第6章 杆件应力应变分析(建筑力学)

试验观察
平截面假设的两条推论： 1）梁内任意一点有， γ xy = γ xz = 0 2）梁纵向应变沿横截面高度是线性分布的 中性轴-中性层与横 截面的交线，垂直于 横截面的对称轴 若取：梁的轴线为x轴 横截面的对称轴为y轴
dx ρ= dθ
中性轴为z轴
ydθ y ΔAB B ' B εx = = = = AB O1O2 O1O2 ρ
ε=
y
250 750 = ρ= = θ π /3 π
s
σ = Eε
ρ
σ =E
y
ρ
= Ey
π
750
【习题6-9】一简支木梁的受力分析如图所示,荷载 P = 5kN ，距离 a = 0.7 m 。已知 σ s = 10MPa ，横截面 h b = 3 的矩 形。试按正应力强度条件确定此梁的横截面尺寸。
N AB = σ s A
A= N AB
σs
= 397 mm 2
【习题6-5】 长度为 250mm,截面尺寸为 b × h = 0.8mm × 0.25mm 的薄钢 尺，由于两端外力偶的作用弯成中心角度为600的圆弧。已知 弹性模量2.1X105MPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解：
ρθ = s
* z
τ x ( x, y ) =
FQ ( x) S bI z
s* = z
nn ' BB '
∫ ydA
b h2 2 = y 2 4
【例6-1】 外力
内力
σx
应力
τ xy P =
P
y 0.1 = M ( x) = × 30 × 103 = 1.44MPa 1 Iz × 0.2 × 0.53 12
§6 杆件的应力、应变分析
物体在受到外力作用时，其内部质点间会产生相互作用， 这种物体内部质点间的相互作用就是所谓的内力。
内力以分布形式存在，弯矩、剪力、轴力是杆件横截面上分 布内力的合力
§6.1 应力分析 6.1.1 什么是应力 杆件某一截面上一点的 内力集度称为该点在此 截面上的应力
ΔF dF p = lim = ΔA → 0 Δ A dA
6.3.2 平面应力问题中的胡克定律
平面应力问题中的物理方程
6.3.3 平面应力状态下的应力、应变特征 ⑴ 物体平行于xoy平面的各纤维层之间没有作用力
σz = 0
τ zx = 0 τ zy = 0
⑵ 物体只在平行于xoy平面 的各平面内发生角度畸变
γ zx = 0
γ zy = 0
⑶ 虽然物体只在平行于xoy的各平面内发生角度畸变，但平 面应力状态下，物体在z方向上还是有伸缩变形的
6.6.2 常用的强度理论 （1）最大拉应力理论（第一强度理论） —脆性破坏强度理论
σ t max
σ t max ≤ σ b
σb
—杆件危险点处的最大拉应力 —材料的强度极限
（2）最大剪应力理论（第三强度理论） —塑性屈服强度理论
τ max
τ max ≤ τ u
来自百度文库
τu
—杆件危险点处的最大剪应力 —材料屈服时的剪应力
15 × 103 × 0.2 × 0.15 × (0.1 + 0.075) = = 0.189MPa 1 0.2 × × 0.2 × 0.53 12
* FQ ( x )S z
bI z
§6.6 杆件强度验算 强度理论是关于材料失效现象主要原因的假说 材料失效破坏现象的两种类型 （1）屈服失效 材料出现不可恢复的塑性变形而失效 （2）断裂失效 材料无明显的变形而突然断裂
§6.4
拉（压）杆的应力、应变分析
6.4.1拉压杆的应力状态及其横截面上的应变变化规律
试验观察
拉杆平截面假设：直杆在轴向力作用下，横截面在杆件变形 后仍为垂直于杆轴的平面，且横截面没有角度畸变。
拉杆平截面假设的两点结论 ⑴ 杆件内任意一点满足， γ xy = γ zx = γ yz = 0 ⑵ 杆件横截面上任意一点的纵向线应变相同
6.6.3 杆件强度验算 【习题6-5】图示为一悬吊结构的计算简图。杆件AB由钢材 制成，已知 σ s = 170MPa ，求此拉杆所需的横截面积。 解： 1)求AB杆的轴力
∑M
C
=0
N AB = 67.5kN
2)求AB杆的横截面积
N AB = σ s A
A= N AB
σs
= 397 mm 2
§6.7 本章小结
Mymax σ= Iz
h M 2 = 6M = bh 3 bh 2 12
h b=3
2M σ= 3 3b
§6.5 梁平面弯曲的应力、应变分析 6.5.1 平面弯曲的概念
如果梁上的外力的作用线都位于纵向对称平面内，梁变形后 轴线将弯曲成一条位于纵向对称平面内的平面曲线，这样的 弯曲变形称为平面弯曲。
6.5.2 纯弯曲分析 梁的任意横截面上只有弯矩，没有剪力，称为梁的纯弯曲 （1）纯弯曲下梁的应力状态和横截面上的应变变化规律 平截面假设：梁弯曲 后，原来的横截面仍 为平面，只是绕截面 内某一轴线旋转了一 个角度后仍垂直于梁 变形后的轴线。
ε x ( x, y , z ) = ε x ( x )
拉杆纵向纤维无挤压假定 平行于x轴纤维层之间无挤压 σ y = σ z = 0
σx
单向应 力状态
6.4.2 拉压杆的胡克定律-横截面上的应力变化规律
胡克 定律
6.4.3 拉压杆横截面上的应力计算
【习题6-2】 一木柱受力如图所示。柱的横截 面为边长200mm的正方形，假定 材料满足胡克定律，其弹性模量 E=10X103MPa ， 如 不 计 柱 的 重 量，试求下列各项： 1）作轴力图 2）各段柱横截面上的应力 3）各段柱的纵向线应变 4）柱的总变形
应力分析 应力、应变关系 应变分析
拉（压）杆的应力、应变分析 梁平面弯曲的应力、应变分析
杆件强度验算
【习题6-4】图示为一悬吊结构的计算简图。杆件AB由钢材 制成，已知 σ s = 170MPa ，求此拉杆所需的横截面积。 解： 1)求AB杆的轴力
∑M
C
=0
N AB = 67.5kN
2)求AB杆的横截面积
σ x σ y σ z τ xy τ yz τ z x
二、平面应力问题和平面应力状态的描述
§6.2 应变分析 6.2.1 应变的概念 变形—杆件受到外 力作用时，其中任 意两点间的距离和 任意两直线或两平 面间所夹角度的改 变量。
应变-伸长比率集度
6.2.2 应变状态 平面问题
空间问题
§6.3 应力、应变关系 两个基本假定： ⑴ 假定物体是完全弹性的——指物体在撤去引起形变的外 力后能完全恢复原形的性质 ⑵ 假定物体是各向同性的——物体在各个方向上弹性性质 相同 6.3.1 应力、应变关系－胡克定律
沿截面的法向分量，称为正应力； 沿截面的切向分量，称为剪应力
6.1.2 应力状态的描述 一、空间应力状态的描述 6个截面，每个面上3个应 力分量，共18个应力分量 根据作用力与反作用力定律， 18个应力分量可减少为9个
注意：符号的规定 截面的外法线和坐 标轴正向相同，则 这个截面的应力分 量就以坐标轴的正 方向为正，以坐标 轴的负方向为负； 剪应力互等定律—在受力构件内过一点相互垂直的两个 微面上，垂直于两微面交线的剪应力大小相等，方向相 向或相背。 空间一点应力状态：
ρθ = s
ε=
y
250 750 = ρ= = θ π /3 π
s
σ = Eε
ρ
σ =E
y
ρ
= Ey
π
750
6.5.3 横力弯曲分析 横截面上存在剪力时 的弯曲称为剪切弯曲 或横力弯曲 （1）横力弯曲时梁中各点的应力状态 （2）梁横力弯曲时横截面上的正应力计算 适用条件： l / h > 5 （3）矩形截面梁横截面上的剪应力计算
6.6.1 材料的力学性能
杆件单向拉伸，胡克定律
材 料 的 单 向 拉 伸 试 验
材料的单向拉伸试验 1)低碳钢拉伸应力-应变曲线
200 240
400
比例阶段-屈服阶段-强化阶段-颈缩阶段 延伸率
δ=
l1 l ×100% l
2)铸铁的拉伸应力-应变曲线
δ < 2% ~ 5% 脆性材料，割线模量
σ x = Eε x = E
y
ρ
（3）纯弯曲下的梁横截面上的应力计算
σx = E
y
ρ
σx = E
y
ρ
附录P215
则：
M My = σ x = E = Ey ρ EI Z IZ y
【习题6-5】 长度为250mm,截面尺寸为 b × h = 0.8mm × 0.25mm 的薄钢 尺，由于两端外力偶的作用弯成中心角度为600的圆弧。已知 弹性模量2.1X105MPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解：
dx
单向受力假设：即假设各纵向纤维之间互不挤压
σy =σz = 0
梁的前后表面没有外力作用，所以 又因为
τ zy
τ zy
z =0
=0
τ yz = 0
t z =± 2
=0
σx ≠ 0
γ xy = γ xz = 0
τ xy = 0 τ xz = 0
结论：纯弯曲时，梁处于单向应力状态
（2）纯弯曲下的胡克定律和应力变化规律