高中数学高频考点专题复习之以分形为背景的数列问题的研究与拓展

以分形为背景的数列问题的研究与拓展

【课本溯源】下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形. 图中从左向右的四个三角形，着色三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，写出数列{a n }的一个通项公式，并作出它的图象.

这一问题的背景是分形几何，分形几何的一个重要的特点是自相似性，可通俗地理解为适当地放大或缩小图形的几何尺寸，整个结构并不改变. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B•曼德尔布罗特(B enoit B.M andelbrot )在20世纪70年代创立的一门新学科，与欧氏几何学在研究对象等诸多方面迥然不同. 它的创立，为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相应的思想方法，为解决传统科学众多领域的难题提出了全新的思路. 这门充满活力的新学科与数列结合起来，不仅对传统的数列题作了提升，又能发展我们的实践能力，拓展为我们的几何思维.

课本溯源中的问题解答：由题意分析知：12341,3,9,27a a a a ====，则数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=. 作图略.

本题通过观察即不难发现着色三角形的个数依次数列{a n }成等比数列，而在一些综合性比较强的数列问题中，通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈，如何熟练掌握常用的求通项公式的方法如累积法、累加法等，是我们必须思考的问题. 下面我们再探究几个以分形为背景的数列问题. 【探究拓展】

探究1：如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ABC △是边长为1的正三角形，曲线1CA 、12A A 、23A A 是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、1BA 、2CA 为半径画的弧，曲线123CA A A 称为螺旋线旋转一圈. 然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，…，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度n l = . （要求用含,n π的代数式表示即可）

【解】由图可知12(123)3l π=++，22

(123456)3

l π=+++++，……，

22

(1233)(3)3

n l n n n ππ=+++

+=+.

【评注】由弧长公式可知l r α=，由第1圈、第2圈的弧长不完全归纳出第n 圈的画出，体现了由特殊到一般的思想.

探究2：下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是 .

【解】有些题它只是表达的形式不一样，其实只要透过现象抓住本质，不同的表达形式，所要揭示的问题的实质是一样的. 这一题的实质是非常有名的斐波那契数列.

从图上很容易看出从第一行开始，实心圆点的数量是这样排列的：0,1,1,2,3,5,……. 对于每一个空心圆点，它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点，它到下一行可生出一空一实两个点. 到第六行时，我们可看出，这一行的五个实心圆点到下一行必定能生出5个实心圆点和五个空心圆点，另外三个空心圆点还能生出三个实心圆点，因此下一行共有5+3=8个实心圆点. 同理，下一行的实心圆点数为本行的所有实心圆点数加所有空心圆点数，为8+5=13.

这里有一个非常明显的规律：也就是这一列数从第三个数起，任一个数都等于它前面两个数的和. 因此结果很快可推知：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610. 故第16行的实心圆点个数为610.

探究3：如图，是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2). 如此继续下去，得图(3)，……. 则第n 个图形的边长为 ，周长为 ，面积为 .

【解】不妨设第n 个图形的边长为n l ，周长为n c ，面积为n S . 则11l =，213l =，2313l ⎛⎫= ⎪⎝⎭，…，1

13n n l -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭；

113133c l =⨯=⨯=，221121243c l =⨯=⨯=，2

33116484833c l ⎛⎫

=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，……

1

1

1

1

14(34

)(34

)333n n n n n n c l ----⎛⎫

⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯=⋅ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎝⎭

；

13

S =

2

213133S S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2

3231129S S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，…， 2

112

131334(34)39n n n n n S S ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

.

132211()()()n n n S S S S S S S S -=-+

+-+-+1

21

334334334391699n -⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=

+

+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭ 1

1

4419933

334834919

n n --⎡⎤⎛⎫

-⎢⎥ ⎪⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣

⎦

=+=-⋅⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

-.

探究4：如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为1

2的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,

n P P P ，记纸板n P 的面积

为n S ，则lim n n S →+∞

= .

【解】12

S π

=

，2

2

211122222S S πππ⎛⎫

⎛⎫

=-

⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2

2

2

321112422224S S ππππ⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

=-⋅=-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，…，2

11122n n n S S π--⎛⎫

=-

⋅ ⎪⎝⎭

.

∴2

2

2

1242211111

12

2224222222

2n n n S π

πππππ--⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

=

-

⋅-⋅--

⋅=-+++

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

2211114211

2232

14n n πππ-⎛⎫

- ⎪⎛⎫=-=+

⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭

，∴lim 3n n S π

→+∞=.

探究5：如图所示，是树形图形. 第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成135°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n 层. 设树形图的第n 层的最高点到水平线的距离为第n 层树形图的高度.

(1) 求第三层及第四层树形图的高度3H ，4H ； (2) 求第n 层树形图的高度n H ；

(3) 若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”. 显然，当1,2n =时是“矮小”的，是否存在m ∈Z ，使得当n m >时，该树形图是“高大”的？

【解析】(1) 设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为{}n a ，则11a =，2122a =321

2

a =，43122a =

，所以，第三层树形图的高度3123

52

H a a a +=++，第四层树形图的高度412342052

H a a a a +=+++=