“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
2013年“华约”自主招生数学全真模拟(附详案)
2011 am 2 ，则正整数 m 的最小值为( 2012
A 4025 B 4250 C 3650
8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 1,2,,9
的 9 个小正方形（如图） ，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且 “3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120 9．设
2
2
14.（本小题满分 14 分）在△ABC 中，设 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c 向量 m ),若 | m n | 2, （1）求角 A 的大小； （2）若 b 4 2 , 且c
2a, 求ABC 的面积.
（I）求 F
1 2 2008 F ... F ; 2009 2009 2009
（II）已知数列 an 满足 a1 2 , an1 F an ,求数列 an 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an 2n 1 .
（1）求双曲线方程； （2）设 Q 为双曲线 C 右支上动点， F 为双曲线 C 的右焦点，在 x 轴负半轴上是否存在定 点 M 使得 QFM 2QMF ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
12.（本小题满分 14 分）已知函数 F x
3x 2 1 , x . 2x 1 2
并且 m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（ （A）60 个 （B）70 个 （C）90 个
） ． （D）120 个
7 ． 数 列 an 定 义 如 下 ： a1 1, a 2 2, an 2
2013年北约数学试题
2013年北约自主招生数学试题解析1、以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．62、在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A ．720B ．20C ．518400D ．144003、已知522+=y x ，522+=x y ，求32232y y x x +-的值．4、如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，DN DM ,分别为ADC ADB ∠∠,的角平分线，试比较CN BM +与MN 的大小关系，并说明理由．5、设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．6、模长为1的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求zy x zxyz xy ++++．ＡＣＮ27、最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．8、已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．9、对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．10、已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}n m ij a ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}nm ij a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯'，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i j i a a 21''<，试判断{}n m ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．【参考答案】1、解析：显然)2)1)((2(32+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．若存在n 次有理系数多项式)(x f 以2和321-为两根，则)(x f 必含有因式)2)1)((2(32+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．2、解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有2036=C 种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法． 故停放方法共14400645620=⨯⨯⨯⨯种．故选D ．3、解析：∵32232y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x50)(154-+--=y x xy ，又由522+=y x ，522+=x y ，有)(222y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．当y x =时，有522+=x x ，61±=x ，50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；当2-=+y x 时，5)2(22++-=x x ，1)2(=+x x50)(154-+--y x xy 20)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．4、解析：延长ND 至E ，使ED ND =，连结ME BE ,，则BED ∆≌CND ∆，MED ∆≌MND ，MN ME =，由EM BE BM >+，得MN CN BM >+．5、解析：∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ，特征方程442-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21⨯+=，将11=a ，52=a 代入上式，得411-=c ，432=c ，于是22)13(2)4143(-⨯-=⨯-=n n n n n a ，∴2011201326038⨯=a ． 6、解析：取1===z y x ，便能得到zy x zxyz xy ++++＝1．ＡＣＮ4下面给出证明，1===z z y y x x ，于是2z y x zx yz xy ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy zy x zxyz xy z y x zx yz xy ++++⨯++++= 1111111=++++++++++++++++=xy x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴z y x zxyz xy ++++＝1． 7、解析：设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2．则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．8、解析：设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是0222212011121112013321=+++++=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值，又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能． 9、解析：42cos 122cos 122cos 4)22cos 1(32cos 322336+++=+=θθθθθ， θθθ2cos 32cos 46cos 3+-=-，62cos 124cos 62+-=-θθ， θθ2cos 152cos 15-=-，各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326=---θθθθ．10、解析：数阵{}nm ija ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．若在第p 行存在)1(''+>q p pqa a，令)1()1('++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤时，)1(+≤q i qi t ta a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '即在第q 列中至少有p 个数小于pq a '，也就是pq a '在数阵{}n m ij a ⨯'中的第q 列中至少排在第1+p 行，这与pq a'排在第p 行矛盾．所以数阵{}n m ij a ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．。
2013年三大联盟自主招生数学试题及答案
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C
3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
2013年北约自主招生数学试题及答案解析版
证明: a1 a2 a3 a2013 0 .
【证明】:观察可知 a1 a2 a3 a2013 0 ,
即 (2a2 a1) (2a3 a2 ) (2a2013 a2012 ) (2a1 a2013) 0 ……①
所以方程 (x2 2)[(1 x)3 2] 0 的次数最小,其次数为 5,故选 C.
2.在 6 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆
车,每辆车只占一格,共有
种停放方法.
A. 720
B.
20
C. 518400 D. 14400
【解】红色车选
3
列有
B
A. BM CN MN
B. MN CN MN C. BM CN MN
M
D
D.无法确定 【解】如图,在 DA 取 DE DB ,连接 ME, NE, MN
则显然可证 ME MB, EN NC ,
A
N
C
B
且有 ME NE MN ,即 BM CN MN , 上述不等式当且仅当 MED DEN 180 , 也即 B C 180 , 这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选 A.
an 2n1
3 ,且 a1 2 20
1;
所以
an1 2n
1
3 n ,故令 n 2
2012 时,得 a2013
22012
3019 ,故选
A.
5.在 ABC 中, D 为 BC 中点, DM 平分 ADB 交 AB 于点 M , DN 平分 ADC 交 AC 于 N ,
2013年北约联考数学试题及解答
2013年自主招生北约联考数学试题及解答3.已知， , 求的值.解 suppose . Then which admits the solutions ,and .Now suppose . Taking the difference of the two equations gives ,or , or . Adding the two equations thengives . Since , we then find , or . Now wewrite我对老外解法的改进：suppose . Then which admits the solutions ,andNow suppose . .. and2013年自主招生北约数学第3、9题的解答注：复数A、B、C的模相等，就有同样的结论。
1.以√2和1－3√2为两根的多次项方程的最高次的次数最小为（）2.在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，要求所有车既不在同一行也不在同一列，共有（）种停放方法3.已知x2=2y+5，y2=2x+5,则x3-2x2y2+y3=( )4.⊿ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为∠ADB、∠ADC的角平分线，则BM+CN 与MN的大小关系为5.数列首项为1，前（n+1）项之和为第n项的四倍加二，则该数列的第2013项为（）6.模长均为1的复数A、B、C，满足A+B+C≠0，则（AB+BC+AC）／（A+B+C）的模长为（）7.至多有多少个正整数，它们中任意三个数之和均为质数？证明你的结论8.已知a1+a2+…+a2013=0，│a1-2a2│=│a2-2a3│=…=│a2013-2a1│，求证a1=a2=…=a2013=09.对于任意角θ，求32（cosθ）6-cos6θ-6cos4θ-15cos2θ的值10.行列式问题11.机械波在同种介质中的传播问题12.遗忘13.类似潜望镜的双平面镜光学系统，人看到的像与真实的物作比较，如何（上下左右比较）14.定性分析绝热体膨胀15.电压变化中用电器的亮度及功率问题16.同步卫星的半径及速率问题17.将斜面分成三等分，从下到上依次为A、B、C 和D，从A 释放初速度为V0，光滑，刚好到达D 点。
2013年“北约”“华约”自主招生电学部分模拟试题2
2013年“北约”“华约”自主招生电学部分模拟试题2 2013-3-2一．选择题（以下每题中有一个或一个以上选项符合题意，每小题3分，共30分） 1、如果把三个电量相等的同种点电荷固定在等边三角形ABC 的三个顶点上，在这三个点电荷形成的电场中，电场强度为零的点应在该三角形的 （ ）（A ）三个顶点上， （B ）任一条边的中点上， （C ）几何中心，（D ）任一条边的延长线上。
2、 如图，金属小球A 带有4 C 的正电，另一较大的金属球壳B 带有8 C 的正电，若把金属球A 置于金属球壳B 内，且不接触，金属球壳内、外两个表面的带电情况是 （ ）（A ）内表面带4 C 负电，外表面带12 C 正电， （B ）内表面带4 C 正电，外表面带4 C 正电， （C ）内表面带4 C 负电，外表面带4 C 负电， （D ）内表面带4 C 正电，外表面带12 C 负电。
3．如图所示，A 、B 为两种不同金属材料制成的导体，它们紧密接触，而且横截面积相同。
已知A 的电阻率大于B 的电阻率，a 、b 分别为两种导体内部的点。
在导体两端加一个恒定电压U ，导体内有恒定电流I 通过。
则 （A ）因为a 、b 都在导体内部，所以a 、b 两点的电场强度都为0。
（B ）导体内部为匀强电场，a 、b 两点的电场强度大小相等，方向相同。
（C ）a 、b 两点的电场强度方向相同但大小不同。
（D ）a 、b 两点的电场强度方向、大小都不相同。
4．如图电路中两个电池的电动势相等，内阻均不计，且电阻R 1＝R 2＝R 3，则三个电阻电功率的关系是（）（A ）P 1＝P 2＝P 3＝0（B ）P 1＝P 2＝P 3≠0。
（C ）P 1＝P 3＞P 2（D ）P 1＝P 3＜P 2 5．平行板电容器与电源连接充电。
若保持电源接通，先将一导体平板插入电容器两平板间，然后从另一侧抽出，如图所示。
则在此过程中（ ）（A ）插入和抽出导体板时电容器既不充电也放电（B ）插入和抽出导体板时电容器均充电 （C ）插入和抽出导体板时电容器均放电（D ）插入导体板时电容器充电，抽出导体板时电容器放电6．如图所示，有一上端固定的螺旋状导体弹簧，下端刚好与水银槽中的水银面接触。
2013年北约自主招生数学试题解析
4xy 15(x y) 50 4x(2 x) 20
Ａ
4x(x 2) 80 16．
4．如图，△ ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，DM、
Ｍ
Ｎ
DN 分别为∠ADB、∠ADC 的角平分线，试比较 Ｂ
BM＋CN 与 MN 的大小关系，并说明理由．
解析 延长 ND 至 E，使 ND＝ED，连结 BE、ME，
4xy 15(x y) 50， 又由 x2 2y 5 ， y2 2x 5 ，有 x2 y2 2(x y) ∴ x y 或 x y 2 ． 当 x y 时，有 x2 2x 5， x 1 6 ， 4xy 15(x y) 50 4x2 30x 50 38x 70 38x 70 108 38 6 ； 当 x y 2 时， x2 2(x 2) 5， x(x 2) 1
下面给出证明， xx yy zz 1，
于是
xy yz zx x yz
2
xy yz zx x yz
xy x
yz zx yz
xy yz zx x yz
xy yz zx x yz
111 xz yz yx zx zx yx 1． ∴ xy yz zx ＝1．
则都会出现三数之和为 3 的倍数．故 n 4 ． 当 n 4时，取 1，3，7，9，其任意三数之和为 11，13，17，19 均为素数，满足题意，
所以满足要求的正整数最多有 4 个．
8．已知 ai ， i 1,2,3,,2013为 2013 个实数，满足 a1 a源自 a3 a2013 0 ，且
2013年北约自招数学模拟试题2
2013年自主招生数学仿真试题--北约（ 考试时间：90分钟，总分100分）一、解答题1.（12分）设()=11=+1-nn k a k n k ∑，求证：当正整数2n ≥时+1<n n a a2.（13分）在平行四边形ABCD 中，AB=x ，BC=1，对角线AC 与BD 的夹角=45BOC ∠ ，记直线AB 与CD 的距离为()h x ，求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围。
3.（15分）已知函数()=sin f x x 的图像与直线()=>0y kx k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1+=sin +sin 34ααααα4．（15分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝CE ·GF .5.（15分）已知点(),E m n 为抛物线()2=2>0y px p 内一定点，过E 作斜率分别为12,k k 的两条直线交抛物线于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点；（1）当=0n 且12=-1k k ⋅时，求EMN 的面积的最小值（2）若()12+=0,k k λλλ≠为常数证明：直线MN 过定点。
6.（15分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。
问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。
抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。
）7.（15分）某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n为老师作为指导教师，在该小组的一次活动中，每位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导老师各提一个问题，以上所有问题各不相同，共有51个问题，试求m，n的值。
2013年北约自主招生数学试题与答案解析
2013年北约自主招生数学试题与答案2013-03-16（时间90分钟，满分120分）(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,abcd e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？A. 720B. 20C. 518400D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 3.已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==-3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.4.数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a . A. 3019⨯22012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-， 则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以B M C N B M B E +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C ++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232a a a a R ∈ 、、、、，满足12320130a a a a ++++= ，且122334201220132013122222a a a a a a a aa a -=-=-==-=- ，求证：12320130a a a a ===== .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++= ，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-= ，则1223342222a a a a a a a a ---- 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=- （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a ===== .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ==== .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m = 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija '，即对任意的123j n = 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =- 、、、、. 若存在一组(1p qp qa a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m = 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m = .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i = 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。
2013华约自主招生数学试题
2013年华约自主招生数学试题1. （10分）集合{|10,}A x x x N *=≥∈，B 为A 的子集，若集合B 中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数之和不为9．（1）B 中两位数有多少？三位数有多少？（2）B 中是否有五位数？六位数？（3）若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列，第1081个数为多少？2. （15分）1sin sin 3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin()x y -与cos()x y +的值．3. （15分）直线y kx =与y kx =-上两点(,)A A A x y 、(,)B B B x y ，2||||1OA OB k ⋅=+．（1）求AB 中点M 的轨迹C ；（2）若曲线C 与22x py =相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程．4. （15分）7个红球，8个黑球，从中任取4个球．（1）求取出的球中恰有1个是红球的概率；（2）求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X ；（3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率．5. （15分）21n nn a ca a +=+，10a >，0c >，求证： （1）对0M ∀>，总存在正整数N ，使n N >满足n a M >；（2）11n n b ca =+，12n n S b b b =+++…，对任意0d >总存在k 使得n k >时，110||n S d ca <-<．6. （15分）,,x y z 是两两不相等且大于1的正整数，若|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---，求,,x y z 的所有值．7. （15分）已知()(1)1x f x x e =--，求证：（1）对0x ∀>，()0f x <；（2）若11n n x x n x e e +=-，求证：{}n x 单调递减且12n nx >．。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有 且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极 大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹
2013年“北约”自主招生训练题二
2013年“北约”自主招生训练题二1、函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .2、设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.3、圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．4、在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B A ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为 ．5、设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．6、已知平面上两定点A （－3，0），B （0，－4），P 为曲线12(0)y x x=>上任意一点，过点P作PC ⊥x 轴，PD ⊥y 轴，垂足分别为C,D ，则四边形ABCD 面积S 的最小值为 7、函数()2f x x =-__________________________.8、函数22*()sincos()kkf x x x k N =+∈的最小值为9、设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||A C A BO P O A A C A B λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 10、函数21)(2+-=x x x f 的值域是__________________。
11、若ABC ∆为锐角三角形，满足)cos(sin sin B A BA +=，则A tan 的最大值是___________。
12、将9,,2,1 随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=__________。
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“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题
（满分150分）
5. 设P 是抛物线2
440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,
且分PA
所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .
第二部分：解答题（共5小题 每题20分）
1设集合()1
2log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围
2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于1
2-P 个
3. 设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22
ππ
θθ∈-,
使向量2
(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .
(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.
4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线2
4y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.
(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.
5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,222
2θπ
θθn b a A b
a a
b b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数
参考答案
一、选择题
1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有2
2
sin 4cos αα=,即2
2
1cos 4cos αα-=.
则2
1cos 5
α=,原式=2222
16cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2.
设
x a bi
=+,
,a b R
∈,代入原方程整理得
22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=
有2
2
22560450
a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232
a b ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.
3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则
])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.
)2201515(2)22015()22015(22
+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个
位数字为零.
因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.025
5220
155220150=<
+=
-<， 且19
88)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.
又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722
877
n n k n --==+
. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．
5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)
3
y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+
而2
000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是2
91240y x --=. 二、解答题
1. 解：{}
13A x x =-≤<，()(){}
30B x x a x a =--<．
当0a >时，{}
03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；
当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；
当0a =时，{}
2
0B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．
综上所述，()()1,00,3a ∈-
2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
这些集合中没
有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。
这样在m A A A ,,,21 中至多有A （所有P 条建议所组成的集合）的
1222
1-=⨯P P
个子集，所以.21-≤P m
3. 解:(I)
由
c d
⊥ ,
110
22
a b ⋅=⋅= ,得
2
[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+
=223(tan 3tan )0ma b θθ-+-= ,即22
3
(tan 3tan )m a b θθ=- ,得
31(tan 3tan )()422
m ππθθθ=--<<.
(II)由tan t θ=,得3
1()(3),4
m g t t t t R ==-∈
求导得''
23()(1)4
m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =
当(,1)t ∈-∞-,'
()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'
()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4
π
θ=-时,()m g t =有极大值
12;当1t =,即4
π
θ=时,()m g t =有极小 值1
2
-
.
4．解:(I)1(1,0)F ,12AF BF ==设2(,)F x y 则
121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹
方程为1x =和
22
(1)(2)184
x y --+=(0,4y y ≠≠) (II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:
22
(1)(2)184
x y --+= ①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点,
把y x m =+代入椭圆的方程并整理得22
3(104)2810x m x m m --+-+=
由0∆=,得1m =±
【评述】把n A 为与复数n
i )sin (cos θθ+联系在一起是本题的关键。