正定二次型的判定及应用数学论文

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正定二次型的判别方法

正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。

在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。

研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。

本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。

一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。

在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。

我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。

而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。

这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。

1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。

对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。

特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。

如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。

二次型论文

二次型正定性的判定及应用姓名：李梦媛学号：1007010326摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用. 关键词：矩阵实矩阵正定性应用一、正定性的普通判别方法1、判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路具体方法有： (1) 用定义；(2) 正惯性指数p=t (t 正整数)； (3) 与E 合同；(4) 顺序主子式全大于0； (5) 特征值全大于0.2、与判定思路相应的五个定理定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= .定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n .定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 合同.定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零.定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的. 二、新的判定法对于二次型的正定性，一般都是对所对应的矩阵进行研究，并且，所研究的范围也只限定在实对称矩阵或Hermite 矩阵进行讨论，这大大限制了二次型在一般情况下的应用．本文在对一般实方阵正定性研究的基础上，提出了实方阵判定实二次型正定性的理论基础及几种新方法. 1、几个相关定义定义1 设A 是n 阶实方阵，如果对于任意的非零的n 阶实向量，都有x T Ax>0，其中x T表示x 的转置，则把A 称做正定矩阵．定义2 含有n 变量 x 1， x 2，⋯，x n 的二次齐次函数f( x 1， x 2，⋯，x n )：b 11x 12 +b 22x 22 +⋯+b nn x n 2+2b l2x l x 2+2b l3x l x 3+ ⋯+2b n-1,n x n-1x n 称为二次型．取b ij =b ji ，则f=x T Bx ，我们把对称矩阵B 称为二次型f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵B 的二次型．定义3 设有实二次型 f(x)=x T Cx ，如果对于任意的 x ≠0，都有f(x)>0，则称f 为正定二次型，并称对称矩阵C 是正定的．由此可见，研究二次型的正定问题，可以转化为研究二次型所对应的矩阵正定问题．接下来所讲的矩阵、向量如无特别声明，均指实矩阵、实向量．2、理论基础及应用一般判定实二次型正定性的理论基础是利用了标准型、特征值和主子式的方法．对于给定的二次型对应的矩阵为实方阵，使得对二次型矩阵的判定可以拓展到实方阵中去．本文在此基础之上利用下面的几个定理和推论，采用一般方阵的正定性来判断对称矩阵的正定性．对于实方阵来说，首先具备下面三个性质：性质1 设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价： (1)A 是正定矩阵； (2)A T 是正定矩阵；(3)对任意n 阶可逆矩阵P ，P TAP 是正定矩阵； (4)A+A T 是正定矩阵； (5)A -1是正定矩阵； (6)存在n 阶可逆矩阵P ，使P TAP=diag ﹛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111αα，⋯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11t t αα，1，⋯1﹜其中，α1 ≥0, αt >0 (7)A 的各阶主子矩阵是正定矩阵；性质2正定矩阵的特征值实部为正．下面引入矩阵Hadamard乘积(又称Schur乘积，其定义为：AoB=[aij bij]，A，B∈R(m，n)．Schur乘积定理指出：两个对称正定矩阵的Hadamard乘积仍为对称正定矩阵，这个结果可以推广到一般正定矩阵．性质3 设A是正定矩阵，曰是对称正定矩阵，则AoB也是正定矩阵．证明：因为A是正定矩阵，故A+A T为对称正定矩阵，由Schur乘积定理(A+A T)oB为对称正定矩阵．注意到AoB +(AoB)T =AoB +A T oB=AoB +A T oB=(A+A T)oB，AoB+(AoB)T为对称正定矩阵，从而AoB为正定矩阵．推论1 设A、B是正定矩阵，则AoB +A T oB也是正定矩阵．对于二次型的实对称矩阵来说，要研究正定性，不妨先推广到正规矩阵，对正规矩阵成立的性质，当然对实对称矩阵也适用．所以，判断二次型A正定的方法，以定理的形式给出．定理1 设A为正规矩阵，其特征值实部为正，则A为正定矩阵．证明由文献得到当A为正定矩阵时，存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=diag(Al ，A2，⋯，A s ，⋯，λ2s+l，⋯，λn)，其中A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛jjjjaβ-βα，它具有共轭复特征值(也是A的特征值)α+iβj ，j=1，2，⋯s．而λ2s+1，⋯，λn是A的实特征值由于A的特征值实部为正，故αj>0 j=1，2，⋯，sλj>0 j=2s+1，⋯，n由于Q T(A+A T)Q=diag(2αl ，2αl，⋯，2αs，2αs，2λ2s+1，⋯，2λn)，可见A为正定矩阵．定理2 设A为严格对角占优的正规矩阵，且主对角元全为正，则A是正定矩阵．由Gersgorin圆盘定理，当A的特征值实部为正，而A又是正规矩阵，由定理1知A 是正定矩阵．对于实对称矩阵来说，上述方法显得简单有效．定理3 设A为正规矩阵，是B对称正定矩阵，且AB可交换，则A是正定矩阵的充分必要条件是AB为正定矩阵．证明：首先，由于(AB)(AB)T =(BA)(BA)T=(BA)A T B T =B(AA T)B=B(A T A)B=(BA T)(AB)=(AB)T(AB)可知A 为正规矩阵时，AB 亦为正规矩阵，因B 是对称正定矩阵，故存在对称正定矩阵C ，使B=C 2，这时,C(AB)C -1=C(AC 2)C -1=CAC=C T AC 。

正定二次型的性质及应用

目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1预备知识 (2)1。

1二次型定义 (2)1。

2正定二次型定义 (3)2 正定二次型的性质 (3)3 正定二次型的应用 (7)3。

1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7)3.2正定二次型在分块矩阵中的应用。

(9)3。

3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9)3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10)3。

5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (12)3.6正定二次型在欧氏空间中的应用(欧氏空间的内积与正定矩阵） (12)3。

7正定二次型在解线性方程组中的应用 (12)3.8正定二次型在物理力学问题中的应用。

(13)结束语………………………………………………………………………………。

.…….…。

13参考文献 (14)正定二次型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词:正定二次型；正定矩阵;合同;初等变换；分块矩阵The properties and Applications of positive definiteQuadratic FormsAbstract :In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples ， we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the polynomial root and applications in physics et al.Keywords :positive definite quadratic form ； positive definite matrix ； congruence ； elementary transformation ；partitioned matrix.前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用。

(完整版)二次型的有定性及其应用本科毕业设计

本科毕业论文（设计）题目二次型的有定性及其应用院（系）数学系专业数学与应用数学学生 XXXXXX指导教师 XXXX 职称 XXXX论文字数 7000完成日期: 年月日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担．本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院．学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致．保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定．本人签名：日期：导师签名：日期：二次型的有定性及其应用摘要二次型的有定性是二次型中有重要地位的内容。

二次型的有定性指的是二次型的正定性、半正定性、负定性、半负定性。

该文章没有考虑复二次型情况，只分析了实二次型的正定性，半正定性以及它们在数学以及其他科学上的应用。

该文章先介绍二次型的定义，以及正定性，半正定性的定义和性质以及一些相关定理的证明，接着举例说明实二次型的有定性（正定性、半正定性）在高等数学以及物理学等科学上的应用。

该文分两部分，先是总结并给出了实正定二次型的性质定理，以此为基础，再论述出半正定二次型的相关性质、定理，并总结出了其在处理数学问题方面的应用。

关键字：实二次型；正定性；正定性应用；半正定性；半正定定性应用The qualitative matrix and its applicationAbstractDefiniteness of quadratic form important position in quadratic form. The definiteness of quadratic form refers to positive definite, positive simi-definite, negative definiteness , negative simi-definite in quadratic form. In this paper, It did not take complex quadratic form into account, but analyzing the positive definiteness ,positive simi-definite of real quadratic form and their roles in mathematics and other scientific applications. This paper introduced the definition of the quadratic form ,along with the definition and the properties of the positive definiteness, positive simi-definite and some proof of relevant theorem at first ,then illustrate the real quadratic form are qualitative(positive qualitative, positive simi-definite)in advanced mathematics, physics and others scientific applications. This paper is divided into two parts, firstly , it summarized and given the properties of the real positive definite quadratic form theorem, as a basis, and then discusses the related properties ,theorem of positive semi-definite quadratic form , and summed up their applications in dealing with math problems .Keywords:Real quadratic form, positive definiteness, applications of positive definiteness, semi-positive definite, semi-definite qualitative applications目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)引言 (1)1二次型正定（半正定）的定义 (2)2. 二次型有定性的相关性质以及定理 (4)2.1 二次型正定性的判别定理 (4)2.2 二次型半正定性的一些判别方法 (5)3.二次型正定性及半正定性的应用 (5)3.1二次型的正定性在数学解题中的应用 (6)3.2 用二次型的正定性求三元函数极值问题 (6)3.3 二次型半正定型的判定定理，性质，及简单的应用 (10)3.4用二次型半正定性证明不定式 (15)参考文献 (19)前言实二次型的正定性在大学课本以及相关教材中都有大量的涉及，但却很少有关于半正定的研究。

二次型正定的判别方法

二次型正定的判别方法二次型是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数和数学分析等领域。

在矩阵理论中，我们经常需要判断一个二次型是否为正定。

本文将介绍二次型正定的判别方法，包括特征值判别法、规范型判别法和主子式判别法。

通过这些方法，我们可以准确地判断一个二次型是否为正定，为相关问题的研究和实际应用提供帮助。

一、特征值判别法判断一个二次型是否为正定，可以通过它的特征值来确定。

具体步骤如下：1. 计算二次型的矩阵表示，将二次型转化为矩阵形式。

设二次型为Q(x)=x^TAX，其中A为n阶对称矩阵。

2. 求解矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn。

3. 如果A的所有特征值都大于0，则二次型Q(x)为正定；如果A的所有特征值都小于0，则二次型Q(x)为负定；如果A的特征值既有正又有负，则二次型Q(x)为不定。

特征值判别法是判断二次型是否为正定最常用的方法之一，其依据是正定二次型的值域全为正数。

二、规范型判别法规范型判别法是另一种常用的判别方法。

它通过将二次型转化为规范形式，来判断是否为正定。

1. 计算二次型的矩阵表示，将二次型转化为矩阵形式Q(x)=x^TAX，其中A为n阶对称矩阵。

2. 对矩阵A进行合同变换，将其转化为对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P为可逆矩阵。

3. 对角矩阵D的对角元素d1，d2，...，dn为二次型的特征值。

4. 如果D的对角元素都大于0，则二次型Q(x)为正定；如果D的对角元素都小于0，则二次型Q(x)为负定；如果D的对角元素既有正又有负，则二次型Q(x)为不定。

规范型判别法通过合同变换将二次型转化为对角矩阵，从而直接判断特征值的正负性，进一步判断二次型是否为正定。

三、主子式判别法主子式判别法是另一种判断二次型正定性的方法，它通过计算矩阵的主子式来进行判断。

1. 计算二次型的矩阵表示，将二次型转化为矩阵形式Q(x)=x^TAX，其中A为n阶对称矩阵。

2. 计算矩阵A的所有主子式，主子式是指原矩阵A中任意阶数的子矩阵的行列式。

正定二次矩阵(论文)

正定（半正定）二次型的判定及其应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨了常见的正定二次型以及正定二次型的判定。

重点讨论了正定二次型与行列式的联系，在函数最值问题中的应用。

利用半正定二次型的性质，证明相关不等式，降低了证明的难度，简单易懂。

关键字：二次型正定二次型半正定二次型相关应用目录引言 ............................................................................................................................................................................................................................................ 1 一、正定二次型 . (1)1．1 定义 ...................................................................................................................................................................................................................... 1 1.2.常见正定二次型 . (1)二、正定二次型的判定 ............................................................................................................................................................................................................. 2 三、正定二次型的应用 . (4)3.1 在函数极值问题中的应用 ...................................................................................................................................................................................... 4 3.2 正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用 ............................................................................................................................................... 6 3.3 利用半正定二次型的性质证明不等式 . (6)参考文献： (8)引言：设P是一个数域,ij a P ∈, n 个文字12,,,n x x x 的二次齐次多项式2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++222223232222n n a x a x x a x x +++++2nn na x +11n nij i j i j a x x ===∑∑ (,,1,2,,)ij ji a a i j n ==称为数域P 上的一个n 元二次型, 简称二次型. 当ij a 为实数时, 称f 为实二次型. 当ij a 为复数时, 称f为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =++++ 称f为标准型.一、正定二次型1．1 定义：实二次型12(,,,)n f x x x 称为正定二次型，如果对于任意一组不全为零的实数nc c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f1.2.常见正定二次型1.2.1 二次型2222121),,,(nn x x x x x x f +++= 是正定的，因为只有在21c c =n c == =0时，22221n c c c +++ 才为零。

正定二次型不等式利普希茨

正定二次型不等式利普希茨全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正定二次型不等式利普希茨正定二次型是数学中的一种重要概念，它在优化问题、控制理论等领域中有着广泛的应用。

在研究正定二次型的性质时，利普希茨连续性是一个重要的概念。

本文将简要介绍正定二次型以及利普希茨连续性，并讨论正定二次型不等式的利普希茨性质。

正定二次型是一个关于变量向量的二次型函数，具有很多重要的性质。

在数学中，一个二次型函数是指一个关于自变量的二次齐次多项式函数。

在正定二次型中，二次项的系数矩阵是一个对称正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0。

正定二次型在优化问题、控制理论等领域中有着广泛的应用，因为它具有很好的性质和结构。

利普希茨连续性是一个函数在某个区间上的连续性概念。

一个函数f(x)在区间[a, b]上是利普希茨连续的，如果存在一个正数L，使得对于所有的x, y∈[a, b]，都有|f(x) - f(y)| ≤ L |x - y|。

利普希茨连续性是比一致连续性更强的一种连续性概念，它可以更好地描述函数在区间上的变化情况。

正定二次型不等式的利普希茨性质是指一个正定二次型函数在某个区间上的利普希茨连续性。

正定二次型函数一般是一个关于变量向量的二次型函数，因此它的性质和一般函数有所不同。

正定二次型不等式的利普希茨性质可以用来描述正定二次型函数在某个区间上的变化情况，从而更好地理解和分析这类函数。

正定二次型不等式的利普希茨性质具有很多重要的应用。

在优化问题中，正定二次型函数的利普希茨性质可以帮助我们更好地理解优化问题，设计更有效的优化算法。

在控制理论中，正定二次型函数的利普希茨性质可以帮助我们设计更稳定的控制系统，提高系统的性能和鲁棒性。

第二篇示例：正定二次型不等式利普希茨，是数学中一个非常重要的概念。

在数学分析、优化理论和控制理论中，正定二次型函数是一类非常常见的函数形式，它们在描述物理现象、解决实际问题以及优化算法中都有广泛的应用。

浅谈正定二次型的判定方法

浅谈正定二次型的判定方法
正定二次型是最常见的凸二次规划。

由于其凸性，正定二次型可以使用有限步数且算
法复杂度较低、单调性强等优势，常用于金融、经济、控制、管理科学和工程技术等领域
的优化计算。

针对正定二次型，学术界提出了多种判定方法。

其中，Kuhn-Tucker 条件是早期提出的一种判定方法。

该方法通过引入拉格朗日函数，结合梯度、Hessian矩阵等分析查找，得出非空解的判定条件，可以有效的判定正定二次
型的有界性。

此外，亦可采用项变换方法。

该方法采用数学变换，重新表达约束式，进而利用拉伸Hessian矩阵得出判定条件，进而判定正定二次型有界性是否成立。

研究显示，利用该方
法明显可以缩短优化计算所需要的时间与计算复杂度。

再者，如果约束条件中不带有不等式，则可以采用图论判定方法，该方法可以巧妙的
将正定二次型有界性的判定转化为图论最优路径问题，从而可以综合利用BFS/DFS等搜索
法得出结论，又不用考虑不等式条件的问题。

最后，学术界最近提出了几类新的判定方法，如s-lemma、解空间判定等，它们以不
同的数学思想对正定二次型有界性建模，具有较高的计算效率和判定结果准确性。

相比现
有的判定方法，这些新的方法可以有效的降低复杂度，在一定程度上提高判定的准确性。

综上所述，为了确定正定二次型是否有界，已有多项判定方法可供选择。

诸如Kuhn-Tucker 条件、项变换方法、图论判定以及s-lemma、解空间判定等，都可以在不同领域结合实际应用进行深入研究，以精确判定正定二次型的有界性。

数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用

数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用正定二次型的判断及应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。

关键词：正定二次型正定阵顺序主子式一、正定二次型的判断: 定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明:设实二次型AXX x x x f n '=),,,(21 经线形替换X=PY 化为标准形222211nn y d y d y d f +++=)1(其中.,,2,1,n i R d i=∈由于p为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.)(?如果f是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有2222211>+++=n n y d y d y d f)2(若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f的正惯性指数等于n )(?如果f的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i=>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明：)(?由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X=使22221ny y y AX X +++=')1(对,0≠X因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(?设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X=使得221221'rp p y y y y AX X ---++=+)2(由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X（因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有1<-='A X X 这与假设矛盾.故pr =.再证nr=.如果,n r<则)2(式应化为nr y y y AX X r <+++=,22221')3(于是取 0)1,0,,0(≠'= Q X由)3(即得,0='A X X又与假设矛盾,故,p n r ==即f是正定二次型定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AXX x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nn y y y x x x f +++=)(?f的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f的正惯性指数为,n 由定理1可知f为正定二次型定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X=其中C 可逆),使得2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AXX x x x f +++=''='='=所以,E ACC ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(?矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得EACC ='，令CYX=则2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=因此,由证明4,可知f是正定二次型定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以kA 表示A的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型jki kj i ij k xx a x x x g ∑∑===1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g从而g 为正定二次型,固.0>k A)(?对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a a i -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i=经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵000111A aB =因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(?对二次型的元数n作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =?----1,11,11,111n n n n a a a a=-nn n a a ,11α于是矩阵A 可以分块写成：A ='nna A αα1则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G令1C =100G于是''=???? ?????? ??'???? ??'='-nn n nn a G G E Ga A G ACC αααα111110010再令2C =--10'1a G E n则有?''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 012112 令21C C C =dG G a nn =''-αα就有='d AC C11两边取行列式,dA C=2,则由条件,0>A 因此0>d.=??????? ?d d d 111111111所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f是正定二次型定理7、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵TT T A('=是实可逆矩阵)证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得EAC C ='则 1111)()(----'='=CCCC A令1-=CT,则T T A '=)(?若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='=令TXY=则 2222121),,,(nn y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵) 证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵, 令(1Y X T=-其中T 可逆)则 A T Y T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21又因非退化线性替换不改变正定性,则ATYT Y x x x f n ''=),,,(21是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(?ATT '是正定阵,令ATYT Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TYX=则),,,(21n y y y g AXX x x x f n '==),,,(21 是正定二次型定理9、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明:)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得ATTAT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f为正定二次型相矛盾，则ATT1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(? A的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X=则222221121),,,(nn n y y y A T Y T Y AXX x x x f λλλ+++=''='=所以f为正定二次型定理10、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(? A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.二、实二次型的正定性证明不等式例1 设)(ij t T=是一个n 阶实非退化矩阵,求证:≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=证明：若A 是正定矩阵,必有nna a a A 2211≤, 其中nn a a a ,,,2211 是A 的主对角线上的元素因为T 是实非退化矩阵,所以=nn n n n n nnnnn n t t t t t t t t t t t t t t t t t t T T 212222111211212221212111'=∑∑∑===nk knnk k nk k t t t 12122121是正定矩阵,由上述定理得)(112'∏∑==≤ni nk ki t T T =)(222121ni i ni i t t t +++∏=此即,≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=三、实二次型的正定性在极值问题中的应用例1、求三元函数y y x zyxz y x f u642),,(222-++++==的极值解：先求三个一阶偏导数,令它们为0,解方程组得驻点,再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵,A 由A 的正定性确定极值=-==+=??=+=??062042022z zU y y U x x U=-=-=321z y x得驻点)3,2,1(0--p222=??xU2=yx U2=zx U2=xy U222=??y U2=zy U2=xz U2=yz U222=??zU所以A =200020002 因为A 为正定阵,所以得极小值143*6)2(*4)1(*23)2()1()3,2,1(2220-=--+-++-+-=--=f p U参考文献：[1] 王向东《高等代数常用方法》科学出版社[2] 霍元极《高等代数》北京师范大学出版社 [3] 屠伯埙《高等代数》上海科技出版社 [4] 张盛祝《高等代数典型方法》信阳师范学院数学系Is deciding two times of judgments and the applicationAbstract: In two center, was deciding two time holds the special status, this article summarizes has been deciding in two times of so judgments methods and its in the proof inequality and the minimum problem application.Key words: Is deciding two time Is deciding The smooth principal minor。

正定二次型的性质与应用论文

河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计正定二次型的性质与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2013届数学B班二〇一三年四月二十八日目录中文摘要、关键字 (2)1 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)1.1 二次型的概念 (3)1.2 二次型的矩阵形式 (3)1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 实正定矩阵的判定方法及证明 (4)2.1 利用定义判定 (4)2.2 利用标准型判定 (4)2.3 利用主子式判定 (8)2.4 其他常用判定 (11)3 实正定矩阵的应用 (15)3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论 (15)3.2 正定矩阵在数学分析上的应用 (17)3.2.1 多元函数的极值问题 (17)3.2.2 正定矩阵在积分中的应用 (19)3.3 正定矩阵在运筹中的应用 (19)3.3.1 具有约束方程的最优化问题 (19)3.4 用正定矩阵来证明不等式 (20)3.5 正定矩阵在几何中的应用 (21)3.5.1二次曲面的标准型 (21)参考文献 (23)英文摘要、关键字 (24)正定二次型的性质及应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师高锁刚作者王敬摘要：本文以矩阵和向量为工具,研究了一种特殊的函数,即二次型。

然而在它的实际应用中许多二次型都是实二次型,其中最重要的一类是正定二次型。

本文主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用,文中给出了实对称正定矩阵的多个判定定理和重要结论,从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具。

全文共分三章,第一章主要叙述二次型及正定二次型、正定矩阵的定义；第二章主要列举说明正定性矩阵的几个判别方法；第三章简单地罗列一些实例来阐述实矩阵正定性的应用。

关键字：正定矩阵正定二次型特征值实对称矩阵1 正定二次型与正定矩阵的概念1.1[1] 二次型的概念设P 是一个数域,ij a ∈P, n 个文字1x ,2x ,…,n x 的二次齐次多项式()n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122111212...22,...,,++++=n n x x a x x a x a 22322322222...2++++......+2n nn x a +=∑∑==n i nj jiij xx a 11()n j i a a ji ij ,...2,1,,==称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.当ij a 为实数时, f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即),,,(21n x x x f =2221112...n n d x d x d x +++则称f 为标准型. 1.2 二次型的矩阵形式二次型),,,(21n x x x f 可唯一表示成),,,(21n x x x f =T x Ax ,其中12(,,...,)T n x x x x =,()ij n n A a ⨯=为对称矩阵,称上式为二次型的矩阵形式,称A 为二次型的矩阵（A 必是对称矩阵）,称A 的秩为二次型f 的秩.1.3 正定二次型与正定矩阵的概念设),,,(21n x x x f =Tx Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵）,如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >,则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥,则称f 为半正定二次型,称A 为半正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c <,则称f 为负定二次型,称A 为负定矩阵；如果0),,,(21≤n c c c f ,称f 为半负定二次型,称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型,称A 为不定矩阵.2 实正定矩阵的判定方法及证明2.1 利用定义判定定理1 实对称矩阵A ∈n n R ⨯是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,使0>Ax x T .定理2[2] 实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定矩阵的充分而且必要条件是0>i d , n i ,2,1=.证明：实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定的充要条件是对任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,有T x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 10>x , 令T x )0,,0,1( =,则得01>d ,同理,分别令x 为所有的单位列向量,则可得0>i d ,n i ,,2,1 =,所以定理可证.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的n R x ∈≠0,使二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .证明：因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以存在二次型Ax x T 为正定二次型,其规范形为22221n y y y +++ ,所以正惯性指数为n ,即得二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .所以A 是正定矩阵.2.2 利用标准型判定定理 4 [2] 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 与单位矩阵E合同，即存在实非奇异矩阵C ，使E AC C T =.证明：必要性,因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以矩阵A 对应的二次型Ax x T为正定二次型,可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形22221ny y y +++ ,对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =,所以()EY Y Y AT T Y T T T =,故可证得A 合同于单位矩阵E . 充分性, 若A 合同于矩阵E ,则存在可逆矩阵B ,使得A =T B EB .任意取X≠0, BX Y ==()12,,T n y y y ,则有Y ≠0.于是有Y Y EBX B X AX X T T T T ===22212n y y y ++ >0,定理可以得证.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的所有特征根都大于零.证明：必要性, A 为正定矩阵,若A 的全部特征值n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ. 则存在正交矩阵P 使得有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n TAP P λλλ21成立. 令(),,,,21n P ααα = 则有i i i A αλα=()n i ,,2,1 =,即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量.特别的,取单位特征向量01≠β,即111βλβ=A .于是11111βλβββT T A =01≤=λ,而这与A 为正定矩阵相矛盾,所以A 的全部特征值n λλλ,,,21 都大于0.充分性,A 的特征值为n λλλ,,,21 ,则存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n T AT T AT T λλλ 211则有121-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T T A n λλλ. 任意取0≠X ,则有Y Y X T TX AX X n T T n T T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλ2121, 其中T X Y T T =()0,,,21≠=n y y y ,于是得AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ,即有A 为正定矩.定理6[3] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 是半正定矩阵且0≠A . 证明：必要性, 因为A 是正定矩阵,则A 一定是半正定矩阵,且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由于A 是半正定矩阵可知，i λ()n i ,,2,10 =≥，又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ,故()n i i ,,2,10 =>λ，所以A 是正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆矩阵C ,使得C C A T=.证明：必要性,若A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵C 使得EC C A T =C C T =,其中E 为n 阶单位矩阵.充分性,因为存在实可逆矩阵C ,使得C C A T =,并且有C C A T =EC C T=,其中E 为n 阶单位矩阵.即实对称矩阵A 合同于E ,所以可得A 为正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在实列满秩矩阵n m P ⨯, 使P P A T =.证明：必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵C , 使得C C A T =()()n m n TnnC -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0. 令 =P ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0,则 P P A T =, 其中P 为n m ⨯列满秩矩阵. 充分性,n m P ⨯为实列满秩矩阵,则P P T 为n 阶可逆矩阵, 故对任意的n R X ∈,0≠X , 则由秩m C =, 知,0≠CX 并且有0)(>==PX PX PX P X AX X T T T T ，即A 为正定矩阵.定理9[4] 对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的实n 阶可逆方阵C ,使得AC C T 都是正定的.证明：必要性,首先()TT AC C AC C T =,对任意n R X ∈,0≠X ,由秩n C =,知,0≠CX 由于A为正定矩阵,故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即AC C T 为正定矩阵.充分性,AC C T 正定,则对任意的n R X ∈,0≠X ,由秩C n =,知,0≠TX 并且()()CX A CX T =()0>X AC C X T T ,即可得A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆上三角矩阵R ,使R R A T =.证明：必要性,由于A 是实对称正定矩阵,所以存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.且存在矩阵Q 和R 使得QR P =,其中Q 为n 阶正交矩阵，R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵，从而有P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性,因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ,使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 即可证得A 是正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,使得U U A T =.（证明同上）2.3 利用主子式判定定理12 实对称矩阵nn R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.证明：必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,所以存在二次型()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.且对于每个k ,n k ≤≤1令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.对于任意一组不全为零的实数k b b ,,1 ,有()k k b b f ,,1 ∑∑===k i kj j i ij b b a 11=()0,,0,,,1 k b b f .0>所以()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知,k f 的行列式,01111>kkk k a a a a n k ,,1 =. 所以可证得矩阵A 的一切顺序主子式都大于0.充分性, 对n 作数学归纳法.当1=n 时, ().21111x a x f =由条件中011>a ,显然可得()1x f 是正定的. 假设对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元二次型的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 , 于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A ββ1. 由于A 的顺序主子式全大于零,所以1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假设可以知道,1A 是正定矩阵,即存在可逆的1-n 阶矩阵P 使得11-=n T E P A P ,此处1-n E 可代表1-n 阶单位矩阵.令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P C , 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn TT n a P P E αα1. 再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n P E C , 则有2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101P E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a P P E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n P E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n PP a E 001.最后再令21C C C =, ,ααT T nn PP a a -=则有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边同时取行列式,可有a A C =2.因为0>A ,所以0>a . 于是可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 所以矩阵A 可与单位矩阵E 合同,并且可以证得矩阵A 是正定矩阵.定理13 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子式均大于零.证明：必要性, (利用反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,假如可存在k 阶主子矩阵111212122212,0k k k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =<则可根据k i A 是k 阶实对称矩阵,并由引理知可存在k 阶正交矩阵P ,使得P P A k T i k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=βββ21 此处k βββ,,,21 为k i A 的特征值.由于k i A <0,且k i A =k βββ 21可知k i A 的特征值k βββ,,,21 中至少有一个小于0.推至一般性,设1β<0,令T Y =()1,0,,0 ,则可有Y ≠0并且k T i Y A Y =1u <0,再令T X =12(,,,)n x x x ,则有当{}12,,,k i i i i ∈ 时,可得i i x y =；当i 为其他时,得0i x =.则有X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,而这与A 为正定矩阵的假设相矛盾.充分性, 假设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 则由于k i A 任意的一个顺序主子式均是A 的一个主子式,所以可知它们都大于0.所以可得k i A 为正定矩阵.定理可以得证.定理14[5] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子矩阵均为正定矩阵.证明：必要性,A 正定, 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,所以k 个主子式都大于零, 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性,若实对称矩阵A 的一切主子矩阵均是正定矩阵,则矩阵A 的一切主子式全都大于零,即可证得A 是正定矩阵.2.4 其他常用判定定理15 若A 是实对称正定矩阵，则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明：由于A 是实对称正定矩阵,则0>A ,所以A 可逆.又因()(),111---==A A A T T所以可得1-A 也是实对称矩阵.设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由A 正定有()n i i ,,2,10 =>λ，1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =，即可得1-A 为正定矩阵.定理16 若A 是实对称正定矩阵，则对于任意的整数m ，m A 都是正定矩阵. 证明：I 当0=m 时，显然是正定矩阵.II 当0<m 时，由于m m -=，则有()mm A A 1-=，且1-A 也是正定矩阵，故只需假定m 为正整数即可.（i ）当m 为偶数时，由于A A T =，并且⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22m Tm m A A A ，所以可得m A 是正定的；（ii ）当m 为奇数时，由于A 是正定矩阵，所以存在实可逆矩阵C ，使得C C A T=; 由此可得：2121212122----==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m CA C A AA A A A A A Tm m Tm m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--2121m m CA CA T从而m A 是正定矩阵.定理17 若A 是n 阶实对称正定矩阵，则有*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明：已知*A =,1n n R A A ⨯-∈且()(),***==A A A T T又由于A 是正定矩阵，所以0>A .设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则由A 是正定矩阵有()n i i ,,2,10 =>λ,于是有*A 的n 个特征值11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零，即可证得*A 也是正定矩阵.定理18 实对称正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵. 证明：设实对称矩阵A 是正定矩阵，矩阵B 与矩阵A 合同，即存在可逆矩阵P ，使有AP P B T =成立，由于A 是正定矩阵，可知对于任意的n 维非零列向量X , 即nR X ∈≠0,有0>AX X T ,所以令PX Y =，则有0≠PX ，有0)()(>=CX A CX BY Y T T ，所以矩阵B 是正定矩阵，所以定理可得证.定理19 任意两个同阶实对称正定矩阵的和还是正定矩阵,更一般地,正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵.证明：设A 、B n n R ⨯∈ 都是正定矩阵,同时又可设0,>b a , 因而对于任意的n R x ∈≠0, 可有0)(>+=+Bx bx Ax ax x bB aA x T T T .所以对于任意的两个同阶的正定矩阵的和仍是正定矩阵.而多于两个矩阵时，可以按照相同的方式进行处理, 并且可以利用数学归纳法给出具体的证明：（1）当2=n 时，由上可知命题结论成立；（2）假设当1+<k n 时有命题结论成立,以下可以证明1+=k n 时命题结论仍成立. 设121,,,+k k A A A A 是同阶的正定矩阵,并且有0,,,,121>+k k b b b b .下证1111+++++k k k k A b A b A b 也为正定矩阵.因而可得对于任意的n R x ∈≠0 有0)(11111111>+++=+++++++x A x b x A x b x A x b x A b A b A b x k T k k T k T k k k k T ,此式中的每一项均为正.所以可以得到当1+=k n 时, 结论成立.综合以上的（1）、（2）可知,对于一切的自然数n ,正定矩阵的正线性组合也仍为正定矩阵.定理20 对于任何的实对称矩阵A ,必存在实数0,0>>βα,使得A E α+与A E +β都是正定矩阵.证明：实对称矩阵A 的所有的特征根都是实数,所以不妨记其中一个绝对值最大的特征根为ολ,只要取οβλ>,则可有A E +β是正定矩阵.假设Q 是正交矩阵,使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n TAQ Q λλ 1则AQ Q EQ Q Q A E Q T T T +=+ββ)(=ββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=1n βλβλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭由于0i βλ+>()1,2,,i n = ,可得A E +β也是正定矩阵.而当取1αβ=时,则有0α>,()1E A E A αββ+=+也是正定矩阵,于是定理可以得证.定理21 若A 、B 都是实对称矩阵,并且BA AB =,则AB 也必为正定矩阵. 证明：易知AB 的特征根均大于零,且有当AB BA =时,可有AB BA A B AB T T T ===)(,所以AB 又是对称矩阵,从而可得AB 是正定的.定理22 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充分而且必要条件是1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵.证明：当1A 可逆时,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E 0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T 必要性, 若A 正定,那么1A 也正定,11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E P 0211, 则P 可逆,所以AP P T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21123100A A A A A T 为正定矩阵,因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T--都为正定矩阵.充分性,由于1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵,且两个正定矩阵的和也是正定矩阵，可知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211231A A A A A T 为正定矩阵. 又可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TP 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-P ,即可证得A 为正定矩阵.定理23 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在正交的向量组n ααα,,,21 使得.2211Tn n T T A αααααα+++=证明：必要性,因为A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q ,使得Q Q A n T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ 21,T n Q ),,(21βββ =, 令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =为正交向量组, 则可得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,Tn n T T A αααααα+++= 2211= )(21T n TT ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n ααα 21 T T T = （T 为正交矩阵）, 显然可证得A 是正定矩阵.3 正定矩阵的应用3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论例 3.1 设A ,B 是n n ⨯实对称矩阵,A 是正定阵,证明：存在实可逆阵T ,使T B A T )(+'为对角阵.证由于A 是正定阵,从而合同于单位阵E ,即可知存在实可逆阵Q ,使E AQ Q ='. 而BQ Q '仍是实对称矩阵,从而存在正交阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=''n P BQ Q P λλ 1)(,其中n λλ,,1 是BQ Q '的特征值,若令QP T =,则可有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+'n T B A T λλ11)(1 . 例 3.2 设B 为n 阶实对称矩阵,且正定. A 为m n ⨯实矩阵, T A 为A 的转置矩阵.试证：BA A T 为正定矩阵的充分而且必要条件是秩m A =)(.证充分性因为BA A BA A T T T =)(.0,1≠∈∀⨯x R x n ,由秩m A =,知()n j i a a ji ij ,...2,1,,==,而A 为正定阵,故0)()()(>=Ax B Ax x BA A x T T T ,此即BA A T 为正定阵.必要性利用反证法.若秩m A <,则有0=Ax 有非零实数解0x 存在,即00=Ax ,但00≠x ,并且由BA A T 为正定矩阵,可知)()()(00000Ax B Ax x BA A x T T T=< ①另一方面,因为00=Ax ,所以m A =.0)()(00=Ax B Ax T ②由于①、②矛盾,故秩m A =)(.例 3.3 设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶半正定矩阵,求证: A B A B +≥+,当且仅当0B =或n 1=时等号成立.证由A 0>可知,存在n 阶的可逆矩阵P ,使得T P BP n E =成立,所以有()T T n P A B P E P BP +=+,且T T n P A B P E P BP +=+又因为T P BP 是半正定矩阵,设T P BP C ==()ij C ,则可有Tn E P BP +=11121212221211nnn n nnc c c c c c c c c ++=12121111n n n n n c c c c ---+++++其中i c 是C 的所有i 阶主子式之和,1,2,,i n = .而又因为0T C P BP =≥,并且它的所有主子式都是非负的,因此可得T n E P BP +≥1n +n c =n E +T P BP =T P AP +T P BP所以T P A B P +≥()TP A B P +由此可得A B A B +≥+当0B =或1n =时，显然有A B A B +≥+成立；当0B ≠且1n >时，易知T P BP C =0n n ⨯≠,于是可得至少有一个ij c ≠0,此时C 的一阶主子式ii c ,jj c 均不能为零,否则00ijijc c =2ij c -0<,这与C 是半正定矩阵矛盾.于是1c 0>,进一步可有T n E P BP +1>n c +,从而得A B A B +≥+成立.3．2 正定矩阵在数学分析上的应用3.2.1 多元函数的极值问题例3.4 求函数321232221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值.解因为2211123x x x f +=∂∂，212212x x x f +=∂∂，2233+=∂∂x x f，令01=∂∂x f ，02=∂∂x f，03=∂∂x f ，得驻点T x )1,0,0(0-=，T x )1,144,24(1--=.又)(x f 的各二阶偏导数为12126x xf =∂∂，12212=∂∂∂x x f ，2312=∂∂∂x x f ，2222=∂∂xf ，0322=∂∂∂x x f ，2232=∂∂xf ，得（黑塞）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x x H .在点0x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0x H ，而)(0x H 的顺序主子式：0det 1=H ,0144212120det 2<-==H ,0296)(det det 03<-==x H H ,因此)(0x H 不定，0x 不是极值点.在点1x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1x H ，而)(1x H 的顺序主子式：0144det 1>=H ，014421212144det 2>==H ， 0280220212212144det 3>==H ，故)(1x H 为正定矩阵，T x )1,144,24(1--=为极小值点，极小值为6913)1,144,24()(1-=--=f x f .3.2.2 正定矩阵在积分中的应用例3.5 证明：椭球体331j 11ij i j i a x x ==Ω=∑∑：的体积等于1/24/3,Aπ-其中()33ijA a ⨯=是正定矩阵.证明 A 是正定矩阵，∴∃正交矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321λλλAT T T，0>i λ，)3,2,1(=i 为A 的特征值令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---131211λλλB 作变换TBY y y y TB x x x X =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321，则此变换的Jacobi 行列式为2121321)(--=====AB B T TB J λλλ13312321j 13()ij iji x a x xx x x A x x ==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑=Y Y BY B Y ATBY T B Y AX X TTT T T T T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==321λλλ 1/212312312311T T X AX Y Y dx dx dx dx dx dx Ady dy dy -Ω≤≤∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1/24/3Aπ-3.3 正定矩阵在运筹中的应用3.3.1 具有约束方程的最优化问题例 3.6 某地区计划明年修建公路x 百公里和创建工业园区y 百公顷，假设收益函数为xy y x f =),(，受所能提供的资源（包括资金、设备、劳动力等）的限制，x 和y 需要满足约束条件369422≤+y x ，求使),(y x f 达到最大值的计划数x 和y .解由于约束方程369422=+y x 刻画的不是坐标平面上单位向量的集合，我们需要做变量变换.将这个约束方程写成1)2()3(22=+yx ，再设31x x =，22yx =，即13x x =，22x y =，则约束方程可以写成 12221=+x x ，而目标函数变成2121216)2)(3()2,3(x x x x x x f ==.现在的问题就成为求216)(x x x F =在1=x x T下的最大值，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x .设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0330A ，则 Ax x x F T =)(，A 的特征值是3±.属于31=λ的单位特征向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121.由此得，当211=x ，212=x 时，)(x F 取得最大值3，即当12.22331≈==x x 百公里，41.1222≈==x y 百公顷时，收益函数),(y x f 去的最大值3.3.4 用正定矩阵来证明不等式例3.7 证明不等式2224222x y z xy xz ++>-（其中,,x y z 是不全为零的实数）证明令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--++=z y x z y x xz xy z y x f 301051111),,(2235222则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=301051111P 的各阶顺序主子式为 01>，045111>=--，0731051111>=----，所以P 是正定矩阵00,0x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴∀≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有0f >故可得原不等式成立.3.5 正定矩阵在几何中的应用3.5.1二次曲面的标准型例3.8 在3R 中化简二次方程03828322620828102222=-++-+-++-z y x zx yz xy z y x ，并判断其曲面形状.解二次项相应的对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410421410141A .A 的特征多项式为)18)(18)(9(+--=-λλλλI A ，特征值为91=λ，182=λ，183=λ，对应的单位特征向量构成的正交矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12221222131P .令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x P z y x ，方程化为 0938316343222222=-'-'+'-'-'+'z y x z y x ，配方得1)34(2)31(2)31(222=+'-+'+-'z y x .令31-'=x X ，31+'=y Y ，34+'=z Z ，得122222=-+Z Y X ，故原方程表示的曲面为单叶双曲面.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,2003.[2] 线性代数/余长安编著.—武汉：武汉大学出版社,2010.1[3] 胡跃进.广义正定矩阵的一个不等式[J],阜阳师范学院学报（自然科学版）,2001.18（1）：10-11.[4] 张禾瑞,郝丙新. 高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,1983.[5] 钱吉林.高等代数解题精粹（修订版）[M],北京:中央民族大学出版社,2002.Properties and Applications of positive definite quadratic form Summary: Based on the matrix and vector tool, we study a kind of special function, quadratic form. However many quadratics in practical application are real quadratic form, with one of the most important class being positive definite quadratic form. This paper focuses on the positive definiteness and application of the real matrix. This paper presents several discrimination methods of the real symmetric positive definite matrix and important conclusions, which allow people to make better use of this tool in the positive definite matrix. The paper is divided into three chapters, the first chapter mainly describes the definition of the quadratic, positive definite quadratic form and the positive definite matrix; the second chapter cited several matrix discrimination method of the description positive definiteness; the third chapter simply list some examples to illustrate the application of the positive definiteness of a real matrix.Keyword: positive definite quadratic form positive definite matrixcharacteristic value necessary and sufficient condition real symmetric matrix。

二次型正定型的判断与性质本科毕业论文

本科毕业论文(设计)题目：二次型正定型的判断与性质学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2011级1班姓名：刘蓉指导教师：赵环环完成日期：2015年1月14日关于的二次型正定型的判断与性质教学设计摘要:在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文是关于二次型正定性的判断与性质的教学设计.总结了正定二次型的一些判断方法及性质。

，该设计的主要想法是以学生为主体,老师为主导,一同研究探讨二次型正定性的等价条件和性质，有效地提高课堂教学效果,培养学生解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。

关键词：正定二次型；主子式；顺序主子式一．绪论..................................................................................(错误！未定义书签。

)二．教学设计的思路..............................................................(错误！未定义书签。

)2.1教材分析.................................................................................(错误！未定义书签。

)2.2学情分析.................................................................................(错误！未定义书签。

)2.3.1知识与技能.................................................................(错误！未定义书签。

)2.3.2过程与方法.................................................................(错误！未定义书签。

正定二次型的判定及应用数学论文

毕业论文（设计）论文（设计）题目：正定二次型的判定及应用姓名刘洁学号 11111022015院系数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级2班指导教师王永忠年月日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章引言 (3)1.1 研究背景及意义 (3)第2章二次型 (4)2.1 二次型 (4)2.3 正定二次型与正定矩阵 (4)第3章正定二次型的判定及应用 (7)3.1 正定二次型的判别方法 (7)3.2 正定二次型在实际中的应用 (15)第4章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)摘要在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。

关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式；ABSTRACTIn the quadratic form,the positive definite quadratic form has a special position.This paper has summarized some judjement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems.Key words: positive definite quadratic; positive definite matrix; principal minor determinant第1章引言1.1 研究背景及意义在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 二次型的系统研究是从18世纪开始的，柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现和证明.1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。

正定二次型的判定方法

正定二次型的判定方法正定二次型在数学和工程领域中有着广泛的应用，它在描述和分析各种问题时起着重要作用。

在实际问题中，我们常常需要对二次型进行分类，其中正定二次型是其中一种重要的类型。

那么，如何判定一个二次型是正定的呢？本文将介绍正定二次型的判定方法，希望能够对读者有所帮助。

首先，我们来看一下正定二次型的定义。

对于一个n元二次型，它可以表示为：\[Q(x)=x^TAx\]其中，$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$是n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵。

如果对于任意非零向量x，都有$x^TAx>0$，则称二次型Q(x)是正定的。

接下来，我们来介绍判定正定二次型的方法。

首先，我们需要了解一个定理，对于一个n×n的实对称矩阵A，如果它的n个顺序主子式都大于0，则A是正定的。

这个定理为我们提供了一种判定正定二次型的方法。

其次，我们可以利用矩阵的特征值来判定正定二次型。

具体来说，对于一个n×n的实对称矩阵A，如果它的所有特征值都大于0，则A是正定的。

这是因为对于一个实对称矩阵，它可以被对角化为对角矩阵，而特征值的符号与矩阵的正定性是一致的。

此外，我们还可以通过求解二次型的标准型来判定它的正定性。

对于任意一个n元二次型Q(x)，都存在一个正交变换P，使得经过正交变换后的二次型为标准型：\[Q(y)=y_1^2+y_2^2+...+y_r^2\]其中，r是二次型的秩。

如果标准型中所有的系数都大于0，则原二次型是正定的。

最后，我们需要注意的是，以上方法并不是一成不变的。

在实际问题中，我们需要根据具体的情况选择合适的方法来判定正定二次型。

有时候，我们可能需要结合多种方法来进行判断，以确保结果的准确性。

总之，正定二次型的判定方法是一个重要的数学问题，它在实际问题中有着广泛的应用。

通过本文的介绍，希望读者能够对正定二次型的判定有所了解，并能够灵活运用这些方法来解决实际问题。

浅谈正定二次型判定方法

浅谈正定二次型的判定方法摘要二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词二次型矩阵正定性应用1 引言在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。

它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式22121111212131311(,,,)22nnn nn nij i j i j f x x x a x a x x a x x a x a x x ===++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性22222121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.2.2 二次型的矩阵形式二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)T n x x x x =，()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩.2.3 正定二次型与正定矩阵的概念定义2.3.1 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.定义2 另一种定义具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）. (2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.定义3 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式称为A 的一个k 阶主子式.而子式称为A 的k 阶顺序主子式.3 实二次型正定的判别方法及其性质定理1 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明设实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 经线形替换PY X =化为标准形其中.,,2,1,n i R d i =∈由于p 为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21也不全为零,反之亦然.)(⇒如果f 是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f 是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f 的正惯性指数等于n)(⇐如果f 的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i =>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f 是正定型定理2 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明 )(⇒由假设f 是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X =使对,0≠X 因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(⇐设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X =使得由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量（因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有这与假设矛盾.故p r =.再证n r =.如果,n r <则)2(式应化为于是取由)3(即得,0='A X X 又与假设矛盾,故,p n r ==即f 是正定二次型定理3 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++=证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AX X x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成)(⇐f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f 的正惯性指数为,n 由定理1可知f 为正定二次型定理4 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X =其中C 可逆),使得所以,E AC C ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(⇐矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得E AC C ='，令CY X =则因此,由证明4,可知f 是正定二次型定理5 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以k A 表示A 的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g 从而g 为正定二次型,故.0>k A)(⇐对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n 时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a ai -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i =经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(⇐对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n 时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1,11,11,111n n n n a a a a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a ,11 α于是矩阵A 可以分块写成：A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'nn a A αα1 则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G 令1C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛100G于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'='-nn n nn a G G E Ga A G AC C αααα1111100100 再令2C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10'1a G E n 则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 0012112令 21C C C = d G G a nn =''-αα就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='d AC C11 两边取行列式,d A C=2,则由条件,0>A 因此0>d .所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f 是正定二次型定理7 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵T T T A ('=是实可逆矩阵)证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得E AC C =' 则 1111)()(----'='=C C C C A令1-=CT ,则T T A '=)(⇐若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='= 令TX Y =则 2222121),,,(n n y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵)证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,令(1Y X T=-其中T 可逆)则 ATY T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21 又因非退化线性替换不改变正定性,则是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(⇐AT T '是正定阵,令ATY T Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TY X =则),,,(21n y y y g AX X x x x f n '==),,,(21 是正定二次型定理9 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f 为正定二次型相矛盾，则AT T1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(⇐ A 的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X =则 222221121),,,(n n n y y y ATY T Y AX X x x x f λλλ+++=''='=所以f 为正定二次型定理10 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型, 则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(⇐ A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f 是正定二次型.性质：若A 为n 阶实正定阵，显然TA ，1A -也是正定阵注 (1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵.(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵A 是半正定（半负定）的;b.A 的所有主子式大于（小于）或等于零；c.A 的全部特征值大于（小于）或等于零.例 1 考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时，f为正定二次型.解利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 的顺序主子式为 110∆=>；22144λλλ∆==-；23114214484(1)(2)124λλλλλλ-∆=-=--+=--+-.于是，二次型f 正定的充要条件是：230,0∆>∆>，有2240λ∆=->，可知，22λ-<<；由34(1)(2)0λλ∆=--+>, 可得12<<-λ,所以，当12<<-λ时, f 正定.例 2 已知A E -是n 阶正定矩阵，证明1E A --为正定矩阵.分析：只要证明1E A --的特征值全大于零即可证明由A E -正定知A 是实对称矩阵，从而即1E A --也是实对称矩阵.设A 的特征值为k λ(1,2,)k n =,则A E -的特征值为1k λ-(1,2,)k n =,而1E A --的特征值为11kλ-(1,2,)k n =,因为A E -是正定矩阵，所以,10k λ->(,从而11kλ<，故，110kλ->(1,2,)k n =即，1E A --的特征值全大于零，故，1E A --为正定矩阵.例 3 设有n 元二次型222121122231(,,)()()()n n n f x x x x a x x a x x a x =++++++其中(1,2,,)i a i n =为实数，试问：当12,,,n a a a 满足何种条件时，二次型1(,,)n f x x 为正定二次型.解令当121100001000010000001001n na a a a-=1121(1)0n n a a a ++-≠，即当12(1)n n a a a ≠-时，原二次型为正定二次型.例 4 设A ,B 分别是,m n 阶正定阵，试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵解因为,A B 都是实对称阵，从而C 也是实对称阵.且,0,m nX R X +∀∈≠令则12,m n X R X R ∈∈，且至少一个不为零向量.于是故C 为正定阵.例 5 若A 是n 阶实对称阵，证明：A 半正定的充要条件是对任何μ>0，B E A μ=+正定.证 A 是实对称阵，从而存在正交阵T ，使1'n A T T λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,其中1,,n λλ为A 的全部实特征值.先证必要性若A 半正定，则0,(1,2,,).i i n λ≥=又因为所以B 的全部特征值为0(1,2,,)i i n μλ+>=又'm nB B R+=∈，∴B 为正定阵.再证充分性若A 不是正定阵，则存在0k λ<，此时可令2kλμ=-，则0μ>，但即B 中有一个特征值为02kλ<，这与B 为正定阵的假设矛盾，从而得证A 是半正定的.例 6 设()ij A a =是阶正定阵，证明：（1）对任意i j ≠，都有（2）A 的绝对值最大元素必在主对角线上. 证（1）A 正定，从而A 的一切2阶主子式均大于0，当i j ≠时移项后，开方即证12()(,,1,2,,)ij ii jj a a a i j i j n <≠=.（2）设的主对角线上最大元素为kk a （由于A 正定，0kk a >).再由第一问结论可知由此即证即A 中绝对值最大元素必在主对角线上.结束语二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果.本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用.将多元元函数求极值问题化为一个二次型问题.在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值.参考文献[1] 王萼方，石生明高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2008. [2] 白蒙蒙，朱小琨实矩阵正定性的简单判别方法[M] 高等函授学报[3] Liu Maosheng The Extension of positive matrix,Journal of ChongQING vocational&technical institute [4]. He ChunLing The Discussion in positive Definite Property of Product Matrix,HeiBei Like JiaoXue YanJiu [5] Zhan ShiLin Zhan XuZhou,some criterions on real positive definite matrix,Journal ofAnHui University文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.[6] 张淑娜，郭艳君正定二次型的几个等价条件以及正定阵的若干性质[M].2005.[7] 陈大新矩阵理论[M]. 上海交通大学出版社 2003.[8] 郭忠矩阵正定性的判定[J]. 科学通报 2007.[9] 钱志祥，林文生.浅谈正定二次型的实际应用[J].科学创新导报，2009.11格式已调整，word版本可编辑.。

二次型的正定性在函数极值判定中的

二次型的正定性在函数极值判定中的应用函数的极值在微分学的理论与应用中是极为重要的。

关于一元函数与二元函数极值的判定比较容易，但是，对于两个以上自变量的多元函数的极值的判定就比较困难了，并且在《微积分》与《高等数学》的教科书上也没有一般的结论。

虽然用正定二次型的理论判定多元函数极值存在的充分条件是很方便的，由于教学中线性代数的内容安排在微积分之后，因此求多元函数极值的问题始终不能通过课堂教学得到解决。

这里从二元函数的极值入手，利用正定二次型的结论，给出一般多元函数极值判定的一个充分条件。

二元函数极值判别的一个的充分条件为：),(y x f z =设函数在点的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数，且),(y x f z =),00y x （0),(),(0000=′=′y x f y x f y x 记，，),(00y x f A xx′′=),(00y x f B xy ′′=),(00y x f C yy ′′= （1）若且0（或），则为极小值；若且（或），则为极大值。

02<−AC B >A 0>C ),(00y x f 02<−AC B 0<A 0<C ),(00y x f （2）若，则不是极值。

02>−AC B ),(00y x f （3）若，则是否为极值，需进一步讨论才能确定。

02=−AC B ),(00y x f 若记，我们可以用二次型的正定性将这个结论叙述为： ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′′′′′=),(),(),(),(),(0000000000y x f y x f y x f y x f y x H yy xyxy xx ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C B B A （1）如果为正定矩阵（且或），则为极小值；如果为负定矩阵（且),00y x H （02<−AC B 0>A 0>C ),(00y x f ),00y x H （02<−AC B 0<A 或0<C ），则为极大值。

二次型的正定性及其性质

二次型的正定性及其性质二次型是数学中一个非常重要的概念，也是各种数理模型中必不可少的一部分。

二次型的正定性是其性质之一，对于二次型的求解和优化有着非常重要的意义。

本文将介绍二次型的正定性及其性质，以及其在实际应用中的意义。

一、二次型的定义和表示二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次函数，其中 $A$ 是一个$n\times n$ 的实对称矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。

一般情况下，二次型是所有 $n$ 维实向量上的定义域。

实对称矩阵 $A$ 是二次型的系数矩阵，也是二次型的重要特征。

二、二次型的正定性二次型的正定性是指对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx>0$，即二次型的取值全部大于 $0$。

简单来说，二次型的正定性就是指其取值范围全部在正半轴上。

其逆定义为负定性，即对于所有非零的$x$，都有$x^TAx<0$。

还有一种定义是半正定性（或半负定性），即对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx\ge 0$（或 $x^TAx\le 0$）。

正定性和负定性的性质非常相似，下面我们以正定性为例，讨论其性质。

三、正定性的性质1. 正定性是矩阵的特征正定性是指针对一个特定的实对称矩阵 $A$，其对应的二次型是正定的。

如果我们改变实对称矩阵 $A$，那么其对应的二次型的正定性也会随之改变。

2. 正定性是线性的如果我们将两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 相加，那么其对应的二次型的正定性也会相加。

具体地，对于所有非零的 $x$，都有$(x^TAx)+(x^TBx)>0$，所以矩阵之和的正定性可以保持不变。

3. 正定性是半正定性的推广正定性和半正定性之间存在非常密切的关系。

如果一个实对称矩阵 $A$ 在对角线元素为正的情况下是半正定的，那么其对应的二次型在对应的坐标轴上是正定的。

换言之，正定性是半正定性的推广，而半正定性是指在坐标轴上的正定性。

4. 正定性和二次型的最小值正定性和二次型的最小值之间也存在密切的联系。

正定二次型

正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。

本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。

1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。

正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。

如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。

2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。

2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。

这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。

因此，正定二次型的矩阵A是对称的。

2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。

一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。

而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。

2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。

这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。

进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。

由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。

2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。

这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。

3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。

下面将介绍两个典型的应用。

3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。

本科毕业论文_正定二次型与不等式

摘要以正定二次型与半正定二次型理论为基础, 证明了若干二次齐次代数不等式或加权不等式、矩阵或行列式不等式, 以与几何不等式, 包括国外的一些数学奥林匹克试题.关键词: 矩阵; 二次型; 正定; 半正定; 不等式AbstractBased on the theory of positive definite quadratic and semi-positive quadratic, we prove some second homogeneous algebra inequality or weighted inequality, matrix or determinant inequality, and geometric inequality, which includes two domestic and international mathemat-ical Olympiad questions.Key words: matrix ; quadratic ; positive definite;semi-positive definite quadratic;inequ-ality目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 正定二次型与半正定二次型的定义和性质 (1)2 若干代数不等式 (2)3 几个矩阵(或行列式)不等式64 两个几何不等式 (10)参考文献 (13)0 引言二次型理论作为线性代数中的基础知识[1~3], 其应用非常广泛. 而且二次型的理论在数学的其他分支与物理、力学、工程技术中也常常用到. 另一方面, 不等式作为一个极具魅力的领域, 对其研究也是一直长盛不衰, 除了一些不等式研究成果大量涌现外, 一些新的证明不等式的方法不时面世. 文[4~6]是这方面的一个真实写照. 本文主要讨论如何利用二次型的正定性或半正定性证明有关代数的、或几何的不等式, 也是对如何利用高等数学中的观点和方法来研究初等数学问题作一个尝试.1 正定二次型与半正定二次型的定义和性质为方便起见, 首先给出二次型的相关概念与性质, 这些性质的证明均可见[7]. 定义数域P 上的n 元二次齐次多项式1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑(,,1,2,,)ij ji a a i j n ==称为数域P 上的一个n 元二次型. 在不致引起混淆时简称二次型.当P 是实数域时, 二次型12(,,,)n f x x x 称为实二次型. 对于一个n 元实二次型12(,,,)n f x x x , 如果对任意不全为零的实数12,,,n c c c 都有12(,,,)0n f c c c >, 则称12(,,,)n f x x x 为正定二次型. 如果对任意实数12,,,n c c c 都有12(,,,)0n f c c c ≥, 则称12(,,,)n f x x x 为半正定二次型.如果记()ij n n A a ⨯=, 12(,,,)n X x x x '=. 则二次型12(,,,)n f x x x 可简单地表示为12(,,,)n f x x x X AX '=,其中, 对称矩阵A 称为二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵, 当实二次型12(,,,)n f x x x 正定(或半正定)时, 也称实对称矩阵A 正定(或半正定).定理1n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 矩阵A 的顺序主子式全大于零．定理2n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 矩阵A 的特征值全大于零．定理3 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 存在n 级实可逆矩阵P , 使得P P A '=．以上三个定理在任何一本高等代数教材中都可以见到. 关于实二次型半正定性的判定有如下等价条件[2]. 定理4 设A 是n 阶实对称矩阵, 则下列条件等价: (ⅰ)A 是半正定的; (ⅱ)A 合同于000r E ⎛⎫⎪⎝⎭; (ⅲ) 存在实可逆矩阵C , 使{}12diag ,,,n C AC d d d '=,其中,0(1,2,,)i d i n =≥;(ⅳ)A 的所有主子式非负, 且至少有一个主子式为零; (ⅴ)A 的所有特征值非负, 且至少有一个特征值为零.2 若干代数不等式由于二次型的正定性半正定性都是以不等式形式出现的, 因而二次型在不等式的证明中应该有其用武之地. 这里将用二次型的半正定性证明若干代数不等式.例2.1 设,,a b c ∈, 证明222a b c ab bc ca ++++≥. (1)证明设222(,,)f a b c a b c ab bc ca =++---, 则(,,)f a b c 是一个实二次型, 其矩阵111221112211122A ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 因为矩阵A 的一阶主子式10>, 二阶主子式113201412-=>-, 且0A =, 所以A 是半正定的, 从而由定理4(ⅳ)可得二次型(,,)f a b c 半正定, 故不等式(1)成立.诚然, 这种证法并不比通常所用的初等数学证法简单, 但它却提供了证明二次齐式不等式的一种全新思路. 使用这种方法一般是先从结论出发构造一个相应的二次型, 写出二次型的矩阵, 然后用有关定理判断该二次型的矩阵正定或半正定, 从而得到不等式.例2.2 证明: 对任意n 个实数12,,,n x x x , 有不等式2211()nnii i i n xx ==∑∑≥. (2)证明设221211(,,,)()nnn ii i i f x x x n x x ===-∑∑,则12(,,,)n f x x x 是一个实二次型, 易知二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭. 将矩阵A 的第2,3,,n 列分别加到第1列,再将第23,n ，，行减去第 1行, 得A ～01100000n n --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 于是矩阵A 的特征值为 10,,,n n n -, 因而A 为半正定矩阵,由定理4(ⅴ)可知，二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的,从而12(,,,)0n f x x x ≥. 这就证明了不等式(2).例2.3 设1p ,2p ,3p ,1q ,2q ,3q 皆为实数. 求证: 不等式222123123p x p y p z q yz q zx q xy ++++≥ (3)对任意实数,,x y z 成立的充要条件是10p ≥,20p ≥,30p ≥,22314p p q ≥,23124p p q ≥,21234p p q ≥. 且2221122331231234p q p q p q q q q p p p +++≤.证明设二次型222123123(,,)f x y z p x p y p z q yz q zx q xy =++---,则其矩阵为132321213112211221122p q q A q p q q q p ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 因为对任意实数,,x y z , (,,)0f x y z ≥等价于A 半正定; 又A 半正定等价于A 的所有主子式皆非负. 而A 的三个一阶主子式分别为1p 、2p 、3p , 三个二阶主子式分别为13212332112142p q p p q q p -=--,21223113112142p q p p q q p -=--,12231223112142p q p p q q p -=--,其三阶主子式即2221231122331234A p p p p q p q p q q q q =----.故不等式(3)对任意实数,,x y z 成立的充要条件是10p ≥,20p ≥,30p ≥,22314p p q ≥,23124p p q ≥,21234p p q ≥. 且2221122331231234p q p q p q q q q p p p +++≤.例2.3是文[8]证明的一个主要不等式, 但其证明过程十分冗繁. 而这里用半正定二次型理论给出的证明则十分简捷.例2.4 证明不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥ (4)对任意的,,x y z ∈成立的充要条件是0A ≥, 0B ≥, 0C ≥, 2222()AB BC CA A B C ++++≥.证明设二次型(,,)()()()()()()f x y z A x y x z B y z y x C z x z y =--+--+--,展开,整理, 得222(,,)()()()f x y z Ax By Cz A B C yz B A C zx C A B xy =+++--+--+--. 记1p A =,2p B =,3p C =,1q B C A =+-,2q A C B =+-,3q A B C =+-,则不难知道2222221232313124442()()p p q p p q p p q AB BC CA A B C -=-=-=++-++.又容易验证22212311223312340p p p p q p q p q q q q ----=.故由例2.3的结论即知不等式(4)对任意的,,x y z ∈成立的充要条件是0A ≥, 0B ≥, 0C ≥, 2222()AB BC CA A B C ++++≥.例2.4是准备参加第29届国际中学生数学竞赛(IMO)中国国家队选拔考试题. 例2.5 证明: 对任意,,a b c ∈, 有不等式222332222()2()3()()a b c ab bc ca a b c ab bc ca +++++++++≥. (5)证明设二次型222222(,,)()()2()()f x y z a b c x y z ab bc ca xy yz zx =+++++++++,则有222(,,)()()()f x y z ax by cz bx cy az cx ay bz =++++++++.显然二次型(,,)f x y z 是半正定的, 而(,,)f x y z 的矩阵为222222222a b c ab bc ca ab bc ca A ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ⎛⎫++++++ ⎪=++++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭,因此, 0A ≥. 但222332222()2()3()()A a b c ab bc ca a b c ab bc ca =+++++-++++,故不等式(5)成立.3 几个矩阵(或行列式)不等式因为二次型可用对称矩阵表示, 所以与对称矩阵(或行列式)有关的不等式当然可以考虑用二次型理论处理. 请看下面几个例子.例3.1 设(1,2,,;1,2,,)ij a i n j m ==皆为实数, 证明21121111221221112121110mmmk k k k knk k k mm mk k k k knk k k mmmkn k kn k knk k k aaaaaaaa aaaaaaa=========∑∑∑∑∑∑∑∑∑≥. (6)证明考虑二次型22121111(,,,)()2()n mmn kiiki kji j i k i j nk f x x x a x aa x x ==<==+∑∑∑∑≤≤.不难知道21211221(,,,)()0mn i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑≥,因此二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的. 由定理4(ⅳ), 二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵A 的所有主子式非负.而二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为2112111122122111212111m mmk k k k kn k k k mmmk k k k kn k k k mmmkn k kn k kn k k k a a a a a a a aa a A a a aaa =========⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑,则0A ≥, 故不等式(6)成立.特别地, 当2n =时2112112212110mmk k k k k mm k k k k k aaaA aaa=====∑∑∑∑≥,所以2221212111()mmmk k k k k k k a a a a ===⋅∑∑∑≤. (7)再记12,(1,2,,)k i k i a a a b i n ===, 则(7)式即著名的Cauchy 不等式222111()nnni i ii i i i a b a b ===⋅∑∑∑≤.从这里可以看出,不等式(6)是Cauchy 不等式的一个推广.例3.2 设()2f x x Ax x C β''=++, 其中, A 为n 阶实对称矩阵, C 为实常数,12(,,,)nn x x x x '=∈, 12(,,,)n b b b β'=为n中的固定向量, 证明:(1) 任给nx ∈, 恒有0()f x ≥的充要条件是:10C A ββ-'-≥, 且任给nx ∈恒有()0f x >的充要条件是: 10C A ββ-'->;(2) 存在0nx ∈使0()0f x ≤得充要条件是: 10C A ββ-'-≤, 且存在0nx ∈, 使0()0f x <的充要条件是: 10C A ββ-'-<.证明首先注意到正定矩阵的行列式大于零, 因而正定矩阵一定是可逆的, 所以1A -有意义, 又由x x ββ''=, 11()A A --'=不难得到111()()()f x x A A x A C A ββββ---''=+++-, (8)且由A 的正定性知11()()0x A A x A ββ--'++≥(∀nx ∈), 于是若任给nx ∈, 恒有0()f x ≥, 则由(8)式即得11()0C A f A βββ--'-=-≥; 反之,如果10C A ββ-'-≥, 则由(8)式与A 的正定性即知, 任给nx ∈恒有0()f x ≥, 故(1)的前一结论得证. 将刚才推理过程中的“≥”改为“>”, 即证得(1)的后一结论. 而(2)的两个结论分别是(1)的两个结论的逆否命题, 既然(1)的两个结论成立, 当然(2)的两个结论也成立.例3.3 设12,,,n A A A 皆为p m ⨯矩阵, 且其中至少有一个是列满秩的, 则对任意n 个m 维列向量12,,,mn βββ∈有11111()()()nnnni i i i i i i i i i i i A A A A ββββ-====''''⋅⋅∑∑∑∑≤. (9)等式成立当且仅当存在0mx ∈使0(1,2,,)i i A x i n β==.证明考虑m 元实二次函数1()()()ni i i i i f x A x A x ββ='=--∑. (10)由(),()(1,2,,)i i i i i i i i i i A x x A x A x A A x i n βββββ''''''''''-=-===(注意:i i x A β''是一个实数). 不难得到111()()2()n n ni i i i i i i i i f x x A A x A x βββ===''''=-+∑∑∑. (11)显然, 由(10)式知, 任给mx ∈, 有()0f x ≥, 又由定理3知, 1ni i i A A ='∑是m 阶正定矩阵, 故由(11)式与例7即得不等式(9), 且结合例3.2即知, 不等式(9)中等式成立当且仅当存在0mx ∈, 使0()0f x =,但由(10)式知0()0f x =当且仅当00(1,2,,)i i A x i n β-==.故不等式(9)中等号成立当且仅当存在0mx ∈, 使得0(1,2,,)i i A x i n β==.特别地, 当1p m ==时, 由不等式(9)也得到著名的Cauchy 不等式. 因此, 不等式(9)是Cauchy 不等式的另一个推广.例3.4 设()ij n n T t ⨯=是一个n 阶实矩阵. 求证:2222121()ni i ni i T t t t =+++∏≤. (12)证明首先证明命题:若A 是正定矩阵, 则1122nn A a a a ⋅⋅⋅≤, 其中1122,,,nn a a a 是A 的主对角线上的元素.事实上, 将A 分块为1n nn AA a αα-⎛⎫= ⎪'⎝⎭, 其中1n A -是A 的1n -阶子矩阵, 因为A 正定, 所以1n A -也正定, 于是11111110101n n n n nn n A I I A A A a A αααα--------==⋅⋅=''- 1111110()0n n nn n nn n A A a A a A αααα------'=-'-, 因为10n A ->, 11n A --正定, 则对0α≠, 有110n A αα--'>; 当0α=时, 110n A αα--'=. 于是110n A αα--'≥. 这样便有1nn n A a A -≤. 等式成立当且仅当0α=. 由于1n A -正定, 重复上面的证明即得1,111nn n n A a a a --⋅⋅⋅≤, 即1122nn A a a a ⋅⋅⋅≤.现在证明不等式(12). 若0T =, 则不等式(12)显然成立. 若0T ≠, 则T T '是正定的, 由刚才所证命题即知不等式(12)也成立.特别地，设,,a b c ∈, 取 a b c T c a b b c a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则有3333T a b c abc =++-, 于是由不等式(12)即得以下一个有趣的不等式33322223(3)()a b c abc a b c ++-++≤. (13)可以证明, 不等式(13)中等式成立的充要条件是: 0ab bc ca ++=.4两个几何不等式几何不等式中也不乏可用实二次型处理的例子. 这里仅举两例以说明.例4.1 设γβα，，是一个三角形的三个角,证明: 对任意实数z y x ，，,都有2222cos 2cos 2cos x y z xy xz yz αβγ++++≥. (14)证法1 设二次型222(,,)2cos 2cos 2cos f x y z x y z xy xz yz αβγ=++---,则其矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1cos cos cos 1cos cos cos 1γβγαβαA , 因παβγ++=, 所以cos cos()γαβ=-+, 代入矩阵A 并对A 进行初等行变换, 得221cos cos 1cos cos cos 1cos()0sin sin sin cos cos()10sin sin sin A αβαβααβααββαβαββ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭ 1cos cos 0sin sin 000αβαβ--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭. 于是矩阵A 的特征值为0,1,αsin , 它们均不小于等于0, 从而由定理4(ⅴ)可知二次型(,,)f x y z 是半正定的, 因此对于任意实数,,x y z , 都有(,,)0f x y z ≥. 不等式(14)得证.证法2 因为矩阵A 的一阶主子式10>, 三个二阶主子式分别为21cos 1cos cos 1ααα-=--, 21cos 1cos cos 1βββ-=--,21cos 1cos cos 1γγγ-=--. 显然其二阶主子式皆大于零. 又其三阶主子式A =2221cos cos cos 2cos cos cos αβγαβγ----⋅⋅.而παβγ++=, )cos(cos βαγ+-=, 所以2221cos cos cos ()2cos cos cos()A αβαβαβαβ=---++⋅⋅+= 2222221cos cos cos cos sin sin αβαβαβ--+⋅-=2222221cos cos cos cos (1cos )(1cos )0αβαβαβ--+⋅--⋅-=.这就是说, 矩阵A 的所有主子式都非负, 且其三阶主子式等于零, 因而由定理4(ⅳ), 二次型(,,)f x y z 是半正定的. 故对任意实数,,x y z , 不等式(14)成立.不等式(14)即著名的三角形角的嵌入不等式[10].例4.2 设,,a b c 分别为三角形的三边长. 证明:对任意实数,,x y z 有不等式222()()()()()()0a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥. (15)证明在例 2.4中, 令222,,A a B b C c ===, 显然2220,0,0a b c >>>. 又由海伦(Heron)公式, 不难得到22222244422()()160a b b c c a a b c S ++-++=>,其中S 为三角形的面积, 故由例2.4结论可知不等式(15)成立.由不等式(15)我们可以得到一系列涉与三角形三边长的不等式. 例如, 取x a =, y b =, z c =, 代入不等式(15)即得222()()()()()()0a a b a c b b c b a c c a c b --+--+--≥,展开整理, 则有不等式444333()()()()a b c abc a b c a b c b c a c a b ++++++++++≥.又如, 当,,a b c 是一个三角形的三边长时, 因为2b c b c a =++>+>,>同理>>个三角形的三边长, 于是由不等式(15)知, 不等式()()()()()()0a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥ (16)对任意实数,,x y z 都成立.在不等式(16)中, 取x a =, y b =, z c =, 则有()()()()()()0a a b a c b b c b a c c a c b --+--+--≥,展开整理即得222()()()3a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤. (17)不等式(17)正是第6届国际中学生数学奥林匹克(IMO)试题.参考文献[1] 王萼芳, 石明生．高等代数[M]. : 高等教育, 1999: 210~237.[2] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. : 高等教育, 2003.[3] 禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M], : 高等教育, 1999: 383.[4] 哈代, 特伍德, 波利亚. 不等式[M]. 越民义, 译. :科学, 1965.[5] D.S.Mitrionvic. 解析不等式[M], 小萍, 王龙, 译. : 科学出版杜, 1987: 75.[6] 匡继昌. 常用不等式[M]. 第4版, : 科学技术. 2004.[7] 文杰. 实二次型的半正定性与其应用[J], 渤海大学学报, 2004, 25(02).[8] 建. 三元二次型的两个定理与其应用[J]. 中学数学. 1996, 20(05).[9] 卢小宁, 萧振纲. 多元二次函数的一个性质与其应用[J]. 数学理论与应用, 2001, 21(04).[10] 冷岗松. 用二次型理论研究一个初等不等式[A]. 见: 世明. 中国初等数学研究文集. : 教育,1992: 191.。

图与正定二次型的研究-信息与计算科学毕业论文

图与正定二次型的研究-信息与计算科学毕业论文分类号编号xx水利水电学院North China Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power毕业论文题目图与正定二次型的研究学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学姓名xxx学号xx指导教师xxx2011年5月18日xx水利水电学院本科生毕业论文开题报告学生姓名xxx 学号xxx 专业信息与计算科学题目名称图与正定二次型的研究课题来源自选主要内容线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。

随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。

正定二次型应该说是处于一个比较重要的地位。

图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。

关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。

本文第一章主要讲了二次型及其有关定义，二次型的一些定理及其证明，正定二次型的定义与判定。

第二章主要讲的就是图的一些知识了。

在我们学过的离散数学中，就知道了图的定义与表示方法。

通过这篇文章我们将会了解图论的发展历史及其矩阵的表示。

第三章主要是图与二次型的关系，Dynkin 图和 Euclidean图，还有Dynkin 图与二次型的正定。

采取的主要技术路线或方法首先对二次型以及正定二次型进行了介绍，讲述了正定二次型的判定方法，然后对图论历史的介绍以及图的矩阵表示方法，最后介绍了图与正定二次型的关系。

运用配方法和顺序主子式的方法对二次型的正定进行了证明。

预期的成果及形式完成6000以上的论文，得出最佳铸造车间的生产和质检方案设计方案时间安排具体安排如下；2—3 周：选题，收集资料，完成开题报告4—6 周：对与课题相关的知识重新温习，并加深理解，对新的知识也进行掌握；7—11周：对课题加深认识，了解课题的基本框架；12—14周：撰写论文，完成论文的初稿指导教师意见签名：年月日备注参考文献：[1] 《高等代数》（第三版）王萼芳、石生明主编高等教育出版社2007年5月[2] 《离散数学》（美）多西（Dossey.J.A.）等编著，章炯民，王新伟，曹立译清华大学出版社2005年9月[3] 《图论及其应用》（第三版）徐俊明主编中国科学技术大学出版社2010年3月[4] 《图论导论》（第四版）威尔逊主编世界图书出版公司出版 2007年10月[5] 《线性代数》（第五版）同济大学数学系编高等教育出版2007年5月[6] John McKay,Graphs，singularities and finite groups [J] Proceedings of Sympoism in Pure Mathematics 3(1980)，183-187．2011年 3月 15日摘要线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。

浅谈正定二次型的实际应用

２．１正定二次型在解极值问题中的应用
定理１设ｎ元实函数
在
点 p０的一个邻域中连续，且有足够高阶的连
续偏导数，则函数
在点 p０近
旁有性质：１）若 X｀AX 正定，则 p０为极小点；２）
若 X｀AX 负定，则 p０为极大点；３）若 X｀AX 不
定，则 p０非极大或极小点；４）其余情形时，f
在 p０点性质有待研究余项 R 的性质来确定．
特别当 f 是二次函数时，R则 p０为极小（大）点．（证明略）
例１求函数
的极值．
解：
，
解方程组
，易得
，（符号任意搭配），
，
，
于是
，经计算得
正定；
秩
＝秩
负定；
不定。
故在（±１，０），点（０，±１），z 不取极值；在
１预备知识
１．１正定二次型定义
R上一个 n元实二次型，如果
对于
的每一组不
全为零的值，
都是正数，那
么就称之为正定二次型。
１．２正定二次型的性质
性质１．n 元实二次型
是正
定的充分必要条件是它的秩和符号差都等于．
性质２．n 元实二次型
是正
定的充分必要条件是它的矩阵合同于单位矩阵．
（证略）
２．４正定二次型在解线性方程组中的应用
例２（１）用矩阵给出平面上 n 个点
共线的充分必要条件。
（２）设 A 为 n 阶满秩矩阵。试证，XAA｀X｀
是一个正定二次型。这里
。
解：（１）设直线 y＝kx＋b n 个点共线是
指线性方程组（把看 k，b 成未知量）