数学物理方程第8讲
数学物理方法课件第八章------分离变量法
由傅里叶正弦级数展开 式系数公式可求出
2 l 2 (2n 1) 32l 2 An ( x 2lx) sin xdx 0 l 2l (2n 1)3 3 Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t ) 32l 2
3
1 (2n 1)a ( 2n 1 )π cos t sin x 3 2l 2l n 1 (2n 1)
齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件
2
8.1 有界弦的自由振动
定解问题1 研究两端固定的弦的自由振动
(0 x l , t 0)
2 泛定方程： utt a uxx 0
边界条件： u( x, t ) 初始条件： u
t 0
x 0
0
u( x, t )
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
(3)
0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l ) C2 cos l 0
cos l 0
(2n 1) 2 2 则n , 2 4l (n 1,2,...)
第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； n n n u ( x, t ) (Cn cos at Dn sin at )sin x l l l n 1
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
注意本征函数问题：
本征值问题 边界条件
X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方程第8章Gama函数
例题
求积分
x e
0
5 x2
dx
解
令 x t,
2
dt dt 则 dx 2x 2 t
x e
0
5 x2
dx
0
5 t 2 e t
1 2 t
dt
1 2 t t e dt 2
0
1 G ( 3) 2 2! 1 2
例题
解
将(1 )(2 )(3 )( n ) 1 n 用 G 函数表示 因为
例题
将
[n(n 1) (1 )][(n 1)(n 2) (1 )][1 (1 )]
n( n 1) (1 ) n 2 n 2 ( n 2 2 ) ( n ) ( n )(n 1)
z
1 2ez
1 1 139 571 2 1 2 3 4 51840z 2488320z 12z 288z
1 1 1 1 1 1 ln G ( z ) ~ z ln z z ln 2 3 5 7 2 2 12z 360z 1260z 1680z
0
0
x 1e x cos e ix sin dx
0
x 1e x cos ix sin dx
0
x 1e x[cos( ) ix sin( )]dx
令 b cos( ) i sin( )
0
x 1e x cos cos( x sin )dx i x 1e x cos sin( x sin )dx
数学物理方法课件：08第8章 热传导方程的傅里叶解
产生，u( x, t)
t
( x, t; )d
0
Tn (t ) sin
n1
n
l
x
,
Tn(t)
t 0
d
fn (
) e xp[
n2
l2
2
a2(t
)]
a)2
(2)
本征问题
X X (0)
X X
(l
0 )
0
Xn( x) cos(kn x) (n 0)
(3) 按本征函数展开 ( x, t) Tn(t)cos(kn x) n1
( x,0) ~( x)
~n
2 l
l 0
cos(kn
x)~(
x
)
dx
t a2 x x
~f Tn nTn
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
第8讲 求解浅水方程的传统数值方法1_71108073
( 1)m v2 m k 2 m t
e
i[ k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t ]
m1
振幅 其中：
k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t
m1
具有角度量纲；
k ( x at ) ( 1) v2 m1k
)
22
h*是下面关于h的方程的解
f (h ) = fL (h, hL ) + fR (h, hR ) + D u = 0,
ì 2 gh - 2 gh , ï ï L ï ï fL (h, hL ) = ï í ï (h - h ) g (h + hL ), ï L ï 2hhL ï ï î ì 2 gh - 2 gh , ï ï R ï ï fR (h, hR ) = ï í g (h + hR ) ï (h - h ) , ï R ï 2hhR ï ï î h
推导上述差分方程的修正方程。
4
u u x 2 3u ax3 4u M .E : a a 1 c2 x3 8 c 1 c2 x4 t x 6
修正方程式(标准形式);
u u nu a vn t x n 2 x n
11
题1:
u 2u 2 t x u ( x ,0) 0.3 (0.5) u (0, t ) u (1, t ) 0
采用FTCS格式 ：
u n 1 u n j j t
u n1 2u n u n1 j j j x 2
0.5 分别取 s t2 x 1
F = 0, x
轾 h U= 犏 , 犏 hu 犏 臌
数学物理方程讲义姜礼尚答案
数学物理方程讲义姜礼尚答案11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社这些书应该够了，其他书不一一列举。
从中选择一本当作课本就可以了。
外国数学分析教材：11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。
我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。
强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。
买书不建议看价格，而要看书好不好。
一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。
12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。
13《数学分析》卓立奇观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。
14《数学分析简明教程》辛钦课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。
但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。
15《数学分析讲义》阿黑波夫等著莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。
16《数学分析八讲》辛钦大师就是大师，强烈推荐。
17《数学分析原理》rudin中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。
不过这本美国的书还是值得一看的。
写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。
18《微积分与分析引论》库朗又一本美国的经典数学分析书。
有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
19《流形上的微积分》斯皮瓦克分析的进一步。
中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。
20《在南开大学的演讲》陈省身从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。
21华罗庚《高等数学引论》科学出版社数学分析习题集不做题就如同没有学过一样。
希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。
买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。
1《吉米多维奇数学分析习题集》最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。
数学物理方程课后习题答案
， 令 u( x, t ) U ( x, t ) v( x, t ) 代入原定解问题，则
vtt a 2vxx 2 2 A cos 2t x / l , v(0, t ) 0, v(l , t ) 0 v( x, 0) v ( x, 0) 0 t
u u x E t t x x
证 在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 x x 。现在计算这段杆在时刻 t 的相对伸长。在时 刻t 这段杆两端的坐标分别为：
x u( x, t ); x x u ( x x, t )
0
4 Al 1 cos 2
2 k
k
2
a
.
t 4 Al 1 1 1 v k 1 sin k l x cos 2 sin k al t d . 2 2 0 k a 2 k
1 cos2 sin k al t 0 d
Bk 4 A k a cos 2 l sin k l d
2 1 l 1 l 1 2 3 3 1 0
计算可得
4 Al k a cos 2 sin d .
2 3 3 1 k 0
4 Al k a cos 2 k l 1 sin k l 1 d k l 1
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
utt g[(l x)ux ]x .
§2 达朗贝尔公式、波的传播
p.16:3. 8.
3.利用传播波法，求解波动方程的古尔萨（Goursat） 问题
2 u a uxx , tt u x at 0 ( x), u x at 0 ( x), (0) (0).
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
数学物理方程
x x0 时，对 y(x,x0,y0)， 有 y 0 ，则称 y 0 解稳定。
定义11:
设 yg(x,y)为方程 的平凡解， 00,x0, 0,y0
若 y0 ，当 x1 x时0 ，
，
有 y(x1,x0,y0)
，则 y(x)bk(x,t)y(t)dt a
y
(
x0
)
y0
称为SturmLiouville方程。
六、微分方程解的理论基础
定义8
对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：
f(x, y, y, y)0, t(, ) a1y()a2y()a3y()a4y()a5
定义9
对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
y 0
定义10:
设为 yg(x,y) 方程 0,x0 I,(,x0)0, y0的平凡解，
一、散度与通量
设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量
为 A(x, y, z)，则向量场 AdSAn0dS沿曲面S的第二类曲
面积分
S
S
AdS An0dS
S
S
p(x, y, z)dydzq(x, y, z)dzdxr(x, y, z)dxdy S
(px qy rz)dxdydz V
称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。
求导算子D：
梯度算子
与Laplace算子x,
, y
z
是两个最基本的算符：
x22 y22 z22
uu(x, y, z)
设为向量场，graduu为数值函数，则有
以下公式：
divA A
rot A A
2u u gradu u
( u v ) u v u v
数学物理方程(谷超豪)课后答案
第一章．波动方程§1方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(t x u ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。
ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。
现在计算这段杆在时x +x x ∆刻的相对伸长。
在时刻这段杆两端的坐标分别为：t t ),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令，取极限得在点的相对伸长为。
由虎克定律，张力等于0→∆x x x u ),(t x ),(t x T ),()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。
)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu ()若常量，则得=)(x s =22)(tu x ∂∂ρ)((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为l x x ==,0.0),(,0),0(==t l u t u (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边l x =l x =xux E t l T ∂∂=)(),(l x =界条件为|=0xu∂∂l x =同理，若为自由端，则相应的边界条件为∣0=x xu∂∂00==x (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移l x =由函数给出，则在端支承的伸长为。
数学物理方程反问题讲稿
2011-8-11
8
给你一只管子，不允许直接进入内部测量， 给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里 面的形状吗？如果管子是轴对称的， 面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的Sondhi和 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的 和 Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪 提供了一个方法： 提供了一个方法 在管子的一边发出声音， 器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管 器测量管口的位移速度和压力。 内的截面半径。 内的截面半径。 这个例子， 这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“ 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“ 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地 ”才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的 才能解决问题，比如说石油勘探。 地下，无法直接观察油田的位置和储量， 地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元）， ），而且效率 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率
2011-8-11
5
Hale Waihona Puke 应用背景定向设计 物性探测 扫描成像 逆时反演及其他
2011-8-11
6
工业生产离不开产品设计， 工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上， 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道， 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性 只是在小角度的假设下才近似成立。 只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种特殊轨线 的摆，使它严格满足等时性？ 的摆，使它严格满足等时性？Huygens于1673年提出并解决了 于 年提出并解决了 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线， 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为
数学物理方程第八章 非线性偏微分方程与积分方程
t ≥ 0 都存在，而只是在某个有限时间内存在，见下例
例 3 考虑瑞卡提方程的初值问题
⎧ dv 2 ⎪ =v , t>0 ⎨ dt ⎪ ⎩v(0) = v0 (v0 是常数)
容易求出它的解
v(t ) =
v0 1 − v0 t
显然， 若 v0 < 0 ， 则方程的解对所有 t ≥ 0 都存在， 简称存在整体解； 若 v0 > 0 ， 则当 t →
v∈M ϕ
(8.1.2)
这是一个变分问题 如何求出变分问题式（8.1.2）的解？我们先来看看假若 u ∈ M ϕ 是式（8.1.2）的解，那
么 u 必需满足什么样的条件。为此，我们定义 M 0 = v v ∈ c (Ω), v
1
{
∂Ω
= 0}, 任取 v ∈ M 0 ，
对任意 ε ∈ (−∞,+∞), u + εv ∈ M ϕ , 记 j (ε ) = J (u + εv) 式中， J (u ) 由式（8.1.1）确定，从 式（8.1.1）可知 j (ε ) 是定义在 R 上的一个可微函数，由于 u 是式（8.1.2）的解，所以对任 意 ε ∈ R, j (ε ) ≥ j (0) ，即 j (ε ) 在 ε = 0 处取的是最小值，故 j ′(0) = 0) 不难算出 j ′(ε ) =
∂ 2u = eu ∂x∂y
（8.2.1）
这是一个半线性的二阶方程，若令 u1 是
∂ 2 u1 =0 ∂x∂y
的解，则再构造一个偏微分方程组
1 ( u + u1 ) ⎧ ∂u ∂u1 2 = − β e ⎪ ⎪ ∂x ∂x ⎨ 1 ⎪ ∂u = − ∂u1 − 2 e 2 ( u −u1 ) ⎪ ∂y β ⎩ ∂y
精品课件-计算物理学(郭立新)-第8章
2u x2
2u y 2
f
(x, y)
(8.11) 对比式(8.10)可知，B=0，A=C=1
第8章 有限差分方法
2. 抛物型方程(B2-4AC=0) 如一维扩散方程或热传导方程属于这一类型，方程(8.5) 和(8.6)可以写成
(8.12)
2u x2
u t
对比式(8.10)可知，B=C=0, A=1
2u
2u x2
2u y 2
0
(8.33) 【例8.1】 用有限差分法求解拉普拉斯方程，边界条件
如图8.2
第8章 有限差分方法 图8.2
第8章 有限差分方法
若取h=5，如图8.2所示有三个内点，相应的u值记为u1、u2、 u3。根据式(8.32)，可列出关于三个内点的差分方程组
它的矩阵形式为
4u1 u2 0 u1 4u2 u3 0 u2 4u3 100 0
从数学上讲，一个偏微分方程会有无限多个解，偏微分方
第8章 有限差分方法
1．
若u代表方程中的未知函数，用Γ表示方程适用区域D的边
界。第一类边界条件为
u|Γ=u0(rb, t)
(8.14)
其中, u0(rb, t)是定义在Γ上的已知函数，rb是相应边界
点的位矢。在这种边界条件下边界上连续体或者场的状态是已
uk 1 ij
1 4
(u k 1 i, j1
uk1 i1, j
uik, j1
uk i1,
j
h2
fij )
(8.36)
这种迭代方法称为异步法，它只需一套内存，收敛较快。
第8章 有限差分方法
dx h
由式(8.20)可得一阶向后差商公式
(8.24)
数学物理方程
⎧y ⎪
t=0
=d
= v0
⎨
⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒ vy = v0 − gt
⇒
y
=
v0t
−
1 2
gt 2
(2) 对斜向上抛：
⎧⎪x t=0 = v0 cosθ = c
⎨ ⎪⎩x
t=0
=
c'
=
0
⇒ vx = v0 cosθ ⇒ x = (v0 cosθ )t
⎧y ⎪
t =0
=
d
=
v0
sin θ
x
= SY[∂u(x + dx,t) − ∂u ] = SY ∂ [u(x + dx,t) − u(x,t)]= SY
∂ [u(x + dx,t) − u(x,t) dx] = SY
∂x
dx
∂2u ∂x2
dx
由牛顿第二定律： ma = F (a = ∂2u , m = ρdv = ρ sdx)
⇒ vy = v0 sinθ − gt
⎨ ⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒
y
=
v0
sin θ
t
−
1 2
gt 2
5
结论：不同的初始条件 ⇒ 不同的运动状态，但都服从
牛顿第二定律。
综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理
规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z) 和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。
20
(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系
例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力，其边界条件为
姜礼尚数学物理方程讲义(第三版)课后习题答案
公众号:菜没油
8
uv uv fv dx + x uv g v ds u = v ds v udx uv fvdx x uv gv ds n
u u u f vdx v x u g ds 0 2 n
6.解： 设 u u x, y, z, y 为 t 时刻在 x, y, z 处的温度,k 为导热系数， 0 为热交换 系数，于是有如下定解问题：
公众号:菜没油
4
10.泛定方程：ut a2 u 0
20.初始条件：u x, y, z, 0 100 u 0 37 u n
30.边界条件：u x, y, 0, t u 0 k
公众号:菜没油
5
10.解： 取传送带所在直线为 x 轴,起点为原点，任取一段传送带 x1 , x2 ，时间段
t1 , t2 .
由质量守恒： 即 dx
x1 x2 t2 x2 x1
t2
t dx dt a
2 2 2
从而由动量守恒及胡克定律可知:
S x xutt x, t ES x u x
再令 x 0 ,即有
2 x 2 x u 1- E 1 2 x h 2 h t 2
x x
ux
x
u x
0 0 1 1 1 1
u 0 y 0 u ydx 2 ydx y 0 0
0 0
u 2 0 u 0 1 0 u 1 0 u x2 x 2
数学物理方法 第8章 分离变数法
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
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分离变量法的目的？
行波法的目的？
总言之，所有的目的均在于将偏微分方程能够转 化，得到u（x，t）的通解！
积分变换法
3.3 (1) Fourier积分变换法 3.3 (2) Laplace积分变换法
针对“无界域”的问题
2 u 2 u f ( x, t ), x , t 0 a 2 x t u ( x, 0) ( x), x
f (x) F ( p) k ( x, p) f ( x)dx
积分变换法
积分变换的概念
所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数 f (x) 经过某种可逆的积分手续变成另一函数类B中 的函数。
F ( p) k ( x, p) f ( x)dx
其中， F ( p ) 称为的像函数 f (x) 称为原函数 而 k ( x, p ) 是 x和p的已知函数，称为积分 变换核。
两个函数经卷积运算所得的新函数的傅里叶变换等于 原来两个函数傅里叶变换的乘积。
上式往往反过来用！！！
F [G1 (w) G2 (w)] f1 ( x) f 2 ( x)
如果知道G1（w），G2（w）的傅里叶逆变换分别为f1（x),f2(x), 则它们乘积G1（w），G2（w）的傅里叶逆变换就是f1(x)与f2（x） 的卷积。
wy
wy
根据条件得：
U (w, y) F (w)e
wy
Step3： 求像函数的逆变换，
得原定解问题的解
u( x, y) F [ F (w) e
1
wy
] F [ F (w)] F (e
1
1
wy
)
Fourier变换
设函数在上连续、分段光滑且绝对可积，则称函数
G()
f ( x)e ix dx
为函数的Fourier变换，记作 F[ f ( x)] G( ) 1 而称函数 f ( x) G()e ix d 为G (w)的Fourier逆变换，
2
记作 F 1[G()] f ( x)
n
(请证明)
什么叫卷积
已知函数f1(x),f2(x),两者的卷积就是
f ( ) f ( x )d
1 2
F[ f1 ( x) * f 2 ( x)] F[ f1 ( x)] F[ f 2 ( x)]
3) 卷积定理
F[ f1 ( x) * f 2 ( x)] F[ f1 ( x)] F[ f 2 ( x)] G1 (w) G2 (w)
1
u(x,t) 等于两部分
F [ () e
1
a 2 w2t
]
1 2a t
x2 4 a 2t
F [ ( w)] F [e
1 1
a 2 w 2t
] ( x)
e
第二部分见书上
下面看例题P83
Step1：方程两端对x取傅里叶变换
Q6
F[u( x, y)] U (w, y)
1）无界 2）非齐次方程 ——分离变量法不适用，所以积分变换法“闪亮登场”
Step1 对方程两端取傅里叶变换，把一个含两个 自变量的偏微分方程转化为含一个参量的常微 分方程 有两个函数u（x，t），f (x, t),根据自变量范围， 我们对x取傅里叶变换，消去x
F[u( x, t )] u( x, t )eix dx U (w, t )
F[ f ( x, t )]
f ( x, t )eix dx G(w, t )
根据傅里叶变换的微分性质，得到：
u u iwx iwx F[ ] e dx u( x, t )e dx U (, t ) t t t t
2u F [ 2 ] (i ) 2 F [u ( x, t )] 2U ( , t ) x
F[ f ( x, t )] G(, t )
所以原偏微分方程变为：
d U ( , t ) a 2 2U ( , t ) G ( , t ) dt
如果把w看作参量，t看作变量，上方程就是一个 一阶非齐次的常微分方程
U (, t ) t 0 ()
Step2：求解常微分方程，得到像函数
U ( w, t ) ( w)e G ( , )e
0 t a 2 w 2 ( t )
a 2 w 2t
d
Step3：求像函数的 u( x, t )
1
Fourier积分变换法应用举例
无界杆的热传导问题
设有一根无限长的杆，杆上具有强度为F（x，t） 的热源，杆的初始温度为 (x) ，试求t>0时杆上 温度的分布规律。
定解问题
u 2u 2 f ( x, t ), x , t 0 a 2 x t u ( x, 0) ( x), x
d 2U ( w, y ) (iw) 2 U ( w, y ) 0, y 0 2 dy U ( w, y ) y 0 F ( w) lim U ( w, y ) 0 y
Step2：求解常微分方程，得到像函数
U (w, y) Ae Be
需要用到的三个性质
1) 线性性质： F[f1 f 2 ] F[ f1 ] F[ f 2 ] 2）微分性质：当
( n1) ) x 若 f ( n1( x) 0, 0,n ,,, ,, f ( x) n 1 2 1,2
F[ f
( n)
( x)] (i) F[ f ( x)]