第6章 杆件应力应变分析(建筑力学)

σ x σ y σ z τ xy τ yz τ z x
二、平面应力问题和平面应力状态的描述
§6.2 应变分析 6.2.1 应变的概念 变形—杆件受到外 力作用时，其中任 意两点间的距离和 任意两直线或两平 面间所夹角度的改 变量。
应变-伸长比率集度
6.2.2 应变状态 平面问题
空间问题
§6.3 应力、应变关系 两个基本假定： ⑴ 假定物体是完全弹性的——指物体在撤去引起形变的外 力后能完全恢复原形的性质 ⑵ 假定物体是各向同性的——物体在各个方向上弹性性质 相同 6.3.1 应力、应变关系－胡克定律
Mymax σ= Iz
h M 2 = 6M = bh 3 bh 2 12
h b=3
2M σ= 3 3b
dx
单向受力假设：即假设各纵向纤维之间互不挤压
σy =σz = 0
梁的前后表面没有外力作用，所以 又因为
τ zy
τ zy
z =0
=0
τ yz = 0
t z =± 2
=0
σx ≠ 0
γ xy = γ xz = 0
τ xy = 0 τ xz = 0
结论：纯弯曲时，梁处于单向应力状态
（2）纯弯曲下的胡克定律和应力变化规律
ε x ( x, y , z ) = ε x ( x )
拉杆纵向纤维无挤压假定 平行于x轴纤维层之间无挤压 σ y = σ z = 0
σx
单向应 力状态
6.4.2 拉压杆的胡克定律-横截面上的应力变化规律
胡克 定律
6.4.3 拉压杆横截面上的应力计算
【习题6-2】 一木柱受力如图所示。柱的横截 面为边长200mm的正方形，假定 材料满足胡克定律，其弹性模量 E=10X103MPa ， 如 不 计 柱 的 重 量，试求下列各项： 1）作轴力图 2）各段柱横截面上的应力 3）各段柱的纵向线应变 4）柱的总变形
沿截面的法向分量，称为正应力； 沿截面的切向分量，称为剪应力
6.1.2 应力状态的描述 一、空间应力状态的描述 6个截面，每个面上3个应 力分量，共18个应力分量 根据作用力与反作用力定律， 18个应力分量可减少为9个
注意：符号的规定 截面的外法线和坐 标轴正向相同，则 这个截面的应力分 量就以坐标轴的正 方向为正，以坐标 轴的负方向为负； 剪应力互等定律—在受力构件内过一点相互垂直的两个 微面上，垂直于两微面交线的剪应力大小相等，方向相 向或相背。 空间一点应力状态：
应力分析 应力、应变关系 应变分析
拉（压）杆的应力、应变分析 梁平面弯曲的应力、应变分析
杆件强度验算
【习题6-4】图示为一悬吊结构的计算简图。杆件AB由钢材 制成，已知 σ s = 170MPa ，求此拉杆所需的横截面积。 解： 1)求AB杆的轴力
∑M
C
=0
N AB = 67.5kN
2)求AB杆的横截面积
§6.4
拉（压）杆的应力、应变分析
6.4.1拉压杆的应力状态及其横截面上的应变变化规律
试验观察
拉杆平截面假设：直杆在轴向力作用下，横截面在杆件变形 后仍为垂直于杆轴的平面，且横截面没有角度畸变。
拉杆平截面假设的两点结论 ⑴ 杆件内任意一点满足， γ xy = γ zx = γ yz = 0 ⑵ 杆件横截面上任意一点的纵向线应变相同
§6 杆件的应力、应变分析
物体在受到外力作用时，其内部质点间会产生相互作用， 这种物体内部质点间的相互作用就是所谓的内力。
内力以分布形式存在，弯矩、剪力、轴力是杆件横截面上分 布内力的合力
§6.1 应力分析 6.1.1 什么是应力 杆件某一截面上一点的 内力集度称为该点在此 截面上的应力
ΔF dF p = lim = ΔA → 0 Δ A dA
* z
τ x ( x, y ) =
FQ ( x) S bI z
s* = z
nn ' BB '
∫ ydA
b h2 2 = y 2 4
【例6-1】 外力
内力
σx
应力
τ xy P =
P
y 0.1 = M ( x) = × 30 × 103 = 1.44MPa 1 Iz × 0.2 × 0.53 12
6.6.3 杆件强度验算 【习题6-5】图示为一悬吊结构的计算简图。杆件AB由钢材 制成，已知 σ s = 170MPa ，求此拉杆所需的横截面积。 解： 1)求AB杆的轴力
∑M
C
=0
N AB = 67.5kN
2)求AB杆的横截面积
N AB = σ s A
A= N AB
σs
= 397 mm 2
§6.7 本章小结
15 × 103 × 0.2 × 0.15 × (0.1 + 0.075) = = 0.189MPa 1 0.2 × × 0.2 × 0.53 12
* FQ ( x )S z
bI z
§6.6 杆件强度验算 强度理论是关于材料失效现象主要原因的假说 材料失效破坏现象的两种类型 （1）屈服失效 材料出现不可恢复的塑性变形而失效 （2）断裂失效 材料无明显的变形而突然断裂
§6.5 梁平面弯曲的应力、应变分析 6.5.1 平面弯曲的概念
如果梁上的外力的作用线都位于纵向对称平面内，梁变形后 轴线将弯曲成一条位于纵向对称平面内的平面曲线，这样的 弯曲变形称为平面弯曲。
6.5.2 纯弯曲分析 梁的任意横截面上只有弯矩，没有剪力，称为梁的纯弯曲 （1）纯弯曲下梁的应力状态和横截面上的应变变化规律 平截面假设：梁弯曲 后，原来的横截面仍 为平面，只是绕截面 内某一轴线旋转了一 个角度后仍垂直于梁 变形后的轴线。
6.6.2 常用的强度理论 （1）最大拉应力理论（第一强度理论） —脆性破坏强度理论
σ t max
σ t max ≤ σ b
σb
—杆件危险点处的最大拉应力 —材料的强度极限
（2）最大剪应力理论（第三强度理论） —塑性屈服强度理论
τ max
τ max ≤ τ u
τu
—杆件危险点处的最大剪应力 —材料屈服时的剪应力
σ x = Eε x = E
y
ρ
（3）纯弯曲下的梁横截面上的应力计算
σx = E
y
ρ
σx = E
y
ρ
附录P215
则：
M My = σ x = E = Ey ρ EI Z IZ y
【习题6-5】 长度为250mm,截面尺寸为 b × h = 0.8mm × 0.25mm 的薄钢 尺，由于两端外力偶的作用弯成中心角度为600的圆弧。已知 弹性模量2.1X105MPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解：
试验观察
平截面假设的两条推论： 1）梁内任意一点有， γ xy = γ xz = 0 2）梁纵向应变沿横截面高度是线性分布的 中性轴-中性层与横 截面的交线，垂直于 横截面的对称轴 若取：梁的轴线为x轴 横截面的对称轴为y轴
dx ρ= dθ
中性轴为z轴
ydθ y ΔAB B ' B εx = = = = AB O1O2 O1O2 ρ
ρθ = s
ε=
y
250 750 = ρ= = θ π /3 π
s
σ = Eε
ρ
σ =E
y
ρ
= Ey
π
750
6.5.3 横力弯曲分析 横截面上存在剪力时 的弯曲称为剪切弯曲 或横力弯曲 （1）横力弯曲时梁中各点的应力状态 （2）梁横力弯曲时横截面上的正应力计算 适用条件： l / h > 5 （3）矩形截面梁横截面上的剪应力计算
N AB = σ s A
A= N AB
σs
= 397 mm 2
【习题6-5】 长度为 250mm,截面尺寸为 b × h = 0.8mm × 0.25mm 的薄钢 尺，由于两端外力偶的作用弯成中心角度为600的圆弧。已知 弹性模量2.1X105MPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解：
ρθ = s
ε=
y
250 750 = ρ= = θ π /3 π
s
σ = Eε
ρ
σ =E
y
ρ
= Ey
π
750
【习题6-9】一简支木梁的受力分析如图所示,荷载 P = 5kN ，距离 a = 0.7 m 。已知 σ s = 10MPa ，横截面 h b = 3 的矩 形。试按正应力强度条件确定此梁的横截面尺寸。
6.3.2 平面应力问题中的胡克定律
平面应力问题中的物理方程
6.3.3 平面应力状态下的应力、应变特征 ⑴ 物体平行于xoy平面的各纤维层之间 0 τ zy = 0
⑵ 物体只在平行于xoy平面 的各平面内发生角度畸变
γ zx = 0
γ zy = 0
⑶ 虽然物体只在平行于xoy的各平面内发生角度畸变，但平 面应力状态下，物体在z方向上还是有伸缩变形的
6.6.1 材料的力学性能
杆件单向拉伸，胡克定律
材 料 的 单 向 拉 伸 试 验
材料的单向拉伸试验 1)低碳钢拉伸应力-应变曲线
200 240
400
比例阶段-屈服阶段-强化阶段-颈缩阶段 延伸率
δ=
l1 l ×100% l
2)铸铁的拉伸应力-应变曲线
δ < 2% ~ 5% 脆性材料，割线模量