对数及对数运算(1)
2.2.1 对数及对数运算(1)
• 截止到 截止到1999年底，我们人口约13亿，如 年底，我们人口约 亿 年底 思 考 果今后能将人口年平均均增长率控制在 1%，那么经过 年后，我国人口数最多 年后， ，那么经过20年后 为多少（精确到亿） 为多少（精确到亿）？
y = 13 ×1.01
x
问：哪一年的人口数可 达到18亿 达到 亿，20亿，30亿？ 亿 亿
例1、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
讲 解 例 题
（1）5 = 625 ⇒ log 5 625 = 4 ） 1 1 −6 = −6 （2） 2 = ⇒ log 2 ） 64 m 64
4
1 = 5.13 ⇒ log 1 5.13 = m （3） 3 ） 3
1 （4）log1 16 = −4 ⇒ = 16 ） 2 2 -2 lg （5） 0.01= −2 ⇒ 10 = 0.01 ）
（6）ln10 = 2.30= 10
例2 求出下列各式中 x 值：
2 （1）log64 x = − ） 3
（2） ）
log x 8 = 6
y x 当 = 18 ,有 ＝ ×1.01 ,求 时 18 13
x
一般地， 一般地，如果a = N ( a > 0, 且a ≠ 1) 叫做以a为底 那么数 x叫做以 为底 的对数， 叫做以 为底N的对数， 对数定义 其中a叫做对数 记作 x = log a N ，其中 叫做对数 底数， 叫做真数。 叫做真数 的底数，N叫做真数。式子log a N 叫做对数式 对数式. 叫做对数式
x
所 上 问 中 由 ＝ ×1.01 , 以 面 题 ， 18 13
2.2.1 对数及对数运算(1)
2
因此e x e2
于是x 2
P64 1,2,3
1 log3 1 0 2 lg1 0 3 log0.5 1 0 4 ln1 0
loga 1 0
a =1
0
1 log3 3 2 lg10 1
2
(2)
log2 log3 log4 x 0
log2 3
7 0.4
aa N
b
a 0, 且a 1
log a N b
（1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1
（4）对数恒等式：a
loga N
N
5 loga a
n
n
例3、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1
1 6
1 3 6
2 2
1 2
1 log10 10
3
3
2 log10 1
0
以10为底的对数叫做常用对数：
log10 N lg N
3 loge e
1
4 loge 1
0
以e为底的对数叫做自然对数：
loge N ln N
例1：将下列指数式化为对数式，对数式化 为指数式.
1
3 log0.5 0.5 1 4 ln e 1
loga a 1
a =a
1
1 log3 3 4 5 2 log0.9 0.9 5
4
loga a n
n
3 ln e
8
8
4 2 3 log 0.6 0.6 5 7 log 89 89 6 0.4
4.1对数及其运算(一)、(二)解析
log100.01=-2
思考 (1)式子ab=N和logaN=b(a>0,a≠1,N>0)有 什么关系?
对数式与指数式的关系
指数 对数
ab=N
幂值
logaN=b
真数
底数(a>0,a≠1)
思考 (2)求对数loga1,logaa(a>0,a≠1).
对于a>0,a≠1都有 a0=1,a1=a 所以
loga1=0 logaa=1
讲解范例 例1 将下列指数式写成对数式：
25 32 1 1 （ 2） 2 2 （3） 3 x 81 1 x （4） 4 6
（ 1）log2 32Fra bibliotek 51 log2 1 2
log3 81 x
1 l og4 x 6
练习 （ 1） （ 2）
1.把下列指数式写成对数式:
2.对数的运算性质有什么特点?
例1
求下列各式的值．
(1)10lg3－ 10× log51＋ πlogπ2； (2)alogab· logbc · log c1； (3)lglne； (4)log
2－ 1
. 3＋2 2
1
【思路点拨】
充分利用对数基本性质及恒等式．
【解】 (1)原式＝ 3－10× 0＋ 2＝ 5. (2)∵ logc1＝ 0， ∴原式＝ a0＝1. (3)∵ lne＝1， ∴ lglne＝ lg1＝ 0. (4)∵ 3＋ 2 2＝ ( 2)2＋ 2 2＋ 1＝ ( 2＋ 1)2， 1 ∴ log 2－ 1 3＋2 2 1 ＝ log 2－ 1 ＝ log 2－ 1( 2－ 1)＝1. 2＋ 1
计算下列各式的值： 1 32 4 (1) lg － lg 8＋ lg 245； 2 49 3 2 (2)lg5 2＋ lg8 ＋ lg5· lg20＋ (lg2) 2； 3 lg 2＋ lg3－ lg 10 (3) . lg1.8
2.2.1对数与对数运算1
自测自评
1．下列各式中正确的有____4____个．
①log4 16 ＝2；②log16 4 ＝12； ③lg 100＝2；④lg 0.01＝－2.
2．已知
1 logx16
＝－4，则x＝____2____.
3．若logx7 y ＝z，则____B____．
A．y7＝xz
B．y＝x7z
C．y＝7xz
一、选择填空题
1．将下列指数式写成对数式：
(1)2－6＝
1 64
，____________；
(2)___________.
2．将下列对数式写成指数式：
(1)log327＝a，______； (2)lg 0.01＝－2，________.
1．(1)log2614＝－6 (2)log135.73＝m 2．(1)3a＝27 (2)10－2＝0.01
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1 ，∴loga1＝0，即1的对数 为0；
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a ，∴logaa＝1，即底数的 对数为1.
4．对数恒等式
(1)如果把ab＝N中的 b写成logaN，则有：alogaN＝N； (2)如果把x＝logaN中的N 写成ax，则有logaax＝x.
例如：将指数式化为对数式： ①42＝16，________；②102＝100，________； ③4＝2，________； ④10－2＝0.01，________. (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N 简记为lgN； ①log416＝2；②log10100＝2； ③log42＝12；④log100.01＝－2
D．y＝z7x
1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实 现化难为易，化繁为简．
2.2.1对数与对数运算(一)
2.2.1对数与对数运算（一）教学目标（一） 教学知识点1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？()x %81+=2⇒x =?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容：定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．b N N a a b =⇔=log例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 探究：1。
是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ；∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log ．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN ． 例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ． 例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞． 三、讲解范例：例1．将下列指数式写成对数式：（1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（ 解：（1）5log 625=4； （2）2log 641=-6； （3）3log 27=a ； （4）m =73.5log 31． 例2． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．解：（1）16)21(4=- （2）72=128； （3）210-=0.01； （4）303.2e =10．例3．求下列各式中的x 的值： （1）32log 64-=x ； （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2ln 例4．计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345．解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x, ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二：⑴239log 3log 27log 239399===； ⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习：(书P64`)1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８； （２）52＝32 ； （３）12-＝21； （４）312731=-．解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－312.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ ⑵5log １２５＝３ ⑶2log 41＝－２ ⑷3log 811＝－４ 解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)22-＝41 (4) 43-＝811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解：(1) 5log 25＝5log 25＝２ (2) 2log 161＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg 0.01＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg 0.0001＝－４ 4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343 ⑹3log 243 解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5..2log 6.25＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５ 五、课堂小结⑴对数的定义； ⑵指数式与对数式互换； ⑶求对数式的值．2.2.1对数与对数运算（二）教学目标（三） 教学知识点对数的运算性质． （四） 能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程； 3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值； 5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a⑶对数恒等式N aNa =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m aa R n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =pa ，N =qa ． ∴MN = pa qa =qp a+ ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =pa ，N =qa ．∴q p q pa aa N M -== ∴p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴nM ＝npa ∴a log nM =np ， 即证得a log nM =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的． )10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的． ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxya a ． 解：（1）zxyalog =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）32log zyx a=a log （2x3log )z y a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-．例2． 计算（1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2； (3)解法一：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题． 4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．=n a a log n2.2.1对数与对数运算（三）教学目标（五） 教学知识点1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。
2.2.1对数与对数运算(1)
1 log （4） 2 2 4 1 （4） 22 4
lg 0.001 （4 ）
（4）-3
16
（3 ） lg100 （3 ）2
选做题
3.求下列各式中x的取值范围： （1）log2 x 1 15 （2） log 2 3
x 1
（3 ） log2 ( x 2 3x 2)
（4 ） log2 ( x 2) （4）x 2
探究点二 对数与指数之ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在什么样的转化关系？
问题1 将下列指数式表示成对数式。
1 m (1) 5 625 (2) ( ) 5.73 (3) 2 6 1 3 64
4
答： (1) 4 log5 625 ( 2) m log1 5.73
3
(3) 6 log 2
1 64
变式 将下列对数式表示成指数式。
(1) x log2 1
2 求出下式中x的值
(1) x log8 64
(2) logx 27 3
(3) log7 x 2
(1) x 2
.
(2) x 3
(3) x 49
四、引导探究
探究点一 对数的概念
例1 求下列各式中x的值
1 x 2 (1) 2
1 x 2 (2) 4
1 x ,x 0 解：（1） 2
x0 （2 ）
x 1或 x 2 （3）
七、强化补清
见清学稿
1.负数和零没有对数（对数的真数大于零）
2.loga 1 0,loga a 1
√ √
小结 3 对数的性质
（1） loga N (a 0, a 1) 中，零和负数没有对数，即
N 0
对数与对数运算(一).
（1）1的对数为0： （2）底的对数为1： （3） log a
loga 1 0
a N
N
loga a 1
log a N
（4）对数恒等式
a
N
当堂检测（满分10 分）计分： 1．下列指数式与对数式互化不正确是（ c ） 1 1 1 1 0 3 log (A) 10 1 与 lg1 0 (B) 27 与 27 3 3 3 1
5 625
4
m
（2）
2
6
1 64
1 （3） 5.73 3
（4）log 1 16 4
2
（5）log 0.01 2
（6） ln10 2.303
x
关键
当a 0, a 1时，a N x loga N
返回
例题巩固
例2 求下列各式中x的值
(1) log 64
（4）log3 20 b （2） log3 343 （4）log 3 4 625
5
2. 计算：（1）log9 27 （3） log (2
3)
2 3
3m - 2n lg3 m ,lg5 n , 求100 的值 3.设
4.上网查一查皮纳尔与对数的故事
再来回顾一下定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab=N， 那么就称b是以a为底N的对数，记作
loga N b
什么？ １、a的范围是 ２、b的范围是 ３、Ｎ的范围是
其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 的取值范围分别是
想想看：在对数式中，a，b，N
a＞0，a≠1 Ｒ
R+ ，为什么会有这个结论？
(C)log3 9 2 与 9 2 3 (D)
《3.4.1对数及其运算(1)》课件
对数与对数运算(1)
A. 3 B. C. D.
3.已知 ，且 ，则m之值为（）.(A.B.)
A．15 B． C．± D．225
4. 。(A.B.C)
5.若3a＝2，则log38－2log36用a表示为。(A.B.)
延伸拓展：若 ，求 的值．(A.B.)
3、情感态度与价值观：让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．
重、难点
【重点】：对数运算的性质与对数知识的应用
【难点】：正确使用对数的运算性质
教学第一环节：预习导学、自主学习（教师交给学生提取有效信息的通用工具、设置多样化预习题、对预习情况进行督察；学生在预习课自主完成文本阅读、提取有效信息、自主完成预习任务、梳理生成问题、建构文本知识体系。）
２、根据对数的定义以及对数与指数的关系求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.
３、负数与零有没有对数? 中的N可以取哪些值？
４、 N与 b(a>0,a≠1)是否成立?
两个重要的对数
１、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N的常用对数 简记作lgN．
２、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数 简记作lnN．
【课堂检测】
1.下列等式成立的是（）（A.B.C）
A． B．
C． D．பைடு நூலகம்
2.如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（）.（A.B.C）
A．x=a+3b－cB． C． D．x=a+b3－c3
3.若 ，那么（）.（A.B）
2.2.1对数与对数运算(第一课时)
2
lo g 1 5 .7 3 m 1 34 ( ) 16 2 2 10 0.01
e
2 .3 0 3
10
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 常用对数：以10为底的对数
lg 0.01
自然对数：以e为底的对数
其中无理数e=2.71828 ··· （5） lo g 1 0 0 .0 1 2
求a的取值范围
3、求等式 lg 1- 3x) = 1 （ 中的x的值
其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数.
a N
x
x lo g a N
对数式
指数式
新课讲解
二、对数的性质 若 a 0, 且 a 1
a N
x
x lo g a N
2 lo g 4 1 6
1 2 x lo g 2 1 0 4 8 5 7 6 lo g 4 2
4 16
2
课本64页练习3,4
目标再现
1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
2、理解和掌握对数的性质；
3、掌握对数式与指数式的关系 .
作业：课本74页A组1,2
课堂检测
1、已知 ln(lg x) = 0, 那么x等于（ ）
1 C、 10
(5- a D、e
2、已知对数式 b = log ( a-
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （2）2
6
lo g 5 6 4 5 4
m
1 64
lo g 2
1 64
6
（3） ( ) 5 .7 3
3 （4） lo g 1 1 6 4
对数与对数运算(一)教学设计
对数与对数运算（一）教学设计（李恒福）一、教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。
对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。
而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。
通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。
通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。
三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。
调动学生学习的积极性，主动性。
本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。
在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
四、教学目标1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。
通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。
(上课用)对数与对数运算(1)
或1 0 0 0
2 ( 3 ) 若 lo g 2 lo g 1 (lo g 2 x ) 0 , 求 x _ _ _ _ 2
2.计算
（1） 3
(2)
lo g 3
5
3
lo g 3
1 5
a
lo g a b lo g b c lo g
c
N
2.计算
（1） 3
lo g 3 5
2
lo g a N ， 有 M N
2 2
（4） 若 M N ， 有 lo g a M
lo g a N
2
A（1） 3） B（2） 4） C（2） D（1（2） 4） . （ . （ . . ） （
例1.把下列指数式化成对数式，把对数式化 成指数式
(1)5 625 (2)2
解：
a(1+8.2%)x=2a 1.082x=2
x=?
已 知 2 = 128 求 x ?
x
已 知 1.082 2
x
求
x ?
上述问题，实质就是已知 底数 和 幂 的值， 求 指数 .
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 （Napier，1550年~1617年）。他发明了供天 文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡 出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了 他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何 的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的 三大成就。
2
( 3) lg 100 x ln e x ( 4)
点 (1) a N x log a N 睛
x
( 2)求对数值的问题，不妨 先按题( 3)
的解题思路，先设 ，再求解 x
2.2.1-对数及对数运算
探究活动3
求下列各式的值：
(1) 2log23 3 (2) 7log70.6 0.6 (3) 0.4log0.489 89 (4) 0.9log0.945 45
思考：通过上面的例子，你发现什么？
对数恒等式：alogaN N
探究活动4
求下列各式的值
(1)log3344 (2)log0.90.955 (3)lne33 (4)lg1066
M ap, N aq ∴MN= a p a q apq loaM g N pq
即证得
lo a(g M lN o aM g ) lo aN g
新课教学 证明： (2)设 logaMp, logaNq,
由对数的定义可以得：
∴ M N
M ap, N aq
ap aq
apq
M loga N pq
即证得
loagM NloagMloagN
新课教学 证明： (3)设 logaMp,
23 8
(2)两个数8、3通过什么运算可以得到2？如何表示？ 答：8的3次方根等于2，是开方运算，表示为：
3 8 2 （谁的3次方等于8）
(3)两个数2、8通过什么运算可以得到3？如何表示？ 答：以2为底8的对数等于3，是对数运算，表示为：
（2的几次方等于8？或8是2的几次方？）log2 8 3
a m a n a mn
am an
a mn
(a m )n a mn
你能从指数与对数 的关系以及指数运算 性质得出相应的对数 运算性质吗？
问题提出：
• 对数源于指数，对数和指数式怎样互化的 ？
• 指数与对数都是一种运算，而且它们互为 逆运算，指数运算有一系列性质，那么对 数运算有那些性质呢？
高一数学对数与对数运算1
【解析】 (1)33＝27；(2)21－3＝8；(3)( 2)5＝x (4)log216＝4；(5)log139＝－2；(6)log214＝－2
(1)对数由指数而来．对数式logaN＝x是由指数式ax＝N而来的，两 式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值x是 指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图所示．
⇒－23<x<12. x≠0
所以 x 的取值范围是{x|－23<x<12且 x≠0}．
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难！" 九大人满脸の焦急,对着噬大人背影说道："那不咋大的寒子怎么办?他是要是知道这事の话,肯定会疯狂の！他要是被bi出来了,那他肯定会死の！他带着这么点人,怎么和一些星辰海斗?" 噬大人转头望了过来说道："没办法,他要是忍不住,被bi出来了,那这就是他の命！" 当前 第 捌捌捌章 基础大成 文章阅读 炽火城被毁の事情,没过多久就传遍了整个神界,一些城不重要,重要の是,守护这个城の人和主使这件事情の人. 守护这城の人不用说,因为炽火城の建立,神界还多了一名九品破仙,这不引起注意都难.血夜海地处于飘渺大陆和血液大陆星辰海三个地方之间, 属于三不管地带,里面の神匪很强.但是神界还是有一部分人知道,里面の神匪,其实暗地里是属于至尊岛某位大人物の. 自从数百万年之前八君主齐聚至尊岛,一同制定神界铁律之后,神界就再也没有发生大规模の混战了.这次炽火城事件,引起了神界所有大势力の关注,都在猜测是否会因 为这件事件,引发星辰海和飘渺大陆之间の混战. 飘渺大陆出现了两位君主级至尊强者,这已经打破了神界の实力格局,但是星辰君主是神界公认の实力最强の第一人.最重要の是,星辰君主还有一些身份——破仙
2.2.1对数与对数运算(一)2011.10
分析： 分析：
假设2007年我国国民生产总值为 年我国国民生产总值为a 假设 年我国国民生产总值为 亿元，如果每年平均增长 亿元，如果每年平均增长8%，那么经 ， 过多少年国民生产总值是2007年的 倍？ 年的2倍 过多少年国民生产总值是 年的
(1+8% = 2 ⇒x =? )
x
对数定义
一般地，如果 一般地，如果ax＝N (a＞0, a≠1) ＞ 那么数x叫做以 为底 的对数(logarithm)， 为底N的对数 那么数 叫做以a为底 的对数 叫做 ， 记作x 记作x ＝ logaN.
问题1 问题 将下列指数式写成对数式
1 (1) 5 = 625 (2) 2 = 64 1m a (3) 3 = 27 (4) ( ) = 5.73 3
4
−6
问题2 问题 将下列对数式写成指数式
(1) log1 16 = −4 (2) log2 128 = 7
(3) lg0.01= −2 (4) ln10 = 2.303
底数
x
指数
a = N ? x loga N
底数
x
指数
a = N ? x loga N
底数 幂
x
指数
a = N ? x loga N
底数 幂 底数
x
指数
x
真数
a = N ? x loga N
底数 幂 底数
指数
x
真数
a = N ? x loga N
底数 幂 对数 底数
探究： 探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ 是不是所有的实数都有对数？ x ＝ logaN中的 可以取哪些值？ 中的N可以取哪些值 中的 可以取哪些值？
(
对数及对数运算1
对数及对数运算【巩固练习】1.有以下四个结论：①lg （lg10）=0 :②“⑹e ）=0 ；③若10=lgx ，贝J x=10；④若e=lnx ,则x=e ，其中正确的是（）2.下列等式成立的有（）① ©存-2 :②也3®! ； ® 丹"=5； ® 列 i ； ® 3lg3=3；3.已知3—2，那么10938-210936用a 表示是（）f(2 +Iog 2 3)=(A.①③B.②④C.①②D.③④A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④⑤A. a —2B.5a-2C. 3a-(1 + a)2D. 3a-a 214. 已知 x 2+y 2 =1,x 〉0,y 〉0，且 log a (1 +x) = m,log a ----- = n,1 -x则log a y等于（） 1A. m + nB. m-nC. -(m + n )D. 25.若 y =log 56 1og 67 Iog 78 Iog 89 ■Iog 910，贝 1一(m-n \丿A. y“0,1)B.yJ1,2)C. 6.设a , b , c 为正数，且3a=4b=6c，则有( A.1B. 2=2』C. 1=2+2cabcabcaby-(2,3)D.(3,4)7.如果方程 Ig 2x+(lg2 +Ig3)lg x + lg2lg3 =0 的两根为 ）D. 2亠 cabX 1、X 2 ,则X 1X 的值为（A. lg 2 lg3 8.已知函数4B.Ig2+lg3C. -D. -66f(x)乜；f （x ）满足：当X 卒时,；当 x <4 时，f(x)= f(x +1)，则A. 24B.1C.122 49.已知a3= —(a：＞0)，则log2 a =9310. (1) log28^log21^log2 20 - log? 30 =3 3 3 3(2) 7log76log65log54 =3 0 311.已知a=0.3 , b=3. , c=log 3O.3 , d=log 0.33,贝J a, b, c, d 的大小关系是12.已知 f (3x) =4xlog2 3+233,贝J f (2) + f (4) + f (8) + …+ f (28)的值等于13.计算：(1) (log43+log83H log32+log32 2 )+log2疗；（2）若a+b =lg32+lg35 + 3lg2」g5，求3ab+a3+b3.14.设log a c, log b c是方程x2-3x+1=0的两根，求log a c的值.b15. 2010年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长【解析】原式=log3 23 -2(log32+1) = log32-2=a-2，故选A.4.【答案】D【解析】因为log a(1 + x) +log a(1-X)= m-n ,所以log a(1-x2) =log a 8%那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍（gROOQ az,精确到1年）？【答案与解析】1.【答案】【解析】由log a a =1,log a1 = 0知①②正确.2.【答案】10r lg10 j ；3.【答案】A【解析】lg2y =2log a y = m-n ,所以log a y =l(m -n).2全国名校高一数学优质课时训练汇编 (附详解)5.【答案】B【解析】-芽芽芽芽需沁厶心皿厶2，因为。