圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案

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【椭圆】 一、椭圆的定义

1、椭圆的第一定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数

)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,

两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ;

若)(2121F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程(端点为a 、b ,焦点为c )

(1)当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:122

22=+b

y a x )0(>>b a ,其中222b a c -=;

(2)当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:122

22=+b

x a y )0(>>b a ,其中222b a c -=;

2、两种标准方程可用一般形式表示:22

1x y m n

+= 或者 mx 2+ny 2=1

三、椭圆的性质(以122

22=+b

y a x )0(>>b a 为例)

1、对称性:

对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a :是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形;

并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围:

椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足a x ≤,b y ≤。 3、顶点:

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别

为)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -,),0(2b B 。

③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率:

① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作a

c a c e ==

22。 ② 因为)0(>>c a ,所以e 的取值范围是)10(<

e 越接近1,则c 就越接近a ,从而22c a b -=越小,因此椭圆越扁;

反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当b a =时,0=c ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为a y x =+22。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。

注意:椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征(如下图):

e PM PF PM PF ==

2

21

1 )2(21a PF PF =+ )2(2

2

1c

a PM PM =+

5、椭圆的第二定义:

平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数e ,(0<e <1)的点的轨迹为椭圆(

e d

PF =|

|)。 即:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图

中有

e PM PF PM PF ==

2

21

1。

①焦点在x 轴上:122

22

=+b

y a x (a >b >0)准线方程:c a

x 2±

=

②焦点在

y 轴上:122

22=+b

x a y (a >b >0)准线方程:c a y 2

±=

6、椭圆的内外部

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(1)点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的内部22

00221x y a b ⇔+<

(2)点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 122

22=+b

x a y )0(>>b a 图形

五、其他结论

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1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b

+=

2、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则

切点弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y

a b

+= 3、椭圆22

221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点

12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan

2

F PF S b γ

∆=

4、椭圆22

221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式:

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y )

5、设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF⊥NF。

6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF⊥NF。

7、AB 是椭圆22

221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则

2

2OM AB

b k k a ⋅=-,即0

202y a x b K AB -=。

8、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b

+=+

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