数模第一次作业 (1)

2016年数学建模论文

第套

论文题目：

专业、姓名：

专业、姓名：

专业、姓名：

提交日期：2016.6.27

题目：人口增长模型的确定

摘要

对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，先求对数用matlab里线性拟合求出参数，即人口净增长率r=0.0214,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.0268和人口所能容纳最大值m x=285.89,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，并计算了误差。

关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型

一、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示：

表1 人口记录表

试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。

二、问题分析

由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。

三、问题假设

1.假设所给的数据真实可靠;

2.各个年龄段的性别比例大致保持不变;

3.人口变化不受外界大的因素的影响；

4.马尔萨斯人口模型

（1）单位时间的人口增长率r 为常数； （2）将N t 视为t 的连续可微函数。 5.改进后的模型（阻滞增长模型） (1)人口净增长率r 为变化量。

四、变量说明

表2：变量说明

五、模型建立

1．马尔萨斯人口增长模型

t=1790时的人口数为1790x ,在t 到t+Δt 这一时间间隔内，人口的增长为

t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(

由于

0)({

N t N rN

dt

dN

== 则得到可建立含初始条件的微分方程)

(00)(t t r e N t N -=

2．阻滞增长模型

由韦尔候斯特假定，马尔萨斯模型应该改为

00

)()1({N t N N N N

r dt dN =-= 上式就是逻辑模型，该方程分离变量，其解为

)(0

0)1(

1)(t t r m

m

e N N N t N ---+=

六、模型求解

1.马尔萨斯模型求解

对每年的人口数取对数，用线性拟合求出N 0和r ，计算误差和对以后每隔十年进行人口预测。 程序结果为

p =

0.0214 -36.6198 N0 =

1.2480e-16 r =

0.0214 RM =

1.6975e+04

Malthus1 =405.5324 502.4002 622.4063 771.0778

955.261

1780

1800182018401860188019001920194019601980

050

100

150

200

250

300

350

图1.马尔萨斯人口模型与实际人口数据

得到马尔萨斯模型为t

e e t N 0214.016248.1)(-=

2.阻滞增长模型求解

我们假定美国人口上限为400，最大增长率为3%。

我们用lsqcurvefit 进行参数拟合并得到人口上限和最大增长率。 结果为：

x =

285.8973 0.0286

RM =

658.8203 Verhulst1 =

230.9164 242.5097 252.0172 259.6666 265.7272

1780

1800182018401860188019001920194019601980

050

100

150

200

250

图2 ；阻滞人口模型与实际人口数据 所以我们得到阻滞人口模型表达式为：

)

1790(0286.0)19

.38973.285(18973

.285)(---+=

t e t N

七、结果分析

1.马尔萨斯模型结果分析

从1990年每隔10年一直到2030年预测人口。结果为:405.5324 502.4002 622.4063 771.0778 955.2618。然而查阅相关年份美国实际人口数据，1990年为248.7百万，2000年为281.4百万，2010年为307.0百万。对于2020年和2030年实际还没有统计，因为没有发生，但通过前三个数据就可以看出马尔萨斯模型预测人口与实际有很大出入，所以必须对该模型做出改进，得到更符合实际的预测模型。

2.阻滞增长模型结果分析

根据该方程预测得到预测人口数为230.9164 242.5097 252.0172 259.6666 265.7272。其中1990，2000,2010年这三年的预测人口数斗鱼实际人口数据很接近。但还是有一定的误差，模型也存在一定的改进程度才能更符合实际情况。但从图形看，与实际拟合的很好。

八，模型的评价与推广

Malthus 数学模型在短期内具有较好的准确度，简易易行，但是不能准确的预测处人口长期的发展趋势，不具有预测人口长期增长数量的能力。为此，结合资料，考虑到一些实际因素，建立了能很好滴预测人口数量增长的logstic 模型。

在人口增长的整个过程中logistic 模型预测的数据与题中所给数据能很好地在误差范围内，几乎一致。但由于也存在误差，因此也可以通过相关多项式拟合出其方程，也是可以的，比如二次多项式，但次数不一定越高越好，应使模型所预的数据与实际数据更接近，才是比较好的模型。

logistic 模型在人口预测中，在医疗卫生中可以预测寻找某一疾病的危险因素（以及疾病的发展趋势），预测自然界中种群数量的增长等都发挥着巨大的作用。

九、参考文献

[1]秦新强，郭文艳,徐小平,胡刚. 数学建模.科学出版社,2015 [2]赵凤群,戴芳,王小侠,肖艳婷. 数学实验基础.科学出版社,2015 [3]肖华勇.生数学建模竞赛指南，电子工业出版社，2015 [4]陈华友，周礼刚.数学模型与数学建模，科学出版社，2008