西南交《线性代数》离线作业-2014春季学期(优.选)

西南交《线性代数》离线作业1一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中， B 不是初等矩阵。

(A)(B)(C)(D)2. 则D。

(A)(B)(C)(D)3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) A 。

(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= C 。

(A) 4(B) －4(C) －64(D) 6416.行列式| 1 2 3 12, 4 1 2 5 | = 4 。

17.则t= 318.|AB|=019.λ=-320.k= 321.λ= 322.(2,3,1)T-23.答：题目等价为讨论123,,βββ线性无关的条件。

1122331312123230()()()0k k k k k k k k k βββλαλαλα++=⇔+++++=因为131232132=0,,=0=0k k k k k k λαααλλ+⎧⎪+⎨⎪+⎩线性无关，所以123,,βββ是Ax=0的一个基础解系，则齐次方程组132132=0=0=0k k k k k k λλλ+⎧⎪+⎨⎪+⎩只有零解，故系数行列式不为零。

3101001+0-101λλλλλ≠⇔≠⇔≠ 所以，-1λ≠时，123,,βββ是Ax=0的一个基础解系24. 设A 是反对称矩阵,E+A 是可逆矩阵。

是正交矩阵。

证明：因为A T=-A,故[(E-A)(E+A)-1]T [(E-A)(E+A)-1]=(E+A T )-1（E-A ）T （E-A)(E+A)-1=(E-A)-1（E+A ）（E-A)(E+A)-1（E+A ）与（E-A)可交 =(E-A)-1（E+A ） (E+A)-1（E-A)=E所以，(E−A) (E+A) −1是正交矩阵。

25. 已知3阶方阵A 可逆且求A 的伴随矩阵的逆矩阵.解：1111*1112*1*1***12*1 0 112 2 0,6,1/63 3 3632()1()6026032,632()()6602032A A A AAA AAA A A A A A AA AAA A----------⎛⎫⎪====⎪⎪⎝⎭-⎛⎫⎪===- ⎪⎪-⎝⎭===-⎛⎫⎪===- ⎪⎪-⎝⎭26.解：此题即为线性方程组11223344x+x+x+x=ααααβ的可解性问题，增广矩阵为：123410312103121121101101 (,,,,)23102600101421451000010Aa b a ba aααααβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪==→⎪ ⎪+++-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以，1a≠-时有唯一的线性表示，a=-1且b=1时有多种线性表示当1a≠-时，解方程得唯一的线性表示为：123111(23)(1)111b b ba a aβααα---=-+-++++a=-1且b=1时，线性表示为：121121324(23)(1)k k k k kβαααα=--+-++或线性表示的系数满足121234312101100010xxk kxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭27.解：对矩阵1234(,,,)121012101210211303330111224606660000123404440000A A αααα=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭进行初等行变换所以向量组1234(,,,)A αααα=的秩为2，12{,}αα是其一个最大线性无关西南交《线性代数》离线作业2一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 设向量组 α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( B )。

(A) α 1 − α 2 ， α 2 − α 3 ， α 3 − α 1 (B) α 1 ， α 2 ， α 3 + α 1 (C) α 1 ， α 2 ，2 α 1 −3 α 2 (D) α 2 ， α 3 ，2 α 2 + α 32.C(A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。

3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( C )。

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a 的值为 B 。

(A) 0四、主观题(共12道小题)15.设α 1 =( 6 −2 0 4 ) , α 2 =( −3 1 5 7 ) ，则3 α 1 −2 α 2 =（24,-8,-10,-2）16.设α=( −1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则αAB=(0,1,4)17.1*5|A|1/3,|3|3A-==18.是线性_相关_____的，它的一个极大线性无关组124,,ααα。

19.n时，此方程组只有零解。

20.是分块对角矩阵，其中|A|=(2n+1)!!21.|AB|=-822.a>1/223.为标准形。

解: 二次型的矩阵200A=032023⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭2-200E-A=0-3-2=-4]00-2-3(2)(1)(5)0=125λλλλλλλλλλ⎛⎫⎪-=⎪⎪⎝⎭---=（2）[(-3)解得，，所以A 的特征值为1,2,5.1-100-100E-A=0-2-2=0-2-20-2-2000()(0,1,1)TA E x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-的基础解系a20002E-A=0-1-20-2-1(2)(1,0,0)TA E x⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭-=的基础解系为a312312311233001005E-A=02-2=01-10-22000(5)(0,1,1)11 ,,(0,1,1),(1,0,0),(0,1,1)22100(,,),p020005TA E xa a a p p pp p p AP-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==-==⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭的基础解系为a将单位化得令P则是正交矩阵，且P故X=PY 是正交变换, 满足f = y12+2y22+5y32.24.解：12112111121=...=,141n n nn n nn na aU AU A U A U Ub b-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111111 1111111121()(2,3),,112111,,(2,3),1112211120232*3111203232*32n n n n n nn n n n nnnnA p pP P P AP D diag A PDPA PD PaUbσ--------------⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⎪⎝⎭特征向量：1112323n nnn nA U+-⎛⎫-= ⎪-⎝⎭25.{}{}{}123121234124123412341234()=2R()=3,,R,,,,,3,,,,,R,,=10RRαααααααααααααααααααααααα==++解：由Ⅰ，Ⅱ知线性无关且可由线性表出因而向量组与是等价的向量组，所以26.用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。

问：这个二次型是否是正定的？为什么？解：二次型的矩阵为:200032023A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，矩阵A的特征值为1231,2,5λλλ===西南交《线性代数》离线作业316.a=617._________________。

(1,2,3,4)(2,0,2,4)T Tk+--18.1,2a≠-时方程组有唯一解。

19.|A|=2420.t=621.1111120410211111,40620322002A X BA---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭解：22.解：A的特征值：|A-λE|=λ（λ-2）（λ-3），所以特征值是：0，2，3B的特征值为：k2,(k+2) 2,(k+3) 2,222(2)(3)kD kk⎛⎫⎪=+⎪⎪⎪+⎝⎭B为正定，则k2>0且(k+2) 2>0且(k+3) 2>0，即K≠0，-2，-3.23.01A⇔⇔≠证明:AB-A-B+E=E(A-E)(B-E)=E|A-E||B-E|=1,所以|A-E|，所以不是的特征值24.已知方阵(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得解：（1）由特征值和矩阵的关系：1231233(2)0,2,1()136A a ba btrace A aλλλλλλ⎧=+====-⎨=++=++=⎩解得（2）1212331123==3(1,2,1),(0,0,1)=0(1,1,0)(,,),(3,3,0)T TTppP p p p AP diagλλλ-=-====对于的特征向量为p对于的特征向量为则P25.解：因为|3E+A|=0，所以-3是矩阵A的特征值21*11*1*2160,410,-344,312T E A A AA AA A A A AA A A----==<=-≠==-=由AA得，。

由于故因为所以矩阵A是可逆的且是的一个特征值由于所以的一个特征值是由推得的另一个特征值是6最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word文本--------------------- 方便更改。