Cayley定理的证明方法

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Cayley图的同构分解及弱DCI-子集的充要条件

第18卷第2期数学研究与评论V o l.18N o.2 1998年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON M ay1998Cayley图的同构分解及弱DC I-子集的充要条件Ξ黄　琼　湘(新疆大学数学系,乌鲁木齐830046)摘　要　本文得到了Cayley图的同构分解定理及弱DC I2子集的充要条件.证明了二面体群是弱22DC I2群,同时确定了二面体群上2度Cayley图的自同构群.关键词　Cayley图,同构,DC I2子集.分类号　AM S(1991)05C25 CCL O157.51　引　言设(G,1)是一个有限群,称G的子集S是一个Cayley子集如果1|S.对每一个Cayley子集定义Cayley图如下:C(G,S)=(V,E),其中V=G,E={(u,v) u-1v∈S,u,v∈G}.显然,C(G,S)是一个有向图,如果S=S-1,则它可视为无向图,当无需区分它们时统称其为Cayley图.设A u t G为G的自同构群,C(G,S)和C(G,T)为Cayley图.如果存在Σ∈A u t G使Σ(S)= T,则显然有C(G,S) C(G,T).反之,如果对任何与C(G,S)同构的C(G,T)都存在Σ∈A u t G 使Σ(S)=T,则称S为G的DC I2子集.一个DC I2子集S被称作是弱DC I2子集,如果S生成G.显然,当S是DC I2子集时C(G,S)的同构类被A u t G完全确定了.Cayley图的同构问题是这方面研究的一个基本问题[1],DC I2子集的概念就是为此而引进的[2].如果G中基数不超过m的Cayley子集都是DC I2子集,则G被称作m2DC I群,类似地有弱m2DC I群的概念.[3]证明了循环群是22DC I群及m2C I群(m=4,5).[4],[5]证明了A bel 群是弱22DC I群,还刻画了m2C I A bel群(m=4,5).但是,非可换的m2DC I群方面的结果还没有见到.本文首先给出一个Cayley图的同构分解定理及一个Cayley子集是弱DC I2子集的充要条件.作为应用证明了二面体群是弱22DC I群,此外,还举例说明二面体群不是22DC I群.Ξ1995年1月8日收到.1997年10月23日收到修改稿.2　主要结果设L(G)={Ρg:a→g a(Πa∈G) g∈G},则L(G)是C(G,S)的自同构群A u t C(G,S)的子群,它作用到C(G,S)上是点传递的.设C(G,S) C(G,T),则显然存在从C(G,S)到C(G,T)的同构映射Σ使Σ(1)=1,所有这样的Σ构成集合8(S→T).当T=S时,8(S→T)记作8(S),此时有8(S)≤A u t C(G,S).下面的定理称作Cayley图的同构分解定理,它将同构的Cayley 图分解为一些同构的子图.定理1　设C(G,S) C(G,T),S=S1∪S2∪…∪S k是S的一个子集分划,且对任何Σ∈8(S)有Σ(S i)=S i(i=1,2,…,k),则T也有子集分划T=T1∪T2∪…∪T k,且对任何Σ∈8(S→T)有Σ∈8(S i→T i),从而C(G,S i) C(G,T i),i=1,2,…,k.证明　取定Σ0∈8(S→T).显然,Σ0导致一个从S到T的121映射.令T i=Σ0(S i),i= 1,2,…,k.则T=T1∪T2∪…∪T k是T的一个子集分划.任取Σ∈8(S→T),显然,Π=Σ-10Σ∈8(S).于是依假设有Π(S i)=S i,i=1,2,…,k.从而Σ(S i)=T i(1) 设(u,v)是C(G,S)的任一条弧且满足u-1v∈S i(1≤i≤k),则(u,v)也可视为C(G,S i)的一条弧.取g∈G及Ρg∈L(G).易见,ΡΣ(g)-1ΣΡg∈8(S→T)(这里Σ(g)-1是Σ(g)在G中之逆元).于是,根据(1)式得到ΡΣ(g)-1ΣΡg(u-1v)∈T i.这样便存在t i∈T i使ΡΣ(g)-1ΣΡg(u-1v)=t i,由此得到Σ(g u-1v)=Σ(g)t i.再取g=u,则有Σ(v)=Σ(u)t i.这说明(Σ(u),Σ(v))是C(G,T i)的一条弧.反之,设(Σ(u),Σ(v))是C(G,T i)的一条弧,则Σ(u)-1Σ(v)∈T i.由于Σ(u)-1Σ(v)=ΡΣ(u)-1Σ(v)=ΡΣ(u)-1ΣΡu(u-1v),又因为ΡΣ(u)-1ΣΡu∈8(S→T),再根据(1)式有u-1v∈S i.综合以上讨论可知Σ∈8(S i→T i),从而,C(G,S i) C(G,T i),i=1,2,…,k.A u t C(G,S)的子群8(S)作用到S上分为若干个轨道的并,设S i(i=1,2,…,k)是所有这样的轨道,则S=S1∪S2∪…∪S k(2)是S的一个子集分划,并且对任何Σ∈8(S)有Σ(S i)=S i,i=1,2,…,k.(2)被称作是C(G,S)的8(S)的轨道分划.假如C(G,S) C(G,T),则据定理1有C(G,T)的一个8(T)轨道分划T =T1∪T2∪…∪T k使得对任何Σ∈8(S→T)有Σ∈8(S i→T i)(T i=Σ(S i)),i=1,2,…,k.这样,C(G,S)和C(G,T)的同构便分解为子图C(G,S i)和C(G,T i)的同构.注意到C(G,S i)是弧传递的Cayley图,这意味着在Cayley图的同构研究中C(G,S i)的同构将起重要的作用.下面给出一个群的弱DC I2子集的充要条件.定理2　设G=〈S〉,则S是DC I2子集的充要条件是对任何与C(G,S)同构的C(G,T),存在一个Σ∈8(S→T)使ΣΡaΣ-1∈L(G),这里a∈S及Ρa∈L(G).证明　先证明充分性.依假设存在g∈G使ΣΡaΣ-1=Ρg,此即ΣΡa=ΡgΣ.从而,对任何u∈G 有ΣΡa(u)=ΡgΣ(u)]Σ(au)=gΣ(u).取u =1,根据Σ的假设得到g =Σ(a ).于是推出Σ(au )=Σ(a )Σ(u ).由于a 和u 都可以是S 中的任何元素,再考虑到S 生成G ,利用归纳法不难证明下面的Σ(∏i s i )=∏i Σ(s i),s i ∈S .这说明Σ∈A u t G .另外,显然有Σ(S )=T ,按定义知S 是DC I 2子集.反之,假设S 是DC I 2子集,则存在Σ∈8(S →T )使Σ∈A u t G ,自然有ΣΡa Σ-1=ΡΣ(a ),所以ΣΡa Σ-1∈L (G ).[2]曾得到一个DC I 2子集的充要条件,由于弱DC I 2子集具有限制G =〈S 〉,故定理2与B abai 的条件不同.下面利用定理1和定理2讨论二面体群上的2度Cayley 图的同构问题.定理3　二面体群D n (n ≥3)的二元生成子集是弱DC I 2子集,从而D n 是弱22DC I 群.证明　设D n ={1,a ,a 2,…,a n -1,b ,ba ,…,ba n -1},这里a n =1,ba =a -1b .设S 是D n 的二元生成子集,则S 或者含有一个2阶元和一个n 阶元,或者含有两个2阶元,以下区别这两种情形.情形1　不妨设S ={a ,b },o (a )=n ,o (b )=2.设C (D n ,S ) C (D n ,T ),这里T ={t 1,t 2}.不难看出对任何Σ∈8(S →T ),Σ(a )和Σ(b )总是不变的,于是可设Σ(a )=t 1和Σ(b )=t 2.根据定理1有C (D n ,{a }) C (D n ,{t 1})和C (D n ,{b }) C (D n ,{t 2}).这说明o (t 1)=n 而o (t 2)=2.于是D n 又可表为D n ={1,t 1,t 21,…,t n -11,t 2,t 2t 1,…,t 2t n -11}.对任何u ∈D n ,令Α(u )=t i 1,如果u =a i ,t 2t i 1,如果u =ba i (0≤i ≤n -1).显然Α∈A u t D n 且Α(S )=T .所以,S 是DC I 2子集.情形2　设S ={c ,d },这里o (c )=o (d )=2;设C (D n ,S ) C (D n ,T ),这里T ={c ′,d ′}.此时,C (D n ,S )是2n 长的圈(…(d c )2,(d c )d ,d c ,d ,1,c ,cd ,(cd )c ,(cd )2,…),故C (D n ,T )也是这样的圈(…(d ′c ′)2,(d ′c ′)d ′,d ′c ′,d ′,1,c ′,c ′d ′,(c ′d ′)c ′,(c ′d ′)2,…).取Σ∈8(S →T )及Ρ∈L (D n ),则ΣΡc Σ-1∈A u t C (D n ,T ),有ΣΡc Σ-1:Σ(x )→Σ(cx ),Πx ∈D n .不难验证ΣΡc Σ-1∈L (G ).类似可验证ΣΡd Σ-1∈L (G ).故据定理2,S 是DC I 2子集.由于C (G ,S )是点传递图,熟知[6]A u t C (G ,S )=L (G )8(S ).在定理3的证明中当把C (D n ,T )视为C (D n ,S )时,便得到下面的结论.定理4　设S 是D n 的二元生成集,则A u t C (D n ,S ) L (D n ),如果S 只含一个2阶元,L (D n ){I ,Ρ},如果S 含两个2阶元.这里Ρ是正n 边形的一个对称变换.已知A bel 群是弱22DC I 群,但不是22DC I 群[4].最后举例说明二面体群也不是22DC I 群.例1　设D8={1,a,a2,…,a7,b,ba,…,ba7}(a8=1,b2=1).取S={a,a7},T={ba2,b}.不难看出C(D8,S)和C(D8,T)都是两个8长圈的并,故C(D8,S) C(D8,T).但是,S生成8阶循环群,而T生成二面体群D4.故不存在Σ∈A u t D8使Σ(S)=T.这说明D8不是22DC I群.参　考　文　献[1]　P.P.Pály,Iso m orp h is m p roble m f or rela tiona l structu res w ith cy clic au to m orp h is m,Eu rop.J.Com b inato rics,8(1987),35-43.[2]　L.Babai,Iso m orp h is m p roble m f or a class of p oin t2symm etric structu re,A cta.M ath.A cad.Sci.H ungar,29(1977),329-333.[3]　孙　良,无向循环图的同构,数学年刊,9A:5(1988),567-574.[4]　方新贵,有限交换22DC I群的刻画,数学杂志,8(1988),315—317.[5]　Fang X ingu i and Xu M ingyao,O n the iso m orp h is m s of cay ley g rap hs of s m a ll va lency,A lgeb raCo lloq.,1:1(1994),67-76.[6]　N.L.B iggs,A lg ebra ic g rap h theory,Com b ridge P ress,1974.Isom orph is m D ecom position of Cayley Graph and Necessary and Suff ic ien t Cond ition of W eak DC I-SubsetH uang Q iong x iang(D ep t.of M ath.,X injiang U niv.,U rum qi)AbstractIn th is p ap er,w e p rove a theo rem of isom o rp h is m decom po siti on of cayley grap h and give a necessary and sufficien t conditi on of the w eak DC I2sub set.A s an app licati on,w e p rove that dihedral group is a w eak22DC I group and determ ine the au tom o rp h is m group of cayley grap h of degree2on dihedral group.Keywords　Cayley grap h,isom o rp h is m,DC I2sub set.。

凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理

第二章线性控制系统的运动分析2-1 线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A 为n ×n 常系数矩阵，其解为：写成矩阵形式：式中b 0、b 1、b 2、…b k 均为n 维列向量，则由待定系数法，得：考虑到初始条件：)0()(0X t X AX Xt === ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k nk n n n kk k k n t b t b t b b t b t b t b b t b t b t b b t x t x t x t X 2210222221201212111021)()()()(+++++=k k t b t b t b b t X 2210)(+++==++++=-k k k k t Ab t Ab Ab AXt kb t b b X 1012120102301201!11!3131!2121Ab k Ab k b Ab Ab b Ab Ab b Ab b k k =======- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)0()0()0()0()0()(2100n t x x x X b X t X最后得：定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为：若初始条件为：可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即：两边拉氏变换：可见状态转移矩阵：证明：由于：)0()!1!21()(22X t A k t A At I t X k k +++++= +++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ)0()0()()(X e X t t X At ==φ)()(00t X t X t t ==+-++-+-+=k k t t b t t b t t b b t X )()()()(0202010)()()()(0)(000t X e t X t t t X t t A -=-=φ)0()(0X t X AX X t === )0(])[()()0()()()()0()(111X A sI L t X X A sI s X s AX X s sX ----=-==-])[()(11---==A sI L e t At φ例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。

cayley-hamilton定理的新证明

cayley-hamilton定理的新证明Cayley-Hamilton定理是比较重要的定理之一，它宣称：让A是一个n阶复数矩阵，A的特征多项式f(x)即秩为n的多项式，如果phi(t)是A 的n次冪根，之间乘积，有如下关系：f(A) = 0其中，f(A)表示以A为变量的f(x)，即可以用A代替X来代表f(A)。

下文将从几何角度出发，详细证明Cayley-Hamilton定理。

首先，考虑一个n维复数向量空间V，定义上有n个元素，我们把它表示为{e1,e2,…,en}，满足ei·ej=δij(i,j=1,2,…,n)。

在V中，公理定义了一种线性变换A，它对每一个AI=0的复数向量a=(a1,a2,…,an)有Aa=0，其中的A=(A1,A2,…,An）满足Ai·Aj=δij (i,j=1,2,…,n)。

这样一来，A就可以表示为：A=A1e1+A2e2+…+Ane接下来，我们定义A在V上的K次幂，令Ak=A0+λ1A1+λ2A2+⋯+λnAn (k=1,2,…,n)，存在某种常数系数a0,a1,…,an，这样(λ1,λ2,…,λn)才能满足Ak=O。

例如，当n=3时，有A3=a0A0+a1A1+a2A2+a3A3满足上式的系数a0,a1,a2,a3必须满足以下方程：A1A2A3=O (1)A2A3A1=O (2)A3A1A2=O (3)相当于要求有A3的特征多项式的系数a0,a1,a2,a3必须满足A1A2A3=0，A3的特征多项式便是A3=a0A0+a1A1+a2A2+a3A3，而这正是Cayley-Hamilton定理所宣称的那样。

最后，我们针对A进行变换，将其写成分解式：A=A1e1+A2e2+⋯+Ane，使用定理，有f(A)=A3-A2A+A1A2-A0A3=O (m=1,2,3)，再次进行变换，可得f(A)=O，从而证明了Cayley-Hamilton定理。

总而言之，Cayley-Hamilton定理可以用几何角度证明：n维复数向量空间V定义上有n个元素，对每一个AI=0的复数向量a=（a1,a2,…,an），有Aa=O，其中A所代表的线性变换可以用A=A1e1+A2e2+⋯+AneAneAne的形式表达，其各次方必须满足A3的特征多项式的系数，最后得出f(A)=O，从而证明了Cayley-Hamilton定理。

Cayley定理的证明方法

Cayley 定理的证明方法摘要：本文对Cayley 定理：n K 的生成树共有2n n -棵，即2()n n K n τ-=。

的几种证明方法简单归纳。

关键词：Cayley 公式标号树枝生成树第一种证明方法通过确定标号树枝的个数来求生成树的个数，设生成树的数目为x 个，因为每个生成树的每一个点都能作为一个根，所以标号树枝的个数为nx 个，现在就是确定标号树枝的个数1n n -，这样一来就能确定2n x n -=。

下面我们就来证明标号树枝的个数为1n n -。

通过一步一步建立标号树枝，先拿出n 个点的无边土，此时这个图有n 个树枝森林，，现在往上加边，加第一条边后，树枝森林数减少一个，，当树枝数目为k 时，加下一条边新边(,)u v 的选择为(1)n k -，任意一个点都能当作u ，而v 必须连接不含u 的树枝的根，用这种方法构造标号树枝的数目应该为111()(1)!n n i n n i nn --=-=-∏，因为每个标号树枝含有1n -条边，有(1)!n -种顺序，也就是说每个标号树枝被构造了(1)!n -次，所以标号树枝的个数为1n n -。

证毕。

第二种证明方法设2n ≥，12,,,nd d d 是正整数，并且1222n d d d n +++=-，则在顶点集{1,2,,}n 上具有顶点度序列为12,,,n d d d 的树的个数是多项式展开如下：1121111,,,11(1)(1)2211n n n d d n d d d n d d n n a a d d --≥-++-=--⎛⎫=⎪--⎝⎭∑特别地，令每一个1i a =，得到为了计算顶点集{1,2,,}n 上的树的数目，必须将12,,,n d d d 是正整数并且其和等于2n -的具有顶点度序列12,,,n d d d 的所有树的数目全部加在一起. 从前面的事实有顶点集{1,2,,}n 上的树的数目121,,,122n n d d d d d n ≥++=-=∑(顶点集{1,2,,}n 上的具有给定的度序列12,,,n d d d 树的数目)于是Cayley 公式得到证明. 第三种证明方法构建概率模型在公理化体系,一般用三元总体(,,)F p Ω表示一概率空间，为了证明Cayley 定理,令Ω={n K 的生成树全体},k S ={顶点0v 的度为k 的生成树全体},k=1,2,…,n-1.显然i S ∩j S =Φ（i j ≠），且11n k k S -==Ω⋃；记()k k P P S =，令kk S P =Ω,k=1,2,… ,n-1.其中.表示集合中的元素个数.易知,上述定义下的(,,)F p Ω成为一概率空间.若Cayley 定理及Clarke 定理成立, 则在上面定义的概率空间(,,)F p Ω中, 分别成立下列等式:2n n-Ω=, ()1211n kk n S n k ---⎛⎫=- ⎪-⎝⎭, k=1,2, … n-1. 为求Ω，k S ，建立如下概率模型.假设n 阶完全图n K 的生成树按下述要求生成:向n 阶完全图n K 的n 个顶点里随机地投(n-1)个点,每次投且仅投一点,共投(n-1)次.点落在每个顶点里的可能性是相等的.每投一次(即一次试验),点就落在某一顶点中,从这里就会且只会长出一条新边,且与原来的边不重复;如果点落入其他顶点中,则长出的新边总是向没有点落进的顶点方向生长,且不成圈.按上述方法,投(n-1)个点(即做n-1次试验)后,一定可以得到一个n 阶完全图n K 的生成树.定理证明下面,将在以上建立的概率模型中,用古典模型的方法求Ω及k S 。

哈密尔顿–凯莱定理

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哈密尔顿 –凯莱定理
在线性代数中，哈密尔顿–凯莱定理（英语：Cayley–Hamilton theorem）表明每个布于任何上的实或复方阵都满足其特征方程。明确地说：设A为给定的n × n矩阵，并设In为n × n单位矩阵，则A的特征多项式定义为： f(λ) = det(λIn − A)，其中det为行列式函数。哈密尔顿-凯莱定理断言：f(A) = O 例如，
Processing math: 100%
考虑下述方阵：
[ ]1 2
A= 3 4
其特征多项式为ຫໍສະໝຸດ | | p(λ) =λ−1 −3
−2 λ−4
= (λ − 1)(λ − 4) − 2 ⋅ 3 = λ2 − 5λ − 2
此时，可以直接验证哈密尔顿-凯莱定理： A2 − 5A − 2I2 = O 可用来求Ak
其实，反过来，
设A为方阵，f(A) = 0 ⇒ f(λ) = 0.
例如， A2 − 5A − 2I2 = O ∵ Ax = λx ∵ A2x = Aλx = λAx = λ2x ∴ (A2 − 5A − 2I2)x = λ2x − 5λx − 2x = (λ2 − 5λ − 2)x ∵ (λ2 − 5λ − 2)x = 0, x ≠ 0 ∴ λ2 − 5λ − 2 = 0 可用来求特征值

柯西不等式的证明及应用

柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥()0f x ∴≥恒成立()()()2222211221212440nnn n nn a b a b a b a a a bb b ∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nnn n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b === 时等号成立证明2：数学归纳法（1）当1n =时左式=()211a b 右式=()211a b 显然左式=右式当2n =时，右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立故1,2n =时不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()2222211221212kkk k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立设22212k a a a A ==== 22212k b b b B ====1122k k C a b a b a b =+++则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+()()22222222121121kk kka a a ab b bb ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立【应用】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1）证明相关命题例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

cayley 定理

cayley 定理Cayley定理是一个非常重要的数学定理，它在群论中有着重要的地位和应用。

本文将介绍Cayley定理的概念、内容和证明，并进一步探讨该定理的意义和应用。

我们来了解一下Cayley定理的概念。

Cayley定理是由英国数学家Cayley于1854年提出的，它表明每一个有限群都可以看作是一个置换群。

换句话说，对于任意一个有限群G，都可以找到一个与之同构的置换群。

这个定理的重要性在于它将群的研究问题转化为置换群的研究问题，从而简化了群论的分析和证明过程。

接下来，我们来了解一下Cayley定理的内容和证明。

Cayley定理的内容可以简述为：任意一个有限群G都可以嵌入到一个对称群中。

换句话说，任意一个有限群都可以看作是一组置换的集合，其中每个置换都是对称群中的一个元素。

为了证明Cayley定理，我们需要构造一个映射，将群G的元素映射到对称群中的置换。

具体而言，对于群G中的任意一个元素g，我们可以定义一个置换σg，使得对于G中的任意两个元素g1和g2，有σg(g1g2)=σg(g1)σg(g2)。

换句话说，这个置换保持群G的乘法运算不变。

通过这样的映射，我们可以将群G中的元素映射到对称群中的置换。

而由于对称群是一个置换群，因此我们可以将群G看作是一个置换群，从而完成了Cayley定理的证明。

Cayley定理的意义和应用非常广泛。

首先，它为群论的研究提供了一个有力的工具和方法。

通过将群G嵌入到对称群中，我们可以借助对称群的性质和结构来研究群G的性质和结构。

这为群论的发展和应用提供了很大的便利。

Cayley定理还在其他数学领域中有着重要的应用。

例如，在图论中，我们可以将图的自同构问题转化为对称群的置换问题，从而通过Cayley定理来解决图的自同构问题。

此外，在密码学和编码理论中，Cayley定理也有着重要的应用。

通过将密码系统或编码系统中的操作表示为置换群的操作，我们可以借助Cayley定理来研究和分析密码系统或编码系统的性质和安全性。

卡莱—哈密顿定理

卡莱—哈密顿定理
卡莱—哈密顿定理（Cayley-Hamilton Theorem）是一个数学定理，它表明在一个方阵中，该矩阵的零化多项式（或特征多项式）可以表示为矩阵的幂的线性组合。

换句话说，该定理可以写作：Ch(A)=det(A)=a1*A^n+a2*A^(n-1)+a3*A^(n-2)+...+an
其中Ch(A)是矩阵A的零化多项式，a1,a2,...,an是由矩阵A决定的系数。

这个定理最早是由英国数学家康拉德·卡莱哈密顿在1835年提出的。

在图论中，卡莱哈密顿定理可以用来解决一些极端问题，例如在一个飞线图上最多可以经过节点的次数不超过它的节点数的两倍减一。

在计算机视觉和图像处理中，卡莱哈密顿定理也可以被用来解决图像建模问题。

hamilton cayley定理

hamilton cayley定理Cayley-Hamilton定理是线性代数中的一个的定理，它说的是：如果M是一个n×n的矩阵，In是n×n的单位矩阵，定义M的特征多项式为PM(x):=det(x⋅In−M)，那么PM(M)=0。

Cayley-Hamilton定理的证明定理（Cayley-Hamilton）设V是一个n维向量空间，T:V→V是V上的线性变换。

设PT(x)表示T的特征多项式PT(x)=det(1V⊗x−T⊗1k[x])那么PT(T)=0V∈L(V→V)证明：为了减轻记号，下面证明中M总是表示k[x] -模V⊗kk[x] , 而A总是表示M上的k[x] -线性变换1V⊗x−T⊗1k[x]。

第一步：分解PT(x)⋅1M考虑自由k[x] -模Λn−1(M)和M上的自然的k[x] -双线性映射⟨⋅,⋅⟨:Λk[x]n−1(M)×M→Λk[x]n(M),⟨m1∧⋯∧mn−1,mn⟨:=m1∧⋯∧mn根据定义，我们有PT(x)=det(A)，因此⟨Λn−1A(m1∧⋯∧mn−1),Amn⟨=PT(x)⋅m1∧⋯∧mn对于所以的m1,…mn∈M。

定义线性变换A:M→M的adjugate adg⟨(A):M→M为Λn−1A在这个双线性映射下的adjoint 。

于是我们有⟨m1∧⋯∧mn−1,(adg⟨(A)∘A)mn⟨=m1∧⋯∧PT(x)mn对于所有的m1,…,mn∈M。

但双线性映射⟨⋅,⋅⟨是非退化的，因此我们可以断定adg⟨(A)∘A=PT(x)⋅1M我们想证明还有A∘adg⟨(A)=PT(x)⋅1M。

为此，再次进行extension of scalars：将V张量积k[x]的分式域k(x)，我们得到在上adj⟨(A)∘A=PT(x)⋅1V⊗kk(x) 在 V⊗kk(x) 上因为PT(x)是一个首一的多项式，所以它在k(x)中可逆。

于是A在V ⊗kk(x)上可逆并且在上adg⟨(A)=PT(x)⋅A−1 在 V⊗kk(x) 上特别地，adg⟨(A)和A在V⊗kk(x)上可交换，因此adg⟨(A)和A在V⊗kk[x]上也可交换。

cayley-hamilton定理求方阵100次方

cayley-hamilton 定理求方阵100次方 Cayley-Hamilton 定理表明，一个方阵 A 满足其特征多项式，即 p(λ)=det(A −λI)=0，其中 I 是单位矩阵。

这个多项式的根是A 的特征值。

Cayley-Hamilton 定理的表述如下：p(A)=0其中， p(A) 是用矩阵 A 替换多项式)p(λ) 中的 λ 得到的结果。

如果我们想计算100A ，我们可以使用 Cayley-Hamilton 定理进行简化。

由于 0p(A)=0，我们可以将100A 表示为100()()A p A q A =⋅，其中 q(A) 是一个与 A 无关的多项式。

下面是一个简单的示例 Python 代码，演示如何使用 Cayley-Hamilton 定理来计算100A ：import numpy as npfrom scipy.linalg import eig# 定义方阵 AA = np.array([[2, -1], [1, 1]])# 计算 A 的特征值和特征向量eigenvalues, eigenvectors = eig(A)# Cayley-Hamilton 定理中的单位矩阵I = np.eye(A.shape[0])# 计算 p(A) = det(A - λI)p_A = np.poly(A)# 计算 A^100 = p(A) * q(A)A_100 = np.polyval(p_A, A)print("A:\n", A)print("A^100:\n", A_100)请注意，这只是一个简单的示例。

在实际应用中，可能需要使用更专业的数值计算工具和技术，以确保计算的准确性和稳定性。

cayleyhamilton定理证明

cayleyhamilton定理证明Cayley-Hamilton定理证明Cayley-Hamilton定理是一个线性代数中的重要定理，它说明了一个n阶方阵A的特征多项式是其自身的多项式，其定义为：定义1：设A是n阶方阵，它的特征多项式定义为Φ ( X ) = ( X - λ 1 ) ( X - λ 2 ) … ( X - λ n )，其中λ 1 , λ 2 , … , λ n 是A的特征值。

这里的特征多项式Φ ( X ) 是A的多项式。

Cayley-Hamilton定理声明A的特征多项式Φ ( X ) 是A本身的多项式，记为A n + A n - 1 X + … + A 2 X n - 2 + A 1 X n - 1 + A 0 X n = 0证明：设A的特征多项式为Φ ( X ) = ( X - λ 1 ) ( X - λ 2 )… ( X - λ n )假设A的特征值为λ 1 , λ 2 , … , λ n ，则A = λ 1 · A + λ 2 · A + … + λ n · A因此A的n次多项式有：A n = λ 1 n A + λ 2 n A + … + λ n n AA n - 1 = λ 1 n - 1 A + λ 2 n - 1 A + … + λ n n - 1 A……A 1 = λ 1 A + λ 2 A + … + λ n AA 0 = λ 1 I + λ 2 I + … + λ n I其中 I 为n阶单位阵。

将上述结果代入A n + A n - 1 X + … + A 2 X n - 2 + A 1 X n - 1 + A 0 X n ，我们可以得到( λ 1 - X ) ( λ 2 - X ) … ( λ n - X ) = 0 此外，( λ 1 - X ) ( λ 2 - X ) … ( λ n - X ) = Φ ( X ) 所以有Φ ( X ) = 0，即A的特征多项式Φ ( X ) = A本身的多项式。

凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理

第二章线性控制系统的运动分析2-1 线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A 为n ×n 常系数矩阵，其解为：写成矩阵形式：式中b 0、b 1、b 2、…b k 均为n 维列向量，则由待定系数法，得：考虑到初始条件：最后得：)0()(0X t X AX Xt === ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k nk n n n kk k k n t b t b t b b t b t b t b b t b t b t b b t x t x t x t X 2210222221201212111021)()()()(+++++=k k t b t b t b b t X 2210)(+++==++++=-k k k k t Ab t Ab Ab AX t kb t b b X 1012120102301201!11!3131!2121Ab k Ab kb Ab Ab b Ab Ab b Ab b k k =======-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)0()0()0()0()0()(2100n t x x x X b X t X现代控制理论基础定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为：若初始条件为：可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即：两边拉氏变换：可见状态转移矩阵：)0()!1!21()(22X t A k t A At I t X k k +++++= +++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ)0()0()()(X e X t t X At ==φ)()(00t X t X t t ==+-++-+-+=k k t t b t t b t t b b t X )()()()(0202010)()()()(0)(000t X e t X t t t X t t A -=-=φ)0()(0X t X AX Xt === )0(])[()()0()()()()0()(111X A sI L t X X A sI s X s AX X s sX ----=-==-])[()(11---==A sI L e t At φ证明：由于：例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。

凯莱汉密尔顿定理

凯莱汉密尔顿定理
凯莱汉密尔顿定理（Cayley-Hamilton Theorem或Cayley-Hamilton Theorem，又译作：凯莱-哈密尔顿定理、哈密尔顿-凯利定理、汉密尔顿-凯利定理）是经典力学中的一个基本定理，也是量子力学中的重要定理之一。

这个定理的现代形式如下：对于一个线性动力系统，其矩阵表示的线性变换在某一点的值，可以通过该点以及该系统的运动常数（即矩阵表示的行列式）和该系统的运动向量（即矩阵表示的特征向量）的线性组合来表示。

这个定理最早是由英国数学家阿瑟·凯莱和爱尔兰数学家威廉·罗维尔·哈密尔顿在19世纪分别独立发现。

因此，这个定理有时候也被称为凯莱-哈密尔顿定理或哈密尔顿-凯利定理。

凯莱公式的证明

凯莱公式的证明凯莱公式是关于平面区域边界曲线积分的一个重要公式，它在物理学和数学中有着广泛的应用。

该公式的表述是：对于一个简单的、逐段光滑的、正向定向的、分段光滑的曲线C，其围成的平面区域为D，则有$oint_{C} Pdx+Qdy=iint_{D}(frac{partial Q}{partialx}-frac{partial P}{partial y})dxdy$其中，P、Q为定义在D上的连续函数，且偏导数连续。

下面，我们来证明凯莱公式。

证明：我们可以将曲线C分成若干段，设第i段的起点为$P_{i-1}$，终点为$P_i$，则有$oint_{C}Pdx+Qdy=sumlimits_{i=1}^{n}int_{P_{i-1}}^{P_i}(Pdx+Qdy)$ 根据格林公式，我们可以将上面的积分转化为对D内部的二重积分，于是有$sumlimits_{i=1}^{n}int_{P_{i-1}}^{P_i}(Pdx+Qdy)=sumlimits_ {i=1}^{n}iint_{D_i}(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})dxdy$其中，$D_i$表示第i段所围成的区域。

将上式中的所有积分加起来，即得到$oint_{C}Pdx+Qdy=sumlimits_{i=1}^{n}iint_{D_i}(frac{partialQ}{partial x}-frac{partial P}{partial y})dxdy$现在，我们只需要证明这个等式的右边与D所围成的区域无关，即用D的任意两个不同的分割方式所得到的右边结果相同。

假设D有两个不同的分割方式：$D_1$和$D_2$。

对于$D_1$和$D_2$，我们可以将它们分别表示为若干个子区域的并集，即$D_1=bigcuplimits_{i=1}^{m}D_{1i},D_2=bigcuplimits_{j=1}^{n}D_{2j}$我们将$D_1$和$D_2$的子区域按照包含关系进行配对，即找出一个$D_{1i}$和一个$D_{2j}$，使得$D_{1i}$包含在$D_{2j}$中。

克拉索夫斯基定理

克拉索夫斯基定理1瑞拉克拉索夫斯基定理瑞拉克拉索夫斯基定理（拉丁语：Kruskal-Cayley梳理），又称基尔索夫斯基−卡利定理，是20世纪初数学家士萨曼德拉尔·基尔索夫斯基和罗伯特·卡利二人共同提出的定理，指出任意着有向图（directed graph），从其所有边中挑选生成完全图，所所用的边正好等于其所有边中权重最大的最少边。

瑞拉克拉索夫斯基定理是研究了图论最基本定理之一，该定理有助于研究有限集合的子集和非空函数的最小化。

这个定理也说明了不同种类的子集与函数的最少计算路径。

2证明瑞拉克拉索夫斯基定理根据瑞拉克拉索夫斯基定理，有向图中权重最大的最少边可以构造出完全图。

我们来看看这个定理的证明。

首先，我们假设有向图的所有边的总个数为n，最少边个数为f，则有：f≤n成立。

那么f 到达最大值n的情况可以得到最优解。

从而最少边将对应有限范围内最大权重，可以构成完整图。

有向图中，每一条边都有一定的权重，最大边权重最大，且可以用最少的边将每一条边连接起来，形成完整性，也就是瑞拉克拉索夫斯基定理，即最少的边就可以构成完整图。

3应用瑞拉克拉索夫斯基定理可以用于棒球比赛的胜负预测、排列的组合物迷宫路径的最短搜索等多项问题中。

例如：某棒球比赛有六支球队参加，它们之间各有4场比赛，你可以把它们看做构建一个有6个顶点的图，各队之间有4条边，即可得出通过最少的边可以选出比赛的赢家。

另外，还可以用于寻找最短路径的搜索，比如在迷宫中寻找最短路径。

可以把迷宫中的每一条路都看做有限图的顶点，而路的连接边则看作有权重的路，最后得出可以到达的最短路线。

4结论瑞拉克拉索夫斯基定理即最少边会得最优解，是用来求解有限集合子集和非空函数等最小化问题的一种重要定理。

它已经应用于各种实际问题当中，比如棒球比赛的胜负预测、排列的组合物迷宫路径的最短搜索等多项问题。

cayley定理

例](Cayley定理)n个有标号的顶点的树的数目等于n n+2.生长点不是叶子,每个生长点是[1,n]中的任一元.有n种选择。

两个顶点的树是唯一的。

[例]给定一棵有标号的树,边上的标号表示摘去叶的顺序。

(摘去一个叶子相应去掉一条边)逐个摘去标号最小的叶子，叶子的相邻顶点(不是叶子,是内点)形成一个序列，序列的长度为n-2,第一次摘掉②，③为②相邻的顶点，得到序列的第一个数3,以此类推，得到序列31551,长度为7－2=5,这是由树形成序列的过程。

由序列形成树的过程：由序列31551得到一个新序列111233455567,生成的过程是首先将31551排序得到11355，因为序列31551的长度为5，得到按升序排序的序列1234567，序列的长度为5+2(即n+2)，然后将11355按照大小插入到序列1234567中，得到111233455567,然后将两个序列排在一起上述算法描述：给定序列b=(b1b2…bn-2),设a=(123…n-1 n),将b的各位插入a,得a',对做操作。

a'是2n-2个元的可重非减序列。

操作是从a'中去掉最小无重元，设为a1,再从b和a'中各去掉一个b中的第一个元素，设为b1，则无序对(a1,b1)是一条边。

重复这一操作，得 n-2条边，最后a'中还剩一条边，共n-1条边，正好构成一个树。

b中每去掉一个元，a'中去掉2个元。

由算法知由树T得b=(b1b2…bn-2)，反之，由b可得T。

即f:T→b 是一一对应。

由序列确定的长边过程是不会形成回路的。

因任意长出的边(u,v)若属于某回路，此回路中必有一条最早生成的边，不妨就设为(u,v),必须使u,v都在长出的边中重复出现，但照算法u,v之一从下行消失，不妨设为u，从而不可能再生成与u有关的边了，故由得到的边必构成一个n个顶点的树。

[证]由一棵n个顶点的树可得到一个长度为n－2的序列，且不同的树对应的序列不同*，因此|T|≤n n-2。

轮换分解定理

轮换分解定理轮换分解定理是代数学中的一个重要定理，它在多项式的因式分解问题中扮演着重要角色。

轮换分解定理可以帮助我们将一个多项式分解为多个轮换对称的因式。

在本文中，我将详细介绍轮换分解定理的定义、证明以及应用。

首先，让我们来了解一下轮换对称的概念。

如果一个多项式P(x1, x2,..., xn)对于变量的任意轮换操作（即将变量的位置互换）都保持不变，那么我们称P为轮换对称的多项式。

例如，多项式P(x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3 + x3x1 就是一个轮换对称的多项式，因为任意对x1、x2、x3的轮换操作都不会改变它的形式。

轮换分解定理的核心思想是将一个轮换对称的多项式P(x1,x2, ..., xn)分解为若干个轮换对称的因式的乘积。

具体地说，对于一个n次的轮换对称多项式P(x1, x2, ..., xn)，轮换分解定理可以表述为：P(x1, x2, ..., xn) = c(x1 + x2 + ... + xn) + f(x1, x2, ..., xn)其中，c是常数，f(x1, x2, ..., xn)是一个轮换对称的n次齐次多项式。

接下来，我们将证明轮换分解定理的正确性。

为了证明，我们引入一个辅助函数A(x1, x2, ..., xn)，它定义为：A(x1, x2, ..., xn) = P(x1, x2, ..., xn) - [c(x1 + x2 + ... + xn) + f(x1,x2, ..., xn)]我们可以观察到，当变量中至少有两个变量相等时，A(x1,x2, ..., xn)为零。

这是因为轮换对称性质保证了多项式在变量轮换时保持不变。

因此，对于A(x1, x2, ..., xn)来说，如果至少有两个变量相等，那么它的值为零。

接下来，我们来考虑剩下的情况，即当变量中不存在两个相等的情况时。

这意味着变量x1, x2, ..., xn之间互不相等。

将A(x1, x2, ..., xn)展开，并将其转化为一个仅包含变量x1的多项式。

叙述hamilton cayley定理

叙述hamilton cayley定理Hamilton-Cayley定理是数论中一个非常重要的定理，它是由英国数学家威廉汉密尔顿（Sir William Hamilton）和英国数学家阿尔弗雷德凯利（Alfred Cayley）共同提出的。

它定义了一个数学结构，可以将一个给定的整数平方表示为一个简单的函数形式。

Hamilton-Cayley定理描述：给定任意一个固定的整数n，存在多个不同的方程，其中每一个方程的未知数均为n个，并且这些方程的右边的分子式为n个整数的平方和。

举个例子，如果n=3，那么根据Hamilton-Cayley定理，可以给出如下方程：x^2 + y^2 + z^2 = 9而如果n=4，那么根据Hamilton-Cayley定理，可以给出如下方程：x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 16这个定义显示出，当n增大时，这个方程也会发生变化，其右边的分子式会增大。

Hamilton-Cayley定理在数论和代数中被广泛应用，它可以帮助我们解决一些关于整数平方和、高次数方程、离散数学和抽象代数学等问题。

例如，这个定理可以用来解决Diophantine方程。

Diophantine 方程是一种整数方程，它的解必须都是整数。

如果通过利用Hamilton-Cayley定理将Diophantine方程转换为一个包含多个整数平方和的方程，那么可以得到一个整数解。

另外，Hamilton-Cayley定理也可以用来解决高次方程，比如多项式方程在n阶时将会变成一个n个未知数平方和的方程，可以通过利用Hamilton-Cayley定理来得到它的整数解。

此外，Hamilton-Cayley定理还可以用来帮助我们理解抽象代数结构，其中包括群、环以及各种有限代数结构。

总之，Hamilton-Cayley定理在数论、代数、离散数学和抽象代数学等领域都有着重要的应用。

它不仅有助于解决各种数学问题，而且可以帮助我们更深入地理解抽象代数结构。