
mi
i=1
= 38 + 31+ 45 + 28 + 26 + 30 + 32 + 33 + 33 + 33 = 32.9
n 10
10
误差平方和
n
∑Δ
2 i
=
(38
−
32.9)2
+
(31 −
32.9)2
+
(45
−
32.9)2
+
(28
−
32.9)2
+
(26
−
32.9)2
QT400-15 — —
表Ⅲ-1 几种常用材料的主要力学性能
σs / MPa
σ b / MPa
E / GPa
216～235
373～461
186～216
785 274～343
981 471～510
186～216 186～216
274
412
7l
412
490
7l
G / GPa 76～81 76～81 76～81
∫ ρΔ =
2 π
hΔ e−t2 dt
0
则出现误差大于Δ 的量测值的概率则为 (1 − ρΔ ) 。在 n 次量测中，出现误差大于或至少等