一元二次方程根与系数的关系

的两根为x1、x2, 则
x1 x2 b a.
c x1 x2 a
.
证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
X1+x2=
b b2 4ac 2a
= 2b
2a
=
-b a
b b2 4ac
+
2a
X1x2=
c a
2、熟练掌握根与系数的关系；
3、灵活运用根与系数关系解决问题.
基本知识
下列方程的两根的和与两根的积各是多少？
⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2
⑶.2X2+3X=0
⑷.3X2=1
(1). x1 x2 3
(2).
x1
x2
2 3
(3).
x1
x2
3 2Fra Baidu bibliotek
(4). x1 x2 0
x1x2 1
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
4.已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根
是 x1, x2且 x12 x22 4， 求k的值.
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
x1 x2
2 3
x1x2 0
1
一元二次方程的 根与系数的关系
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
b b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0
（3）3x2-4x+1=0 (4) 2x2+3x-2=0
方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0
b
b2 4ac 2a
●
b b2 4ac 2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a2
4ac
c
= 4a2 = a
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2=
-b a
,
c
x1x2 = a
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
b a
时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么
X1+X2= －P , X1X2= q .
一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们 又 称之为韦达定理.
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
x1+x2=
-
2
,
x1
·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1 x2
+
(x1+x2)+1
=-2+( 3
2
)+1=
5 2
3.设x1，x
为方程
2
x2
4x
1
0的两个根，
则：
x1 x2 4 x1 x2 1
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ＝ 14
(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ＝ 12
两根
x1
x2
3
4
1 -4
1
1
3
-2
1
2
两根和 两根积
X1+x2 x1x2
7
12
-3
-4
4
1
3
3
-3
-1
2
方程
两根
两根和 两根积
x1
x2 X1+x2 x1x2
x2-7x+12=0
3
4
7
12
x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
1
-4
-3
-4
1
1
4
1
3
3
3
-2
1
-3
-1
2
2
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
1. 1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
2. x1 x2 x12 x22
x2 x1
x1 x2
(x1 x2 )2 2x1x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1
4. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
16
x2= 3
,
又x2●1=
m 3
,
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1) 的值.
解：由根与系数的关系,得
(1) x2 - 2x - 1=0 x1+x2=2
(2)
2x2
-
3x
+
1 2
=0
3
x1+x2= 2
x1x2=-1
1
x1x2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2=0
4
x1x2= - 3
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2,
且│x1－x2│=2,求k的值.
小结：
1.一元二次方程根与系数的关系？
如果ax2 bx C 0(a 0)的两根分别是
x1 ,
x2 则有 x1
x2
b a
;
x1. x2
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △=-8＜0 ∴k=4(舍去） 当k=-2时，△=4＞0 ∴ k=-2
6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两 个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围；
（2）当x12-x22=0时，求m的值.
6.（2013•荆州）已知：关于x的方程
由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） x12 x22 ;
11
（2)
x1 x2
;
(3) (x1 1)(x2 1) ; (4) x1 x2 .
另外几种常见的求值:
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法二：设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2