一次函数图象在物理中的作用

一次函数图象在物理中的作用

元济高级中学 ( 314300 )

钱少林

2001年理科综合考试考纲（物理部分）明确提出，考生应具有“必要时能应用几何图形、函数图象进行表达和分析物理问题”的能力，如此具体的要求在以往的考纲中是没有的，这无疑应该引起我们一线物理教师的高度重视。我在回顾小结了高中物理中所涉及的数学函数图象后，认为最重要的函数图象有两类，即一次函数图象和正弦类函数图象,其中尤以一次函数图象最基础、最重要，应用也最广泛，所以应当成为我们复习或研究的重点。下面我就一次函数图象在物理中的作用谈几点粗浅的看法。

一、它能直观地反映物理概念和规律

物理概念和规律往往有三种表达形式，即文字描述、公式表示（即数学表达式）、图象描述。而图象描述更具有形象、直观、简明等特点，这也是其生命力之所在。中学物理中的概念、规律，其物理量之间的关系一大半具有一次函数的特征，通过赋予数学变量X 、Y 以不同的物理意义，即可直观地反映出许多物理量之间的关系及其规律。

例如，初速度为V 0的匀变速直线运动，它的速度公式表示为at V V +=0， 而用函数图象t V -图表示即为一条倾斜的直线，速度V 随时间t 均匀增大的关系，非常直观、形象，其截距即表示其开始时的初速度V 0，如图1所示。 又如牛顿第二定律的表述中，当质量m 正比的关系，如图2所示，也非常直观。还有欧姆定律I —U 图线，如图3；简

谐运动概念F 回与X 关系图线（大小成正比，方向反向），如图4；电容器带电

量Ｑ随两极电压U 关系图线（成正比），如图5；再如竖直上抛运动的t V -图线，其速度V

图４ 诸如此类的例子不胜枚举，一次函数在这方面的作用是不言而语的。

二、它能深层地蕴含一些物理特征或意义

一般函数图象都是在平面直角坐标系中反映二个变量之间的关系，而物理量间的联系或物理规律往往是多维的。作为一次函数图象能够反映物理规律，不仅在于体现它能直观反映两个坐标物理量间的关系，还体现在它所蕴含的深层的物理含义之内，能够反映出坐标量以外的其它物理量的特征。例如匀变速直线运动的t V -图，如前图1中，直线的倾斜程度即蕴含着加速度a 的概念，即αtg k a ==（此处α为其倾角，但不能简单地用量角器量取，下同），某一时间内图线与横轴t 所围成的梯形面积，即蕴含着这段时间内的位移S 。又如图7，由图可知A 、B 均为匀变速运动，初速度B A V V 00<（截距可知），A 、B 的加速度大小B A a a >（倾斜程度可知），进一步分析可知开始时S B >S A ，即B 在前，A 在后（假设由同一地点出发），且1t 时两者速度相等、相距最远（阴影部分“面积”），此后，A 逐渐靠近B 并在t 2时赶上B （PMN ∆部分“面积”等于“阴影”

又如图８，我们不仅知道I 与U 成正比，还可从斜率k 的大小知道对应部分电阻R 的大小（成反比），即αtg R R ==/1，虚线对应的电阻R ’< R 。

再如图９，为研究电源的电动势ε与内阻ｒ的Ｉ—Ｕ图线，从中我们不仅知道电源端电压Ｕ随电流I 的增大而减小的关系，还可分析出电源的电动势ε（纵坐标截距），短路电流Ｉ短（横坐标截距），及从图线的倾斜程度分析出电源

的内阻ｒ（αtg r =）。

又如物理光学中，发生光电效应的规律可用如图10反映，从图中我们不仅看到光电子最大初动能E k 随入射光频率γ的增大而增大，还能从图线与横坐标的截距反映出极限频率0γ及发生光电效应的条件（0γγ≥）等，而图线斜率又蕴含着普朗克常数ｈ。

γ

再如在热学中，一定质量的理想气体的状态变化如图11，据此我们不仅知道0→a 过程中P 与T 成正比，a →b 作等压变化，我们还可知道其它物理量如体积V 等的情况，即0→a 是等容变化过程，a →b 是等压膨胀过程、气体的体积a b V V >等（气体的体积和该点与原点O 连线的斜率成反比，连线Ob 的斜率比直线O a 的斜率小，故b 状态的体积大）。

三、具有验证、探索功能

有些物理规律或物理量间关系较复杂，本身并非一次函数关系，给验证或探索带来一定的难度。但若能将其化为“一次”函数图象关系，则可直观、简明地加以推断。

如在验证牛顿第二定律“合外力F 一定时，m a 与成反比”时，应当得到m

a 与的函数图象为一双曲线，如图１２所示，但在实验中描点得到的曲线是否为双

曲线，实难推断，但倘若转换为m a 1与

的关系，看a 是否与m

1成正比，则推断

又如验证玻意耳定律P 与V 成反比时，也常转化为V

P 1与是否成“一次”正比，如图１４所示，其斜率反映出温度的高低（T １＞Ｔ２）。 再如我们验证初速度为0之匀变速直线运动，它的位侈S 与时间t 是否是22

1at S 的关系时，本身是二次函数，图象为抛物线，也较难断定，在此，我们也不妨验证S 与“2t ”（2t 作为一变量）是不是

一次函数关系，即从图象是否为一通过原点的直线

加以验证，则会明了得多。

还有如验证折射定律时，只须将“Sin i ”作为自

变量，将“Sin r ”作为应变量，看其图象是否为一

直线即可，直线的斜率即对应其介质的折射率n （设

光从该介质折射入空气中时），如图15所示。

当然，一次函数图象在物理中的作用，不止以上所述，实际上不仅仅是物理问题，生活、实践中的许多问题，常可归纳入一次函数的范畴，而借一次函数图像去研究、分析这类问题，常常会显得既简单又形象直观。

在教学中，挖掘一次函数图象的物理功能，有利于培养学生的分析能力、探索能力和创新能力，有利于当前推行的素质教育，符合当前的教育、教学改革的方向。

2001．4