水动力学基本微分方程

Qy dt和Qz dt
而流出的水量为
(Qy Qy dy)dt
Qx
b
y Qz 和(Qz dz)dt z
a
y
o
dx
b a dy
x
H dxdydzdt 在dt内，均衡单元贮存量的变化量为: s t 据水均衡原理得：
Qy Qx Qx dt (Qx dx)dt Qy dt (Qy dy)dt x y Qz H Qz dt (Qz dz)dt s dtdxdydz z t
2.越流：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地 下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水层产生 垂向流动，这种现象称为越流。 简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水 层与主含水层发生水力联系的现象称为越流。
越流的方向：由两相邻含水层的水位决定。
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x
Q ,通过 x dt
dt时段内分别沿oy、 oz进入单元的水量为
z
c
d
c d
dz
Qx Qx dx x
K1 m1
因为 物理意义：
T 2 B
K1 v1 ( H H1 ) m1
当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个 长度单位时，通过单位面积含水层上的越流量。 越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水
头下的越流量也越大。
四、潜水含水层中渗流基本微分方程
（一）Dupuit假定
第二章
水动力学基本微分方程
2-1
地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方） 现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层 上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为 σ ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。 当水处于平衡状态时，
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用 和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
Leabharlann Baidu
p p h
图
当从含水层中抽水、水头下降△h时，
( P rh) ( rh) 两个物理过程
（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水； （2）σ 保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。 这两点就是弹性释水的机理。
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时， Ｗ为负，称为汇； 当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
三维：
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) W s x x y y z z t
Q y Qx Qz H 化简为： ( dx dy dz) s dxdydz x y z t
根据达西定律：
H Qx K xx dydz x H Q y K yy dxdz y H Qz K zz dxdy z
Qx H ( K xx )dydz x x x Q y H ( K yy )dxdz y y y Qz H ( K zz )dxdy z z z
当含水层中的水头降低（或升高）一 个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
２.贮水系数（ storage coefficient ）
s m

m为含水层厚度，用于二维流计算。
W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量 二维：
H H H (T ) (T ) W x x y y t
W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入 或流出的水量(补给强度或蒸发强度)
令a
T


，a称为压力传导系数，
也叫导压系数(在二维情况) 单位：m / s
H Qx K B h x
h-含水层厚度，当隔水底板水平时，h = H
（二）潜水含水层中渗流基本微分方程
1.方程的建立
在Dupuit假定下，考虑一维问题，取平行于xoz平 面的单位宽度进行研究。 首先取一微分柱 体（其长度为∆x，宽 为１，高为整个含水 层厚度）作为均衡单 元，下面分析在dt时 段内，微分柱体的水 均衡问题。
2
H H 1 H 这时有： 2 2 x y a t
2 2
H 4. 对于稳定流， 0 t
可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
H H H 2 2 0 通常称为laplace 方程 2 x y z
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部 分给水能力用给水度 （Specific yield）表示； 给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量； ② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
-5～10-3之间 无量纲，大部分含水层 介于 10

物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱
体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位
时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水： ①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
代入上式 得：
这就是不考虑弱透水层 弹性释水条件下，非均 质各向异性越流含水层 系统地下水非稳定运动 的基本微分方程。
H H1 H2 H H H H (T ) (T ) K1 K2 x x y y m1 m2 t
（三）越流因素和越流系数
１.越流因素（Leakage factor）
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
从上游断面流入： (q dq x )dt
dx 2
从下游断面流出： (q
在∆t时间内，垂直方向的 补给量为：
a.忽略弱透水层的弹性释水；
b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中 折射为水平运动；
2.方程的建立
在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dx、 dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析在 dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
P(x，y）
设P( x, y)位于柱体中心，
Qx dx 沿x方向流入单元体的水量： (Qx x 2 )dt Qx dx )dt 流出：(Qx x 2
③ 为常数（constant）；
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元， 如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt时 段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
依据质量守恒和能 量守恒定律，建立承 压含水层中渗流基本 微分方程。 Qx
z
c
d
b dx
c d
dz
Qx Qx dx x
上式中，若介质为均质各向同性介质， T＝Constant
K2 2 H 2 H K1 H 2 ( H1 H ) (H 2 H ) 2 Tm1 Tm2 T t x y
式中：Ｔ为主含水层的导水系数 Ｋi，mi分别为弱透水层的渗透系数和厚度
定义： B1 Tm1 K1 B2 Tm2 K2
Q y dy 沿y方向流入单元体的水量： (Qy y 2 )dt
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 2 2
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
1 H 1 2 H 2 H s H (r ) 2 2 2 r r r r z K t
三、越流含水层中渗流基本微分方程
（一）什么是越流？
1.半承压含水层：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透 水层，主含水层通过弱透水层与相邻含水层发生水力联系， 但它本身具有承压性，主含水层称为半承压含水层。
Ｂ1、Ｂ2分别称为上、下两弱透水层的越流因素
则上式为： 2 H 2 H H1 H H 2 H H 2 2 2 2 x y T t B1 B2
越流因素Ｂ是反映弱透水层隔水性能的参数。Ｂ越 大，越流量Ｑ越小，对于隔水层Ｂ无穷大，越流量 为零。
２.越流系数（Coefficient of leakage）
z方向： (v2 v1 ) dx dy dt
H dxdydt 单元体内贮存量的变化为： t

根据水均衡原理得：
Q y Qx H dxdt dydt (v2 v1 ) dx dy dt dxdydt x y t
H Qx T dy x H Qy T dx y H2 H v2 K2 m2 H H1 v1 K1 m1
潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的 垂直分量，潜水面本身又是渗流区边界，随时间而变化。 为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了Dupuit 假定： 假设潜水面比较平缓，潜水面上任意一点P有：
J dH Sin , ds
由于 很小， tg sin
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 Vz ，
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应； ④ 数量级： s 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ s
∴在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性 释水。
二、承压含水层中渗流基本微分方程
（一）方程的建立
设：
① 地下水、含水层均为弹性体；
② 弹性释水瞬时完成；
H ( x, y, z, t ) H ( x, y, t ) 代替，在铅垂面上各点的水头都是相
等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点
的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：
dH vx K , dx
H H ( x)
在此条件下，通过宽度为B的铅直平面沿x方向的流量 Ｑx为：