矩阵与数值分析报告学习指导和典型例题分析报告
矩阵分析与数值分析实验报告
《矩阵分析与数值分析》实验报告院系：姓名：学号：所在班号：任课老师：一．设错误！未找到引用源。
，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序计算错误！未找到引用源。
并指出有效位数。
程序如下：function sum3j=input('请输入求和个数 "j":');A=0;B=0;double B;double A;for n=2:jm=n^2-1;t=1./m;A=A+t;enddisp('从小到大：')s=Afor n=j:-1:2m=n^2-1;t=1./m;B=B+t;enddisp('从大到小:')s=B运行结果：>> sum3请输入求和个数 "j":100从小到大：s =0.740049504950495从大到小:s =0.740049504950495>> sum3请输入求和个数 "j":10000从小到大：s =0.749900004999506从大到小:s =0.749900004999500>> sum3请输入求和个数 "j":1000000从小到大：s =0.749999000000522从大到小:s =0.749999000000500二、解线性方程组1．分别Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000121001210012100124321x x x x 迭代法计算停止的条件为：6)()1(3110max -+≤≤<-k j k j j x x 。
解：（1）Jacobi 迭代法程序代码： function jacobi(A, b, N) clc;clear;A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2]; b=[-1 0 0 0]'; N=100;n = size(A,1); D = diag(diag(A)); L = tril(-A,-1); U = triu(-A,1); Tj = inv(D)*(L+U); cj = inv(D)*b; tol = 1e-06; k = 1;format longx = zeros(n,1); while k <= Nx(:,k+1) = Tj*x(:,k) + cj;disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1)); if norm(x(:,k+1)-x(:,k)) < toldisp('The procedure was successful')disp('Condition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations') disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1)); break endk = k+1; end结果输出The procedure was successfulCondition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations 60 x =0.799998799067310.599998427958700.399998056850090.19999902842505（2）Gauss-Seidel迭代法程序代码：function gauss_seidel(A, b, N)clc;clear;A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2];b=[-1 0 0 0]';N=100;n = size(A,1);D = diag(diag(A));L = tril(-A,-1);U = triu(-A,1);Tg = inv(D-L)*U;cg = inv(D-L)*b;tol = 1e-06;k = 1;x = zeros(n,1);while k <= Nx(:,k+1) = Tg*x(:,k) + cg;disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1));if norm(x(:,k+1)-x(:,k)) < toldisp('The procedure was successful')disp('Condition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations') disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1));breakendk = k+1;end结果输出The procedure was successfulCondition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations31x =0.799999213979350.599998971085610.399999167590770.199999583795392. 用Gauss列主元消去法、QR方法求解如下方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---017435222331325212214321x x x x (1)Gauss 列主元消去法 程序代码：function x=Gaussmain(A,b) clc;clear; format longA=[1 2 1 2;2 5 3 -2;-2 -2 3 5;1 3 2 3]; b=[4 7 -1 0]'; N=length(A); x=zeros(N,1); y=zeros(N,1); c=0; d=0;A(:,N+1)=b; for k=1:N-1 for i=k:4if c<abs(A(i,k))d=i;c=abs(A(i,k)); end endy=A(k,:);A(k,:)=A(d,:); A(d,:)=y; for i=k+1:N c=A(i,k);for j=1:N+1A(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*c/A(k,k); end end endb=A(:,N+1);x(N)=b(N)/A(N,N); for k=N-1:-1:1x(k)=(b(k)-A(k,k+1:N)*x(k+1:N))/A(k,k); end结果输出 ans =18.00000000000000 -9.571428571428576.00000000000000-0.42857142857143（2）QR方法：程序代码function QR(A,b)clc;clear;format longA=[1 2 1 2;2 5 3 -2;-2 -2 3 5;1 3 2 3];b=[4 7 -1 0]';[Q,R]=qr(A)y=Q'*b;x=R\y结果输出Q =-0.31622776601684 -0.04116934847963 -0.75164602800283 0.57735026918962 -0.63245553203368 -0.49403218175557 -0.15032920560056 -0.57735026918963 0.63245553203368 -0.74104827263336 -0.22549380840085 -0.00000000000000 -0.31622776601684 -0.45286283327594 0.60131682240226 0.57735026918963 R =-3.16227766016838 -6.00832755431992 -0.94868329805051 2.84604989415154 0 -2.42899156029822 -4.65213637819829 -4.15810419644272 0 0 -0.67648142520255 -0.52615221960200 0 0 0 4.04145188432738 x =17.99999999999989-9.571428571428515.99999999999997-0.42857142857143三、非线性方程的迭代解法1．用Newton迭代法求方程()06cos22x=-++=-xexf x的根，计算停止的条件为：6110-+<-kkxx；编程如下：function newton(f,df,x,a,a0)syms xf=input('please enter your equation:') a0=input('please enter you x(0):');df=diff(f)e=1e-6;a1=a0+1;N=0;while abs(a1-a0)>ea=a0-subs(f,a0)/subs(df,a0); a1=a0; a0=a; N=N+1; endfprintf('a=%0.6f',a) N运行结果： >> newtonplease enter your equation:exp(x)+2^(-x)+2*cos(x)-6 f =exp(x)+2^(-x)+2*cos(x)-6 please enter you x(0):2df =exp(x)-2^(-x)*log(2)-2*sin(x) a=1.829384 N =42．利用Newton 迭代法求多项式07951.2954.856.104.5x 234=+-+-x x x的所有实零点，注意重根的问题。
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
数值分析实验报告——Hilbert矩阵的求解
1 / 7 数值分析课程实验报告题目：病态线性方程组的求解理论分析表明，数值求解病态线性方程组很困难。
考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b ，期中，期中H 是Hilbert 矩阵，()ij n n H h ´=，11ij h i j =+-，i ，j = 1,2，…，n 1.估计矩阵的2条件数和阶数的关系2.对不同的n ，取(1,1,,1,1))nx =Î，分别用Gauss 消去，Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭代，SOR 迭代和共轭梯度法求解，比较结果。
3.结合计算结果，试讨论病态线性方程组的求解。
解答过程1.估计矩阵的2-条件数和阶数的关系矩阵的2-条件数定义为：1222()Cond A A A-=´，将Hilbert 矩阵带入有：1222()Cond H H H -=´调用自编的Hilbert_Cond 函数对其进行计算，取阶数n = 50，可得从，可得从1阶到50阶的2-条件数，以五位有效数字输出，其中前10项见表1。
表1.前十阶Hilbert 矩阵的2-条件数阶数1 2 3 4 5 2-条件数1 19.281 524.06 1.5514e+004 4.7661e+005 阶数6 7 8 9 10 2-条件数1.4951e+007 4.7537e+008 1.5258e+010 4.9315e+011 1.6025e+013 从表1可以看出，随着阶数每递增1，Hilbert 矩阵的2-条件数都至少增加一个数量级，但难以观察出明显的相依规律。
故考虑将这些数据点绘制在以n 为横轴、Cond （H ）2为纵轴的对数坐标系中（编程用Hilbert_Cond 函数同时完成了这个功能），生成结果如图1。
图1.不同阶数下Hilbert 矩阵的2-条件数分布条件数分布由图可见，当维数较小时，在y-对数坐标系中Cond （H ）2与n 有良好的线性关系；但n 超过10后，线性趋势开始波动，n 超过14后更是几乎一直趋于平稳。
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
矩阵分析实验报告
矩阵分析实验报告学院：电气学院专业：控制工程姓名：XXXXXXXX学号：211208010001矩阵分析实验报告实验题目利用幂法求矩阵的谱半径实验目的与要求1、 熟悉matlab 矩阵实验室的功能和作用；2、 利用幂法求矩阵的谱半径；3、 会用matlab 对矩阵分析运算。
实验原理理念谱半径定义：设n nA C⨯∈，1λ，2λ，3λ， ，j λ， n λ是A 的n 个特征值，称()max ||j jA ρλ=为关于A 的谱半径。
关于矩阵的谱半径有如下结论：设n nA C⨯∈，则（1）[]()()kkA A ρρ=；（2）22()()()H H A A AA A ρρ==。
由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。
算法介绍定义：如果1λ是矩阵A 的特征值，并且其绝对值比A 的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。
相应于主特征值的特征向量1V 称为主特征向量。
定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1），则称其为是归一化的。
通过形成新的向量'12=c n V （1/）[v v v ]，其中c=v 且1max {},j i n i ≤≤=v v 可将特征向量 '12n [v v v ]进行归一化。
设矩阵A 有一主特征值λ，而且对应于λ有唯一的归一化特征向量V 。
通过下面这个称为幂法（power method ）的迭代过程可求出特征对λ，V ，从下列向量开始：[]'0=111X （1）用下面递归公式递归地生成序列{}k X ：k k Y AX =k+111k k X Y c +=（2）其中1k c +是k Y 绝对值最大的分量。
序列{}k X 和{}k c 将分别收敛到V 和λ：1lim k X V =和lim k c λ= （3）注：如果0X 是一个特征向量且0X V ≠，则必须选择其他的初始向量。
幂法定理：设n ×n 矩阵A 有n 个不同的特征值λ1，λ2，···，，λn ，而且它们按绝对值大小排列，即：123n λλλλ≥≥≥⋅⋅⋅≥ (4)如果选择适当的X 0，则通过下列递推公式可生成序列{[()()()]}12k kk k n X x x x '=⋅⋅⋅和{}k c ： k k Y AX = (5)和：111k k k X Y c ++=(6)其中： ()1k k j c x +=且{}()()1max k k j i i nx x ≤≤=(7)这两个序列分别收敛到特征向量V 1和特征值λ1。
矩阵数值计算实验报告
#### 一、实验目的本次实验旨在通过MATLAB软件，对矩阵进行数值计算，掌握矩阵的基本操作、运算函数的使用，以及解决实际问题的能力。
通过实验，加深对线性代数基本理论的理解，提高数值计算技能。
#### 二、实验环境软件：MATLAB R2020a硬件：****************************，8GB RAM#### 三、实验内容1. 矩阵的创建与操作（1）创建矩阵：通过MATLAB内置函数创建不同类型的矩阵，如`zeros`、`ones`、`rand`等。
```matlabA = zeros(3,3); % 创建3x3零矩阵B = ones(2,2); % 创建2x2单位矩阵C = rand(4,4); % 创建4x4随机矩阵```（2）矩阵的引用：使用矩阵的行和列索引访问矩阵元素。
```matlabE = A(1,1); % 访问矩阵A的第一个元素```（3）矩阵的运算：进行矩阵的加法、减法、乘法等运算。
```matlabD = A + B; % 矩阵A和B相加F = A . C; % 矩阵A和C对应元素相乘```2. 矩阵的基本运算（1）矩阵的逆：计算矩阵的逆矩阵。
```matlabA_inv = inv(A);```（2）矩阵的行列式：计算矩阵的行列式值。
```matlabdet_A = det(A);```（3）矩阵的秩：计算矩阵的秩。
```matlabrank_A = rank(A);```（4）矩阵的迹：计算矩阵的迹。
```matlabtrace_A = trace(A);```3. 矩阵分解（1）奇异值分解（SVD）：对矩阵进行奇异值分解。
```matlab[U, S, V] = svd(A);```（2）LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵。
```matlab[L, U] = lu(A);```4. 解线性方程组（1）使用矩阵的逆解方程组。
```matlabb = [1; 2; 3];x = A_inv b;```（2）使用矩阵分解方法解方程组。
矩阵报告
矩阵与数值分析实习报告00xx00xx00x00xxx一、解线性方程组对于线性方程组123412341234123441414141x x x x x x x x x x x x x x x x -+++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪++-=⎩ （1）用直接法求解；（2）用Jacobi 迭代法求解；（3）分别取0.75,1.0,1.25,1.5ω=，用SOR 方法求解．比较迭代结果（与精确解比较）． 解：（1）直接法求解 程序：（direct.m ）A=[-4,1,1,1;1,-4,1,1;1,1,-4,1;1,1,1,-4]; % 系数矩阵 b=diag(ones(4));x=A\b % 直接法求解并输出运行结果：（2）Jacobi 迭代法求解： 迭代公式：(1)()k k J x B x f+=+11(),J B D L U f D b--=+=程序：（jacobi.m ） clear all;format long g;A=[-4,1,1,1;1,-4,1,1;1,1,-4,1;1,1,1,-4]; %系数矩阵 b= [1 1 1 1 ]; [M,N]=size(A);x=zeros(M,1); %给方程设置初值ep=1e-6; %设定迭代终止条件D=diag(diag(A));L=tril(tril(A,-1),-1);U=triu(triu(A,1),1);B=-inv(D)*(L+U); %求得Jacobi法迭代矩阵Bd=inv(D)*b; %求dlamada=eig(B);lamada=abs(lamada); %求谱半径lamada=max(lamada);if (lamada>1) %判断迭代方法是否收敛，决定是否运行error('方程发散');elseXk=B*x+d;n=1; % n迭代次数while 1e=Xk-x;e=abs(e);lamada=max(e);if lamada<epbreak;else %根据收敛条件决定迭代次数x=Xk;Xk=B*x+d;n=n+1;endendendfprintf('方程组的解x='); % 输出方程组的解xfprintf('迭代次数n='); % 输出迭代次数n运行结果：（3）SOR 方法求解 基本公式：(1)()k k x L x fω+=+1()[(1)]L D L D U ωωωω-=--+1()f D L b ωω-=-程序：(SOR.m) format long g;A=[-4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4]; %系数矩阵 b=[1 1 1 1]';x0=[0 0 0 0]'; % 迭代初始值 w=0.75; % 松弛因子 D=diag(diag(A)); % 下三角矩阵 U=-triu(A,1); % 上三角矩阵 L=-tril(A,-1);lw=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U); f=((D-w*L)\b)*w;y=lw*x0+f; % 迭代公式 n=1;while norm(y-x0)>=1.0e-6&n<=1000 % 选取1.0e-6作为迭代精度 x0=y;y=lw*x0+f; n=n+1; endfprintf('方程组的解y='); % 输出方程组的解 yfprintf('迭代次数n='); % 输出迭代次数 n运行结果(ω=0.75的仿真结果)：分别将程序中的松弛因子ω的值修改为0.75，1.0，1.25，1.5得出结果。
数值分析实验报告总结
一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科，是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。
为了提高自身对数值分析理论和方法的理解，我们进行了数值分析实验，通过实验加深对理论知识的掌握，提高实际操作能力。
二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法；2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧；3. 培养实验设计和数据分析能力；4. 提高编程和计算能力。
三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分：1. 线性方程组求解实验：通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组，并分析算法的稳定性和误差；2. 矩阵特征值问题计算实验：利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量，分析算法的收敛性和精度；3. 非线性方程求根实验：运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根，比较不同算法的优缺点；4. 函数插值实验：运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值，分析插值误差；5. 常微分方程初值问题数值解法实验：运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题，比较不同算法的稳定性和精度。
四、实验过程1. 线性方程组求解实验：首先，编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法；然后，对给定的线性方程组进行求解，记录计算结果；最后，分析算法的稳定性和误差。
2. 矩阵特征值问题计算实验：编写程序实现幂法、逆幂法等算法；然后，对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算，记录计算结果；最后，分析算法的收敛性和精度。
3. 非线性方程求根实验：编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法；然后，对给定的非线性方程进行求根，记录计算结果；最后，比较不同算法的优缺点。
4. 函数插值实验：编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法；然后，对给定的函数进行插值，记录计算结果；最后，分析插值误差。
5. 常微分方程初值问题数值解法实验：编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法；然后，对给定的常微分方程初值问题进行求解，记录计算结果；最后，比较不同算法的稳定性和精度。
矩阵与数值分析
矩阵与数值分析学院电子信息与电气工程学部专业生物医学工程班级学号姓名刘江涛1：考虑计算给定向量的范数；输入向量T n x x x x ),,,(21 =，输出∞x x x ,,21，请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：()TTn y n x ,,2,1,1,,31,21,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=对1000,100,10=n 甚至更大的n 计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？通用求范数程序： function NORM(x) y1=sum(abs(x)); y2=(sum(x.^2))^(1/2); y3=max(abs(x));fprintf('1-范数=%g ； 2-范数= %g ； inf-范数=%g\n',y1,y2,y3); 例题的运行程序： function xianglaing(n) x=[]; y=[]; for i=1:n x(i)=1/i; y(i)=i; enddisp('x 的范数：'); NORM(x'); disp(' ')disp('y 的范数：'); NORM(y'); 运行结果如下表：根据上述的两个表的运行结果，我们可以得知无论n 的值如何变化，对于1=∞x 恒成立；n y =∞恒成立，其1-范数与2-范数随着n 的增大而增大，但是其变化越来越小，这是因为计算在进行数值计算时有误差存在，对于表达式(1)当n 很大时n1却很小，会出现“大数吃小数的现象”；修改方案：当n 很大时我们避免用n 做除数，因为当n 非常大时01→n成立；所以在求解其范数时我们从小数开始相加，无穷个非常小的数值相加也可能是个很大的数，从而可以避免两个数相加时出现“大数吃小数”的现象；2：考虑xx x f y )1ln()(+==，其中定义1)0(=f ，此时)(x f 是连续函数，用此公式计算当]10,10[1515---∈x 时的函数值，画出图像。
数值分析实验报告之求矩阵的逆矩阵
实验步骤
Step5: 判断最大值是否为 0，若不为 0，跳到 Step6，否则，显示无逆矩阵。 Step6: 将第 i 行所有元素除以 aii ，然后将第 i 列的其他行的对应元素变成 0； Step7: 判断 i 是否大于 n ，若是，转到 Step8，否则，令 i 1 i ，返回 Step4。 Step8: 检验结果是否正确，将求解的逆矩阵和之前储存的原矩阵做乘法运算，检验结 果是否为单位矩阵，过程结束。
hi
是
aij ahj , j i,, n cij chj , j 1,2,, n
aij aij / aii , j i 1,, n
cij cij / aii , j 1,2,, n
aii 1
aik a jk a ji aik ,
j i, j 1,2,, n k i 1,, n
cik c jk a ji cik
j i, j 1,2,, n k 1,2,, n
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是
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否 显示结果
i 1 i
结束
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
1
得矩阵 A 的逆矩阵。通过矩阵的行变换和列变换使得矩阵每行对角线上的元素所在的
实验原理
列的其他元素都变为 0，最后将对角线上的元素都单位化为 1，最终的右边的矩阵即为 要求的逆矩阵
实验仪器
1、计算机一台。 2、安装 IIS。 Step1：选择数据文件； Step2：将文件数据读取到内存； Step3: 将 (aij )nn 所有元素储存一份，并初始化单位矩阵，并使1 i ； Step4: 选 取 第 i 行 的 主 元 ， 即 找 到 第 i 列 的 元 素 绝 对 值 的 最 大 值
矩阵实验报告
矩阵与数值分析实验报告任课教师：张宏伟教学班号： 02院系：电信（计算机应用技术）学生姓名：学生学号：1.方程在x=附近有根，试写出其三种不同的等价形式以构成两种不同的迭代格式，再用这两种迭代求根，并绘制误差下降曲线，观察这两种迭代是否收敛及收敛的快慢。
解答：代码如下：clear;syms x t y;x=3;%初始迭代点t=0;%中间变量y=0;%绘制下降曲线变化量k=0;%迭代计数变量epx=1;%变量计算差E=1e-20;%精度f1=(2*x^3-5*x^2+42)/19;%迭代1f2=(2*x^3-19*x+42)^(1/2);%迭代2f3=(5*x^2+19*x-42)^(1/3);%迭代3while(epx>E&k<1000)%循环迭代k=k+1;y(k)=x;t=f1;%标记1epx=abs(t-x);x=t;f1=(2*x^3-5*x^2+42)/19;%标记2end;plot(y);title('迭代1误差下降曲线');迭代公式1收敛结果:x=2迭代公式1误差变化曲线0510********22.12.22.32.42.52.62.72.82.93迭代1误差下降曲线迭代公式2误差变化曲线迭代公式3收敛结果：x=05101500.511.522.533.5138迭代2误差下降曲线迭代公式3误差变化曲线结果分析：迭代公式1：f1=(2*x^3-5*x^2+42)/19和迭代公式3：f3=(5*x^2+19*x-42)^(1/3)计算结果收敛，其中迭代公式1收敛速度快于迭代公式3。
迭代公式2：f2=(2*x^3-19*x+42)^(1/2)计算结果不收敛。
2. 用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为，并将计算结果与精确解进行比较： （1）（2）解答： （1）复化梯形公式代码：0102030405060708033.544.555.566.57迭代3误差下降曲线clear;syms x sum1 sum2 a1 b1;fun=(2/3)*(x^3)*exp(x^2);sum1=0;%积分结果变量1sum2=0;%积分结果变量2n=1;%迭代计数变量epx=1;%阶段误差E=;%精度a=1;%积分下限b=2;%积分上限while(epx>E)h=(b-a)/n;for i=0:(n-1)%for循环求解一次N点积分结果 a1=subs(fun,x,(a+i*h));b1=subs(fun,x,(a+(i+1)*h));t=((a1+b1)*h)/2;sum2=sum2+t;end;epx=abs(sum1-sum2);%计算阶段误差sum1=sum2;%使用sum1暂存上次的计算结果sum2=0;n=n*2;end;disp('积分结果为：'),vpa(sum1)积分结果为：ans =真值约为：分析：由结果可知计算结果含有8位有效数字，已满足精度要求。
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --=Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()(超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
有关矩阵数学实验报告
有关矩阵数学实验报告引言矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于线性代数、图论、计算机科学等众多领域。
本实验旨在通过实际操作和计算，加深对矩阵的理解，并探索矩阵在现实问题中的应用。
本报告将从实验目的、实验步骤、实验结果和实验结论几个方面进行介绍。
实验目的1. 了解矩阵的基本概念和运算规则；2. 掌握矩阵的求逆、转置和乘法等操作；3. 实践利用矩阵解决实际问题。
实验步骤1. 实验准备：安装并学习使用相应的矩阵数学软件；2. 实验1：矩阵加法和乘法- 创建两个相同维度的矩阵A和B；- 计算A + B和A * B；- 分析结果并进行讨论。
3. 实验2：矩阵求逆和转置- 创建一个可逆矩阵C；- 计算C的逆矩阵C'和C的转置矩阵C^T；- 检验计算结果是否正确。
4. 实验3：矩阵在实际问题中的应用- 选择一个实际问题，并将其抽象成矩阵形式；- 利用矩阵运算解决问题；- 分析结果，并与传统解法进行对比。
实验结果1. 实验1结果分析：经过计算发现，矩阵的加法和乘法满足交换律和结合律，与数的加法和乘法类似。
但是，矩阵乘法不满足交换律，即A * B ≠B * A。
这进一步说明矩阵并不是普通数的简单扩展。
2. 实验2结果检验：针对可逆矩阵C，计算得到的逆矩阵C'和转置矩阵C^T经过验证均正确，满足逆矩阵和转置矩阵的定义和性质。
3. 实验3结果分析：我们选择了一个线性方程组问题，利用矩阵运算求解。
与传统解法相比，矩阵运算更简洁、高效，尤其对于高维度复杂问题具有很大优势。
实验结论通过本次实验，我们对矩阵的概念和运算规则有了更深入的理解。
矩阵不仅仅是一种数学工具，它在现实问题的建模和求解中发挥着重要作用。
矩阵的加法、乘法、逆矩阵和转置等运算规则的学习，为我们处理实际问题提供了更多的方法和思路。
在未来的学习和研究中，矩阵将会贯穿于我们的整个数学和科学计算的领域，为我们带来更大的便利和创造力。
矩阵与数值分析报告学习指导和典型例题分析报告
第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，x ax -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所以常把a ax -作为a 的相对误差．2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤-称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称ae a是a 的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好．3）．有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成n ka a a a 21.010⨯±=它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1( =i a i 是9,,1,0 中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果n k a x -⨯≤-1021则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值．如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -⨯≤-111021。
4）．函数计算的误差估计如果),,,(21n x x x f y =为n 元函数，自变量n x x x ,,,21 的近似值分别为n a a a ,,,21 ，则)(),,,(),,,(12121k k n k akn n a x x fa a a f x x x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈-∑= 其中),,,(21n kak a a a f x x f ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 k a n k aka n n e x fe a a af x x x f ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈≤-12121),,,(),,,( 如果令2=n ，设21,x x 的近似值分别为21,a a ，其误差界为111a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ，取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算，则它们的误差估计为，1121a a a a e e e +≈±；112121a a a a e a e a e +≈⋅；22211121a e a e a e a a a a +≈，02≠a 。
矩阵分析报告
矩阵分析报告1. 引言矩阵是数学中的重要概念，在众多领域中都有着广泛的应用。
本篇报告旨在介绍矩阵分析方法，并通过一个实际案例来展示其应用。
2. 矩阵基础知识2.1 什么是矩阵矩阵是由按照长方阵列排列的数所组成的矩形阵列。
矩阵由行和列组成，通常表示为一个大写字母，如A。
一个矩阵的大小可以用行数和列数来表示，例如m行n列的矩阵可以写作A(m,n)。
2.2 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法等。
两个矩阵相加时，需要保证两个矩阵的大小相同；两个矩阵相乘时，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
2.3 矩阵的特殊类型矩阵可以分为方阵、对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等不同类型。
方阵是行数等于列数的矩阵，对角矩阵是指除主对角线外，其余元素都为0的矩阵。
3. 矩阵分析方法3.1 矩阵的转置矩阵的转置是指行与列互换的操作。
如果矩阵A的大小为m行n列，那么它的转置矩阵记作A^T，大小为n行m列。
转置矩阵的主对角线元素与原矩阵相同。
3.2 矩阵的逆如果矩阵A的乘法逆矩阵记作A^-1，满足A * A^-1 = A^-1 * A = I，其中I为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，且不是所有的方阵都有逆矩阵。
3.3 矩阵的特征值和特征向量对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为矩阵A的特征值，而x称为对应于特征值λ的特征向量。
4. 案例分析4.1 问题描述假设某公司的销售数据可以用一个矩阵来表示，其中每一行代表一个销售员，每一列代表一个产品的销售数量。
我们希望通过矩阵分析的方法，找出销售业绩最好的销售员。
4.2 解决方案1.将销售数据转置，得到以产品为行、销售员为列的矩阵B。
2.计算矩阵B的每一行的和，得到一个行向量C，表示每个产品的销售总数量。
3.找出向量C中的最大值，对应的索引即为销售业绩最好的产品。
4.根据索引找到对应的销售员。
5. 结论通过矩阵分析方法，我们可以快速找到销售业绩最好的销售员。
矩阵与数值分析
2011级工科硕士研究生《矩阵与数值分析》课程数值实验报告教学班号：1任课老师：张宏伟姓名：xxx院系：机械工程学院学号：21104218一、 对于数列11111,,,,,392781，有如下两种生成方式1、首项为01a =，递推公式为11,1,2,3nn a a n -== ； 2、前两项为0111,3a a ==，递推公式为1210,2,3,3n n n a a a n --=-= ； 给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50项。
1题程序: clear; clc;a=linspace(0,0,50); k=1;a(1)=1; %a0=a(1),a1=a(2)依次类推....a49=a(50)。
for k=1:49a(k+1)=1/3*a(k); endformat short e a 运行结果 a =Columns 1 through 61.0000e+000 3.3333e-001 1.1111e-001 3.7037e-002 1.2346e-002 4.1152e-003Columns 7 through 121.3717e-003 4.5725e-004 1.5242e-004 5.0805e-005 1.6935e-005 5.6450e-006Columns 13 through 181.8817e-006 6.2723e-0072.0908e-007 6.9692e-008 2.3231e-008 7.7435e-009Columns 19 through 242.5812e-009 8.6039e-010 2.8680e-010 9.5599e-0113.1866e-011 1.0622e-011Columns 25 through 303.5407e-012 1.1802e-012 3.9341e-013 1.3114e-0134.3712e-014 1.4571e-014Columns 31 through 364.8569e-015 1.6190e-0155.3966e-016 1.7989e-016 5.9962e-017 1.9987e-017Columns 37 through 426.6625e-018 2.2208e-0187.4027e-019 2.4676e-0198.2253e-020 2.7418e-020Columns 43 through 489.1392e-021 3.0464e-021 1.0155e-021 3.3849e-022 1.1283e-022 3.7610e-023Columns 49 through 501.2537e-023 4.1789e-024clear;clc;a=linspace(0,0,50);k=3;a(1)=1; %a0=a(1),a1=a(2)依次类推....a49=a(50)。
数值分析实验报告之矩阵的分解
学院：数学与计算机学院 姓名 实验时间 实验项目名称
实验目的 实验要求
专业： 学号 指导教师
班级： 实验组 成绩 矩阵分解
利用高斯消去法将一个非奇异矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵。 掌握矩阵分解的数学原理和算法。 对于线性方程组 Ax b 中的矩阵 A ，将 A 分解为一个上三角矩阵和一个下三 角矩阵的乘积，即 A LU ， L 为单位下三角矩阵， U 为上三角矩阵。
实验原理
Ax LUx b ，即分解为 Ly b 和 Ux y 两个上（下）三角矩阵。
1、计算机一台。 2、安装 IIS。
实验仪器
Step1：选择数据文件； Step2：将文件数据读取到内存； Step3: 初始化上三角矩阵和下三角矩阵， 即 u1i a1i i 1,2,, n ，li1 ai1 / u11
实 验 流 程 图
L 的第 r 列元素 lir (air lik ukr ) / uii i r 1, r 2, , n ；
k 1
r 1
Step8: 判断 r 是否大于 n ，若是，转到 Step9，否则，令 r 1 r ，返回 Step5。 Step9: 将得到的矩阵结果保存至文件，过程结束。
i 2,3, , n , urj 0 (r j ) Step4: 2 r ；
r 1
lir 0( j r )
l jj 1;
实验步骤
Step5: 计算 U 的第 r 行元素 uri ari lrk uki i r , r 1, , n ;
k 1
Step6: 判断 uii 是否为 0，若为 0，则显示原矩阵为非奇异矩阵，不可分解，过程结束。 Step7:
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第一章 误差分析与向量与矩阵的数一、容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵数的定义及其性质。
1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，x ax -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所以常把a ax -作为a 的相对误差．2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤-称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称ae a是a 的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好．3）．有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成ΛΛn ka a a a 21.010⨯±=它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1(Λ=i a i 是9,,1,0Λ中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果n k a x -⨯≤-1021则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值．如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -⨯≤-111021。
4）．函数计算的误差估计如果),,,(21n x x x f y Λ=为n 元函数，自变量n x x x ,,,21Λ的近似值分别为n a a a ,,,21Λ，则)(),,,(),,,(12121k k nk akn n a x x fa a a f x x x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈-∑=ΛΛ 其中),,,(21n kak a a a f x x f Λ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 k a n k aka n n e x fe a a af x x x f ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈≤-12121),,,(),,,(ΛΛ 如果令2=n ，设21,x x 的近似值分别为21,a a ，其误差界为111a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ，取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算，则它们的误差估计为，1121a a a a e e e +≈±；112121a a a a e a e a e +≈⋅；22211121a e a e a e a a a a +≈，02≠a 。
数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高． 对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：21212121a a e e a a e a a a a -+≈-±。
如果1x 和2x 是两个十分接近的数，即1a 和2a 两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值21a a -的有效数字的位数将会很少。
对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：2211121a e a e a e a a a a +≈。
从关系式中可以看出，如果2x 很小，即2a 很小，计算值21a a 的误差可能很大。
5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则⑴ 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。
反之，成为数值不稳定。
不稳定的算法是不能使用的。
⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。
⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。
⑷ 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。
⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。
2．向量和矩阵数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。
对于每一个数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。
数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计。
二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。
1）向量数定义 存在n R （n 维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为x x f =)(，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x 和y 以及任意常数R ∈α（实数域）（1）非负性 0≥x ，并且0=x 的充分必要条件为0=x ; （2）齐次性x x αα=；（3）三角不等式y x y x +≤+． 则称函数⋅为nR 上的一个向量数．常用三种的向量数设任意ｎ维向量T n x x x ),,,(21Λ=x ，（Tx 为向量x 的转置），∑==ni i x 11x ， 向量的1-数()21,21122x x x x x x =⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=∑=T n i i ， 向量的2-数i ni x x≤≤∞=1max ， 向量的∞-数一般情况下，对给定的任意一种向量数⋅，其加权的数可以表为x x W W =，其中W 为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量数的连续性定理 nR 上的任何向量数x 均为x 的连续函数。
向量数的等价性定理 设α⋅和β⋅为nR 上的任意两种向量数，则存在两个与向量x 无关的正常数c 1和c 2，使得下面的不等式成立βαβx xx21c c ≤≤，其中n x R ∈∀.2). 矩阵数 定义 存在nn ⨯R （n n ⨯维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为A A f =)(，对任意的A,nn ⨯∈RB 均满足以下条件：（1）非负性：对任意矩阵A 均有0≥A ，并且0=A 的充分必要条件为O A =;（2）齐次性：A A αα=，α∈C ；（3）三角不等式：B A B A +≤+, nn ⨯∈R B A,；（4）相容性：B A AB ⋅≤, nn ⨯∈R B A,，则称⋅为n n ⨯R 上的矩阵数。
我们可定义如下的矩阵数：∑∑===m i nj ij m a 111A ，矩阵的1m -数()21112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==mi nj ij F a A ，矩阵的F -数（Frobenius ）数。
（矩阵数与向量数相容性定义） 对于一种矩阵数M⋅和一种向量数V ⋅，如果对任意n ×n 矩阵A 和任意n 维向量x , 满足V M V x A Ax ≤，则称矩阵数M⋅与向量数V ⋅是相容的。
3）矩阵的算子数定理 已知nR 上的向量数V ⋅，A 为n ×n 矩阵，定义 V VV MVAx x Ax Axx 1max max=≠==则M A 是一种矩阵数，且与已知的向量数相容，称之为矩阵的算子数。
三种常用的矩阵的算子数∑=≤≤=mi ij nj a 111max A ； (列数)∑=≤≤∞=nj ij mi a 11max A． (行数),)(max 2A A A T λ=（谱数）其中)(max A A T λ表示矩阵A A T的最大特征值。
对任何算子数⋅，单位矩阵nn RI ⨯∈的数为1，即1=I 。
可以证明：① 任意给定的矩阵数必然存在与之相容的向量数；任意给定的向量数必然存在与之相容的矩阵数（如从属数）．② 一个矩阵数可以与多种向量数相容（如矩阵1m 数与向量p -数相容）；多种矩阵数可以与一个向量数相容（如矩阵-F 数和矩阵-2数与向量-2数相容）。
③ 从属数一定与所定义的向量数相容，但是矩阵数与向量数相容却未必有从属关系。
（如，F ⋅与向量2⋅、1m ⋅与向量1⋅相容，但无从属关系）。
④ 并非任意的矩阵数与任意的向量数相容。
4）矩阵数的性质① 设⋅为n n ⨯R 矩阵空间的一种矩阵数，则对任意的n 阶方阵A 均有 A A ≤)(ρ．其中(){}0det max )(=-=A I A λλρ为方阵A 的谱半径。
注意：当TA A =时，()()())(max 2max max 2A A ρλλλ====A A A A T 。
② 对于任给的ε>0, 则存在nn ⨯R 上的一种算子数M⋅（依赖矩阵A 和常数ε），使得ερ+≤)(A A M．③ 对于nn ⨯R上的一种算子矩阵数⋅，如果nn ⨯∈R A 且A <1, 则AI ±n 可逆且()AA I -≤±-111n ． 二、典型例题分析例1．1：下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？002.138=a ，0312.0-=b ，41086.0-⨯=c解： 现将近似值写成标准形式：310138002.0⨯=a , 110312.0-⨯-=b , 41086.0-⨯=c ,在直接根据有效数字定义得出，21021-⨯≤-a x ⇒=-n k 23-=-n ⇒5=n ，即a 有5 位有效数字；21021-⨯≤-b x ⇒=-n k 21-=--n ⇒1=n ，即b 有1位有效数字；21021-⨯≤-c x ⇒=-n k 24-=--n ⇒2-=n ，即c 无有效数字。
例1．2：已知x 的相对误差为003.0，求ma 的相对误差。
解：此题要利用函数计算的误差估计，即取()m x x f =，()1-⋅='m x m x f ，则由 ()()()()a x a f a f x f -'≈- ，可推出 ()a x am a x m mm-⋅⋅≈--1，故m a 的相对误差为m aax m a a x m m m 003.0=-⋅≈-。
例1．3：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用3位算术运算求()5.12.31.623++-=x x x x f 在71.4=x 处的值。
表中给出了传统的方法的计算的中间结果。
在这里我们使用了两种取值法：截断法和舍入法。
x2x 3x 21.6x x 2.3精确值4.71 22.1841 104.487 111 .323 0115.072 3位数值（截断法） 4.71 22.1 104 15.0 3位数值（舍入法） 4.71 22.110415.1精确值：()5.1072.1501323.135111487.10471.4++-=f 899263.14-= 3位数值（截断法）：()()()5.135.10.1513410471.4-=++-=f 3位数值（舍入法）：()()()4.135.11.1513510571.4-=++-=f 上述3位数值方法的相对误差分别是05.0899263.145.13899263.14≈-+-，截断法 06.0899263.144.13899263.14≈-+-，舍入法作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将()x f 写为()5.12.31.623++-=x x x x f ()()5.12.31.6++-=x x x那么，3位数值（截断法）：()()()2.145.171.42.371.41.671.471.4-=++-=f()5.171.42.371.438.1+⨯+⨯-= ()5.171.42.354.6+⨯+-=5.171.434.3+⨯-=2.145.17.15-=+-=3位数值（舍入法）：()()()2.145.171.42.371.41.671.471.4-=++-=f()5.171.42.371.438.1+⨯+⨯-= ()5.171.42.355.6+⨯+-=5.171.435.3+⨯-=3.145.18.15-=+-=则相对误差分别是5004.0899263.142.14899263.14≈-+-，（截断法） 0025.0899263.143.14899263.14≈-+-，（舍入法） 可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的%10之。