2018年暨南大学高等代数考研真题

2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

**************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业

研究方向：各方向

考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810

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考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分 一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共10小题，每小题3分，共30分。） 1、设A 为3阶矩阵, 13=A , 求1*(3)5--A A = 。 2、当实数=t 时，多项式32x tx ++有重根。 3、λ取值 时，齐次线性方程组1231231232402(2)00λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪+-=⎩x x x x x x x x x 有非零解。 4、实二次型22212312313(,,)2==+-+T f x x x X AX x ax x bx x (0)b >，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12，则a = ，b = 。 5、矩阵方程12133424⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X , 那么X = 。 6、已知向量()10,0,1α=，211,,022α⎛⎫= ⎪⎝⎭，311,,022α⎛⎫=- ⎪⎝⎭是欧氏空间3R 的一组标准正交基,则向量()2,2,1β=在这组基下的坐标为 。

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7、已知矩阵,A B 均可逆，00B X A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1X -= 。 8、4阶方阵2222022200220002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的Jordan 标准形是 。 9、在欧氏空间3R 中，已知()2,1,1α=--，()1,2,1β=-，则α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。 10、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基321,,εεε下的矩阵为221011021-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则σ在 基213,,εεε下的矩阵为 。

考试科目: 高等代数 共 4 页,第 3 页 二、

（10分）求多项式32()2323=+--f x x x x 与32()347=+-g x x x 的最大公因式。

三、（10分）计算行列式111222n n n n x a a a a x a a D a a x a ++=+。

四、（15分）设线性方程组

123123123322

x x x x x x x x x λλλλ⎧--=+⎪

-+-=⎨⎪--+=⎩ 讨论λ取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示其全部解。

五、

（15分）设A 为n 级实对称矩阵，22A A =，A 的秩等于r （n r <<0）。 （1）证明：存在正交矩阵T ，使12000r E T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭

其中r E 是r 级单位矩阵. （2）计算n A E +。 六、(15分) 设二次型()22123121213,,244f x x x x x x x x x =+--,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准形

考试科目: 高等代数 共 4 页,第 4 页 七、(15分)V 为数域F 上四维向量空间，()10,1,2,1α=，()21,1,1,1α=-，()31,2,1，0α=-，()47,1,1,3α=-，V 的子空间()211,ααL V =，()432,ααL V =，试求21V V +和21V V ⋂的基与维数。

八、

（15分）设σ是线性空间V 的线性变换且2σσ=-。令()V V σ=1，()012-=σV 。 证明:21V V V ⊕=且对每个1V ∈α有()σαα=-。

九、（15分）设022234243A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵T ，使得T T AT 是对角矩阵。 十、

（10分）设A 为方阵，()f x 是A 的最小多项式，()g x 为任意多项式。 证明：()g A 可逆的充分必要条件是((),())1=f x g x 。