高一数学利用函数的单调性解不等式

2 x2 3
2 x 3 x0
x2百度文库
5. 已知奇函数 f ( x ) 的定义 （0,） 域为（ ,0） 且满足条件:
解: 由已知得f ( （ , 0） yx )在 上也是增函数（可证）， 且 f ( -1 ) = 0
（1）在 （0,） 上是增函数 （2）f ( 1 ) = 0
(2) f(x1)=f(x2)
(3) f(x1)>f(x2)
x1
x1 = x2
> x2
(x1 = x2 )
(x 1 < x2 )
提高型练习
2. 求函数
y 1 log1 ( 2 x)
2
的定义域
解:依题意有
2–x <1 即 2–x>0
log1 (2 x) 0
2
∴所求函数的定义 域为 { x| 1 < x < 2}
1 ∴0 ≤ x < 2
则不等式f ( x ) > 0的解为
X > 1 或 -1< x <0
x 0 ∴有 x) f (1 1) x -1 f (0 x 0 或 f ( x) f (1)
∴f(x)>0的解为x>1
或-1<x<0
归纳方法
1 2
观察不等式两端 的特点， 化为同类函数
借助函数的单调 性，去掉“ f “
性 质
图
像
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
对数函 数 y = logax
y
a>1
定义域：( 0 , + ∞ ) 值 域：R
过点(1 ，0)即x = 1时y = 0 0 1 x a > 1 时: 在( 0 , + ∞ )上是增函数 0 < a < 1时: 在( 0 , + ∞ )上是减函数
性 质
0<a<1
图 像
基础型练习
1. 解下列不等式
（1）2 x > 4
（2） ( 1 ) x < 8
2
解： x > 2 解： x > -3 解： x > 100 解：0 x
1 4
（3）lgx > 2 （4） log1 x 2
2
小结：
指数函数、对数函数不等式的解法 1. 将不等式两边变成底数相同； 2. 利用函数的单调性，注意函数的定义域； 3. 若y=f(x)在区间D上是增(减)函数，则对于x1,x2 ∈D, 2 有： (1) f(x1)<f(x2 ) x1 < x2 (x1 > x 2)
1 2
且 f(
) = 0，求不等式f ( log 4 x ) > 0的解集；
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思考题
解：∵ 0∈[-1,1] 已知奇函数f(x)在定义域 [-1，1]上是减函数，解不 ∴ f(0) = 0
等式f ( 2x- 1 ) > 0
∴有
1 2 x 1 1 2 x 1 0
利用函数的单调性解不等式
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回顾指数函数、对数函数的图像与性质
指数函数 y = a x 0<a<1 y a>1 定义域：R 定义域：R 值
值域: ( 0 , + ∞ ) 域：(0 , + ∞ )
1
0 x
过点(0 ，1),即x=0 时 y=1 a>1时，在R上是增函数 0<a<1时，在R上是减函数
x log ( 3 1) 3 3. 解不等式 ： 1 2
解：原不等式等价于 log 1 (3x 1) log 1 8
3 1 0 3x 1 8
x
2
即
3x 1
2
3x 9
∴所求不等式的解集 为{x| 0 < x < 2}
（1）当 a > 1时有： 解：
3x 2 0 2x 0
( a > 0,且a 1 ) 的取值范围
4. 已知函数 f(x)=loga (3x 2)
2 x 3 x0
x2
3x 2 2 x
∴x > 2
若 f ( x ) > loga ( 2x ), 求x
（2）当 0<a < 1时有：
3x 2 0 2x 0 3x 2 2 x
归纳方法
3
注意定义域及单调 区间（特别是对数 函数中真数大于0）
课后作业
3 x , x 1 1. 已知f(x) = ，若f(x) = 2，则x= x, x 1
1 1 2. 函数f(x) = |lgx|，则f ( )， f ( ) ，f(2)的大小关系是 4 3
3. 已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，