工程力学(单辉祖)合肥工业大学精品讲义03平面一般力系(复习)
工程力学课后习题答案单辉祖著
工程力学课后习题答案单辉祖著工程力学课后习题答案（单辉祖著）在学习工程力学这门课程时，课后习题的练习与答案的参考对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。
单辉祖所著的《工程力学》一书，以其严谨的逻辑和丰富的内容，成为众多学子学习工程力学的重要教材。
下面，我们将为您详细呈现这本教材的课后习题答案。
首先，让我们来谈谈第一章的习题。
在这部分中，主要涉及到静力学的基本概念和受力分析。
例如，有一道题是关于一个简单的支架结构，要求画出其受力图。
对于这道题，我们需要明确各个构件之间的连接方式，判断是固定铰支座、活动铰支座还是其他约束类型，然后根据力的平衡条件，准确地画出每个构件所受到的力。
答案中，我们清晰地标注了各个力的大小、方向和作用点，并且通过合理的布局，使受力图易于理解。
第二章的习题重点围绕平面汇交力系和平面力偶系展开。
其中，有一道计算题要求计算多个力在某一点的合力。
在解答这道题时，我们首先将每个力分解为水平和垂直方向的分力，然后分别计算水平和垂直方向上的合力，最后通过勾股定理求出总的合力大小和方向。
答案的给出过程中，每一步的计算都有详细的说明，让学习者能够清晰地看到解题的思路和方法。
第三章的内容是平面任意力系。
这一章的习题难度有所增加，涉及到力系的简化、平衡方程的应用等。
比如，有一道题是求解一个复杂结构在给定载荷下的支座反力。
解题时，我们先对力系进行简化，找到主矢和主矩，然后根据平衡方程列出方程组，通过求解方程组得到支座反力的大小和方向。
答案中不仅给出了最终的结果，还展示了求解方程组的具体步骤和计算过程，方便学习者对照检查自己的解题过程。
第四章是空间力系。
这部分的习题对于空间想象力和数学运算能力有一定的要求。
例如，有一道题要求计算空间力在坐标轴上的投影以及对某点的矩。
在解答时，我们需要运用空间直角坐标系的知识，通过三角函数等方法求出投影的大小，再根据矩的定义计算出对某点的矩。
答案中会详细说明投影和矩的计算过程，并且配以适当的图示，帮助学习者更好地理解空间力系的概念。
工程力学课后习题答案单辉祖主编
1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。
与其它物体接触处的摩擦力均略去。
解：1-2试画出以下各题中AB杆的受力图。
A(BF((W(AW(F(F(F(FW(AW(F(c)(a)解：1-3试画出以下各题中AB 梁的受力图。
解：(e)BB(a)B(b)(c)F B(a)(c)F (b)(d)(e)FWA1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。
(a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。
解：(d)D(e)F Bx(a)(b)(c)(d)(e)W(f)(a)D(b)B(c)BF DF CBF ABF BC1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。
(a) 结点A，结点B；(b) 圆柱A和B及整体；(c) 半拱AB，半拱BC及整体；(d) 杠杆AB，切刀CEF及整体；(e) 秤杆AB，秤盘架BCD及整体。
解：(a)(b)(c)(c)(d)ATFBAF(b)D(e)(d)(e)2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上，F 1=445N ，F 2=535N ，不计杆重，试求两杆所受的力。
解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆，(2) 列平衡方程：’CBF 1F12140 sin 600530 cos6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。
2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示。
如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束力。
解：(1) 取整体ABCD 为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：(2)211 1.1222D A D D A F F FF F BC AB AC F FF F F =====∴===2-4 在简支梁AB 的中点C 作用一个倾斜45o 的力F ，力的大小等于20KN ，如图所示。
《工程力学》第三章 平面一般力系
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
工程力学(单辉祖)合肥工业大学精品讲义01静力学公理与受力分析PPT课件+复习题讲解
YA A XA
YC1
C
C
XC1 XC2’
YC2
YC2’
XC1’ C
XC2
YC1’
YB B XB
向心轴承、铰链和固定铰链支座都可 称作光滑铰链。
光滑铰链的特点是只限制两物体径向 的相对位移，而不限制两物体绕铰链 中心的相对转动及沿轴向的位移。
4. 其它约束
（1） 滚动支座（辊轴支座）
约束力 实物简图
作用在 物体 上的同一点的两个力，可以合 成为一个合力。合力作用点也是该点，合力的 大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边 形的对角线确定。
FR = F1 + F2 (R = F1 + F2 )
☆ 公理2 二力平衡条件
作用在 刚 体 上的两个力，使刚体保持
平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，
方向相反，且在同一直线上
图示吊车梁的弯曲
变形 一般不超过跨
度（A、B 间距离）的 1/500，水平方向变形 更小。因此，研究吊 车梁的平衡规律时， 变形是次要因素，可 以略去。静力学研究 的物体是刚体，又称 为刚体静力学，它是 研究变形体力学的基 础。
力 —— 物体间的相互作用，这种作用使物体的运动 状态与形状发生变化。
（2）球铰链
实物简图
Fz
Fy Fx
约束力
（3）止推轴承
√×
实物简图 Fz
Fy Fx
约束力
§1-4 物体的受力分析和受力图
在求解之前，首先要确定构件受几个力，及其位 置和作用方向。此过程称为物体的受力分析。
力可分为两类：主动力和被动力。
把受力体从施力体中分离出来，单独画简图的过 程叫取研究对象或取分离体。
2. 柔性约束
工程力学课件 04平面力系共53页文档
零力系：力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零。
力系等效定理： 两个力系相互等效的充分与必要条件是主矢量相等，对任
一点的主矩相等。 适用范围：刚体。 应用：力系的简化。
9
§4-2 平面任意力系向一点简化
M2
M1
FR
M3
向任一点O简化
平面任意力系 （未知力系）
平面汇交力系：力（主矢量）：FR=F
（已知力系） (作用在简化中心)
P1，P2，……，Pn，选定矩心O点，各力作用点对于矩心的矢 径分别为： r1，r2，……，rn 。则该力系对O点的主矩为：
M O r i F i M O F i M Oi
M O x r i F ix M O x i M xi
MOyMyi MOzMzi
M O M 2 o x M 2 o y M 2 o z M x 2 i M y2 i M z2 i
A
MA
l
（3）列平衡方程，求未知量。
q
B
F
M A(Fi)0
雨搭
车刀
12
固定端（插入端）约束的约束反力：
①认为Fi这群力在同一平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
FRA
③FRA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端约束反力;
FAy
⑤ FAx, FAy 限制物体平动, MA为限制转动。
FAx
13
❖ 简化结果分析 • 合力矩定理
Fn
FR
FR' FR'2xFR'2yFR'2z( F x)i2( F y)i2( F z)i2
co s F x,ico s F y,ico s F zi
工程力学课后答案合_单祖辉主编
2-2解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆，(2) 列平衡方程：12140 sin 600530 cos6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。
2-3解：(1) 取整体ABCD 为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：(2)211 1.1222D A D D A F F FF F BC AB AC F FF F F =====∴===2-4解：(1) 研究AB ，受力分析并画受力图：(2) 画封闭的力三角形：相似关系：B A F F FCDE cde CD CE ED∆≈∆∴== 几何尺寸：11 22CE BD CD ED =====F FDF F AF DFF BF A dce12010 22010.4 45arctan 18.4B A o oCE F F kNCDED F F kN CDCECD α=⨯=⨯==⨯===-=2-6解：(1) 取DE 为研究对象，DE 为二力杆；F D = F E(2) 取ABC 为研究对象，受力分析并画受力图；画封闭的力三角形：'15166.7 23A D E F F F F N ===⨯= 2-7解：（1）取铰链B 为研究对象，AB 、BC 均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；1BC F =(2) 取铰链C 为研究对象，BC 、CD 均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；22cos30o CB F F F ==由前二式可得：F FF F BCF AB F 1 CF CDF 2F CB F CD12122210.61 1.63BC CB F F F F or F F ==∴===2-9 解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，AB 、AB 、AD 均为二力杆，画受力图，得到一个空间汇交力系；(2) 列平衡方程：0 cos 45 cos 4500 cos 6000 sin 60sin 45sin 450o o x AC AB o yAD o o o zAD AC AB F F F F F F FF F F =⨯-⨯==-==--=∑∑∑解得：2 1.2 0.735 4AD AC AB AD F F kN F F F kN ===== AB 、AC 杆受拉，AD 杆受压。
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2
《工程力学》电子教案 第三章平面一般力系
第三章 平面一般力系
3.1平面一般力系的简化 3.2平面一般力系的平衡方程及应用 3.3物体系统的平衡
第三章 平面一般力系
3.1平面一般力系的简化
一、简化 作用于刚体上的平面一般力系F1，F2，…，Fn，如图3-3所示。 在平面内任取一点O，称为简化中心。根据力的平移定理将力系中
各力的作用线平移至O点，得到一汇交于O点的平面汇交力系 ，和一 附加平面力偶系。
第三章 平面一般力系
3.2 平面一般力系的平衡方程及应用 平面任意力系作用下刚体平衡方程的三矩式如下：
ΣmA (F)=0, ΣmB (F)=0, ΣmC(F)=0 条件：A、B、C三个取矩点不得共线 平面平行力系的平衡方程：（设平行力系与y轴平行）
ΣFy =0, Σmo (F)=0
第三章 平面一般力系
F)
P
h 2 h
Q3L2 LYB Nhomakorabea2
L
0
mB (F) P 2 Q 2 YA 2L 0
X XA XB P 0
Ph 3QL YB 4L
YA
Ph QL 4L
P h
h/2
XA
YA
取左半部为研究对 象，h分析力：P,XA , YA , XC , YC mc (F) P 2 X Ah YAL 0
第三章 平面一般力系
3.2 平面一般力系的平衡方程及应用
平面任意力系向一点简化，得到一主矢和一主矩，那么平面任意力 系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
平面任意力系作用下刚体平衡方程的二矩式如下：
ΣFx =0, ΣmA (F)=0, ΣmB (F)=0
条件：A、B两个取矩点连线，不得与投影轴x垂直
代入第三式解得
03平面一般力系解析
解：① 选AB梁为研究对象。
② 画受力图
qP
FAy
qP
FB
A M
B
FAx
A
M
B
2a
a
列平衡方程，求未知量。
M A(F i)0
P 2 a q 2 a a M F B 3 a 0FB
5qa 3
Fx 0
FAx 0
Fy 0
4 qa F BF A yP 2 q a0 , F A y 3
静力学
§3-4 平面平行力系
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
y
F1
x1
FR'
Mo o
x2
xR xn
F2 FR
Fn
设有F1, F2 … Fn 为一平行力系，
向O点简化得：
主F 矢 R F i 主 M O 矩 M O ( F i)F ix i
合力作用线的位置为：
xR
MO FR
Fy 0, Q P W F A F B0
解得：
A
B
FA
FB
FA 210kN, FB 870kN
静力学
§3-5 静定与静不定问题 刚体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
平面汇交力系
Fx Fy
0 0
两个独立方程，只能求两个独立未知数。
平面力偶系 Mi 0 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
平面平行力系
Fy 0 Mo Fi
0
两个独立方程，只能求两个独立未知数。
Fx 0
平面一般力系
M
F
o
x F
0
0
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
工程力学课后习题答案单辉祖主编
1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。
与其它物体接触处的摩擦力均略去。
解：1-2试画出以下各题中AB杆的受力图。
A(BF((W(AW(F(F(F(FW(AW(F(c)(a)解：1-3试画出以下各题中AB 梁的受力图。
解：(e)BB(a)B(b)(c)F B(a)(c)F (b)(d)(e)FWA1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。
(a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。
解：(d)D(e)F Bx(a)(b)(c)(d)(e)W(f)(a)D(b)B(c)BF DF CBF ABF BC1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。
(a) 结点A，结点B；(b) 圆柱A和B及整体；(c) 半拱AB，半拱BC及整体；(d) 杠杆AB，切刀CEF及整体；(e) 秤杆AB，秤盘架BCD及整体。
解：(a)(b)(c)(c)(d)ATFBAF(b)D(e)(d)(e)2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上，F 1=445N ，F 2=535N ，不计杆重，试求两杆所受的力。
解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆，(2) 列平衡方程：’CBF 1F12140 sin 600530 cos6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。
2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示。
如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束力。
解：(1) 取整体ABCD 为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：(2)211 1.1222D A D D A F F FF F BC AB AC F FF F F =====∴===2-4 在简支梁AB 的中点C 作用一个倾斜45o 的力F ，力的大小等于20KN ，如图所示。
工程力学 (静力学)单辉祖主编
Fy
F
F F F
2 x
2 y
Fx cos F
Fx
•两分力间任意夹角 先分解，再合成
第1章 静力学基础
二、载荷的移动、合成与分解
5.力偶的合成
作用在同一平 面（或平行平面） 内的力偶代数相加 即可
第1章 静力学基础
二、载荷的移动、合成与分解
例1：将C点载荷移至B点
y
y
F
F
O (a)
x
O
(b)
x
1-1-2 力的性质
例3：用图解法求合力
(a)
1-1-2 力的性质
例4：用图解法求Fx，Fy,Fz的合力
z Fz
Fy y
O
Fx
x
1-1-2 力的性质
例4：已知系统平衡，画出B、C两点的受力方向
1-1-2 力的性质
例5：已知构件处于平衡状态，求Fc的方向
Fc
(a)
F'
F
A rBA
B
F'
F B
以上结论对变形体不适用
§3.3 力偶系的简化与平衡条件
作用在刚体上的两个或两个以上的力偶组成力偶系。
平面力偶系
空间力偶系
M2
力偶系简化的结 果是合力偶
M1
II I
F2' r2 F1' r r1
M r F1
F1
r1 r2 F1 M1 M 2
i 1
n
力偶系的平衡条件：
M Mi 0
i 1 n
或
M x M ix 0 M y M iy 0 M z M iz 0
工程力学 (静力学)单辉祖主编PPT课件
y
F
y F
O
x
O
x
(a)
(b)
1-1-2 力的性质
例3：用图解法求合力
(a)
1-1-2 力的性质
例4：用图解法求Fx，Fy,Fz的合力
z Fz
FxxO源自Fyy1-1-2 力的性质
例4：已知系统平衡，画出B、C两点的受力方向
1-1-2 力的性质
例5：已知构件处于平衡状态，求Fc的方向
Fc
(a) (b)
➢ 固体力学研究在外力作用下，可变形固体内部各质点所产生的 位移、运动、应力、应变及破坏等的规律。属于固体力学范畴 的有材料力学、结构力学、弹性力学和塑性力学、复合材料力 学、断裂力学等。
➢ 流体力学的研究对象是气体和液体。研究在力的作用下，流体 本身的静止状态、运动状态及流体和固体间有相对运动时的相 互作用和流动规律等。属于流体力学的有水力学、空气动力学、 环境流体力学等。
据自己的爱好和特长，进一步广泛深入地研究工程力 学相关的其它问题
学习方法与要求
学习要求：
➢ 不可迟到、早退、旷课 ➢ 上课不允许睡觉、做与本课程无关的事、说与上课无关的话 ➢ 积极参与教学过程，认真完成课堂练习 ➢ 按教师要求及时、独立完成课后作业 ➢ 上课带教材、课堂笔记本、练习本、画图工具、计算器
M x M i xM y M i yM z M i z
M= ﹝（∑Mix）2+（Miy）2+（Miz）2 ﹞ ½
n
平面力偶系的简M化：Mi Mi i1
力偶系的平衡条件：
n
M Mi 0
或
i 1
M x M i x 0 M y M i y 0 M z M i z 0
平面力偶系的平衡条件：
3 工程力学静力学第三章 平面一般力系
■ 平衡方程的其它形式的证明 二矩式： 1 二矩式： Σ X= 0 2 三矩式： 矩式：
附加条件： 附加条件：
B A
附加条件： 附加条件：
B
x
A
C
A、B 连线不垂直
于x 轴
A、B、C 三点不
在同一条直线上
16
■二矩式的证明： 二矩式的证明： 二矩式成立 平 衡 必要性 即 r ′ FR = 0 ， MO＝0 ∴ ∵ 平衡 则，力系的主矢在任一轴上的投影为零； 力系的主矢在任一轴上的投影为零； 对任一点的矩为零。 对任一点的矩为零。 ∴ 充分性 即
轴不与AB连线垂直 且 x 轴不与 连线垂直
AB
必有：合力为零，即力系平衡。 ∴ 必有：合力为零，即力系平衡。 三矩式的证明类似，请大家自己证明。 三矩式的证明类似，请大家自己证明。
证毕
18
特殊力的平衡方程
平面汇交力系： 平面平行力系： 有力平行于x轴 平面力偶系:
∑F
∑
ix
Hale Waihona Puke =0∑Fiy=0
i
F =0
2
3
2
26
下面讨论分布载荷合力Q的大小： Q qx c q1 qx
Q =
O x l dx
x
∫
q 1l = 2
q1 q x dx = ∫ xdx 0 l
= 分布载荷的面积
q1 = x l l
利用合力矩定理，设合力Q的作用点 Q
分布载荷合力Q的作用位置：到原点的距离为C，向O点取矩有：
Qc = ∫ q x dx ⋅ x =
解得：
qa m 20×0.8 16 RB =− − +2P=− − +2×20=12(kN) 2 a 2 0.8 YA =P+qa−RB =20+20×0.8−12=24(kN)
工程力学静力学第三章平面一般力系
目
CONTENCT
录
• 平面一般力系的简化 • 平面一般力系的平衡 • 平面一般力系的平衡问题 • 平面一般力系的平衡问题实例分析 • 平面一般力系中的摩擦力
01
平面一般力系的简化
力的平移定理
总结词
力的平移定理指出，一个力可以等效地分解为一个在原作用点作 用的力和一个通过某一定点、大小和方向与原力相同的力。
实例三：建筑结构的受力分析
总结词
通过建筑结构受力分析，深入理解平面一般力系在建 筑领域的应用。
详细描述
建筑结构是建筑物的重要组成部分，其受力分析是确保 建筑物安全和稳定的关键环节。在建筑结构的受力分析 中，需要考虑各种力的作用，包括重力、风载荷、地震 作用等。通过建立平面一般力系，可以详细分析建筑结 构的受力情况，从而优化设计方案、提高建筑物的安全 性能和稳定性。同时，合理的建筑结构受力分析也有助 于降低工程造价、节约资源和提高经济效益。
利用平衡方程进行受力分析，可以减少试验次数， 提高设计效率，降低成本。
03
平面一般力系的平衡问题
单个刚体的平衡问题
80%
刚体平衡的概念
刚体在力的作用下，如果保持静 止或匀速直线运动，则称该刚体 处于平衡状态。
100%
平衡条件的推导
根据力的平移定理和力的平行四 边形法则，推导出平面一般力系 的平衡条件为力系的主矢等于零 ，力系的主矩也等于零。
详细描述
在平面平行力系中，所有力的作用线都在同一平面内 且相互平行。这种力系可以通过合力或合力矩定理进 行简化。合力定理指出，作用于刚体上的所有外力的 合力为零，即这些力的矢量和为零。合力矩定理则指 出，作用于刚体上的所有外力对某一定点的力矩的矢 量和为零。通过这两个定理，我们可以将复杂的平面 平行力系简化为一个或几个单一的力或力矩，便于分 析和计算。
工程力学(静力学与材料力学)单辉祖3
B
工程力学电子教案
第三章 力偶系
§3-2 力对轴之矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
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第三章 力偶系
力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投 影对轴与平面交点之矩。 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面 内），力对该轴的矩为零. 力对轴之矩也等于力对点之矩矢在通过该点 之轴上的投影。
投影的代数和为零。
M M M
x y z
0 0 0
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第三章 力偶系
平面力偶系
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设平面上有三个力偶
=
=
=
任选一段距离d 则，
合力矩
M FA d ( F1 F2' F3 )d F1d F2'd F3d m1 m2 m3
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第三章 力偶系
§3-3 力偶矩矢
力偶对刚体只产生转动效应，而力偶矩矢
是对刚体转动效应的度量。
mO ( F ) mO ( F ') F ( x d ) F 'x
F
A
B d
F'
F d mO ( R )
x
O
由于O点是任取的
m F d
+
—
M rBA F
M O ( F )=0。 ③ M O (F ) 是影响转动的独立因素。 当F=0或d=0时，
④单位Nm，工程单位kgfm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
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第三章 力偶系
二、力对点之矩矢
工程力学(单辉祖)合肥工业大学精品讲义02基本力系
n O
B F A r h
• 假设力作用在图示 平面内，且 O点也 在此平面内，则力 F 对 O 点的矩为 M O ( F ) = ±F h
或： M O ( F ) =±2△OAB
力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。
O ——称为矩心 h —— 称为力臂 单位：Nm 或 kNm
可得：
i jk
MO(F) r F x y z XYZ
= ( y Z - z Y ) i + ( z X - x Z ) j + ( x Y - y X )k
2. 合力矩定理
汇交力系的合力对点的矩等于该力系 所有分力对同一点的矩的矢量和。
证：
设 r 为矩心到汇交点的矢径，R 为F1、F2、…、 Fn的合力，即：
Fn
F2
B
F1
RBA
A
Fn
F1 F2
R
M1 + M2 + … + M n = rBA×F1 + rBA×F2 + … + rBA×Fn
证毕。
= rBA×( F1 + F2 + … + Fn ) = rBA×R = M
• 在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的 代数和。
M = M1+M2+ … + Mn = ∑M i
END
z
例2-2 重为 P 的物体受无重杆 AB 和绳索
AC、AD 的支承（ACD 位于同一水平
E xC
D y α TC α
TD
S
面内）。已知 P =1000N, β= 45°,
A CE = ED = 12cm ， EA = 24cm，求 TP 绳索的拉力和杆所受到的力。
理论力学-第三章 平面一般力系
固定端（插入端）约束
在工程中常见的
雨搭
车刀
7
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。
8
§3-3 平面一般力系的简化结果 • 合力矩定理
X 0, X B 0 MA(F) 0, 4YB 2P 0
MB(F) 0, 2P 4N A 0
X B 0, N A YB 5 kN
②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
X 0 S2 S1 cos300 0 Y 0 NA S1 sin 300 0
解得S2 8.66kN,S1 10kN(表示杆受压 )
M A(Fi) 0 MB(Fi) 0
二矩式
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
17
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
18
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：
①一矩式
②二矩式
条件：x 轴不 AB 连线
MA(Fi ) 0 MB (Fi ) 0 MC (Fi ) 0
③三矩式
条件：A,B,C不在 同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
13
X 0
Y 0
MO 0
①一矩式
X 0
MA 0 MB 0
②二矩式
条件：x 轴不 AB 连线
MA 0 MB 0 MC 0
大学工程力学课件_单辉祖主编第4章
2355 x 670.1 y 232.9
607.1x 232.9 y 2355 0
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
0 MO 0 FR
因为
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 M O M O ( Fi )
① ②
YAl Ph G(l a) Ga 0
X 0 , X A X B P 0 ③
由 ①、② 解得：
1 YB (Gl Ph) ; l
1 YA (Gl Ph) l
㈡ 再研究CB 部分 受力分析如图，列平衡方程求解：
l l m ( F ) 0 , Y X H G a C 0 B B 2 2 ⑤ X 0, X C X B 0
第四章 平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线都在同一平面内，既不都汇 交于一点又不都互相平行的力系称为平面任意力系。又称平面
一般力系。
平面任意力系实例
本章重点、难点
⒈重点
平面任意力系向作用面内任意一点的简化，力 系的简化结果。 平面任意力系平衡的解析条件，各种形式平衡 方程及应用。 物体及物体系平衡问题的解法。
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
主矩：
（2）求合力及其作用线位置.
MO 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程
主矩 M O M O ( Fi )
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• 计算桁架内力的方法（2）
❖ 截面法
– 如果并不是要求解出所有杆的内力，而只 是想求解出桁架内若干根杆的内力，可以 适当地选取一截面把桁架截开，通过平衡 方程求解内力未知力。显然，作截面时每 次最多截断三根内力未知杆。
– 如果截断内力未知的杆的数目多于三根， 则它们的内力还需通过联合其它截面列出 的方程一起求解。
YA
A
XA
YB XB
B
X B 1 ( pa 2Q)
YB 1 (3pa 2Q)
End
五、 平面简单桁架的内力计算
• 计算桁架内力的方法（1）
❖ 节点法
– 桁架的每个节点都受一个平面汇交力系 的作用。可以逐个取节点为研究对象， 以已知力求出未知力。注意每个节点只 允许两个未知力。
– 手算时， 通常先求支座反力， 然后采用 列表求解，表由4列、m行 （ m为节点数） 组成。这4列分别是节点号、受力图、平 衡方程和未知内力；每一行放着一条求 解记录。
，而直接去研究整个系统。
见后续
2、以系统为研究对象，画受力图。
MA YA P
p
NB
A a XA
2a
Ca
2a
2a
B
ห้องสมุดไป่ตู้
D
2a
由 X 0 , X A 0 ,
Y 0 ,
YA
P
p
2a
Q
1 2
q
2a
0
,
MA(F) 0 ,
M
A
Pa
p
2a
3a
Q
5a
NB
6a
1 2
q
2a( 2a 3
6a)
0
解得
X A 0 , YA 29 (kN) , M A 25.5 (kN m)
全章 结束
MA = 10 + 7.5 + 8 = 25.5 (kN ·m)
见后续
解法二：1、以CD为对象
NB
XC
YCQ
q
Ca
D B
2a
2a
Q = 10kN， q = 6kN/m 2a = 1m
由 MC(F) 0 ,
NB
2a
Q
a
1 2
q 2a( 2a 3
2a)
0
解得 NB 9 (kN)
❖ 可不必去求
XC、YC
2Q)
待续
以AC为研究对象
Yc
Q
MC (F) 0 , YA a X A a 0
C Xc
X
A
YA
1 4
( pa
2Q)
YA
a
A
X 0, XA XC Q 0
XAa
XC
1 4
( pa
2Q)
Q
p
Y 0 , YA YC 0
C
YC
1 ( pa 4
2Q)
再以整体结构为研究对象，由
X 0, XA XB 0
d MO R
❖ 主矢等于零，即 R’ = 0
主矩 合成结果
说
明
MO ≠ 0
合力偶
此力偶为原力系的合力偶， 由简化结果彼此等效知： 此情况下，主矩与简化中 心 O 无关。
MO = 0 平 衡
§3-3 节将重点讨论。
• 合力矩定理
❖ 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点的矩的代数和。
三、 平面力系的平衡条件
• 平衡方程的三种形式
形式
基本
二力矩
三力矩
平
∑X = 0
∑X = 0
∑M A (F) = 0
衡
方
∑Y = 0
∑MA(F) = 0 ∑M B (F) = 0
程
∑MO(F) = 0 ∑MB(F) = 0 ∑M C (F) = 0
只要 x 轴 限制条件 不平行 y 轴
只要 AB 联线 只要A、B、C 不与 x 轴垂直 三点不共线
NB
XC
YCQ
q
Ca
D B
2a
2a
Q = 10kN， q = 6kN/m 2a = 1m
X 0,
XC 0 ,
MC(F) 0 ,
NB
2a
Q
a
1 2
q
2a( 2a 3
2a)
0
NB
1 2
Q
4 3
qa
9
(kN)
MB(F) 0 , YC ·2a － Q a +
1 q 2a 2a
2
3
=0
YC
1Q 2
1 qa 3
❖ 力系的主矢的解析表达式为：
y
R ( X )2 (Y )2
cos(R, i) X ; cos(R, j) Y
R
R
R’
j MO
Oi
x
❖ 主矢不等于零，即 R’ ≠ 0
主矩 合成结果
说明
MO = 0
合力 R’
此力为原力系的合力，合 力的作用线通过简化中心。
MO ≠0
合力 R
大小等于 主矢
此力为原力系的合力，合 力的作用线距简化中心的 距离
四、 物体系的平衡·静定和静不定问题
❖ 工程结构大都是几个物体组成的系统。
❖ 物系平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。
❖ 在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个 平衡方程，若物系由 n 个物体组成，则可写出 3 n 个独立方程。（平行、汇交力系减少）
❖ 当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的 问题称为静定问题。
END
例3-2
三铰刚架如图，自重不计，求支座 A、
B 和中间铰 C 的约束反力。
p Q
C
a
A
B
a
a
待续
p Q
[解]
C
以整体结构为研究对象，由 YA
MB(F) 0,
A
YA2a
Qa
pa
1 2
a
0
XAa
YaB
B
a
XB
YA
1 4
(
pa
2Q)
MA(F) 0,
YB 2a
Qa
pa
3 2
a
0
YB
1 (3pa 4
4
(kN)
见后续
2、再以AC为对象
MA YA P
A
a XA
2a
P = 20kN，
p
p = 5kN/m，
XC’ 2a = 1m
2a C YC’
由（1）知,
X
’ C
=
X
C
=
0
,
YC’ = YC = 4 kN
∑X = 0 ， ∑Y = 0 ，
XA= 0 Y A － P － p ·2a － YC’= 0
Y A = P + p ·2a + YC’= 29 (kN) ∑M A ( F ) = 0 ， MA － P·a － p·2a ·3a － YC’ ·4a = 0
2a
Ca
2a
2a
B
D
2a
❖画出系统的受力图。
❖未知量有四个，必须拆分系统！
见后续
分别画出AC段、CD段的受力图。
MA YA P
A
a XA
2a
p
XC’
2a C YC’
NB
XC
YCQ
q
Ca
D B
2a
2a
❖ 可见，AC段有5个未知量，CD段有3个未知量，
可先研究CD段。
见后续
解法一：1、以CD为对象
❖ 为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知 量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不定 或超静定问题。
❖例3-1 静定组合梁如图，已知 Q = 10kN，P =
20kN，p = 5kN/m，q = 6kN/m和 2a = 1m。梁自重 不计，求A，B的支座反力。
MA YA P
p
NB
A a XA
一 、 力线的平移
作用于刚体上A点的力 F 的作用线可等效地平移 到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对 O 点的矩。
M O
F” d
F’
F
A
二、平面任意力系向平面内一点简化
n
R Fi i 1
—— 力系的主矢
n
M O
M O (Fi )
i 1
—— 力系对简化中心的主矩
❖ 平面任意力系向一点简化，可得一个力和一个力偶，力的大小 和方向等于主矢的大小和方向，力作用线通过简化中心；力偶 的矩等于主矩。