Cayley定理的证明方法

Cayley 定理的证明方法

摘要：本文对Cayley 定理：n K 的生成树共有2n n -棵，即2()n n K n τ-=。的几

种证明方法简单归纳。

关键词：Cayley 公式 标号树枝 生成树

第一种证明方法

通过确定标号树枝的个数来求生成树的个数，设生成树的数目为x 个，因为每个生成树的每一个点都能作为一个根，所以标号树枝的个数为nx 个，现在就是确定标号树枝的个数1n n -，这样一来就能确定2n x n -=。下面我们就来证明标号树枝的个数为1n n -。

通过一步一步建立标号树枝，先拿出n 个点的无边土，此时这个图有n 个树枝森林，，现在往上加边，加第一条边后，树枝森林数减少一个，，当树枝数目为

k 时，加下一条边新边(,)u v 的选择为(1)n k -，任意一个点都能当作u ，而v 必须连接不含u 的树枝的根，用这种方法构造标号树枝的数目应该为

1

1

1

()(1)!n n i n n i n

n --=-=-∏，因为每个标号树枝含有1n -条边，有(1)!n -种顺序，也

就是说每个标号树枝被构造了(1)!n -次，所以标号树枝的个数为1n n -。 证毕。

第二种证明方法

设

2

n ≥，

12,,,n

d d d 是正整数，并且

1222n d d d n ++

+=-，则在顶点集{1,2,,}n 上具有顶点度序列

为12,,

,n d d d 的树的个数是

多项式展开如下：

11211

11

,,,1

1(1)(1)2

21

1n n n d d n d d d n d d n n a a d d --≥-++-=--⎛⎫=

⎪--⎝⎭

∑

特别地，令每一个1i a =，得到

为了计算顶点集{

1,2,,}n 上的树的数目，必须将12,,,n d d d 是正

整数并且其和等于2n -的具有顶点度序列12,,,n d d d 的所有树的数目全

部加在一起. 从前面的事实有

顶点集{1,2,,}n 上的树的数目

121,,,1

22

n n d d d d d n ≥++=-=

∑

(顶点集

{1,2,,}n 上的具有给定的度序列

12,,,n d d d 树的数目)

于是Cayley 公式得到证明. 第三种证明方法 构建概率模型

在公理化体系,一般用三元总体(,,)F p Ω表示一概率空间，为了证明Cayley 定理,令Ω={n K 的生成树全体},k S ={顶点0v 的度为k 的生成树全体},k=1,2,…,n-1.显然i S ∩j S =Φ（i j ≠），且1

1n k k S -==Ω⋃；记()k k P P S =，令

k

k S P =

Ω

,k=1,2,… ,n-1.其中.表示集合中的元素个数.

易知,上述定义下的(,,)F p Ω成为一概率空间.

若Cayley 定理及Clarke 定理成立, 则在上面定义的概率空间(,,)F p Ω中, 分别成立下 列等式:

2

n n

-Ω=, ()1211n k

k n S n k ---⎛⎫=- ⎪

-⎝⎭

, k=1,2, … n-1. 为求Ω，k S ，建立如下概率模型.

假设n 阶完全图n K 的生成树按下述要求生成:向n 阶完全图n K 的n 个顶点里随机地投(n-1)个点,每次投且仅投一点,共投(n-1)次.点落在每个顶点里的可

能性是相等的.每投一次(即一次试验),点就落在某一顶点中,从这里就会且只会长出一条新边,且与原来的边不重复;如果点落入其他顶点中,则长出的新边总是向没有点落进的顶点方向生长,且不成圈.

按上述方法,投(n-1)个点(即做n-1次试验)后,一定可以得到一个n 阶完全图

n K 的生成树.

定理证明

下面,将在以上建立的概率模型中,用古典模型的方法求Ω及k S 。取定n K 中的一个顶点0v ，为了控制顶点0v 的度数,考虑下列事件:

记A={一次试验中点落入0v },B={第一次试验事件A 发生},C={后面的(n-2)次试验中事件A 共发生k 次},'k S ={在第一次事件A 发生的条件下,以后(n-2)次试验中事件A 共发生k 次},

有'()(|)k P S P C B =（已知在事件B 发生的附加条件下，求C 事件发生的概率） 由概率乘法公式,有 由前面的模型假设,有:

(1)在完全图n K 的n 个顶点中, 事件A 发生的可能性是相等的,即:

1()p A n =,1()1c p A n

=-

(2)这(n-1)次试验是两两互不影响, 所以,事件B 与事件C 是相互独立的.即P(BC)=P(B)P(C).

因此,成立以下等式:

2'

2()()()

11()()1()()k

n k

k

n P BC P B P C P S P C k P B P B n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭,

k=0,1,2,…,n-2.

根据模型假设,试验是随机的,等可能性的,即生成什么样的生成树的概率相同,从而,上面的'()k P S 与模型中所设的1k P +是一一对应的.即

212111k

n k

k n P k n n --+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭ k=0,1,2,…,n-2.

()1

1

12

22111()111n k k n k

k k n n n n P S P k k n n n

---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

==-= ⎪ ⎪ ⎪

⎪--⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭⎝⎭ k=1,2,…,n-1.

所以,

2

12

211112n n n n P n n n n

----⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

=-= ⎪⎪

⎪-⎝⎭

⎝⎭⎝⎭ k=0,1,2,…,n-2. 又由前面所设, 可知顶点0v 的度为(n-1)的生成树的个数为1,即11n S -= 因此有

()12.11n k

k k n s P n k ---⎛⎫=Ω=- ⎪

-⎝⎭

,k= 0,1,2…,n-1. 从而成立。

定理1(Cayley) n K 的生成树共有2n n -棵. 即2()n n K n τ-= 定理2(Clarke) n K 的生成树中, 0v 的度为k 的生成树的个数为: