线性代数实验题04-交通网络的流量分析

数学实验报告

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实验内容:实验题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）

城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

问题：某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。

求（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；

（2）分析哪些流量数据是多余的；

（3）为了唯一确定未知流量，需要增添哪几条道路的流量统计。

解：

（1）由题意得：x1+ x7=400

x1+ x9= x2+300

x2+100=300+ x11

x3+ x7=350+ x8

x4+ x10= x9+ x3

x11+500= x4+ x12

x8+ x5=310

x6+400= x10+ x5

x12+150= x6+290

整理得： x 1+ x 7=400 x 1- x 2+ x 9=300

x 2+ x 11=200

x 3+ x 7- x 8=350

-x 3+x 4+ x 10- x 9=0 -x 4+x 11- x 12=-500 x 5 +x 8=310 - x 5+x 6- x 10=-400 -x 6+ x 12= 140

将方程组写成矩阵向量形式为AX = b

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 400 x 1

1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 300 x 2

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 200 x 3

A= 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 b= 350 X= x 4

0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 x 5

0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 -1 -500 x 6

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 310 x 7

0 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 0 0 -400 x 8

0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 140 x 9 x 10 x 11 x 12

在MATLAB 环境中，首先输入方程组的系数矩阵A 和方程组右端向量b

A=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0;0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0;0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1;0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1] b = [400;300;200;350;0;500;310;-400;140]

解得 x 1=- x 9+500 x 2=200 x 3=- x 9+ x 10- x 12