导数的几何意义ppt课件

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练习:如图已知曲线
y1x3上 3
一P(点 2,83),求:
(1)在点P处的切线的斜率; (2)在点P处的切线方程.
解(： 1)y
1
x3,y
l
i
mDy
l
i
1(xDx)3 m3
1 3
x3
3
Dx0 Dx Dx0
1 3x2Dx3x(Dx)2 (Dx)3
Dx
y y
1
x3
4
3
lim
3Dx0
Dx
3
P
1 l i m[3x2 3xDx(Dx)2] x2. 3Dx0
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y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
我们发o现,当点Q沿着曲线无限接近点P即xΔx→0
时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称
为曲线在点P处的切线.
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2．几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义是曲线 y
＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的 斜率，也就是曲线 y＝f(x)在点
π 注意：若在点(x0，f(x0))处切线 l 的倾斜角为 2 ，此时切线平行 于 y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据 切线的定义直接得切线方程为 x＝x0.
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3．求切点的坐标 设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率， 然后利用两直线平行，垂直等条件求出切点的坐标． 4．求切线的倾斜角 求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，由导数的几何意义，得
P(x0，f(x0))处的切线斜率 k＝
f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝f′(x0)．相
应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ．
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1．对导数几何意义的理解 (1)以前学过的切线的定义是与封闭曲线只有一个交点的直线 叫做曲线的切线，而此处切线的定义是曲线割线的交点，趋近 于另一个交点的极限位置，是从极限的角度定义切线的． (2)与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线．反 之，曲线的切线与曲线的交点个数可能不只一个．如 y＝1 与 y ＝sin x 有无数个交点，但 y＝1 却是 y＝sin x 的切线．
求曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程，即点 P 的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点 P 处的切线斜 率为 f′(x0)，则点 P 处的切线方程为 y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)；如 果曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)， 可由切线定义确定切线方程为 x＝x0.
Q
解 : k lim f ( x0 Dx) f ( x0 )
Dx 0
Dx
y = x 2+1
lim (1 Dx)2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 (1 1)
Dx0
Dx
lim 2Dx (Dx)2 2.
Dx 0
Dx
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
Dy
P
M
Dx
1j
x
即y=2x.
-1 O 1
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出该点的坐标; ②利用该点切线的斜率等于函数在. 该点的导数; ③利用点斜式求切线方程.
f′(x0)＝k＝tan α，(其中 α 为曲线 f(x)在(x0，f(x0)处的切线的倾
斜角)进而求出 α.特别地，若 f(x)在 x0 处的导数不存在，而 f(x) 在 x0 处的切线存在，则此切线的倾斜角为 90°.
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题型一 曲线的切线方程
y
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点x=1处的切线方程.
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→ 求切线方程
[规范解答] 设 P 点坐标为(x0，y0)，
y′＝
ΔΔxy＝
（x＋Δx）2－x2 Δx (2
分)
＝
2x·Δx＋（Δx）2 Δx
＝ (2x＋Δx)＝2x.(4 分)
∴y′|x＝x0＝2x0，(6 分) 又由切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
∴2x0＝4，∴x0＝2，(8 分)
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∵P(2，y0)在拋物线 y＝x2 上，∴y0＝4， ∴点 P 的坐标为(2，4)，(10 分) ∴切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0(12 分)
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2015年3月5日
【课标要求】 1．了解导数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 【核心扫描】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．(重点) 2．准确理解在某点处与过某点的切线方程．(易混点)
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自学导引 1．切线：如图，当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲 线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0))时，割线 PPn 趋近于确定的位置， 这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．显然割线 PPn 的 斜率是 kn＝f（xn）xn－－xf（0 x0），当点 Pn 无限趋近于点 P 时，kn 无限趋近于切线 PT 的斜率．
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(3)若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线， 则切线与 x 轴垂直． (4)显然 f′(x0)>0，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0，切线倾斜角为 钝角；f′(x0)＝0，切线与 x 轴平行或重合．
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2．利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤 第一步：求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； 第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2 1
x
y|x2224. 即点P处的切线的斜率等于4.
-2 -1 O -1
-2
12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
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题型二 求切点坐标 【例 3】 拋物线 y＝x2 在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平 行，求 P 点的坐标及切线方程． 审题指导 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题 的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点 的横坐标．解题时同时注意解析几何知识的应用．如直线的倾 斜角与斜率的关系，平行、垂直等． 【解题流程】 设切点坐标P（x0，y0） → 求导函数y′＝f′（x） → 由斜率k＝4，求x0 → 求P点坐标（x0，y0）
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【题后反思】 解答此类问题的步骤为：
(1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导数 f′(x)； (3)求切线的斜率 f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0； (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0 得切点坐标． (6)得到切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)