正定二次型的判定及应用数学论文

毕业论文（设计）论文（设计）题目：正定二次型的判定及应用

姓名刘洁

学号 11111022015

院系数学与信息科学学院

专业信息与计算科学

年级 2011级2班

指导教师王永忠

年月日

目录

摘要 (1)

ABSTRACT (2)

第1章引言 (3)

1.1 研究背景及意义 (3)

第2章二次型 (4)

2.1 二次型 (4)

2.3 正定二次型与正定矩阵 (4)

第3章正定二次型的判定及应用 (7)

3.1 正定二次型的判别方法 (7)

3.2 正定二次型在实际中的应用 (15)

第4章结论 (18)

参考文献 (19)

致谢 (20)

摘要

在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。

关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式；

ABSTRACT

In the quadratic form,the positive definite quadratic form has a special position.This paper has summarized some judjement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems.

Key words: positive definite quadratic; positive definite matrix; principal minor determinant

第1章引言

1.1 研究背景及意义

在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 二次型的系统研究是从18世纪开始的，柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现和证明.1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念.而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的.

现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值.它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二之间具有一一对应关系.目前有钱志森和林文生先生在做正定二次型在许多实际应用和理论研究中有很大的实用机制的研究。在物理中曹璞证明了正定二次型的重要意义.而王双进等人用二次型判断晶体相对稳定性做出了重要研究。牛滨花的等人在地震波的场方程矩阵和能量的正定二次型及其意义运用矩阵的正定二次型理论阐述了“能量矩阵与弹性矩阵”之间一致的对称性和正定性。能量矩阵蕴含的动态力的平衡关系，速度的时间，空间分布和能量的传播及变化的物理意义，能够从能量矩阵的正定二次型特性表示出来.

二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 在大学学习期间发现，教材中有关二次型正定性的内容不尽完善，而它的应用却越来越广泛，许多问题的解决都可归纳为二次型问题。因此有关正定二次型的研究和学习就显得尤为重要。

第2章二次型

2.1二次型

定义 2.1.1 设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式

2

2121111212131311

(,,,)22n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x a x x ===++++=∑∑

),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.定义2.1.2在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规

范性22222121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为

f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.定义2.1.3 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式

)1(21212221

21211

1n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k

k k k k k ≤<<<≤

称为A 的一个k 阶主子式.而子式

),,2,1(||2122221

11211

n k a a a a a a a a a A kk

k k k k k

== 称为A 的k 阶顺序主子式.

2.2正定二次型与正定矩阵

定义 2.2.1设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.注：判定正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。

正定矩阵的充要条件：

(1)n 元实二次型()1,,n f x x 正定⇔它的正惯性指数为n;

(2)一个实对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同，即∃可逆矩阵C ，使得 A=T C C ;

(3)实二次型()1,

,n f x x =11n n

T ij i j i j a x x X AX ===∑∑是正定的⇔A 的顺序主子式全大于零;

(4)一个实对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零;

(5)一个实对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零; (6)A ，B 是实对称矩阵，则00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭

正定⇔A ，B 均正定; (7)A 实对称矩阵，A 正定⇔∃正定矩阵B ，使得A=k B ，（k 为任意正整数） 正定矩阵的这些性质，可以用来判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。 二次型化为标准形通常有两种方法：

1）配方法再通过非退化线性变化化为标准形；

2）用相应矩阵的特征值、特征向量，再将该矩阵化为标准形；

3）合同矩阵.

例1 2221231231213(,,)222f x x x x x x x x x x =+-+-