具有习惯形成的随机内生经济增长模型

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无风险资产的财富分别为 wW 与 (1 − w)W ，假设消费者的消费水平为 c 。则消费者的预算 约束为
dW = [ s (1 − w)W + awW − c]dt + wWσdz ,
即 dW = ⎡ ⎣( ( a − s ) w + s ) W + c ⎤ ⎦ dt + wW σ d 假设在时间 t 时刻的效用函数为 （3）
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具有习惯形成的随机内生经济增长模型
谭玉顺
南京财经大学应用数学系，江苏南京 （210046）
E-mail：tyshun994@163.com
摘 要：本文在 Merton 模型的基础上，将习惯形成纳入消费者的效用函数，即消费者的效 用不仅与当前的消费有关， 而且还依赖于消费者过去的消费水平。 通过建立连续时间的随机 内生增长模型， 利用随机最优化方法， 分析了习惯形成对最优消费路径及最优投资组合的影 响。 关键词：习惯形成，最优增长路径，随机内生增长 中图分类号：F224
t
x(t ) = ρ ∫ e − ρ ( t − s ) c( s )ds
0
(5)
[7]
该习惯积累方程在 1992 年 Ingersoll 用到过
， ρ 代表过去消费的相对权重， ρ 越大，
决定 x(t ) 过去消费的权重越小。很显然 x(t ) 并不是完全外生的，它依赖于过去的消费水平， 其动态变化方程为
∞ ⎧ −1 γ − rt E ⎪max 0 ∫ γ (c − x) e dt 0 ⎪ c,w • ⎪ x = ⎨dW = ⎡ ⎣( ( a − s ) w + s ) W + c ⎤ ⎦ dt + wW σ d ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ρ (c − x), W (0) = W0
（7）
为了求得该问题的解，引入值函数
收入波动越大，经济增长率越低；当消费间跨时替代弹性较大时，收入波动越大，经济增长 率越大。但是由于习惯形成的存在，将会降低收入的不确定性对经济增长率的影响。
3. 结论
本文在 Merton 模型（1970）的基础上，将习惯形成纳入消费者的效用函数，建立消费 与证券组合选择的增长模型， 利用随机最优化方法， 分析了习惯形成对最优消费路径及最优 投资组合的影响。一般情况下，消费者关心消费习惯时，消费者在投资在风险资产上的份额 将会更小，这样将降低期望经济增长率，但是此时的消费路径将变的更加光滑、平稳；当消 费间跨时替代弹性较小时， 收入波动越大， 经济增长率越低； 当消费间跨时替代弹性较大时， 收入波动越大，经济增长率越大；同时由于习惯形成的存在，将会降低收入的冲击对经济增 长率的影响。该模型对传统的效用函数模型更全面，更符合实际，能更好的执导决策者的消 费与投资，因此具有一定的实用价值。
( a − s ) JW σ 2 (−W ) JWW J 2W (a − s ) 2 + ( sW − x) JW − rJ = 0 JWW 2σ 2
(16)
1− γ
γ
[ JW − ρ J x ]γ /(γ −1) −
(17)
由于效用函数中 c 与 x 为线性关系，从而可猜测值函数为下面的形式
J (W , x) = k0 (W + k1 x)γ
(27)
dc x x = (n + ρ )(1 − )dt + (1 − )mσ dz . c c c
推论 1 经济增长率的平均值
ψ =E
dc x = (n + ρ )(1 − ) c c
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(28)
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由 方 程 (28) 可 以 看 出 当 消 费 者 关 心 消 费 习 惯 时 ， 将 会 使 期 望 经 济 增 长 放 慢 ， 但 由
k1 = −1/ s
su γ −1 k0 = ( s + ρ )γ
其中 u =
(22) (23)
⎡ s (a − s ) 2 γ ⎤ − − r s γ ⎢ ⎥ > 0 ,最后利用 (15) 、(16) 式得到(13)、(14) 。 ( s + ρ )(1 − γ ) ⎣ 2σ 2 (1 − γ ) ⎦
2. 模型
Merton 于 1970 的消费和证券组合选择模型
[6]
，假设消费者的财富为 W，他可以投资 （1）
在风险资产和无风险资产上，假设无风险资产的回报率为
dRB = sdt
风险资产的回报率为
dR = adt + σdz
其中 dz 为布朗运动 z 的增量， a 与 σ 为正常数。
（2）
假设消费者的总财富 W 可以用来投资在风险资产与无风险资产上，并且投资在风险资 产上的份额为 w ，则投资在无风险资产上的份额为 1 − w ，这样消费者投资在风险资产上与
(γ − k1 )
1/( γ −1)
k
1/(γ −1) 0
γ (a − s)2 γ − + −r =0 k1 γ − 1 2σ 2
(20)
1− γ
γ
(γ − k1 )
1/( γ −1)
k
1/( γ −1) 0
γ (a − s)2 − + sγ − r = 0 γ − 1 2σ 2
(21)
由方ห้องสมุดไป่ตู้20)、(21)可解得
证明：考虑到 V (W , x, t ) = e Bellman 方程
− rt
1 JWWW σ 2 w2W = 0 (10) 2
(11)
J (W (t ), x(t )) ，因此，最优化问题等价于极大化下面的
0 = max c , w γ −1 (c − x)γ + V ′(W ) ⎡ ⎣( ( a − s ) w + s ) W − c ⎤ ⎦ 1 ⎫ + J x [ ρ (c − x)] + w2W 2σ 2V ′′(W ) − rJ ⎬ 2 ⎭
(12)
{
对该 Bellman 方程分别对消费 c ，财富 W ，以及风险资产的份额 a 求导立即可以得到 最优性条件(9)、(10)、(11)。 方程(9)体现了习惯形成对消费——资产组合投资选择的影响，在基于消费的模型中， 消费的边际效用等于财富的边际效用， 但在本模型中， 消费的边际效用等于财富的边际效用 减去 ρ 倍的 x(t ) 的边际效用，说明习惯对消费过程有重要的作用。 命题 2 上面问题的显示解，即最优的消费路径和投资于风险资产的最优份额为
证明： 将(13)、(14)代入（24）得到
(25)
x(t ) ⎤ ⎛ x⎞ ⎡ d ⎢W (t − ) ⎥ = ⎜ W − ⎟ ( ndt + mσ dz ) s ⎦ ⎝ s⎠ ⎣
其中
(26)
n=
利用方程(6)、(13)得到
s − ρ (a − s ) 2 (2 − γ ) + 1− γ 2(1 − γ ) 2 σ 2
将值函数代入 (17)得
(18)
1− γ
γ
令 W = 0 ,得
(γ − k1 )
1/( γ −1)
k
1/(γ −1) 0
γ (a − s) 2 ( sW − x)γ − + −r =0 W + k1 x γ − 1 2σ 2
(19)
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1− γ
γ
令x =0, 得
[3]
[1− 2]
，
Able(1990)则构造了一个基于习惯形成和追赶时髦(catching up with the Joneses)的效用函数， 并研究了 Lucas 树经济中资产的价格 ；Christopher D.Carroll(2000)的一篇关于在习惯形成
[4]
存在模型， 研究了经济的高速增长将会导致不断增长的储蓄率
x(t ) ⎤ ⎡ c∗ = x(t ) + u ⎢W (t ) − ⎥ s ⎦ ⎣ w∗ =
证明：
（13） （14）
a−s (1 − γ )σ 2
x ⎤ ⎡ 1− ⎢ ⎥ ⎣ sW ⎦
由方程（9）得
c = x + ( JW − ρ J x )1/(γ −1)
由方程(11)得
(15)
w=
将 c 与 w 代入 Bellman 方程得到
x (1 − )mσ dz 知由于消费习惯的影响，消费路径将变的更加光滑、平稳。 c
推论 2 增长率与收入波动关系为
dψ x (a − s ) 2 (2 − γ ) = −(1 − ) dσ 2 c 2(1 − γ ) 2 σ 4
当 γ < 2 时，
（29）
dψ dψ < 0 ；当 γ > 2 时， > 0 。因此当消费间跨时替代弹性较小时， 2 dσ dσ 2
V (W , x, t ) = max c , w Et [e − rsγ −1 (c( s ) − x( s ))γ ds ]
命题 1 对应于上面问题的最优条件为
(8) (9)
(c − x)1/(γ −1) = ( JW − ρ J x )
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JW [ (a − s ) w + s ] + JWW [ (a − s ) wW + sW − c + σ 2 w2W ⎤ ⎦+ (a − s )WJW + w W 2σ 2 JWW = 0
% o Ricardo Faria ； Jo a （2001）
[5]
在 Sidtauski Model 的基础上分析了习惯形成对货币总需求的影响
。这些文章对于研究经
济增长都具有很大意义， 但是这些文章都没有涉及到消费者在收入不确定的条件下， 习惯形 成对消费水平的最优路径的影响， 以及在习惯存在的情况下经济增长与收入波动的关系。 本 文是在 Merton 的消费和证券组合的模型的框架下，利用随机内生增长模型讨论消费者的最 优消费路径的变化情况以及收入波动与经济增长的关系。
参考文献
[1] Constantinide. GM, Habit formation: a resolution of the equity premium puzzle, Journal of Political Economy[J],1990，98：519-543 [2] Sundaresan S M.，Intertemporally dependent preferences and the volatility of consumption and wealth, Review of Financial Studies[J], 1989，2（1）：73-89 [3] Abel A., Asset prices under habit formation and catching up with Joneses, American Economic Review[J], 1990，80：38-42 [4] Christopher D.carroll，Jody Overland ，and David N.Weil，Saving and growth with habit formation，The American Economic Review[J], 2000，90：341—355
1. 引言
Merton 于 1970 年运用内生经济增长理论， 建立了消费与证券组合选择的内生增长模型， 得到了最优的消费水平的显示路径， 以及消费者投资于风险资产的最优比例。 但是该模型的 一个明显的缺点是仅仅把当前的消费水平作为衡量效用的唯一标准。 而事实上， 消费者的效 用不仅仅依赖于当前的消费，还依赖于消费者过去的消费水平,这就是所谓的习惯形成对消 费者的影响。 习惯形成的研究在 20 世纪 80 年代就引起了西方许多经济学者兴趣。 Sundaresan 和 Constantinides（1990）研究了基于习惯形成(habit formation)的资本资产定价模型
可以看出，不考虑习惯形成的 Merton 模型相比，本模型中消费者在投资在风险资产上 的份额更小。直观上，投资者关心他的消费历史时，他将购买风险资产主要是来对冲未来消 费的不确定性。 下面考虑 c 的动态变化情况， 由于在均衡时， = const ， 对方程(13)中的项 W (t − 求导得
c x
U (c, x) = γ −1 (c(t ) − x(t ))γ
(4)
从方程（4）可以看出，消费者的效用不但依赖于当前的消费 c(t ) ，而且还依赖于习惯
x(t ) 。假定 U (c, x) 关于变量 c(t ) 与 x(t ) 是 2 次连续可微的，还假定 U c > 0（更高的当前的
消费水平导致更高的效用水平）， U x < 0 （增加过去的消费而不改变现在的消费，将减少 当前的效用水平）。 其中方程（4）中的 x(t ) 为
x(t ) ) s
x(t ) ⎤ ⎧ ρ (c ∗ − x ) ⎫ ⎡ ∗ ∗ ∗ ⎤ − + − − d ⎢W (t − )⎥ = ⎨⎡ ( a s ) w s W c ⎬ dt + σ w dz ⎣ ⎦ s ⎦ ⎩ s ⎣ ⎭
由此得到下面的命题 命题 3 均衡时的经济增长率为
（24）
dc x x = (n + ρ )(1 − )dt + (1 − )mσ dz c c c
t
dx(t ) / dt = ρ c(t ) − ρ 2 ∫ e − ρ (t − s ) c( s )ds ,
0
即 x = ρ (c − x )
•
(6)
从方程(6)可以看到， x(t ) 为局部非随机的，这是因为习惯对消费者在过去消费信息的 处理，不可能随机的。 此时消费者的问题就是在方程（3）与（6）的预算约束下，选择投资在两种资产上面 上的份额、消费水平和财富的积累路径来极大化他的期望效用，即