51定积分的概念和性质精品
第5.1节 定积分的概念及性质
§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。
注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。
5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
5-1定积分的概念及性质-精选文档
b
.
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
S
o x
.
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
4 取极限
令分法无限变细
a
n
x i i x i1
解决步骤:
1)分割(大化小). 在每个小段上物体经 t , t ] ( i 1 , 2 , , n ) , n 个小段 [ i 1 i
将它分成 在 [ T , T ] 中任意插入 n 1 个分点 , 1 2
s i 1 , 2 , , n ) 过的路程为 i(
2)以直代曲(常代变).
x
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a
x i i x i1
x
.
4 取极限
令分法无限变细
bx
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
5_1 定积分的概念与性质
b
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
c b
a b c,
a
c
b
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
f ( x ) dx f ( x ) dx
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小
a f ( x) dx f ( )(b a)
证: 设 f ( x) 在[a, b] 上的最小值与最大值分 别为 m, M , 则由性质6 可得
b
根据闭区间上连续函数介值定理,在[a , b] 上至少存在一 使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理x)
f ( )
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
在区间
即
a f ( x) d x lim0 i f ( i ) xi 1
b
n
o a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
y
yx
2
则
i2 f (i )xi i2 xi 3 n
o
i n
1x
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
5.1定积分的概念和性质
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 ,, xn xn xn1
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; y 每个小曲边梯形的面积为 Ai 曲边梯形的面积
Ai
xi 1
o a x1
xi
2) 取近似. 在第i 个小曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得
b
a
a
a
f ( x)dx 0
2.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 y 0 a
y
a
0
b
b x
曲边梯形面积的负值
y
A1 a c
b
A3 A2
d
e
A4
A5 f b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
A1 ( A2 ) A3 ( A4 ) A5
y
o a x1
xi 1
i
xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
3) 求和.
将n个小矩形的面积之和作为所求曲 边梯形面积的近似值
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A Ai
i 1
( a b)
8. 积分中值定理 则至少存在一点
使
a f ( x) dx f ( )(b a)
b
5.2 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限函数
5-1 定积分的概念与性质
a x0 x1 x2
n
x n 1 x n b .
n
T1 t0 t1 t 2
T1
t n1 t n T2
T2 v(t )
2) 取近似. Ai f ( i )x i
2) 取近似. si v( i )t i
3) 求和. A A i f ( i )xi
b
(2) 定积分是一个数! 区间分法 被积函数 与 ξi的取法 无关 有关， (3) 定积分仅与 积分区间 积分变量记法 b b b a f ( x) d x f (t ) d t f (u ) d u
a
a
（三）可积条件
定理1 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.
4) 取极限. A lim f ( i )x i
0
i 1 n
i 1
4) 取极限.
不同点：背景不同
相同点：方法相同 数学形式相同
lim f ( i )x i
0
i 1
n
（二）定义
设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上有界，在 [a , b] 中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn b , 把区间[a , b] 分成 n 个小区间
y
(1) xdx
0 5
o
y
(2)
a a
5
x
a 2 x 2 dx
a
o
a x
二、定积分的性质
约定
当a b时,
当a b时,
b
a b
f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx
b
5-1 定积分的概念与性质
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
证
m(b a ) a f ( x )dx M (b a )
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
b
于是
性质5的推论： （ 2）
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
证
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx,
A?
o
a b x
x b 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形面积和越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间 [a,b]内插入若干
个分点， a x0 x1 x 2 xn1 xn b,
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 确定的极限 在区间[a , b] 上的定积分， 记为
积分上限
积分和
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
5-1-定积分的概念与性质
把区间a,b 分割成 n 个小区间[xi1, xi ]（i=1，2， ，n） （ 称 为 a,b 的 一 个 分 割 ）， 并 分 别 记 小 区 间 的 长 度 为
xi xi xi1（i=1，2， ，n）.相应地把曲边梯形分割成 n 个窄曲边梯形.
第二步：近似.即“以直代曲”，在小区间[xi1, xi ] 上任 取一点i ，以 f (i ) 为高，以xi 为底的小矩形面积f (i ) xi 作 为窄曲边梯形面积xi 的近似值，从而在[xi1, xi ] 上以直线 y f (i )代替曲线 y f (x) ，有
Ai f (i ) xi ，i=1，2，…，n.
第三步：作和.把所有小矩形面积相加，得整个曲边梯
形面积 A 的近似值，即
n
n
A= Ai f (i )xi .
i1
i1
第四步：逼近.显然，随着区间 a, b 内的分点不断增
加，第三步所得近似值的精确度将不断提高，并不断逼近
曲边梯形面积的精确值.记最大的小区间长度为，即
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题实例分析
y
1． 曲边梯形的面积
设 y f (x)在区间a,b上非负
且连续，由曲线 y f (x)及直线
x a 、 x b和 y 0所围成的平面
f (n ) f (1) f (i )
图形（如图 5-1）称为曲边梯形，
其中曲线弧称为曲边，x 轴上对应 O x0 x1 xi1i xi n xn x
W =力×距离=F (b a) .
如果 F 不是常量，而是与质点所处的位置 x 有关的函数 F f (x)，这是变力作功问题，上面公式就不能使用.
问题的困难在于质点在不同位置上，所受到的力大小 不同，类似于曲边梯形的面积的作法，采取以下步骤：
5.1定积分的概念与性质
5.1定积分的概念与性质1．利⽤定积分的定义计算下列积分：⑴baxdx ?（a b <）；【解】第⼀步：分割在区间[,]a b 中插⼊1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =- ），将区间[,]a b 分为n 个等长的⼩区间[(1),]b a b a a k a k n n--+-+，（12,,k n = ），每个⼩区间的长度均为k b an-?=，取每个⼩区间的右端点k b ax a k n-=+，（12,,k n = ），第⼆步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==??∑1n k k k x ==??∑1()nk b a b aa k n n=--=+∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+-1+-=--?第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--? ()(0)22b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ?222b a -=。
⑵1xe dx ?。
【解】第⼀步：分割在区间[0,1]中插⼊1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =- ），将区间[0,1]分为n 个等长的⼩区间1[,]k k n n -，（12,,1k n =- ），每个⼩区间的长度均为1k n ?=，取每个⼩区间的右端点k kx n=，（12,,k n = ），第⼆步：求和1()nn k k k S f x ==??∑1knx k k e ==??∑11k nnk e n ==?∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e 为等⽐数列，其⾸项为11n x e =，公⽐为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnnn nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==??∑11kn n k e n ==∑111(1)1ne -=?-111(1)1n n e n e e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x x e →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11xe dx e =-?。
5.1 定积分的概念与性质
前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分， 系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本 问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类 基本问题——定积分，它是微分（求局部量）的 逆运算（微分的无限求和——求总量），然后着 重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中 有着极其广泛的应用。
第一节 定积分的概念 与性质
n
其中 max{t1 , t2 , , tn }.
二、定积分的定义 定义 设函数 f ( x) 在 [a, b]上有界，在[a, b] 中任 意插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间 [a, b] 分成n 个小区间 [ x0 , x1 ],[ x1, x2 ], ,[ xn1, xn ], 各小区间的长度依次为 x1 x1 x2 , x2 x2 x1 , , xn xn xn1. 在每个小区间 [ xi1, xi ] 上任取一点 i ( xi1 i xi ), 作 函数 f (i )与小区间长度 xi 的乘积 f (i )xi (i 1, 2, , n), 并作出和
a
b
(k是常数).
可 加 性
设a c b, 则
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a c
c
b
性质4
如果在区间 [a, b] 上 f ( x) 1, 则
1dx
a
b
b
a
dx b a.
性质5
如果在区间 [a, b] 上 f ( x) 0, 则
S f (i )xi .
i 1
n
记 max{x1, x2 , , xn}, 如果不论对[a, b] 怎样分 法，也不论在小区间 [ xi1, xi ] 上点 i 怎样取法，只 要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限I，这时我 们称这个极限I为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分 b (简称积分)，记作 f ( x)dx, 即