大学医用物理波动方程

2 0 3
波动方程为：
7 w 3
7 x 2 y ( x, t ) 0.04 cos[ (t ) ] 3 10 3
O点振动方程为：
7 2 y0 0.04 cos( t ) 3 3
三、波的能量和强度
• 波的能量
• 波的能量密度 • 波的强度
波传播能量
• 对于波来说，伴随着波形和相位的传播， 能量也将随之从一个地方被传递到另一个 地方。 • 在弹性媒质中，介质质元不仅因为有振动 速度而具有动能，而且因为发生了形变而 具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随 着能量的传递。
• 波的能量密度w：单位体积介质中波的能量
E总 x 2 2 2 w A sin (t ) V c
• 波的平均能量密度：能量密度在一个周期内 的平均值
1 w T

T
0
x 1 2 2 A sin (t )dt A c 2
2 2 2
波的能量密度
E总 x 2 2 2 w A sin (t ) V c
波的能量
• 平面简谐波在弹性媒质中传播，任意坐标x处 的体积元V，在t时刻的动能和势能为：
1 x 2 2 2 Ek E p VA sin (t ) 2 c
• 体积元V总机械能为：
x E总 Ek E p VA sin (t ) c
2 2 2
波的能量密度
定义:I0＝10-12W· -2.基准声强 m
I L 10 lg 分贝 I0 设:1贝尔（B）=10分贝（dB）.
几种典型声音的声强级：
细语—10 dB
炮声的声强级—110 dB
聚焦超声波的声强级—210 dB
2、响
度 ：人耳对声音强弱的主观感觉。(音量)
响度级 ：人耳能听到的响度等级。单位：方
例2：如图,是一平面简谐波在t=0秒时的波形图， 由图中所给的数据求：（1）该波的周期；（2） 传播介质O点处的振动方程；（3）该波的波动 方程。
y(cm)
4
u 20m / s
o
-2
10
x(m)
y(cm)
4
u 20m / s
o
-2
10
x(m)
c
解：设波动方程为： A cos[ (t x ) ] s 0
振动是波动的基础，波动是振动的传播
机械波产生条件：
（1）机械振动：波源 （2）弹性媒质 机械波的特点： (1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相 位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。
横波和纵波
则这种波称为横波。 例如在绳波； • 如果质元的振动方向和波的传播方向相平 行，这种波称为纵波。
波动方程的推论
x s A cos (t ) c
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
x0 2π x0 s A cos (t ) A cos( t ) c
反映：x0点处质点的振动方程 演示
x s A cos (t ) c
(2) 当t为某一定值时，设t=t0，方程变为：

I r Z 2 Z1 强度反射系数： ir Z Z Ii 2 1
It 4 Z 2 Z1 强度透射系数： it 2 I i Z 2 Z1
、Z2
、Z2
2

Z1
Z1
相差较大时，反射强，透射弱
相差较小时，透射强，反射弱
二、听觉域(threshold of hearing) 1、听阈：同一频率可引起听觉的最低声强。 听阈线：听阈随频率而变化的曲线。
Pm uA Kg m2 s 1 u Z vm A
3、声强(intensity of sound)

声强(声波的强度)：单位时间内通过垂直于声波的
传播方向的单位面积的声波的平均能量。 公式：
2 1 1 2 1 pm I u 2 A2 Zv m 2 2 2 Z
瞬时声压：介质中某点的压强与无声波传播时的压强
之差（声压与空间和时间有关）。
u→ρ→p→p´-p
声波为平面简谐波的声压方程
x P uA cos[ (t ) ] u 2
声 幅：
pm u A
2、声阻抗 Z( acoustic impedance)
vm A
振速
二、波动方程
• 波动方程推导
• 波动方程推论 • 波动方程解题
演示
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐 波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振 幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远 近而改变。 描述波线上质点在每一位置、每一时刻的
位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f ( x, t )
波动方程推导
进入人体的声波强度只为入射强度的0.001， 即为0.1％。
经由蓖麻油进入时
I t 4 1.36 106 1.63 106 0.992 6 6 2 I i (1.36 10 1.63 10 )
进入人体的强度占原来强度的99.2％。 说明为什么在利用超声波进行人体扫描或治疗时 在探头表面谷体表之间要涂抹油类物质或液体耦
t x m y 2 10 cos400 20
3
c 20 m/s w 400 A 2 103 m
w c f T 2
c 20 m/s w 400
w 400 f 200 2 2

2c 40 0.1m w 400
s
A c
O
x P
相位落后ωx/c
so A cost
x s A cos (t ) c
波动方程推导
s
A c
O
x P
x
so A cost 0
x s A cos[ (t ) 0 ] c
波动方程
s
A
c
相位落后ωx/c
x
O
x P c
相位超前ωx/c
x 沿X轴正方向传播： s A cos (t ) c x 沿X轴负方向传播： s A cos (t ) c
合剂。
波动方程正负号
ω 、c
波动方程其它形式
w c f T 2
x s A cos[ (t ) 0 ] c

s A cos[ 2π( ft
x

) 0 ]
(f,ω)、T λ 、c
t x s A cos[ 2π( ) 0 ] T
s A cos[ 2π
λ、f
λ、T

(ct x) 0 ]
λ、c
波动方程应用
• 已知波动方程求特征量 • 已知特征量求波动方程 • 已知波动曲线求波动方程
例1：已知波函数
y 2 10 cos(400t 20x ) m
3
求：A、f、、c。 解：
x y A cosw t 0 c
f ks
2
动力学方程
d s 2 s 0 2 dt
运动学方程
s A cos(t 0 )
1 1 2 2 2 E m0 A kA 2 2
简谐振动方程
简谐振动能 量
机械波的产生
• 机械波：机械振动在弹性媒质中的传播。 在弹性媒质中，某一个质点因外界扰 动时，由于质点与质点之间存在着弹性联 系，周围的质点也会跟着振动起来，其振 动由近及远地传播出去，即产生机械波。
4 cos0 2
10 w 4 cos( 0 Fra Baidu bibliotek 0 20
2 0 3
w 0 2 2
y(cm) 4
u 20m / s
o
-2
10
x(m)
某质点速度方向与下 一个波峰或波谷的质 点速度方向相同

o
－1
2

y
o
y
2 0 3
w 0 2 2
• 在平面简谐波的传播过程中，介质内任 一质元在任何时刻的动能和势能相等， 它们和总能量一起都不是恒定不变的， 而都随时间作周期性变化。 波动中每个质点做简谐振动，为什么 能量不守恒？
波的强度
• 波的强度I：单位时间内通过垂直于波线方向的 单位面积的平均能量
x S cT
w ScT 1 2 2 I w c A c ST 2
单位：W/m2。
4、声速
• 声波能在各种介质中传播，声波的传播速度与媒 质的性质（弹性模量、密度）和温度有关有关， • 在固体中声速最大、液体次之、气体最小； • 随温度的升高而增大。 • 纵波：
u
• 横波：
K

G E u .......... u ...
声速随温度的变化关系：
• U=331+0.6t
总结
• 机械波的基本概念 • 波动方程及推论
w c f T 2
注意波的方向

x s A cos[ (t ) 0 ] c
• 波的能量和强度 注意初相位
1 2 2 1 2 2 w A I A c 2 2
第三 节 声 波
一、声压和声强
1、声 压（sonic pressure）
等响曲线：频率不同、响度级相同的点组成的曲线.
声 强 级
声 强 频率
例题：如果超声波经由空气传入人体，问进入人体 的声波强度是入射前的百分之几？如果经由蓖麻油 （Z=1.36×106kg.m-2.s-1 ）传入人体，则进入声波的
强度又是入射前强度的百分之几？ 解：经由空气进入时
It 4Z 2 Z1 4 4.16 102 1.63 106 0.01 2 2 6 2 I i Z 2 Z1 (4.16 10 1.63 10 )
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相垂直，
例如声波。
波阵面、波线
波线 球面波 波前 波阵面
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波阵面、波线
波线
波阵面 波前 平面波
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波长、波速、频率

c
f
T
w c f T 2


不同媒质中周期频率不变，波速波长不同
x 2π x s A cos (t0 ) A cos( t0 ) c
反映：t0时刻波线上各质点的位移，
即该时刻的波形。
演示
(3) 当取x、t任意值时，波动方程表示波线 上任意位置x处的质点在任意时刻t的位移。
s A O
x s A cos (t ) c
x
P
c
波源振动的初相位
声 强 级 频率
声 强
2、痛
阈：人耳能忍受的最高声强。
痛阈线：痛阈随频率而变化的曲线。
声 强 级 频率
声 强
3、听觉域(auditory region)：由听阈线、痛阈线、 20Hz和 20KHZ线所围区域。
声 强 级 频率
声 强
三、声强级和响度级 1、声强级（贝尔B）：
I L lg I0