第10章二叉树法期权定价及其Python应用
期权定价二叉树模型精讲共41页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
期权定价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叉树模型精讲
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
期权定价二叉树多步推导
Su5=32.2102 Su4d= 26.3538 Su3d2= 21.5622 Su2d3= 17.6418 Sud4= 14.4342 Sd5= 11.8098
第六步：
Su6=35.43166 Su5d=28.98918 Su4d2=23.71842 Su3d3=19.40598 Su2d4=15.87762 Sud5=12.99078 Sd6=10.62882
且在期权到期日，当 时，该看跌权的价值为
当 时，该看跌权的价值为
当 时，该看跌权的价值为
根据(8.5)，可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再由(8.4)，即可求得该看跌权的初始价值为
.
3.多步二叉树模型 一步和两步二叉树模型太简单了，实际使用的二叉树要求具有多个离散 的时间步长来计算期权的价值。通常从初始时间到期权到期日需要分成 30或更多个时间步长。 两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的 情形。如果我们将初始时间距期权到期日的时间T分成 个相等的时间步，则每个时间步长 。令股票的初始价格为 ，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的
倍，或向下下降到当前价格的 倍，无风险利率为的 ，则在期权到期日，股票价格有 种可能结果： 它们在风险中性状态下出现的概率分别是： 其中
(8.6) 令 为与 种股票价格 对应的期权价值， 为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为
股票看跌权在到期日的价值为
将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值
如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格 都以无风险利率增加，故有
于是，我们有
由此可得
与(8.3)比较，我们发现： ，这就是参数 的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的概率2.两步二叉树模型 在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如 果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的 缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短计 算的时间步长，有助于提高计算精度。 现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则 每个时间步长
基于二叉树模型的期权定价
精品文档目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (3)1.1 背景介绍 (3)1.2 本文的主题 (4)第二章预备知识 (5)2.1 期权 (5)2.2二叉树方法 (6)2.2.1 方法概述 (6)2.2.2 二叉树方法的优点和缺点 (8)2.2.3 风险中性定价 (9)2.3 Black-Scholes 期权定价模型 (10)2.3.1模型来源 (10)2.3.2风险中性定价 (11)2.3.3模型假设 (11)可编辑精品文档2.3.4Black-Scholes期权定价公式 (12)第三章本论 (14)3.1期权定价的二叉树模型 (14)3.1.1参数确定 (14)3.1.2资产价格树形 (16)3.1.3通过树形倒推 (17)3.1.4代数表达式 (18)3.2 例子模拟计算和结果分析 (18)3.3 模型改进——三叉树 (22)第四章结论 (25)谢辞及参考文献 (28)谢辞 (28)参考文献 (29)附录 (32)计算过程中涉及算法 (32)可编辑精品文档摘要Black-Scholes 期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果，而Black-Scholes 公式是此模型的核心，但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。
二叉树方法作为一种数值方法，同时也是图论中一种重要方法，应用于期权定价问题中，它有了更特别的演变。
本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解，用二叉树方法迭代多次，求出较为准确的期权价格。
通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比，分析二叉树方法模拟的优点和缺点。
同时，我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系，从而更加深入了解二叉树方法。
然而，我们在模型中设立了许多条件，这些都使模型离真实情况越来越远，我们必须不断发展模型，完善模型。
三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。
关键词：二叉树方法，Black-Scholes 模型，风险中性定价可编辑精品文档ABSTRACTBlack-Scholes Formula is the core of Black-Scholes Option Pricing Model which provides a practical method for option pricing. It has analytical solutions with good properties in some special situations, for instance, European options. However, the analytical solution is difficult to find in many derivative models like Asian options and American option. As a sort of typical statistical simulation method,Binomial tree plays very important roles in Graph Theory and other significant academic fields. W h e n i t a p p l i e s t o t h e o p t i o n p r i c e,b i n o m i a l t r e e m e t h o d h a s m u c h m o r e s p e c i a l u s e.The main idea is that we put the binomial tree into effect,reapply this method and get numerical results of option price.By comparing the results of Black-Scholes formula with the results of binomial tree method,we come to the advantages and disadvantages of both method. Meanwhile,the study of the steps of binomial tree method is also included to get its relationship with the method’s results and accuracy,which leads us to understand this method deeply and rightly.However,we set many extra conditions,which pushes the situation further away from the real situation.The simple binomial tree method is supposed to be improved constantly in case the可编辑精品文档finance market changes ceaselessly. Ternary tree is a good supplement for the binomial tree.Key words: B i n o m i a l t r e e method, Black-Scholes option pricing model,Risk-neutral valuation第一章绪论1.1 背景介绍金融数学这门学科是随着金融市场崛起后产生的一门衍生学科，作为为金融学和数学的交叉学科，它的主要想法就是收集大量金融市场中的实际数据，建立适当的数学模型并不断进行优化，利用一系列的现代数学工具（例如概率论、随机分析以及程序辅助）研究风险资产如金融衍生产品的定价，同时尽可能规避投资风险以及选择最优的消费投资策略。
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
期权定价方法及其应用探析
期权定价方法及其应用探析随着全球金融市场的快速发展，期权作为一种重要的金融工具，已经在投资管理中占据了举足轻重的地位。
期权定价方法作为期权交易的基础，备受。
本文将深入探讨期权定价方法的历史发展、基本原理、公式计算，以及在投资管理中的应用，最后展望期权定价方法的未来发展。
期权定价方法的发展可以追溯到1900年，当时法国数学家路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）首次运用随机游走理论来研究股票价格行为。
然而，由于当时缺乏适当的数学工具，他的研究并未得到充分重视。
直到20世纪50年代，期权定价理论才得到突破性进展。
1973年，费希尔·布莱克（Fischer Black）和 Myron Scholes（布莱克-斯科尔斯模型）推导出欧式期权定价公式，为期权市场的发展提供了重要的理论基础。
期权定价方法主要分为两大类：离散模型和连续模型。
离散模型主要包括二叉树模型和三叉树模型，适用于标的资产价格相对较低、波动率较小的场景。
连续模型包括布莱克-斯科尔斯模型和其扩展模型，适用于标的资产价格较高、波动率较大的场景。
二叉树模型假设标的资产价格只能取两个值：上升或下降。
通过计算未来不同节点的期权价值，结合无风险利率和时间步长等信息，倒推出当前期权的价值。
三叉树模型在二叉树模型的基础上增加了一个中间价格节点，考虑了标的资产价格在上升和下降之间振荡的可能性，计算更为精确。
布莱克-斯科尔斯模型基于无套利原则和随机游走理论，通过偏微分方程推导出了欧式期权的定价公式。
该公式将期权价值与标的资产价格、无风险利率、波动率和到期时间等因素相关联。
期权定价方法在投资管理中的应用广泛，以下是几个具体案例：运用期权定价方法可以计算出股票期权的公允价格，帮助投资者在交易过程中合理把握风险，提高收益。
例如，通过比较不同执行价格和到期时间的期权价格，可以制定出更有效的投资策略。
债券期权赋予持有者在未来某一特定日期以预定价格购买或出售债券的权利。
第10章二叉树法期权定价及其Python应用
第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。
本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。
二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。
将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。
如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。
10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设：(1) 市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。
这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。
(2) 投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。
(3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。
(4) 允许完全使用卖空所得款项。
(5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。
为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。
下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。
1. 单一时期内的买权定价假设股票今天(t =0)的价格是100美元，一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。
期权的执行价格为110美元。
年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。
如图10-1所示。
今天 1年后t =0 t =1u S 0=120 上升20% 1000=Sd S 0=90 下降10%u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-=?0=Cd 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-=图10-1 买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
期权定价的二叉树模型说明
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q ) n jm sa jd u n x j k ( ,0 )]
j oj ! ( n j)!
n
p e rT[
n ! q j(1 q )n jmk asx jd u n j(,0 )]
6 期权定价的二叉树模型
假设条件: (1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看有
效率的 (3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不
存在税收问题 (4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或
贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信 用风险或违约风险
4
分析： 当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20
股票价格（sd）=$90 期权价值（cd）=
max（sd-k,0)=0
5
资产组合的目前成本与未来价值
6
$130× δ -$20=$90× δ (风险中性假定） Δ=0.5 股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45 股票下跌：VT=$90x0.5=$45 根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚
再令qerT d ud
CerT qcu (1q)cd
8
6.1.3 期权定价与无风险套利 均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率
9
假定价格为$5.00，在期权价格被低估的情况下
10
假定价格为$8.00，在期权价格被高估的情况下
11
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
二叉树期权定价方法的原理
二叉树期权定价方法的原理二叉树期权定价方法是一种常用的金融工具定价方法，它基于二叉树模型，通过离散化时间和价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题，从而简化了计算过程。
该方法的原理主要包括二叉树模型的构建、风险中性概率的计算和期权价格的计算。
首先，二叉树模型的构建是二叉树期权定价方法的基础。
二叉树模型是一种树状结构，每个节点表示某个时间点的价格，根节点表示初始价格，叶子节点表示到期价格。
在构建二叉树模型时，需要确定二叉树的层数和每个节点的价格。
一般情况下，层数越多，模型越精确，但计算复杂度也会增加。
节点的价格可以通过离散化连续价格的方法得到，例如使用二项式模型或几何布朗运动模型。
其次，风险中性概率的计算是二叉树期权定价方法的关键。
风险中性概率是指在无套利条件下，市场上不存在风险，投资者对未来价格的预期与实际发生的概率相等。
在二叉树模型中，每个节点的风险中性概率可以通过反推法计算得到。
具体而言，从期权到期日开始，逐层向上计算每个节点的风险中性概率。
对于每个节点，假设其上涨和下跌的概率分别为p和1-p，根据无套利条件，可以得到期权价格的期望值等于节点价格的折现值。
通过解方程组，可以得到p的值。
最后，期权价格的计算是二叉树期权定价方法的核心。
在二叉树模型中，期权价格可以通过逐层向下计算得到。
从根节点开始，逐层向下计算每个节点的期权价格。
对于每个节点，可以通过期权价格的期望值等于节点价格的折现值来计算期权价格。
具体而言，假设节点上涨和下跌后的价格分别为Cu和Cd，期权价格的期望值为E，节点价格为C，折现因子为r，可以得到以下公式：E = (p * Cu + (1-p) * Cd) / (1 + r)通过逐层向下计算，可以得到所有节点的期权价格。
最后，根据期权类型和期权的执行价格，可以确定期权的实际价格。
总结起来，二叉树期权定价方法的原理是通过构建二叉树模型，计算风险中性概率和期权价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题。
期权定价二叉树模型
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
可转换债券的价值评估——二叉树期权模型的应用
可转换债券的价值评估——二叉树期权模型的应用可转换债券的价值评估——二叉树期权模型的应用引言：可转换债券是一种特殊类型的债券，它允许债券持有人在特定条件下将其转换为股票。
在投资界，可转换债券被广泛应用，因为它们具有债券和股票两种金融工具的特点。
对于投资者而言，了解可转换债券的价值评估是重要的，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
本文将介绍可转换债券的概念，以及如何使用二叉树期权模型来评估可转换债券的价值。
一、可转换债券的概念和特点可转换债券是公司发行的一种混合性金融工具，具有债券和股票的特点。
它给债券持有人权利，可以根据约定条件将债券转换为公司股票。
可转换债券的特点主要包括转换价格、转换比例、赎回权和债券期限等。
转换价格是指债券持有人可将债券转换为股票的价格，转换比例是指每张债券可转换为多少股票。
赎回权则让公司有权在特定时间提前赎回可转换债券。
债券期限是指债券的到期时间。
这些特点决定了可转换债券的价值和风险。
二、可转换债券的价值评估方法为了评估可转换债券的价值，投资者可以采用不同的方法。
其中，二叉树期权模型是一种常用的方法，它基于二叉树模型来模拟可转换债券的价格变动。
在该模型中，假设可转换债券的价格变动只有上涨和下跌两种可能，以及相应的概率。
然后，通过递归地计算出每一个节点上的价值，最终确定债券的公允价值。
三、二叉树期权模型的具体应用在使用二叉树期权模型评估可转换债券的价值时，需要确定一些关键参数，如转换价格、转换比例、债券利率、股票价格和波动率等。
通过设定不同的参数，可以模拟不同的市场情景，进而评估债券的价值。
具体步骤如下：1. 构建二叉树：根据债券期限和预设的时间步长，构建债券价格变动的二叉树。
每一层对应一个时间步长，每个节点代表一个价格，节点数随时间步长的增加而增加。
2. 计算节点价值：从二叉树的最后一层开始，对于倒数第二层的节点，通过在股票价格和债券纯债部分之间取较大值来计算节点的价值。
依次向上计算，直到根节点。
可转换债券的价值评估——二叉树期权模型的应用
可转换债券的价值评估——二叉树期权模型的应用可转换债券的价值评估——二叉树期权模型的应用引言：可转换债券是一种结合了债券和股票的金融工具，持有人在债券到期前可以选择将其转换为发行公司股票。
可转换债券既有债券的收益稳定性，又有股票的价值增长潜力，因此备受投资者青睐。
对于投资者和发行公司而言，正确评估可转换债券的价值至关重要。
本文将介绍二叉树期权模型在可转换债券的价值评估中的应用。
一、可转换债券的基本特点和定价理论1.1 可转换债券的基本概念可转换债券是指发行公司将债务形式和股权形式相结合的债券。
持有人在债券到期前可以选择将其转换为发行公司股票，转换比率事先确定。
可转换债券的持有人既享有债券持有人的权益，可以获得固定的利息收益，又享有股票股东的收益，可以通过股票价格的上涨赚取差价。
1.2 可转债的定价理论可转债的定价理论主要有两种，即股票期权定价理论和债券定价理论。
其中，股票期权定价理论主要是以Black-Scholes模型为基础进行的，而债券定价理论主要是以债券定价模型为基础进行的。
在实际应用中，结合二叉树期权模型，可以更准确地评估可转债的价值。
二、二叉树期权模型在可转债价值评估中的应用2.1 二叉树期权模型的基本原理二叉树期权模型是一种离散模型，将连续时间转化为离散时间。
它通过构建一个二叉树，模拟股票价格的上涨和下跌，并利用回归关系计算期权的价值。
2.2 使用二叉树期权模型进行可转债的定价在评估可转债的价值时，需要考虑以下因素：债券的到期时间、票面利率、股票价格的波动性、转换比率等。
通过构建二叉树，可以计算出不同价格和时间点下可转债的期权价值，并进而得出综合的价值评估。
2.3 考虑市场因素的影响二叉树期权模型可以根据市场因素的变化灵活调整，反映市场的动态情况。
例如，当股票价格上涨或下跌、波动率变化或利率变化时，可以使用二叉树期权模型修正可转债的定价。
三、二叉树期权模型的优势和局限性3.1 优势相对于其他期权定价模型，二叉树期权模型具有以下优势：1）计算简单，易于理解和运用；2）对时间、价格和波动性等市场因素具有较好的敏感性；3）能够灵活应用于不同的市场条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。
本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。
二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。
将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。
如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。
10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设：(1) 市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。
这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。
(2) 投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。
(3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。
(4) 允许完全使用卖空所得款项。
(5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。
为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。
下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。
1. 单一时期内的买权定价假设股票今天(t =0)的价格是100美元，一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。
期权的执行价格为110美元。
年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。
如图10-1所示。
今天 1年后t =0 t =1u S 0=120 上升20% 1000=Sd S 0=90 下降10%u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-=?0=Cd 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-=图10-1 买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。
现在股价为100美元，1年后股价有两种状态：上升20%后，股价记作u S ，为120美元，下降10%后，股价记作d S ，为90美元，执行价格为110美元，根据前面的介绍，股票买权的到期价格分别为10美元和0，那么在t =0时买权的真实值(内在价值)0?C =为了给这个买权定价，我们可以用这个股票和无风险债券的投资组合来模拟买权的价值。
这个投资组合在没有套利机会时等于这个买权的价格；相反，如果存在套利机会，投资者可以购买两种资产中较便宜的一种，出售较贵的另一种，而得到获利的机会。
然而，这只能在很短的时间出现。
这个投资组合不仅给出了买权的定价方法，而且还提供了一种对冲(套期保值)的方法。
假设投资者购买N 股股票且投资0B 在无风险债券上，那么投资组合今天的值为000C N S B =⨯+ (10-1)等式左端表示组合今天的值模拟买权的值，它们相等。
1年后股价上升20%，为120美元，买权价格为10美元；下降10%，股价为90美元，买权价格为0美元。
无风险债券为0(18%)B +，因此可得0120 1.0810N B += (10-2) 090 1.080N B += (10-3)从上面两式可以看出，1年后，无论股价如何变动并影响无风险资产的投资，它都是01.08B 。
由式(10-2)、式(10-3)可得10/(12090)0.3333N =-=和00.333390/1.0827.78B =-⨯=-(美元)0B 的负值表示以无风险利率借27.78美元或卖空这种债券。
代入式(10-1)，今天(t =0)的买权值为0000.333310027.78 5.55C N S B =⨯+=⨯-=(美元)如果今天的买权价格高于或低于5.55美元，即买权价格被高估或低估，这时投资者会采取什么行动呢？假设现在买权价格为10美元，投资者将以10美元出售这个买权，同时购买0.3333股股票且以无风险利率借27.78美元，那么在t =0时投资者有净盈利：10(0.333310027.78) 4.45-⨯-=(美元)在年底，即t =T =1，投资者的净盈余如表10-1所示。
表10-1 投资者的净盈余这就是说，无论股票的最终价格如何，净利润是零。
投资者使用这种策略没有风险损失。
只要买权定价在10美元，投资者现在都能得到不用付任何成本的盈利4.45美元。
显然，这不是均衡状态，买权价格最终要调整到已知现在股价为100美元时的5.55美元。
如果买权3美元出售，这时它被低估，投资者将购买一个买权，卖空0.3333股股票且以无风险利率借27.78美元，那么在t =0时投资者有净盈利：0.333310027.783 2.55⨯--=(美元)在年底，即t =T =1，投资者的净盈余如表10-2所示。
表10-2 投资者的净盈余因此，净利润是零。
投资者使用这种策略，无论股价最终是多少都没有风险损失。
只要买权价格为3美元，投资者就可获得不需付任何成本的盈利2.55美元。
因为这不是均衡状态，买权价格最终要调整到5.55美元。
2. 对冲比使用股票和无风险债券的投资组合模拟股票的买权。
如前面的介绍，借27.78美元且购买0.3333股股票，现在考虑股价变化的影响。
因为0.3333股股票包含在投资组合中，那么股票每变化1美元，投资组合变化0.3333美元。
由于买权和投资组合以相同价格出售，因此价格也随股价每变化1美元变化0.3333美元。
这里0.3333是股票股份额N ，把它定义为期权对冲比，即1000.333312090-=- 一般地，期权对冲比h 可定义为ud00u d C C h S S -=- (10-4) 式中u d C C ，分别表示期权上升和下降状态的最终价格；00u ,d S S 分别表示股票上升和下降状态的最终价格。
因此对冲比是期权与股票的上升状态和下降状态的最终价格之差的比，即基本资产变化1美元时期权的改变量。
用投资组合模拟买权，必须是购买h 股股票，同时卖空债券或无风险借款。
这个金额的现值是0d 0(d )/(1)B C h S r =-⨯+ (10-5)式中r 表示年无风险利率。
因此，t =0时的买权值是000C hS B =+ (10-6) 它等于对冲比与现在股价乘积与无风险借款之和。
它是式(10-1)的另一种解释。
将式(10-4)、式(10-5)入式(10-6)，整理可得f u f d0f (1)((1))(1)()r d C u r C C r u d +-+-+=+-令f 1r d p u d +-=-，则f (1)1u r p u d-+-=-所以0u d f [(1)]/(1)C pC p C r =+-+10.2 二叉树法的两期与多期欧式看涨期权定价股票价格在1年后不可能只有两个价格，我们可推广到多个价格的情形。
现在，把1年分成两个时期，各6个月。
如图10-2所示，在第1个时期(t =0.5T )，假设价格可能上涨20%或下跌10%，两个价格分别为120美元或90美元。
在第二个时期(t =T )价格可能还上涨20%或下跌10%，因此，价格分别为144美元、108美元和81美元。
仍假设买权的执行价格为110美元，年无风险利率为8%，那么今天的期权价格是多少？如图10-2所示。
今天 6个月 1年后 uu S 0=144 u S 0=120S 0 ud S 0=108 d S 0=90dd S 0=81C uu 2=max(0,uu S -X ) C u买方期C 0 C ud =max(0,ud S -X )C dC dd 2=max(0,dd S -X )图10-2 两个时期的买权价格从图10-2中可知，只要能得到t =0.5T 的买权价格u C 就可推出0C ，可根据式(10-4)、式(10-5)、式(10-6)按顺序倒推出来。
首次，d 0C =，因为年底股票价格低于6个月后的价格，或6个月后价格低于现在的价格。
投资者认为没有价值，所以，不愿付任何价格购买。
其次，6个月后，u C 的对冲比为0.53400.9444144108T h -==-0.50.9444108/1.0498.08T B =-⨯=-那么6个月后的买权值为u 0.944412098.0815.25C =⨯-=最后，今天(t =0)的对冲比为015.2500.508412090h -==-00.5084100/1.0448.89B =-⨯=-那么，今天的买权值为00.508410048.89 1.95C =⨯-=对于上面的计算过程，我们可得到更为一般的式子，从第2期末到第1期末，有uu ud u f (1)1pC p C C r +-=+，ud ddd f (1)1pC p C C r +-=+再从第1期末倒推到期初，我们有22uu ud dd02f 2(1)1)(1)p C p p C p C C r +-+-=+这些步骤可以推广到可能有n (2n ≥)个股票价格的情形。
只要把时期细分即可，如图10-3所示。
u 3S 0 u 2S 0u S 0 u 2d S 0 S 0 ud S 0d S 0 ud 2S 0 dd 2S 0d 3S 0C uuu C uuC u C uud C 0 C udC d C udd C ddC ddd图10-3 多期买权价格例如，初始价格为100美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三个时期内股票价格可能增加20%或减少10%，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。
三时期内股票价格的变动有八种组合：uuu 、uud 、udu 、duu 、udd 、dud 、ddu 、ddd 。
每种都有1/8的可能性。
因此，股价在最后期末的概率分布如表10-3所示。
表10-3 期末的概率分布多次利用前面介绍的对冲比，二叉树看涨期权价格就是所有这些概率与到期期权价格的加权和。
一般地，我们设在n 期内股价上升i 次(从而下降n -i 次)，则最终股价为0u d i n i n S S -=，从而在i =n 的期权的价值为0max(u d ,0)i n i S X --一个有二项分布的随机变量，取u 的概率为p ，取d 的概率为1-p ，则取值0u d i n i S -的概率为!(1)!()!i n i n p p i n i --⨯-其中：p 表示风险中性概率。
由于n 可取0，1，2，…，n ，所以期权的期望价值为00!(1)max(u d ,0)!()!ni n i i n i i n p p S X i n i --=--⨯-∑ 在n 期的情形下，每一步朝后移动一期，最终得出均衡期权价格0C 。