高等代数考试大纲

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801《高等代数》考试大纲

801 《高等代数》考试大纲一、考试要求1．掌握基本的代数运算方法，包括：行列式的计算，矩阵运算（乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的判定及求解，多项式运算（带余除法，辗转相除法，综合除法）等.2．掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，一元多项式的整除性及因式分解.3．掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间和酉空间，正交变换与正交矩阵, 对称变换与对称矩阵, 主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.二、考试内容第一部分多项式1.一元多项式的定义和基本运算；2.多项式的带余除法与综合除法，多项式整除性的常用性质；3.多项式的最大公因式概念及性质，辗转相除法；4.不可约多项式的概念及性质，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式；5.多项式函数与多项式的根的概念及性质；6.代数基本定理，复数域和实数域上多项式的因式分解定理，Vieta定理；7.整系数多项式的有理根，Eisenstein判别法；8.多元多项式概念及字典排列法，对称多项式.第二部分行列式1. 线性方程组和行列式的关系，排列、n阶行列式及其子式和代数余子式；2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法；3. 克拉默法则.第三部分线性方程组1.线性方程组求解的消元法；2.矩阵的秩的概念，用矩阵的初等变换求秩；3.线性方程组可解的判别法；4.两个多项式的结式和多项式的判别式.第四部分矩阵1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则；2.逆矩阵概念，矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质，求可逆矩阵的逆矩阵的方法；3.矩阵的分块法，分块矩阵的运算法则.第五部分向量空间1. 向量空间及子空间的定义；2.向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关性的判定条件和性质，向量组的极大无关组；3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换式；4.向量空间的同构及其性质；5.齐次线性方程组的解空间与基础解系；线性方程组的结构式通解.第六部分线性变换1. 向量空间线性映射概念及其相关性质；2.线性变换的运算和矩阵的相似关系；3.不变子空间及其性质；4.方阵的特征值和特征向量；5.可以对角化的矩阵.第七部分欧氏空间和酉空间1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt正交化方法；2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质；3. 对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵.第八部分二次型1. 二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系；2.复数域和实数域上的二次型，用正交变换化实二次型为标准形的方法；3.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件和性质；4.主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.参考文献1.张禾瑞，郝鈵新《高等代数》（第四版）高等教育出版社 19992.北京大学数学系《高等代数》（第三版）高等教育出版社 20033.丘维声《高等代数》（第二版）高等教育出版社 2003。

《高等代数》考试大纲

五邑大学2021年硕士学位研究生招生《高等代数》课程考试大纲一、课程的性质，目的和任务高等代数是数学（数学与应用数学，数学教育）专业的一门重要基础课程。

通过本课程的教学，应培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识，为学习后继课程服务。

二、基本要求这门课程大致分为两部分:多项式理论和线性代数。

前者以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论，向量空间和线性变换。

本课程应着重于基本理论的讲授和基本技能的培养和训练,不适求内容上的完备和全面.三、考试范围(一)多项式理论1. 数域 (A)2. 整除的概念 (A)3. 最大公因式. (A)4. 因式分解定理. (A)5. 重因式. (A)6. 多项式函数. (A)8. 复系数与实系数多项式的因式分解. (A)9. 有理系数多项式. (A)*10.多元多项式. (B)*11.对称多程式. (B)(二) 行列式1. 排列. (A)2. n阶行列式的定义和性质. (A)3. 行列式的依行和依列展开. (A)4. 行列式的计算. (A)5. Crammer法则(克莱姆法则). (A)6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法规则. (A)(三)线性方程组1. 线性方程组的消元法. (A)2. n维向量空间 (A)3. 线性相关性. (A)4. 矩阵的秩. (A)5. 线性方组有解的判定定理. (A)6. 线性方程组解的结构. (A)7. 二元高次方程. (B)(四) 矩阵1. 矩阵的概念与运算. (A)2. 矩阵乘积的行列式与秩. (A)3. 矩阵的逆. (A)4. 矩阵的分块. (A)5. 初等矩阵. (A)(五) 二次型1. 二次型的矩阵表示. (A)2. 标准形. (A)3. 唯一性. (A)4. 正定二次型. (A)(六) 线性空间1. 线性空间的定义与简单性质. (A)2. 维数.基与坐标. (A)3. 基变换. (A)4. 线性子空间 (A)5. 子空间的交与和. (A)6. 子空间的直和. (A)7. 线性空间的同构. (A)(七) 线性变换1. 定义和例子 (B)2. 线性变换的运算. (A)3. 线性变换的矩阵. (A)4. 特征值与特征向量. (A)5. 对角矩阵. (A)6. 线性变换的值域与核. (A)7. 不变子空间. (A)8. Jordan标准形介绍. (B)(八) 入一矩阵1. 入一矩阵. (A)2. 入一矩阵在初等变换下的标准形. (A)3. 不变因子. (A)4. 矩阵相似条件. (A)5. 初等因子. (A)*6.Jordan标准形的理论推导. (C)(九) 欧几里得空间1. 定义与基本性质. (A)2. 标准正交基. (A)3. 同构. (A)4. 正交变换. (A)5. 子空间. (A)6. 对称矩阵的准形. (A)四、主要教材和参考书1. 北京大学数学力学系，高等代数（第二版），高教出版社。

《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲（一）多项式考试内容数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。

考试要求1。

掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。

2。

掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。

3。

掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。

4。

理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。

5。

了解不可约多项式的概念及其性质。

6。

了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。

(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质；行列式计算；行列式按行（列）展开；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。

考试要求1。

理解行列式的概念，掌握行列式的性质，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。

2。

会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。

(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。

矩阵的概念；矩阵的基本运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算考试要求1。

理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。

2。

理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。

3。

理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

4。

理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。

5。

理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。

6。

掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。

掌握方阵的多项式概念。

7。

2020云南专升本《高等代数》考试大纲

一、考试内容概述《高等代数》是数学与应用数学的重要的基础内容，其主要内容是一元多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间(亦称线性空间)、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的基本概念、基本知识和一些数学的基本思想方法。

要求考生理解和掌握映射、数域、带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等相关知识；会应用行列式的性质计算行列式，掌握行列式的一些基本计算方法；理解线性方程组解的相关理论并掌握求解方法及解的表示；掌握矩阵理论并能灵活应用；理解向量空间和欧氏空间的一些基本概念并掌握相关知识的计算方法且能灵活应用；理解和掌握线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间、正交矩阵等相关知识；掌握正定二次型的等价条件及二次型的标准形并会判定。

要求考生具备逻辑推理、抽象思维与综合分析问题的能力。

能运用高等代数中的基本知识、基本理论进行推理和论证。

考生还应熟练掌握高等代数中常用的计算方法，掌握基本运算中的技能、技巧，提高综合计算和解决问题的能力。

二、考试形式满分：150分(单科成绩)。

考试时间：120分钟。

三、试题难易程度分布较易试题约占50％中等试题约占30％较难试题约占20％四、内容比例基本概念约占3％一元多项式约占12％行列式约占16％线性方程组约占10％矩阵约占16％向量空间与欧式空间约占23％线性变换约占13％二次型约占7％五、参考教材北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，王萼芳、石生明修订：《高等代数》，高等教育出版社2003年7月第三版。

2．张和瑞、郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社2007年6月第五版。

六、考试内容及要求(一)基本概念考试内容：1．映射。

映射的定义，满射、单射与双射，映射的相等，映射的合成，逆映射。

2．数域。

数域的定义，最小的数域。

考试要求：1．熟记映射、满射、单射、双射的定义，理解它们之间的联系与区别。

936_高等代数

高等代数考试科目大纲一、考试性质高等代数是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生院校自行命题的选拔性考试。

本考试大纲的制定力求反映招生类型的特点，科学、平等、确切、规范地测评考生的相关基础知识控制水平，考生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。

应考人员应按照本大纲的内容和要求自行组织学习内容和控制有关知识。

二、评价目标1、要求考生理解该课程的基本概念和基本理论，控制该课程的基本主意。

2、要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力。

3、要求考生具有综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试范围及其基本要求1、行列式考试范围：n阶行列式的定义，n阶行列式的性质与计算。

基本要求：（1）理解罗列及其逆序数，理解n阶行列式的定义，能利用定义计算行列式的值。

（2）熟练控制行列式的性质，能熟练计算低阶行列式的值，能计算较容易的n阶行列式的值。

2、矩阵考试范围：矩阵及其运算，分块矩阵与矩阵的初等变换，矩阵的秩，可逆矩阵。

基本要求：（1）理解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反驳称矩阵、方阵的幂及矩阵的转置等概念，熟练控制矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算逻辑。

（2）理解分块矩阵、准对角矩阵、初等变换和初等矩阵的概念，熟练控制分块矩阵的运算。

（3）理解初等变换与初等矩阵的概念及基本作用，了解矩阵等价的概念及第 1 页/共 6 页性质，能用矩阵的初等变换化矩阵为标准形。

（4）理解矩阵的子式、矩阵的秩的定义，熟练控制矩阵的秩的性质，能求矩阵的秩。

（5）理解满秩矩阵的概念，控制满秩矩阵的性质。

（6）控制两个方阵与其乘积的秩的关系式，能熟练运用方阵乘积的行列式的公式。

（7）理解可逆矩阵的概念，控制可逆矩阵的性质，控制矩阵可逆的充足须要条件。

（8）理解陪同矩阵的概念，控制陪同矩阵的性质，会用陪同矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵，能熟练运用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，能解矩阵方程。

考研《高等代数》(学术学位)考试大纲

掌握可逆矩阵、奇异矩阵、非退化矩阵等概念。会计算方阵的伴随矩阵，能计算可逆阵的逆矩阵。能利用分块方法进行矩阵运算。能证明有关结论。
（3）初等矩阵与初等变换
掌握矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，明确二者关系。能熟练进行矩阵的初等变换，能利用初等变换求解线性方程组，并能进行有关证明。
(4) 相似矩阵与矩阵合同
三、主要参考书目
1、《高等代数》（第三版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组著，高等教育出版社 2003 或之后版本
2、《高等代数（上下册）》（第二版），丘维声著，高等教育出版社，1999 或之后版本
硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
科目代码、名称:
专业类别：
■学术学位□专业学位
适用专业:
数学
一、基本内容
1、多项式
本部分要求掌握一元多项式及其整除问题、多项式函数、最大公因式、重因式和因式分解定理等有关概念和基本结论，能够进行多项式的有关计算和有关问题的证明。
2、行列式
（1）定义与性质
要求熟悉排列、逆序、对换等概念；理解行列式的定义；掌握行列式的性质。
9、欧几里得空间
掌握欧几里得空间的定义与性质，掌握内积、正交性、标准正交基的概念及有关计算方法，能证明有关性质和结论。
二、考试要求（包括考试时间、总分、考试方式、题型、分数比例等）
考试时间：180分钟
总分：150分
考试方式：笔试，闭卷
题型：填空题，计算与证明题
分数比例：填空题（60分）占40%，计算与证明题（90分）占60%。
（3）线性方程组解的结构
掌握线性方程组解的判定定理，会求有解的线性方程组的通解，熟练掌握线性方程组常用的解
法，并能证明有关结论。
4、矩阵

864高等代数

题号：864《高等代数》考试大纲一、考试内容(一) 行列式1．n阶行列式的概念和基本性质。

2．行列式按一行(列)展开定理，Laplace定理，行列式乘积法则。

(二) 矩阵1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。

2．矩阵的秩的概念及性质。

3．矩阵的初等变换，等价矩阵，等价标准形。

4．初等矩阵的概念和性质。

5．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。

6．分块初等矩阵及应用。

(三) 向量1．向量的概念、运算，向量的内积。

2．向量组的线性相关与线性无关。

3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。

4．等价向量组的概念和性质。

5．向量空间的概念，基与正交基、规范正交基。

(四) 线性方程组1．Cramer法则。

2．求解线性方程组的消元法。

3．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

4．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。

5．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。

(五) 相似矩阵1．矩阵的特征值与特征向量的概念、性质。

2．相似变换、相似矩阵的概念及性质。

3．矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵。

4．正交矩阵、实对称阵及其性质，实对称阵正交相似于对角阵的计算。

5． ‐矩阵及其标准形，行列式因子，不变因子，初等因子。

6．Jordan标准形及相似变换阵的计算。

7．Hamlton-Cayley定理，最小多项式。

(六) 二次型1．二次型的矩阵表示及秩。

2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。

3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。

4．用正交变换化二次型为标准型。

5．一般数域、复数域、实数域上二次型的标准形和规范形，惯性定理。

6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。

(七) 线性空间1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。

2．线性子空间及其交与和的基与维数。

3．线性空间的基变换和过渡矩阵。

4．线性子空间的直和。

5．线性空间的同构。

(八) 线性变换1．线性变换的概念及矩阵表示。

《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲一．课程任务二．教材与参考书目1．教材：1.《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第三版，高等教育出版社，2003年7月。

2．《高等代数辅导与习题解答》王萼芳，石生明编，高等教育出版社，2007年2月。

3．《高等代数》丘维声编，第二版，高等教育出版社，2002年7月。

4.《LinearAlgebra》彭国华，李德琅编，高等教育出版社，2006年5月。

5.《高等代数解题方法与技巧》李师正主编，高等教育出版社，2004年2月。

三．课程考核方法与命题要求本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。

平时成绩占30%，期末成绩占70%。

考试大纲根据教学目标，划分标准为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。

本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。

（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）四．课程内容与考核要求第一章基本概念1．知识范围：本章主要介绍集合，映射，数学归纳法，整数的一些整除性质，数环和数域的基本知识。

2．考核要求：深入理解集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系，掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件，理解和掌握数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。

能够判别一些数集是否为数环、数域。

3．考核知识点：映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射，映射可逆的充要条件，数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质，数环、数域的概念。

第二章多项式1．知识范围：本章主要讨论了多项式的整除性，最大公因，因式分解及在常见数域（有理数域、实数域、复数域）上多项式的约性，多项式根的一些性质，属多项式代数的基本知识，是对中学所学知识的加深和推广。

《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲（适用专业：数学与应用数学、应用统计学）第一章基本概念一.主要内容1、集合子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域二. 考试要求（一）掌握1、集合的交与并及其运算律2、映射满射单射双射映射的相等映射的合成3、数环和数域的定义及性质4、数学归纳法的运用（二）理解1、集合的交与并及其运算律2、可逆映射映射可逆的充要条件3、数环和数域的判别（三）了解自然数的最小数原理第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质第二章多项式一. 主要内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理二. 考试要求（一）掌握1、一元多项式的定义和运算2、整除的基本性质带余除法定理3、最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、余式定理综合除法多项式的根的概念7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根（二）理解1、不可约多项式概念2、多项式的重因式概念3、多项式函数与多项式的根4、多项式函数的概念5、本原多项式的定义 Gauss引理6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法（三）了解1、对称多项式的概念2、多元多项式的概念3、多元多项式的概念字典排列法初等对称多项式对称多项式基本定理三. 说明本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。

《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲一、《高等代数》的课程性质高等代数是数学与应用数学专业、信息与计算机科学专业和统计学专业一门重要基础课，是中学代数的继续和提高，但是又与中学代数有很大不同，表现在内容的深度和广度上，更主要表现在观点和方法上。

具体表现在内容的高度抽象性、推理的严密性和解题技巧的独特性。

本课程最活跃研究内容：数域上一元多项式理论、行列式、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换矩阵、欧氏空间和双线性函数。

方法的特点：在阐述上更强调一般性原则，广泛使用公理化方法，用结构化方法揭示代数系统的内部构造，用矩阵表示作为主线，受整体、统一思想的支配，逐步抽象出高等代数的各个基本概念，揭示代数研究问题的基本方法。

二、《高等代数》课程的教学目的和要求高等代数的教学目的要求是：通过本课程的学习，不仅要求学生掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能，而且要求学生初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。

培养学生整体思考问题的能力，使之理解代数思想、公理化方法，把握概念的内涵和外延，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力，为进一步后继课程的学习及继续深造或从事教学工作打下坚实的基础。

三、《高等代数》课程的知识点与考核要求第一章：多项式1、考核知识点：（1）、一元多项式的定义、运算、性质，次数的定义和次数公式；（2）、多项式整除的定义，整除的性质，带余除法；（3）、最大公因子的定义、性质和求法；（4）、多项式互素的概念和性质；（5）、多项式的可约性，因式分解及唯一性定理，标准分解式；（6）、重因式的概念与判别法，求多项式重因式的方法；（7）、多项式函数、多项式根的概念，根的个数定理，多项式相等与根的关系，判别某数是多项式根的综合除法；（8）、复数域和实数域上不可约多项式的特征，因式分解定理；（9）、有理系数多项式是否可约的判别法，根与系数的关系，有理根的求法。

研究生考试大纲研究生考试7.《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲一、课程简介高等代数是数学专业的基础课之一。

主要内容包括：多项式理论；线性方程组；行列式；矩阵；二次型；线性变换；欧氏空间等。

本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的代数学基本思想和基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。

既有较强的抽象性和概括性，又具有广泛的应用性。

对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力有着重要作用。

二、考查目标主要考察考生对高等代数的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。

三、考试内容及要求第一章多项式一、考核知识点1、熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。

2、熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充要条件。

3、熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。

4、熟悉重因式的概念，熟练掌握k重因式的判定方法。

5、熟悉有关多项式函数的概念、余数定理。

6、熟练掌握代数基本定理，复系数多项式、实系数多项式因式分解定理的内容。

7、掌握本原多项式的概念。

熟练掌握有理系数多项式与整系数多项式因式分解的关系。

熟练掌握整系数多项式有理根的性质和求法。

熟练掌握Eisenstein 判别法及应用。

二、考核要求识记：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，次数定理, 整除的概念和常用性质，带余除法，最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理，标准分解式的概念，重因式的概念、性质，多项式函数的概念、性质及根，代数基本定理，复系数与实系数多项式的因式分解定理，本原多项式的概念、性质，Eisenstein判别法。

简单应用：1、会求解或证明最大公因式。

2、会求有理系数多项式的有理根。

第二章行列式一、考核知识点1、掌握排列、逆序数、奇排列、偶排列的概念，熟悉对换的概念和性质。

2、深刻理解n级行列式的概念。

会用定义确定行列式各项的符号及简单行列式的值。

3、熟练掌握行列式的性质，并利用行列式性质计算行列式。

硕士研究生入学考试大纲高等代数

目录I 考查目标 (2)II 考试形式和试卷结构 (2)III 考查内容 (2)IV. 题型示例及参考答案 (4)全国硕士研究生入学统一考试高等代数考试大纲I 考查目标要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。

二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容与题型结构计算题（30%）、证明题（70%）III 考查内容一、多项式1.熟练掌握多项式因式分解理论及整除理论。

2.掌握多项式、不可约多项式、最大公因式、重因式的概念；掌握整除、互素、不可约等概念的联系与区别。

3.掌握带余除法、辗转相除法、艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。

4.会求两个多项式的最大公因式，会求有理系数多项式的有理根，会判别两个多项式互素。

二、行列式1.熟练掌握行列式的性质及行列式的计算。

2.掌握n阶行列式的定义。

3.掌握克拉默（Cramer）法则。

三、线性方程组1.熟练掌握向量线性相关性的概念、性质、判别法，会求向量组的秩及最大线性无关组。

2.掌握基础解系的概念及计算，熟练掌握线性方程组的解的判别定理，以及齐次和非齐次线性方程组的求解。

3.熟练掌握矩阵的秩的概念及计算。

四、矩阵1.熟练掌握矩阵、可逆矩阵、初等矩阵的概念与性质。

2.理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算及思想方法。

3.熟练掌握矩阵的加法、减法、乘法，数乘、转置等运算。

4.熟练掌握可逆矩阵的判别方法及逆矩阵的计算。

5.能熟练使用矩阵的初等变换方法。

五、二次型1.掌握二次型的标准形、实二次型的规范形的概念。

2.熟练掌握正定二次型的概念、性质、判别方法。

3.掌握化二次型为标准形的思想方法。

4.理解合同矩阵的概念及背景。

六、线性空间1.掌握线性空间、子空间的概念及判定方法。

高等代数考试大纲

《高等代数》考试大纲一、考试题型1、填空题2、选择题3、计算题4、综合题二、考试参考用书《高等代数》,北京大学数学系编，高等教育出版社，2013年，第四版三、考试内容第一章多项式理解：一元多项式和整除的概念、因式分解定理、重因式；掌握：最大公因式、多项式互素、复数和实数域上多项式因式分解、理系数多项式的有理根的求法和Eisenstein判别法。

第二章行列式理解：排列、n阶行列式的概念；掌握：行列式的性质以及计算方法、克拉默法则。

第三章线性方程组了解：解方程组的消元法和n维向量空间的概念；掌握：线性相（无）关的概念及性质、矩阵的秩、线性方程组有解的判定方法以及解的结构。

第四章矩阵了解: 分块矩阵及其运算、分块矩阵乘法的初等变换及应用；掌握：矩阵的概念和运算、矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆、初等矩阵的概念及其应用、准对角矩阵的运算与应用。

第五章二次型理解：二次型的概念及矩阵表示；掌握：二次型的标准形和唯一性、正定二次型的概念、性质及判定方法。

第六章线性空间了解：集合与映射、线性空间的同构；理解：线性空间的定义及性质、线性子空间；掌握：维数、基及坐标的概念、基变换与坐标变换、线性子空间的交与和运算及性质、子空间的直和。

第七章线性变换了解：最小多项式；理解：线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当标准形；掌握：线性变换的定义及运算、线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念及计算方法。

第八章λ-矩阵了解：λ矩阵及其标准形、λ矩阵的相似、K阶行列式因子，不变因子、初等因子的定义和求法、矩阵Jordan标准形的概念和求法。

第九章欧几里得空间理解：欧几里得空间的定义及性质、正交变换、欧几里得空间的同构；掌握：标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标准形。

820高等代数考试大纲

黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲考试科目名称：高等代数考试科目代码：[820]一、考试内容及要求一、行列式1．内容：行列式概念及性质，行列式按行(列)展开。

2．要求：①理解数域的概念，控制常见的数域和最小数域。

②理解n阶行列式的定义，控制行列式性质。

③能用行列式定义、性质(包括按行(列)展开的性质)递推及归纳法等计算行列式。

二、矩阵1．内容：矩阵的概念，矩阵运算，逆矩阵和克莱姆法则，分块矩阵，初等变换和初等阵，矩阵的等价分解，矩阵的秩，初等块矩阵及等价分解的应用。

2．要求：①理解矩阵概念及相关运算法则，能熟练地举行矩阵的相关运算，控制行列式乘法定理。

②理解逆矩阵的概念，控制陪同矩阵求逆主意，控制矩阵可逆充要条件并用于判别，理解克莱姆法则并用于求解线性方程组。

③了解分块矩阵的运算法则，确切用于计算。

④理解三种初等变换及相应的初等阵，了解初等阵是可逆阵的乘法生成元。

⑤理解矩阵的等价分解，理解矩阵秩的定义，能用初等变换求矩阵秩及逆矩阵。

⑥能利用等价分解、分块矩阵、初等矩阵及归纳法等解决一些矩阵分解，求秩相关的计算和证实问题。

三、n维向量与线性方程组1．内容：n维向量，向量的线性相关性，向量组的秩，消去法解线性方程组，线性方程组解的判定，线性方程组解的结构。

2．要求：①控制n维向量线性表出，线性相关，线性无关的概念，能举行判别及相关的证实。

②理解向量组的秩，矩阵的三秩相等定理，控制向量组的秩以及极大无关组的概念，会求极大无关组以及向量组的秩。

③能用消去法解线性方程组，异常能对带参数的方程组举行解的情况的研究。

④控制齐次方程组基础解系定理，普通线性方程组解的结构定理，并能用于解决有关问题。

四、特征值与特征向量1．内容：特征值与特征向量，相似矩阵，R n空间内积，正交阵，实对称阵的正交对角化。

2．要求：①控制特征值与特征向量的概念及求法。

②理解矩阵相似的概念，理解矩阵相似于对角阵的充要条件及充足条件，会举行相关的计算和证实。

华中科技大学2020年801+高等代数

华中科技大学硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲
（科目代码：801）
第一部分考试说明
一、考试性质
高等代数是为全国硕士研究生入学考试数学与统计学院各专业设置的课程，评价标准是高等学校优秀本科毕业生能达到及格及以上水平。

二、考试范围
行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ矩阵、欧氏空间（多项式理论不单独命题，但可能应用于其他题中）
三、考试形式与试卷结构
(一) 答卷方式：闭卷，笔试。

(二) 答题时间：180分钟。

(三) 各部分的考查比例：
行列式、线性方程组与矩阵30%
线性空间与线性变换40%
二次型与欧氏空间20%
综合题10%
(四) 题型比例：
计算题约20%，证明题约80%
第二部分考查要点
一、行列式
1.行列式的定义与性质
2.低阶行列式，高阶规律性较强的行列式计算
二、线性方程组
1.解线性方程组
2.线性方程组解的理论
3.线性相关性
三、矩阵
1.矩阵的运算，转置，逆
2.向量组与矩阵的秩
四、二次型
1.化二次型为标准形
2.正定性
五、线性空间
1.线性空间与子空间的概念
2.基、维数与坐标
3.子空间的直和
六、线性变换
1.线性变换的矩阵
2.特征值、特征向量有关问题
3.若当标准形、零化多项式与最小多项式
4.线性变换的像与核
5.λ矩阵的不变因子与初等因子
七、欧氏空间
1.欧氏空间的概念
2.正交矩阵与正交变换，实对称矩阵。

硕士研究生入学考试大纲-853高等代数

II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。

二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容与题型结构计算题（30%）、证明题（70%）III 考查内容一、多项式1.熟练掌握多项式因式分解理论及整除理论。

2.掌握多项式、不可约多项式、最大公因式、重因式的概念；掌握整除、互素、不可约等概念的联系与区别。

3.掌握带余除法、辗转相除法、艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。

4.会求两个多项式的最大公因式，会求有理系数多项式的有理根，会判别两个多项式互素。

二、行列式1.熟练掌握行列式的性质及行列式的计算。

2.掌握n阶行列式的定义。

3.掌握克拉默（Cramer）法则。

三、线性方程组1.熟练掌握向量线性相关性的概念、性质、判别法，会求向量组的秩及最大线性无关组。

2.掌握基础解系的概念及计算，熟练掌握线性方程组的解的判别定理，以及齐次和非齐次线性方程组的求解。

3.熟练掌握矩阵的秩的概念及计算。

四、矩阵1.熟练掌握矩阵、可逆矩阵、初等矩阵的概念与性质。

2.理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算及思想方法。

3.熟练掌握矩阵的加法、减法、乘法，数乘、转置等运算。

4.熟练掌握可逆矩阵的判别方法及逆矩阵的计算。

5.能熟练使用矩阵的初等变换方法。

五、二次型1.掌握二次型的标准形、实二次型的规范形的概念。

2.熟练掌握正定二次型的概念、性质、判别方法。

3.掌握化二次型为标准形的思想方法。

4.理解合同矩阵的概念及背景。

六、线性空间1.掌握线性空间、子空间的概念及判定方法。

高教自学考试数学教育专业(独立本科段)《高等代数》考核大纲

第五章
矩阵
ｌ
ｆ）握线性变换与矩阵之间的２掌
Ｊ内容：阵的运算，逆矩阵，ｌ关系。．矩可
矩阵乘积的行列式，矩阵的分快。
ｌ
｛１握有限维线性空间线性变３掌
２考核要求：．
ｌ换的特征根，征向量的定义，质特性
２２０年第２Ｏ期
等变换方法求矩阵的秩。
福建自学考试
● 大纲专递
（］握矩阵合同的概念．退３掌非
等变换的概念，能熟练应用矩阵初Ｉ运算，线性变换和矩阵，不变子空
ｌ间、征根和特征向量、以对角化化线性替换化二次型为标准形的方特可
延．强辩证思维，象思维和逻辑加抽
（）列式的定义和性质。奇排１行列、偶捧列，逆序数的概念。掌握特殊类型行列式的计算
方法。
ｆ掌握降阶法、阶法、推３）升递法，较熟练地计算行列式。ｆ）４掌握克莱姆法则。
法，掌握配方法和初等变换法化二
次型为标准形
｛）矩阵的秩的定义及求法，Ｉ的矩阵。２掌握方程组有解的判别定理，会求齐１
次线性方程组和非齐次线性方程组ｌ
的一般解。
２考核要求：｛１解线性变换的定义，握ｌ理掌

高等代数参考大纲

《高等代数》考试大纲髙等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。

它的主要内容包括多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、特征值和特征向呈:。

要求考生熟悉基本概念、掌握基本左理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。

一、考试的基本要求要求考生比较系统地理解髙等代数的基本概念和基本理论，掌握髙等代数的基本思想和方法。

要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试方法和考试时间高等代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

三、考试内容（-）多项式1.一元多项式的因式、带余除法公式及互素的槪念及判别;2.复根存在定理：3.根与系数关系：4.多元多项式。

（二）行列式1.行列式的置换、对换、巻换奇偶性：2.行列式的泄义，基本性质及计算：3.Vandermonde 行列式：4.行列式的代数余子式、Cranier法则。

（三）矩阵1.矩阵基本运算、分块矩阵运算；2.初等矩阵、初等变换和矩阵的秩：3.矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式：4.行列式乘积定理；5.矩阵和转置、H亡nmte共轨：6.对角阵、三角阵、三对角阵；7.矩阵的迹、方阵多项式：（四）线性方程组求解1.线性方程组有解的充分必要条件：2.Gauss消元法；3.三角分解。

（五）线性空间和线性变换；1.向量的线性相关和线性无关：2.线性空间的定义及性质：3.向量组的秩、线性空间的基及坐标：4.线性变换的矩阵表示：5.矩阵相似；6.不变子空间：7.子空间的直接和、维数公式；8.线性空间的同构。

（六）特征值和特征向量1.特征值和特征多项式：2.特征向疑、特征子空间、度数和重数：3.特征值估计的圆盘定理；（七）内积空间和等积变换1.Euclid空间的标准正交基，施密特（Schmidt）正交化:2.Gram行列式；3.正交变换及其矩阵表示：4.初等旋转和镜像变换：5.QR分解：6.酉空间和酉变换：7.正交相似变换和酉相似变换；8.向量到子空间的距离、最小二乘。

《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲一、课程目标1．课程性质高等代数是高等院校数学专业（基础数学，应用数学，概率统计和信息专业）的三门最主要基础课之一，对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力的培养，以及后继课程的学习起着非常重要的作用。

本课程内容包涵：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型、欧氏空间和多项式理论。

行列式是高等代数的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵秩及向量组线性相关性、特征值等方面都要用到。

而线性方程组的理论在数学各分支及其它许多领域有着广泛应用。

矩阵及矩阵的运算是高等代数主要内容之一，是数学及许多科学领域的重要工具，也有广泛应用。

二次型在数学其它分支和物理、力学、工程技术中也常常用到。

多项式理论是高等代数的重要内容之一。

虽然它在整个高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。

多项式理论中的一些重要定理和方法在进一步学习数学理论和解决实际问题时常常要用到。

线性空间是研究规定了加法，数乘的抽象集合的公共性质。

具有高度的抽象性和应用的广泛性。

对培养学生的抽象思维，有很好的帮助。

线性变换，又是反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系。

线性变换的运算、矩阵表示，特征值特征向量又是使抽象概念具体化。

欧氏空间是把线性空间引入度量，因而是几何空间的一种推广，从而产生了长度夹角，使其更接近几何空间，并有更丰富的内容与方法。

总之，通过教学使学生掌握本课程的基本理论和方法，培养解决实际问题的能力，打好坚实的数学基础十分重要。

二、课程结构1．行列式（14学时）知识点：数域、排列、行列式定义、行列式性质、行列式计算、行列式按行展开和拉普拉斯（Laplace）展开定理、克莱姆法则重点：n阶行列式计算、Laplace展开定理难点：排列、n阶行列式定义2．矩阵（18学时）知识点：矩阵的运算（包括加法、数乘和乘法）矩阵的初等变换，矩阵的秩，矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆。