数组运算法则
MATLAB-3数组运算
26
23
(3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算 将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。 最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元 素由1或0组成。
(4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵， 那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标 量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同 维的矩阵，其元素由1或0组成。
>> F./E ans = 1.0000 2.0000 2.3333 0.5000 1.0000 1.3333 0.4286 0.7500 1.0000 >> E*F ans = 14 32 50 32 77 122 50 122 194 >> E.*F ans = 1 8 21 8 25 48 21 48 81
5
多维数组的建立
4. 利用函数repmat生成多维数组
C=ones(2,3) repmat(C,[1 1 3]) % repmat写出类似reshape的 repmat(C,1,1,3)将显示出错 提示：repmat是通过数组复制创建多维数组的，上面的代码即 是将数组C在行维和列维分别复制一次，然后再页维复制三次得 到2×3×3的三维数组。
多维数组及其运算
1
多维数组的定义
在MATLAB 的数据类型中，向量可视为一维数组，
矩阵可视为二维数组，对于维数超过2的数组均可
视为「多维数组」简称N-D Arrays。
2
将两个二维数组叠在一起，就构成三维数组，第三维称 为「页」(Page)，其中每一页包含一个由行和列构成的 二维数组，如下图所示：
6
多维数组的建立
5. 利用函数cat生成多维数组
a=zeros(2); b=ones(2); c=repmat(2,2,2); D=cat(3,a,b,c) D=cat(4,a,b,c) %创建三维数组 %创建4维数组。
小学数学运算法则以及口诀
运算定律✍加法交换律两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
✍加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c) 。
✍乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，即a×b=b×a。
✍乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
✍乘法分配律两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
✍减法的性质从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。
运算法则✍整数加法计算法则相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
✍整数减法计算法则相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
✍整数乘法计算法则先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
✍整数除法计算法则先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。
如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
✍小数乘法法则先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。
✍除数是整数的小数除法计算法则先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。
✍除数是小数的除法计算法则先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
MATLAB基础教程 第2章 数组、矩阵及其运算
写出MATLAB表达式。 解：根据MATLAB的书写规则，以上MATLAB表达式为： （1）y=1/(a*log(1-x-1)+C1) （2）f=2*log(t)*exp(t)*sqrt(pi) （3）z=sin(abs(x)+abs(y))/sqrt(cos(abs(x+y))) （4）F=z/(z-exp(T*log(8)))
命令：X(3:-1:1)
命令：X(find(X>0.5)) 命令：X([1 2 3 4 4 3 2 1])
第二章 数组、矩阵及其运算
2.1 数组（矩阵）的创建和寻访
2. 二维数组的创建和寻访
例2-3 综合练习。将教材P.31~P.44的实例按顺序在MATLAB的 command窗口中练习一遍，观察并体会其输出结果。 （注意变量的大小写要和教材上的严格一致。）
A./B
B.\A
A的元素被B的对应元素相除
（与上相同）
第二章 数组、矩阵及其运算
2.3 数组、矩阵的其他运算
1. 乘方开方运算
数组的乘方运算与power函数 格式：c=a.^k或c=power(a,k) 例如： >> g=[1 2 3;4 5 6] >>g.^2 矩阵的乘方运算与mpower函数 格式：C=A^P或C=mpower(A,P) 注意：A必须为方阵
第二章 数组、矩阵及其运算
2.2 数组、矩阵的运算
3. 矩阵的加法、减法
运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算， A和B矩阵的相应元素相加减。如果维数不相同，则MATLAB将给出
出错信息。
第二章 数组、矩阵及其运算
2.2 数组、矩阵的运算
3. 矩阵的乘法
C语言数组加减运算结果
本例和前一篇很像，请看：（环境32位x86系统，Gnu Linux C）#include <stdio.h>int main(void){int a[4] = {1, 2, 3, 4};int *p1 = (int *)((int)a + 1);printf("%x\n", *p1);return 0;}打印结果是什么？为什么？看结果：2000000下面分析来看下为什么是这样的：前一篇讲过，&a 是对整个数组操作，+、- 操作针对的对象是整个数组，因此它偏移的单位是1 * sizeof(a) ，偏移的长度是n * sizeof(a)；而在这里(int)a 的a指的是a[0]这个首元素的地址，(int)a 将得到a[0]的地址并且转换为4字节的一个数；假设a[0] 的地址为0x12345678，则(int)a + 1的地址为0x123456789。
这时，我们打印printf("%x\n", *p1); p1所指向的内容为什么变成了2000000了呢？在这个时候我们就要看C中对数组才数据存放的特点了，其实这个时候内存中的存储是这样的：用16进制更加容易体现，当我们执行(int) a + 1操作时，其实新得到的p1 指向的是a[0] + 1个字节的地址，而由于数组在内存中是连续排列的，因此它将取到的内容会变成：0x02000000；因此此时我们打印出来的值是2000000，用%08x 打印你会更加清楚的看到结果。
为了验证上述说法，你可以把+2、+3、+4 等等内容打印出来，这样以来就会看到+2的结果是0x00020000，+3 的结果是0x00000200，+4的结果是0x00000002。
不用%08x，直接%x 打印的结果就是20000，200，2总结一下，在对数组操作时，a指想的是数组首元素a[0] 的首地址，而使用(int)将地址强制转换成了值，由于是值，因此+ 1、-1 等操作就符合整型数据加减运算法则，最后再将数值转换回地址并赋值给指针，此时指针指向的就是根据a[0]首地址做字节偏移（注意，这里是字节偏移而不是元素大小为单位的偏移）后的地址。
张量和外代数的基本概念和运算法则
张量和外代数的基本概念和运算法则在现代数学中，张量和外代数是重要的代数结构。
它们在物理、工程、计算机科学等领域中被广泛应用。
本文将介绍张量和外代数的基本概念和运算法则，帮助读者对这些代数结构有更深入的认识。
一、张量的基本概念张量可以看作是线性函数的扩展。
线性函数接受向量作为输入，并输出一个标量。
而张量接受向量作为输入，并输出一个向量或张量。
因此，张量有多个分量，每个分量可以是标量、向量或张量。
在二维欧几里得空间中，一个二阶张量可以表示为一个矩阵。
设$T$是一个二阶张量，它的第$i$行第$j$列的分量为$T_{ij}$。
假设$u$和$v$是两个向量，它们的分量分别为$u_i$和$v_j$。
则$T(u,v)$可以表示为：$T(u,v)=T_{ij}u_iv_j$这里的$u_iv_j$表示一个标量的乘积，$T_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素。
因此，$T(u,v)$是一个标量。
同样的，对于$n$维欧几里得空间中的$k$阶张量，它可以表示为一个$n^k$维的数组。
二、张量的运算法则张量有多种运算法则，包括张量的加法、张量的数乘、张量的乘法和张量的缩并等。
这里介绍其中的几种基本运算法则。
1. 张量的加法设$T$和$S$是两个$k$阶张量，它们的分量分别为$T_{i_1i_2...i_k}$和$S_{i_1i_2...i_k}$。
则$T$和$S$的和可以表示为：$(T+S)_{i_1i_2...i_k}=T_{i_1i_2...i_k}+S_{i_1i_2...i_k}$即将$T$和$S$的每个对应分量相加，得到一个新的$k$阶张量$T+S$。
2. 张量的数乘设$a$是一个标量，$T$是一个$k$阶张量，它的分量为$T_{i_1i_2...i_k}$。
则$aT$可以表示为：$(aT)_{i_1i_2...i_k}=aT_{i_1i_2...i_k}$即将$T$的每个分量乘以标量$a$，得到一个新的$k$阶张量$aT$。
四则运算及公式
四则运算及公式四则运算是数学中最基本的运算方法之一，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算符可以通过一些基本定律来简化计算过程。
下面将介绍四则运算的五大定律，并附上相关的公式。
1.加法的交换律：a+b=b+a两个数相加的结果与加法的顺序无关。
2.加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三个数相加时，可以先计算前两个数的和，然后再与第三个数相加，结果不变。
3.减法的化为加法：a-b=a+(-b)减法可以转化为加法，将被减数加上减数的相反数即可。
4.乘法的交换律：a*b=b*a两个数相乘的结果与乘法的顺序无关。
5.乘法的结合律：(a*b)*c=a*(b*c)三个数相乘时，可以先计算前两个数的乘积，然后再与第三个数相乘，结果不变。
公式：1.加法公式：(a + b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b) ^ 2 = a^2 - 2ab + b^2这些公式在平方和差的情况下使用，可以简化计算。
2.乘法公式：(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd这个公式用于计算两个括号中的表达式相乘时的结果。
3.除法公式：a/b=ca=c*b这个公式用于计算除法的结果，将被除数除以除数得到商。
四则运算的五大定律和相关公式非常重要，我们在解各种数学问题时经常需要用到它们。
通过熟练地掌握这些定律和公式，可以更高效地进行计算，并且可以优化运算的顺序，减少出错的可能性。
总结起来，四则运算的五大定律是加法的交换律、加法的结合律、减法的化为加法、乘法的交换律和乘法的结合律。
同时，还有一些常用的公式如加法公式、乘法公式和除法公式。
在实际运算中，这些定律和公式可以大大简化计算过程，提高计算效率。
4 矩阵和数组(2)：运算与操作
一、矩阵变形
让reshape函数内部自动计算所需的行数
将向量转换成矩阵 （按列排放）
Reshape要求变形前后的元素总数目保持不变
>> A=[1:3;4:6;7:9] A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> rot90(A) ans = 3 6 9 2 5 8 1 4 7
逆时针旋转90度
2
3
4
5
8
9
>> B = sort(A,'descend') %降序 B= 9 8 5 4 3 2 0 -7 -10 >> B = sort(A, 'ascend' ) %升序 B= -10 -7 0 2 3 4 5 8
9
>> A = [9 0 -7 5 3 8 -10 4 2] A= 9 0 -7 5 3 8 -10 1 2 3 4 5 6 7
Description Circularly shift matrix contents. Sort array elements in ascending or descending order. Sort rows in ascending order. Determine if matrix elements are in sorted order.
基于多列排序： 前面一列若有相等的数值， 后面一列继续按照数值大小排序
>> B = sortrows(A,[1 7]) B= 76 79 91 0 19 76 44 40 35 60 76 61 93 81 27 95 82 17 5 19 95 1 73 89 20 95 45 92 41 13 >> C = sortrows(A,[1 -7]) C= 76 61 93 81 27 76 44 40 35 60 76 79 91 0 19 95 45 92 41 13 95 1 73 89 20 95 82 17 5 19
数组和矩阵的运算需要掌握运算法则
本节要求
1.掌握数组和矩阵的数值计算，尤其是数 组的“点运算” 2.掌握数组的关系和逻辑运算 3.掌握指令find的使用 4.了解notebook文档的编辑
本课件由飞华健康网/pifu/cc/编辑
>>A=[1 2 3; 4 5 6],B=[4,5,6;1,2,3]; >>C=zeros(2); %生成2阶全0方阵 >>c1=A+B ％加法运算 >>c2=A-C ％减法相乘 >>c3=A-2 %与标量之间的加减运算
结果如下：
c1 = 5 7
7 7
9 7
c3 = -1 2
0 3
1 4
??? Error using ==> minus Matrix dimensions must agree.
A =
>> A(～B)=0
13 8 12 1
A= 0 2 5 11 0 7 0 0 1 0 0 0 3 13 0 0 0 0 0 0
16 5 9 4
2 11 7 14
3 10 6 15
>> B=isprime(A)
B = 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
注：isprime是用来检测数值是否为质数。
log10 log2 exp pow2
例1：分析语句a=2+2==4的执行结果。
分析：单个等号表示赋值，后面的双等号表示关系 运算，所以a的值为1.
例2：分析语句a=‘fate’;b=‘cake’;result=a==b 的执行结果。
分析：应用关系运算应该逐个比较字符是否相等。 执行结果如下： result = 0 1 0 1
结果如下：
二.数值数组及其运算(matlab)
例2.2 基本数据类型
clear v=2000; v_s=size(v); n='green'; n_s=size(n); house={v;n} %1*1数值数组 %数值数组的大小 %字符串数组 %字符串数组的大小 %元胞数组
演示
2.1.1 一维数组的创建
逐个元素生成法 冒号生成法
通用格式为：x=a : inc : b 冒号不能省，且必须在英文状态下输入； 步长inc可取正数或负数，缺省时默认值为1。
2.2 二维数组的创建和寻访
二维数组结构和矩阵相同，当带线 性变换的含义时，数组就是矩阵。
例2.5 二维数组的基本操作
A = [ 1 2 3 ; 4 , 5 , 6 ]; %输入二维数组A B = [ 1 2 4 ; 8 16 32 ]; %输入二维数组B %C = A + B %二维数组C的元素等于A、B对应元素的和 %D = log2 ( B ) %对B的每个元素求以 2 为底的对数构成数 %组D
A = [ 1 4 7 ; 2 5 8 ; 3 6 9 ];
a5=A([1 3;2 6]) %取单下标为1、3、2、6的元素构成子数组 %a5（2×2） %a6=A([1 3 2 6]) %取单下标为1、3、2、6的元素构成子数组 %a6 (1×4) %L1=logical([1 0 1])
演示
2.2.3 二维数组子数组的寻访和赋值（续）
2.1一维数组的创建和寻访
●
数学计算是MATLAB强大计算功能的体现。MATLAB的数学 计算分为数值计算和符号计算，其中符号计算是指使用 未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未 定义的变量。 数值数组（Numeric Array）和数组运算（Array Operations）始终是MATLAB的核心内容。
数组运算法则
认识一维数组和二维数组。
理清概念很重要，不要混淆数组、数组公式。
第一，一维数组和二维数组的定义单行或单列的数组，我们称为一维数组。
多行多列（含2行2列）的数组是二维数组。
第二，数组和数组公式的区别数组，就是元素的集合，按行、列进行排列。
数组公式：就是包含有数组运算的公式。
ctrl+shift+enter，三键结束，这个过程就是告诉excel请与数组运算的方式来处理本公式，反馈一个信息，就是在公式的外面添加一对花括号。
第三，一维数组和二维数组的运算规律1、单值x与数组arry运算执行x与arry中每一个元素分别运算并返回结果，也就是与arry本身行列、尺寸一样的结果。
比如：2*{1,2;3,4;5,6}，执行2*1、2*2、2*3……2*6运算，并返回3行2列的二维数组结果{2,4;6,8;10,12}，如下图所示：数组中行和列分别用逗号、分号来间隔。
逗号表示行，行之间的关系比较紧密，用逗号分割；列之间，关系相对比较疏远一点，用分号分割。
又比如："A"&{"B","C"}返回{"AB","AC"}。
"A"={"B","A","C"}返回{FALSE,TRUE,FALSE}2、同向一维数组运算执行arry1与arry2对应位置的元素分别运算并返回结果。
要求arry1与arry2尺寸必须相同，否则多余部分返回#N/A错误。
比如： {1;2;3}*{4;5;6}返回{4;10;18}；??{1,2,3,4}*{4,5,6}返回{4,10,18,#N/A}，如下图所示：3、异向一维数组运算arry1的每一元素与arry2的每一元素分别运算并返回结果，得到两个数组的行数*列数个元素，也就是M行数组与N列数组运算结果为M*N的矩阵数组。
线性代数运算法则
线性代数运算法则线性代数是数学中重要的一个分支，它研究向量空间和线性映射的基本性质。
在实际应用中，线性代数经常用于解决各种问题，例如计算机图形学、机器学习、物理学和工程学等领域。
本文将介绍线性代数中的一些重要运算法则，包括向量的加法和数乘、矩阵的加法和数乘、矩阵乘法以及矩阵的转置和逆运算。
向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算之一。
设有两个向量a和b，它们的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn分别是向量a和b 的各个分量。
向量的数乘定义为：k a = (k a1, k a2, ..., k an)。
其中k是一个标量。
向量的加法和数乘满足交换律、结合律和分配律，即对任意向量a、b和标量k，有以下运算法则成立：2. (a + b) + c = a + (b + c)。
3. k (a + b) = k a + k b。
4. (k + l) a = k a + l a。
5. k (l a) = (k l) a。
这些法则是线性代数中向量运算的基础，它们帮助我们理解向量空间的结构和性质。
矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以看作是一个二维数组。
矩阵的加法和数乘与向量类似，设有两个矩阵A和B，它们的加法定义为：A +B = (aij + bij)。
其中aij和bij分别是矩阵A和B的第i行第j列的元素。
矩阵的数乘定义为：其中k是一个标量。
矩阵的加法和数乘也满足交换律、结合律和分配律。
矩阵乘法是线性代数中最重要的运算之一。
设有两个矩阵A和B，它们的乘法定义为：C = A B。
其中C的第i行第j列的元素cij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA。
矩阵乘法的运算法则包括结合律和分配律，即对任意矩阵A、B和C，有以下法则成立：1. (A B) C = A (B C)。
数学运算法则
数学运算法则
1. 交换律：加法和乘法的交换律，即a+b=b+a，a×b=b×a。
2. 结合律：对于加法和乘法，满足a+(b+c)=(a+b)+c，a×(b×c)=(a×b)×c。
3. 分配律：乘法对加法的分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
4. 结合性和交换性：在一个算式中，先进行哪种运算不会影响最终的结果，如果若干个数同时乘除，则可以按照自己所需的顺序进行运算。
此种性质我们称为运算的结合性和交换性。
5. 同项式合并：对于加减法中的同类项，可以合并为一个项，如2x+3x=5x。
6. 四则运算法则：加减乘除的基本运算规则，如加法满足结合律和交换律。
7. 小数点的移动：小数点往右移，数值变小；小数点往左移，数值变大。
8. 指数运算规则：a的b次方可以转化为a相乘b次，例如2的3次方可以写成2×2×2，也可以写成8。
9. 对数运算规则：对数是指一个数以指定底数的几次幂的形式表达，例如loga b表示以a为底数的b的对数。
根据对数运算的性质，若a为正数且不等于1，
则有以下对数运算规则：loga (b/c) = loga b - loga c，loga (b*c) = loga b + loga c，loga b^c = c*loga b，其中b、c为正数。
数的认识知识梳理
数的认识知识梳理数的认识知识梳理一、自然数自然数是人们最早认识的一种数，它是用来计算物品数量的。
自然数包括0和正整数，用N表示。
1.1 自然数的定义自然数是由0、1、2、3……依次构成的无限集合。
其中0是最小的自然数。
1.2 自然数的性质① 自然数中没有最大值，也没有最小值；② 自然数中任何两个不同的自然数之间都有一个唯一的正整数作为它们之间的距离；③ 自然数中任何两个不同的正整数之间都有无限多个自然数。
二、整数整数组成了比自然数更大范围内的数字集合。
它包括正整数、负整数和0。
用Z表示。
2.1 整数定义整数组成了由正整数组、负整数组和零组成的无限集合。
2.2 整数组运算法则① 加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c；② 加法交换律：a+b=b+a；③ 加法单位元素：a+0=a；④ 减法定义：a-b=a+(-b)；⑤ 乘法结合律：a×(b×c)=(a×b)×c；⑥ 乘法交换律：a×b=b×a；⑦ 乘法单位元素：a×1=a；⑧ 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
三、有理数有理数是整数和分数的集合，用Q表示。
3.1 有理数的定义有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为0。
3.2 有理数的性质① 两个有理数之和、差、积仍然是有理数；② 两个非零有理数之商仍然是有理数；③ 在加减乘除运算中，任何一个非零有理数与零作运算的结果都是0。
四、无理数无理数指不能表示为两个整数之比的实数。
无限不循环小数就是一种无理数。
用R表示。
4.1 无理数的定义无理数是指不能表示为两个整数组成的比值形式，而只能用无限不循环小数组成的十进制小数组成形式来表示的实数组成集合。
4.2 无理根与二次方程解法对于二次方程ax²+bx+c=0，如果它没有实根，则称其解为虚根。
如果它存在实根，则可以通过求根公式求得：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)如果判别式D=b²-4ac小于0，则方程无实根，此时可以用无理数√D 来表示解。
求和∑的运算法则
求和∑的运算法则求和符号∑是数学中常见的符号之一，用于表示对一列数进行求和运算。
在数学中，求和符号的运用非常广泛，尤其是在微积分、概率论、统计学等领域，都需要用到求和运算。
本文将介绍求和符号的基本概念、运算法则，以及一些常见的应用场景。
一、求和符号的基本概念求和符号∑表示对一列数进行求和运算，其基本形式为：$$sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + cdots + a_n$$ 其中，$a_i$ 表示第 $i$ 个数，$n$ 表示一共有 $n$ 个数需要求和，$i=1$ 表示求和的起始位置，$i=n$ 表示求和的结束位置。
求和符号的上下标表示了求和的范围，上标表示求和的结束位置，下标表示求和的起始位置。
例如，$sumlimits_{i=1}^{5} i$ 表示对 $1,2,3,4,5$ 这五个数进行求和，其结果为 $1+2+3+4+5=15$。
二、求和符号的运算法则求和符号具有以下运算法则：1. 换元法则如果 $j$ 是 $i$ 的一个函数，那么可以通过换元来改变求和符号的下标。
具体来说，如果 $j$ 是单调递增的函数，则有：$$sum_{i=m}^{n} a_i = sum_{j=f(m)}^{f(n)} a_{f^{-1}(j)}$$ 如果 $j$ 是单调递减的函数，则有：$$sum_{i=m}^{n} a_i = sum_{j=f(n)}^{f(m)} a_{f^{-1}(j)}$$例如，$sumlimits_{i=1}^{5} i^2=sumlimits_{j=1}^{5}(j-1)^2$，其中 $j=i-1$。
2. 分拆法则对于一个求和式，可以将其中的某些项拆分成两个或多个部分进行求和，从而简化计算。
具体来说，如果 $a_i=b_i+c_i$，则有：$$sum_{i=1}^{n} a_i = sum_{i=1}^{n} b_i + sum_{i=1}^{n} c_i$$例如，$sumlimits_{i=1}^{n} (2i+1)=2sumlimits_{i=1}^{n}i+sumlimits_{i=1}^{n} 1=2frac{n(n+1)}{2}+n=n^2+3n$。
四元数代数
四元数代数１８２６年数学家罗巴切夫斯基的论文《几何原理概述及平等线定理的严格证明》宣告了非欧几何的诞生。
非欧几何的诞生给数学界带来了一场新的革命，四元数代数是由非欧几何引发出来的分支之一。
它同非欧几何一样，用了一些与传统理论相矛盾的假说。
１９世纪早期，人们认为在数学领域里不存在与一般算术代数不同的代数。
但是年轻的数学家哈密顿却独树一帜，设想建立超复数系，定义这样两个有序实数四元数组（a,b,c,d),(e,f,g,h)为相等的，当且仅当a=e,b=f,c=g,d=h.又用记号l,i,j,k分别表示（1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何规定其运算法则呢？如果按照普通代数的四则运算法则进行，政府就难以建立起来。
如果独辟蹊径，又该从何下手呢？哈密尔顿发现将四无数组的加法和乘法的定义如下：（a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h);(a,b,c,d)-(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf);m(a,b,c,d)=(a,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md)(m为常数）１８４３年１０月６日晚饭后，哈密顿像往常一样和夫人到外边散步，当经过都柏林城外皇家运河布洛翰桥进城时，突然四无数的概念映入了他的脑海。
正如他回忆的那样：“四无数来到了人间，或者说出生了，发育成熟了。
此时我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是i,j,k之间的基本方程，恰恰就是我此后使用的那个样子，它还在，我当场拿出笔记本，把它拥入我的怀里。
”四元数（a,b,c,d)写成a+bi+cj+dk这样的形式，哈客顿通过认真思考，直觉地感到，这样要求的太多，就必须牺牲交换律，于是第一个非交换的代数——四元数代数诞生了。
１８４３年１１月，哈密顿在爱尔兰科学院正式宣布他发明了四元数。
四元数的创立，有力地推动了线性代数的研究，并广泛应用于物理、工程学、数论、代数和群论等学科。
第五讲-MATLAB之数组运算
数组的算术运算运算运算符含义说明加 + 相应元素相加减 - 相应元素相减乘 * 矩阵乘法点乘 .* 相应元素相乘幂 ^ 矩阵幂运算点幂 .^ 相应元素进行幂运算左除或右除\或/ 矩阵左除或右除左点除或右点除 .\或./ A的元素被B的对应元素除【例】数组加减法 >>A = rand(3); >>B = rand(3); >>A+B, A-B, A*B >>A/B, A\B 【例】点幂“.^”>>a=1:6>>a=a.^2>>b=reshape(a,2,3) >>b=b.^2关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：<、>、<=、>=、==、~ =（不等于）关系运算符的运算法则：1、当两个标量进行比较时，直接比较两数大小。
若关系成立，结果为1，否则为0。
2、当两个维数相等的矩阵进行比较时，其相应位置的元素按标量关系进行比较，并给出结果，形成一个维数与原来相同的0、1矩阵。
3、当一个标量与一个矩阵比较时，该标量与矩阵的各元素进行比较，结果形成一个与矩阵维数相等的0、1矩阵。
【例】建立5阶方阵A，判断其元素能否被3整除。
A = [24, 35, 13, 22, 63; 23, 39, 47, 80, 80; ...90, 41, 80, 29, 10; 45, 57, 85, 62, 21; 37, 19, 31, 88, 76] P = rem(A,3)==0 %被3除，求余逻辑运算Matlab提供了3种逻辑运算符：&（与）、|（或）、~（非）逻辑运算符的运算法则：1、在逻辑运算中，确认非零元素为真（1），零元素为假（0）。
2、当两个维数相等的矩阵进行比较时，其相应位置的元素按标量关系进行比较，并给出结果，形成一个维数与原来相同的0、1矩阵；3、当一个标量与一个矩阵比较时，该标量与矩阵的各元素进行比较，结果形成一个与矩阵维数相等的0、1矩阵；4、算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。
幂数运算法则
幂数运算法则幂数运算法则是数学中一组非常重要的概念，它们提供了一种简单、有效的方式来解决复杂的问题。
幂数运算法则是指一组程序，它们被设计用来解决数学中的复杂问题。
它们的基本原理是：当操作数组中的数字时，可以使用这些规则来得出结果。
其中最常见的一种幂数运算法则就是加法法则。
它的基本原理是：任何两个数字相加的结果都是不变的，即在任何情况下它们的和都是一样的。
加法法则非常实用，因为大多数数学问题都需要求和来解决。
例如，有三个数字1、2、3，那么可以直接使用加法法则求它们的和6，而不需要花费大量时间来完成这个计算。
另一种常见的幂数运算法则是乘法法则。
它的基本原理是：两个数字相乘的结果是不变的，即任何情况下它们的积都是一样的。
乘法法则在数学中也是非常实用的，因为它可以用来求解一些复杂的问题。
例如，在解决三角形的斜边问题时，可以使用乘法法则来计算斜边的长度，而不需要做复杂的计算。
幂数运算法则还包括平方及阶乘运算法则，它们也是非常重要的。
平方法则指的是：将一个数字平方之后得到的结果是不变的。
阶乘法则则指：将一个数字阶乘之后得到的结果是不变的。
这两个法则都非常有用，因为它们可以用来解决一些数学中的极其复杂的问题。
此外，幂数运算法则还包括其他的规则，例如开方法则和除法法则。
开方法则指的是：将一个数字开方之后得到的结果是不变的。
除法法则则是指：将一个数字除以另一个数字之后得到的结果是不变的。
这两个法则也都可以帮助人们解决一些数学上的复杂问题。
总而言之，幂数运算法则是数学中一组非常重要的概念，它们提供了一种简单、有效的方式来解决复杂的问题。
它们的常见规则有加法法则、乘法法则、平方法则、阶乘法则、开方法则和除法法则。
这些法则都非常有用，可以用来解决数学中的各种复杂问题。
如果希望在数学中取得成功，学习幂数运算法则是必不可少的一步。
多维数组求导
多维数组求导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多维数组求导是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
多维数组即矩阵或者张量，对它们进行求导就是想要知道某个函数在不同维度上的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍多维数组求导的基本理论和方法，以及一些实际应用示例。
在数学中，求导是一种计算函数斜率的方法。
在一维情况下，我们可以通过求导来得到函数在不同点的斜率，而在多维情况下，我们需要对多维数组进行求导来得到函数对各个维度的变化率。
多维数组的求导一般称为梯度或者雅可比矩阵，它可以帮助我们优化函数、求解最优化问题等。
让我们来看一个简单的例子。
假设有一个二维数组f(x, y) = x^2 + y^2，我们想要求这个数组在点(1, 2) 处的梯度。
梯度是一个向量，它的每一个分量分别代表了函数在对应坐标轴上的变化率。
对于f(x, y)，其梯度记为∇f = [∂f/∂x, ∂f/∂y]，其中∂f/∂x 表示对x 求偏导数，∂f/∂y 表示对y 求偏导数。
那么我们可以计算出∇f(1, 2) = [2, 4]，这表示函数在点(1, 2) 处的梯度是[2, 4]。
在实际应用中，多维数组求导有着广泛的应用。
比如在机器学习中，我们需要对损失函数进行求导来更新模型参数；在物理学中，我们需要对场函数进行求导来得到力的方向。
了解多维数组求导的概念和方法是非常重要的。
除了基本的梯度和雅可比矩阵，我们还可以对高阶导数进行求导。
二阶导数就是对一阶导数再次求导，它可以帮助我们更好地理解函数的曲率和凹凸性。
对于多维数组来说，二阶导数通常表示为黑塞矩阵，它可以帮助我们找到函数的极小值和极大值点。
第二篇示例：多维数组是在编程中常见的数据结构，它可以存储多个维度的数据，如二维数组、三维数组等。
在数据处理和科学计算领域，多维数组也扮演着重要的角色。
在数学中，对多维数组进行求导是一项常见的操作，它可以帮助我们计算复杂函数的导数并解决一些实际问题。
行列式的乘法运算法则
行列式的乘法运算法则行列式的乘法运算法则是一种行列式的运算法则，它可以帮助我们快速、正确地计算两个行列式的乘积。
它建立在行列式乘法的理论基础之上，可以让我们准确而又有效地进行计算。
行列式乘法运算法则是一种数学工具，它可以用来计算多维数组的乘积。
它利用行列式乘法把这些多维数组运算为一个结果，可以大大提高我们的计算效率。
行列式乘法运算法则是一种常用的数学工具，它用于进行线性代数操作，它的特点是可以快速准确地计算，它的基本原理就是将多维数组运算抽象化，以使得可以利用行列式乘法快速准确地计算出多维数组乘积。
行列式乘法运算法则也可以用于复杂的数学运算，比如求解线性方程组、牛顿迭代法、共轭梯度法等数学方法。
二、行列式乘法运算法则的基本原理行列式乘法运算法则建立在行列式乘法的基础上，它把运算视为以行列式的乘积，即像矩阵的乘积一样的形式来表达，我们可以利用这种表达方式快速、准确地计算行列式的乘积。
行列式乘法运算法则的基本原理可以分为三个步骤：首先，我们需要确定操作的行列式的大小；其次，我们要根据运算列数来确定行列式之间的乘积公式；最后，我们根据确定的公式来计算行列式。
行列式乘法运算法则的基本原理可以分为四种情况：a.果我们要计算一个m×n行列式A，一个n×p行列式B的乘积，那么最终得到的乘积矩阵就是一个m×p行列式。
b.果我们要计算一个m×n行列式A，一个n×p矩阵B的乘积，那么最终得到的乘积矩阵就是一个m×p行列式。
c.果我们要计算一个m×n行列式A，一个p×q矩阵B的乘积，那么最终得到的乘积矩阵就是一个m×q行列式。
d.果我们要计算一个m×n行列式A，一个q×r矩阵B的乘积，那么最终得到的乘积矩阵就是一个m×r行列式。
三、行列式乘法运算法则的应用行列式乘法运算法则的工作原理是将多维数组乘积抽象为行列式的乘积，因此它能够用于计算数组的乘积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
认识一维数组和二维数组。
理清概念很重要，不要混淆数组、数组公式。
第一，一维数组和二维数组的定义
单行或单列的数组，我们称为一维数组。
多行多列（含2行2列）的数组是二维数组。
第二，数组和数组公式的区别
数组，就是元素的集合，按行、列进行排列。
数组公式：就是包含有数组运算的公式。
ctrl+shift+enter，三键结束，这个过程就是告诉excel请与数组运算的方式来处理本公式，反馈一个信息，就是在公式的外面添加一对花括号。
第三，一维数组和二维数组的运算规律
1、单值x与数组arry运算
执行x与arry中每一个元素分别运算并返回结果，也就是与arry本身行列、尺寸一样的结果。
比如：2*{1,2;3,4;5,6}，执行2*1、2*2、2*3……2*6运算，并返回3行2列的二维数组结果{2,4;6,8;10,12}，如下图所示：
数组中行和列分别用逗号、分号来间隔。
逗号表示行，行之间的关系比较紧密，用逗号分割；列之间，关系相对比较疏远一点，用分号分割。
又比如："A"&{"B","C"}返回{"AB","AC"}。
"A"={"B","A","C"}返回{FALSE,TRUE,FALSE}
2、同向一维数组运算
执行arry1与arry2对应位置的元素分别运算并返回结果。
要求arry1与arry2尺寸必须相同，否则多余部分返回#N/A错误。
比如： {1;2;3}*{4;5;6}返回{4;10;18}； {1,2,3,4}*{4,5,6}返回{4,10,18,#N/A}，如下图所示：
3、异向一维数组运算
arry1的每一元素与arry2的每一元素分别运算并返回结果，得到两个数组的行数*列数个元素，也就是M行数组与N列数组运算结果为M*N的矩阵数组。
比如：{1;2;3}*{4,5,6,7,8}，执行1*4、1*5、……1*8、2*4、2*5……3*8，返回{4,5,6,7,8;8,10,12,14,16;12,15,18,21,24}
4、一维数组与二维数组运算
二维数组其中一个方向与一维数组同向同尺寸，比如M*N的二维数组与M行或者N列的数组运算，在同向的运算类似同向一维数组之间的位置对应，在异向的运算则类似单值与数组之间的一一运算。
超出尺寸范围都返回错误值。
例：{1,2,3,4}*{1,2,3,4,5;6,7,8,9,10}即4列一维数组与2行5列二维数组运算，列方向上两个数组运算按位置一一对应的，不足部分用#N/A补齐，行方向上则是一对多的运算。
即：1*1,2*2,3*3，4*4，#N/A *5；1*6,2*7,3*8,4*9，#N/A *10；返回{1,4,9,16,#N/A;6,14,24,36,#N/A}。
5、二维数组之间运算
要求尺寸相同，并执行相同位置元素一一对应的运算，超出尺寸部分返回错误。
例：{1,2;3,4}*{1,2,3;4,5,6;7,8,9}执行1*1，2*2，3*4，4*5，其余部分用#N/A补齐，返回={1,4,#N/A;12,20,#N/A;#N/A,#N/A,#N/A}
以上几个图示，希望对新手认识和理清一维数组和二维数组有所帮助。
数组的运算法则
有excel表如下：
姓名成绩/王娟优/永生中/闵生刚优/朱智锐中/胡强强良/金龙鳞优/张正梅中/汪欲生良/闵生刚中/王娟优/张正梅优/闵生刚中/永生良/王娟良/其中姓名在sheet1页的a列，成绩在c列。
我想在sheet2页中建立一个表如下：
姓名统计优数/胡强强/金龙鳞/闵生刚/汪欲生/王娟/永生/张正梅/朱智锐/同样姓名在sheet1的a列，统计在c列，这里的姓名已经整理为没有重复的姓名。
要统计出每人获得优的数目。
请问用什么函数能解决。
我用了if((sheet1!c2)="优",countif(sheet1!a:a,a2)),结果是统计的姓名数，而不是成绩数。
如果能统计出来，哪么就是一个动态的当sheet1中数据变化时，sheet2中数据应到跟着变化。
有位朋友指导采用下面的式子把上面的问题解决了。
这里假设最大记录数为100
=sum((sheet1!$a$2:$a$101=$a2)*(sheet1!$c$2:$c$101="优")*1) ，按Ctrl+Shift+Enter ，但是这是用到了数组运算，请问数组运算的规则是什么，看到许多地方都可以用数组解决，但不知其所以然。
帮助文件中也没说运算规则。
如上式中为什么用*号？谢谢
解答：对于数组公式的含义
sum((sheet1!$a$2:$a$101=$a2)*(sheet1!$c$2:$c$101="优")*1)
我们来一部分，一部分的讲：
1、(sheet1!$a$2:$a$101=$a2)
表示用sheet1!$a$2:$a$101 区域中的每一个单元格中的内容与$a2 单元格的内容进行比较，如果相同结果为“True”，否则为“False”。
2、(sheet1!$c$2:$c$101="优")
表示用sheet1!$c$2:$c$101 区域中的每一个单元格中的内容与字符串"优"进行比较，如果相同结果为“True”，否则为“False”。
3、最后一部分乘以1。
是强制Excel将“True”或“False”转换为数值“1”或“0”，以便sum函数可以求和。
4、至于第一部分和第二部分之间的乘号（*)的目的是，如果第一部分或者第二部分有一个的结果是“False”，那么Excel将其转换为数值“0”，相乘结果为零，表示不在求和范围内。