概率论课件东北大学
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东北大学概率论课后习题答案PPT2-3
1 2
e
( x )2 2 2
, x ,
其中,(>0)为常数，则X为正态变量，称其服从参数 为, 2 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X～ N(,2)。
f ( x)
正态分布密度函数图示
o
x
性质：1.曲线关于x=对称。
2.当x=时取到最大值。
1)，计算P{ X 0}，P{2， 31 X 1,25}， 例7 设X ~ N (0， P{| X | 1.54}，P{的血压（收缩压，以mm-Hg计）， X ~ N（ 110， 12 2 ） 求: (1)18岁女青年血压低于100mm-Hg或高于120mm-Hg的概 率； （2）确定x，使 P{| x - | a}
一、正态分布
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛（De Moivre)最早 发现了二项分布的一个近似公 式，这一公式被认为是正态分 布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通 常称为高斯分布.
德莫佛
正态变量及其分布
设连续型随机变量X的概率密度为
f ( x)
返回
例4 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900～1100。求 R的概率密度及R落在950～1050的概率。 解 按题意，R的概率密度为
1 , f ( r ) 1100 900 0, 故有
900 r 1100, 其 它. 1 dr 0.5. 200
P(| X | 3 ) 0.9974
可以认为，X的取值几乎全部集中在 这在统计学上称作“ 3 准则” （三倍标准差原则）.
[ 3 , 3 ] 区间内.
设X ~ N (0， 1)，对任意给定的 (0 1)，称使 P{ X z } 成立的z 为标准正态分布N (0， 1)的上分位数。 易见， ( z ) 1
高二数学：3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)
试判断这些事件发生的可能性：
（1）木柴燃烧，产生热量 必然发生 （2）明天,地球仍会转动 必然发生 必然事件
（3）实心铁块丢入水中,铁块浮起 不可能发生 （4）在标准大气压00C以下，雪融化 不可能发生 （5）在刚才的图中转动转盘后，指针 指向黄色区域 可能发生也可能不发生 （6）两人各买1张彩票，均中奖 可能发生也可能不发生
件A发生的概率的近似值，
即
P ( A)
m n
,(其中P(A)为事件A发生的概率)
注意点：
1.随机事件A的概率范围 任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1
频率与概率的区别与联系
1、频率本身是随机的，在试验前 不能确定。做同样次数的重复试验 得到事件的频率会不同。 2、概率是一个确定的数，与每次 试验无关。是用来度量事件发生可 能性大小的量。
出现正 面的频 率m n
摸到红 试验次 球的次 数(n) 数(m) 10 200 1000 4
摸到红 球的频 m 率 n 0.4 0.69 0.685 0.6565 0.6838
0.2 0.54
138
685 1313 6838
276
2557 4948
0.552 0.5114
0.4948
2000 10000
20000 13459 0.67295 10000 10000 66979 0.66979 0 0 随着试验次数的增加，频率稳定在[0，1]间的一个常数上
10021 0.50105 25050 0.501 49876 0.49876
数学理论
一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试 验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率 作为事
东北大学概率论课后习题答案PPT2-3
第三节连续型随机变量及其分布
如果存在实数域上的非负函数f(x)，使对于任一实数 a，b(a<b)，随机变量X的取值在区间(a,b]中的概率为
P(a x b) f ( x)dx
a
b
则称X为连续型随机变量。其中，非负函数f(x)即是描述 连续型随机变量X取值规律的概率函数，称为X的概率密度 函数，记为 X ~ f ( x) ，概率密度函数简称为密度函数。 X的密度函数有时记为 f X ( x)
返回
例10 将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器 定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～ N(d,0.52)。(1)若d=90，求X<90的概率；(2)若要求保持液体 的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？
解 （1）所求概率为 X 90 89 90 P{ X 89} P 0.5 0.5 89 90 ( 2 ) 0.5 1 ( 2) 1 0.9772 0.0228.
1 2
e
( x )2 2 2
, x ,
其中,(>0)为常数，则X为正态变量，称其服从参数 为, 2 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X～ N(,2)。
f ( x)
正态分布密度函数图示
o
x
性质：1.曲线关于x=对称。
2.当x=时取到最大值。
例2 判断函数
| x| G (1,2) (5,6) ，求 f ( x ) Ae 例3 是随机变量X的密度函数为 ，
（1）常数A；（2）P{-1<X<2}和
P( x G )
常见的连续型随机变量及其分布
如果存在实数域上的非负函数f(x)，使对于任一实数 a，b(a<b)，随机变量X的取值在区间(a,b]中的概率为
P(a x b) f ( x)dx
a
b
则称X为连续型随机变量。其中，非负函数f(x)即是描述 连续型随机变量X取值规律的概率函数，称为X的概率密度 函数，记为 X ~ f ( x) ，概率密度函数简称为密度函数。 X的密度函数有时记为 f X ( x)
返回
例10 将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器 定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～ N(d,0.52)。(1)若d=90，求X<90的概率；(2)若要求保持液体 的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？
解 （1）所求概率为 X 90 89 90 P{ X 89} P 0.5 0.5 89 90 ( 2 ) 0.5 1 ( 2) 1 0.9772 0.0228.
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e
( x )2 2 2
, x ,
其中,(>0)为常数，则X为正态变量，称其服从参数 为, 2 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X～ N(,2)。
f ( x)
正态分布密度函数图示
o
x
性质：1.曲线关于x=对称。
2.当x=时取到最大值。
例2 判断函数
| x| G (1,2) (5,6) ，求 f ( x ) Ae 例3 是随机变量X的密度函数为 ，
（1）常数A；（2）P{-1<X<2}和
P( x G )
常见的连续型随机变量及其分布
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
概率论第一章PPT课件
2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
2021/3/24
-
8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
2021/3/24
-
20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
东北大学概率论课后习题答案PPT2-2
（1） pk 0, k=1,2, …
一个函数是否是
概率分布
（2） pk 1
k
分布律也可以用表格的形式来表示：
X
x1 x2 … xn …
pk
p1 p2 … pn …
称为随机变量X的概率分布表。
也可用矩阵表示
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
也可用散点图表示。
有了分布列，可以计算任意时间的概率
几何分布的无记忆性
在贝努利试验中，等待首次成功的时间服从几何分布。 现在假定已知在前m次试验中没有出现成功，那么为了达到 首次成功所再需要的等待时间′也还是服从几何分布，与 前面的失败次数m无关，形象化地说，就是把过去的经历完 全忘记了。因此无记忆性是几何分布所具有的一个有趣的 性质。但是更加有趣的是，在离散型分布中，也只有几何 分布才具有这样一种特殊的性质。
件，第i个零件为不合格品的概率为 pi 1/ i 1,i 1,2,3 ，若
以X表示三个零件中合格品的个数，问X是二项变量吗？写出 X的分布律。
例5：某人进行射击，设每次射击的命中率为0．02，独立射击 400次，试求至少击中两次的概率。
解：将一次射击看成是一次试验．设击中的次数为X，则X～ B(400，0.02)。X的分布律为 P{ X k} 4k00(0.02)k (0.98)400k , k 0,1,,400. 于是所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
P{Y
4} 1
k
3 0
8k0(0.01)k
(0.99)80k
0.0087.
我们发现，在后一种情况尽管任务重了(每人平均
东北大学《概率与数理统计》课件-第4章
(k 0,常数),求W的数学期望.
解：由上面的公式
E(W
)
kv 2
f
(v)dv
a
kv 2
1
dv
1
ka2
0a
3
例9 求数学期望E(eX)，若 (1)X~P(3); (2) X~B(n,p); (3) X~N(1,4).
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
x0
N min( X1, X2 ) 的分布函数为
Fmin ( x)
1 [1
F ( x)]2
1
2x
e
x0
0
x0
于是N的概率密度为
fmin
(
x)
2
2x
e
x0
0
x0
E(N
)
xfmin
(
x)dx
0
2x
2x
e dx
2
例4.4 商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后
付款的方式 ,记使用寿命为X (以年计),规定 : X 1,一台付款1500元;1 X 2,一台付款2000元; 2 X 3,一台付款2500元; X 3,一台付款3000元.
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
/2
dy
/2
Asin( x
y)dx
1，得A
1
0
0
2
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
《概率论》ppt课件
xi R, i 1, 2, , n.
对于固定的 n ，我们称{FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ),ti T}
为随机过程{X (t),t T}的 n 维分布函数族。
注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件下 ，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函 数族决定。
（二）二维随机过程的联合分布函数
p
2 (1, )
2 1 2
(0, 1 ) 4
1
2
三 随机过程的数字特征
1.单个随机过程的情况
① 函数 X (t) E[X (t)], t T
为{X(t),tT}的均值函数.
②
2 X
(t)
E[ X
2
(t )]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t
)
DX (t) D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设 X是n 第n次 （n ）1 抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值, 是X不n 同的随机变量，因而 { Xn构, n成 1一} 随机过程，称为 贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次
抛掷中出现的最大点数，
也{是X一n , n随机1}过程。
例 4 在时间 [0,t]内某地段出现的交通事故次数
2. n维分布函数族
对 任 意 正 整 数 n 可 取 定 t1,t2, ,tn T 则 (X (t1), X (t2 ), , X (tn )) 是一个n 维随机变量，他的分 布函数为
FX (x1, x2 , , xn; t1, t2, , tn )
P( X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn ),
对于固定的 n ，我们称{FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ),ti T}
为随机过程{X (t),t T}的 n 维分布函数族。
注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件下 ，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函 数族决定。
（二）二维随机过程的联合分布函数
p
2 (1, )
2 1 2
(0, 1 ) 4
1
2
三 随机过程的数字特征
1.单个随机过程的情况
① 函数 X (t) E[X (t)], t T
为{X(t),tT}的均值函数.
②
2 X
(t)
E[ X
2
(t )]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t
)
DX (t) D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设 X是n 第n次 （n ）1 抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值, 是X不n 同的随机变量，因而 { Xn构, n成 1一} 随机过程，称为 贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次
抛掷中出现的最大点数，
也{是X一n , n随机1}过程。
例 4 在时间 [0,t]内某地段出现的交通事故次数
2. n维分布函数族
对 任 意 正 整 数 n 可 取 定 t1,t2, ,tn T 则 (X (t1), X (t2 ), , X (tn )) 是一个n 维随机变量，他的分 布函数为
FX (x1, x2 , , xn; t1, t2, , tn )
P( X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn ),
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
东北大学概率论课件
X ∼ N ( µ , C ), Y = AX ∼ N ( Aµ , ACA′)
3. 设(X1,X2, …,Xn)T服从n元正态分布，则
“X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关”
存在，称它为X和Y的k+l阶混合（原点）矩. 若
E {( X − EX )k (Y − EY )l }, k , l = 1, 2, ...
存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩. 协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.
２、多维随机量的期望向量
二维随机变量(X1,X2)T的期望向量定义为
4.4 矩、协方差阵
1、矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k = 1, 2, ...
存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩. 若
E {( X − EX )k }, k = 2, 3, ...
存在，称它为X的k阶中心矩.
若
E ( X kY l ),
k , l = 1, 2, ...
1 1
3、多维随机量的协方差矩阵
将二维随机变量(X1,X2)T的四个二阶中心矩
c11 = E{[ X1 − E ( X1 )]2 } c12 = E{[ X1 − E ( X1 )][ X 2 − E ( X 2 )]} c21 = E{[ X 2 − E ( X 2 )][ X1 − E ( X1 )]}
c22 = E{[ X 2 − E ( X 2 )] }
2
这是一个 对称矩阵
排成矩阵的形式: ⎛ c11 c12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜c c22 ⎟ ⎝ 21 ⎠ 称此矩阵为(X1,X2)T的协方差矩阵.
类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn)T 的协方差矩阵. 若 ci j = Cov ( X i , X j )
3. 设(X1,X2, …,Xn)T服从n元正态分布，则
“X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关”
存在，称它为X和Y的k+l阶混合（原点）矩. 若
E {( X − EX )k (Y − EY )l }, k , l = 1, 2, ...
存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩. 协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.
２、多维随机量的期望向量
二维随机变量(X1,X2)T的期望向量定义为
4.4 矩、协方差阵
1、矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k = 1, 2, ...
存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩. 若
E {( X − EX )k }, k = 2, 3, ...
存在，称它为X的k阶中心矩.
若
E ( X kY l ),
k , l = 1, 2, ...
1 1
3、多维随机量的协方差矩阵
将二维随机变量(X1,X2)T的四个二阶中心矩
c11 = E{[ X1 − E ( X1 )]2 } c12 = E{[ X1 − E ( X1 )][ X 2 − E ( X 2 )]} c21 = E{[ X 2 − E ( X 2 )][ X1 − E ( X1 )]}
c22 = E{[ X 2 − E ( X 2 )] }
2
这是一个 对称矩阵
排成矩阵的形式: ⎛ c11 c12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜c c22 ⎟ ⎝ 21 ⎠ 称此矩阵为(X1,X2)T的协方差矩阵.
类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn)T 的协方差矩阵. 若 ci j = Cov ( X i , X j )
东北大学概率论课件及习题答案
从而(X ,Y ) 0，X ,Y不相关。
关于的符号:
当 > 0时,称X与Y为正相关. 当 < 0时,称X与Y为负相关.
相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里. 即
正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势.
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势.
这 里a是 定 数 ， 我 们 有
E( X ) 1
2
cos tdt 0,E(Y )
1
2
cos(t a)dt 0
2 0
2 0
E( X 2 ) 1 2 cos2 tdt 1 ,E(Y 2 ) 1 2 cos2(t a)dt 1
2 0
2
2 0
2
1 2
1
E( XY ) 2 0
cos t cos(t a)dt cos a 2
都存在，则称矩阵
c11 c12 L c21 c22 L
c1n
c2
n
M M
M
cn1 cn2 L
cnn
为随机变量( X1, X 2 ,L , X n )的协方差矩阵。显然，
上述矩阵是一个对称矩阵。
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如：
0 E{[Y (a0 b0 X )]2} D[Y (a0 b0 X )] [E(Y (a0 b0 X ))]2 故有D[Y (a0 b0 X )] 0，E[Y (a0 b0 X )] 0 由方差的性质4可知，P{Y a0 X b0} 1。
相关系数性质的证明
反之，若存在常数a*,b*,使得P{Y a* X b*} 1， 于是 D[Y (a* X b*)] 0 即得 E{[Y (a* b* X )]2} 0 故有0 E{[Y (a* b* X )]2} min E{[Y (a bX )]2}
关于的符号:
当 > 0时,称X与Y为正相关. 当 < 0时,称X与Y为负相关.
相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里. 即
正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势.
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势.
这 里a是 定 数 ， 我 们 有
E( X ) 1
2
cos tdt 0,E(Y )
1
2
cos(t a)dt 0
2 0
2 0
E( X 2 ) 1 2 cos2 tdt 1 ,E(Y 2 ) 1 2 cos2(t a)dt 1
2 0
2
2 0
2
1 2
1
E( XY ) 2 0
cos t cos(t a)dt cos a 2
都存在，则称矩阵
c11 c12 L c21 c22 L
c1n
c2
n
M M
M
cn1 cn2 L
cnn
为随机变量( X1, X 2 ,L , X n )的协方差矩阵。显然，
上述矩阵是一个对称矩阵。
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如：
0 E{[Y (a0 b0 X )]2} D[Y (a0 b0 X )] [E(Y (a0 b0 X ))]2 故有D[Y (a0 b0 X )] 0，E[Y (a0 b0 X )] 0 由方差的性质4可知，P{Y a0 X b0} 1。
相关系数性质的证明
反之，若存在常数a*,b*,使得P{Y a* X b*} 1， 于是 D[Y (a* X b*)] 0 即得 E{[Y (a* b* X )]2} 0 故有0 E{[Y (a* b* X )]2} min E{[Y (a bX )]2}
《概率论讲义》PPT课件
(2) 规范性 : Fn 1;
(3) 可加性：对互斥事件A, B，有 Fn (A B) Fn (A) Fn (B)
推广 有限可加性： 若A1，A2，, Ak 两两 互不相容, 则
k
F n( Ai ) Fn ( A1) Fn ( A2 ) Fn ( Ak ). i 1
E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. 2={HHH, THH，
HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT }
E3:掷一颗骰子,观察点数.则 3={1,2,3,4,5,6}
1=1 2=2 6=6
E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
4={0，1，2， }
1=0, 2=1, 3=2
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
(二) 概 率
1 统计定义： 频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试 验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A 的概率。
2 公理化定义：设为样本空间，A为事件， 对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满 足如下三条公理：
故有
P(i )
1 n
(n 1,2,, n)
若A {i1,i2 ,,ik }, 则有
P( A)
P(i1 )
P(i2 )
P(ik
)
k n
于是，P
( A)
k n
A包含的样本点数 样本点总数
例１. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,
现从中任取3只,试求:
n1
且Ai Aj . 由概率的可列可加性得
(3) 可加性：对互斥事件A, B，有 Fn (A B) Fn (A) Fn (B)
推广 有限可加性： 若A1，A2，, Ak 两两 互不相容, 则
k
F n( Ai ) Fn ( A1) Fn ( A2 ) Fn ( Ak ). i 1
E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. 2={HHH, THH，
HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT }
E3:掷一颗骰子,观察点数.则 3={1,2,3,4,5,6}
1=1 2=2 6=6
E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
4={0，1，2， }
1=0, 2=1, 3=2
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
(二) 概 率
1 统计定义： 频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试 验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A 的概率。
2 公理化定义：设为样本空间，A为事件， 对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满 足如下三条公理：
故有
P(i )
1 n
(n 1,2,, n)
若A {i1,i2 ,,ik }, 则有
P( A)
P(i1 )
P(i2 )
P(ik
)
k n
于是，P
( A)
k n
A包含的样本点数 样本点总数
例１. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,
现从中任取3只,试求:
n1
且Ai Aj . 由概率的可列可加性得
东北大学概率论与数理统计ppt第三章
3. 二维随机变量的分布函数
(1) 联合分布函数 对任意两个实数 x、y ，二元函数 F (x,y) = P { X ≤ x,Y ≤ y } 称为随机向量 (X,Y) 的分布函数，或者 也称随机变量 X、Y 的联合分布函数。 联合分布函数是随机向量性质的完整刻划， 本质上是两个随机事件交事件的概率。
(3) 联合分布函数的性质 1º F (x,y) 是变量x 和y 的不减函数； 2º 0≤ F (x,y) ≤1，且 对于任意固定的x 和y 分别有， F x, 0, F , y 0,
F , 0, F , 1.
3º F (x,y) = F (x+0,y) , F (x,y) = F (x,y +0) 4º 对于任意x1＜x2,y1＜y2 ,下述不等式成 立， F (x2 ,y2 ) + F (x1 ,y1 ) - F (x1 ,y2 ) - F (x2 ,y1 ) ≥0.
例3.2.6 前面例题中讨论的随机取数问题 X 1 2 3 4 Y 1 2 3 4
pi •
1/4 0 1/8 1/8 1/12 1/12 1/16 1/16
0 0 0 0 1/12 0 1/16 1/16
1/4 1/4 1/4 1/4
p• j
25/48 13/48 7/48 3/48
3. 二维均匀分布
例3.2.2 如果(X,Y) 服从一个矩形内的均匀分布： f(x,y) = 1/ab ，0 ＜x ＜ a 、0 ＜y ＜ b 则 X、Y 仍然还服从均匀分布。 例3.2.3 如果(X,Y) 服从单位圆内的均匀分布，即 f(x,y) = 1/ ， x2 + y2 ＜ 1 则 X、Y 分别都不再服从均匀分布。
pi j、pi • 与 p • j 分别是 ( X ,Y ) 的联合分布 律以及两个边缘分布律，i 、j ≥ 1 。 如果对某个固定的 i ，有 pi • ＞ 0，则定义 pi j p j | i = —— ，对于所有的 j ≥1 pi • 是Y 关于随机事件( X = xi )的条件分布 同理可以定义 X 关于随机事件( Y = yj )的条件分布
高中数学第六章概率2.2离散型随机变量的分布列课件(4)北师大版选择性必修第一册
变式训练3一个口袋里装有5个同样大小的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同
时取出3个,设随机变量X表示取出的球的最小号码,求X的散布列.
解 因为同时取3个球,X表示取出的球的最小号码,故随机变量X可能的取值
为1,2,3.当X=1时,其他两球可在剩余的4个球中任意选取,
C24 3
因此 P(X=1)= 3 = =0.6;
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量.
(4)不是离散型随机变量.水位在(0,29]这一范围内变化,不能按次序一一列
举.
反思感悟 “三步法”判定离散型随机变量
1.根据具体情境分析变量是否为随机变量.
2.由条件求解随机变量的值域.
3.判断变量的取值能否被一一列举出来,若能,则是离散型随机变量;否则,
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求:(1)2X+1的散布列;
(2)P(1<X≤4)的值.
解 由散布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.
(1)由题意可知P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,
P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1,
P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1,
4
5
1
14
P(Y=6)=15,P(Y=8)=15 = 3.则 P(Y>0)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)+P(Y=8)=15.
本 课 结 束
x2
…
xn
…
P(X=xi)
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(2) 实验可能出现的一切结果可事先预知，但不 能事先预知每次实验会出现哪一个结果。
2.样本空间
随机试验 所有可能结果组成的集合称为它的 样本空间，用符号Ω来表示。
样本空间的元素，即实验的每一个可能结果
称为 样本点，用符号 来表示。
样本空间可以是有限 (或无限) 多个离散点， 也可以是有限(或无限)的区间；还可以是二维 或者任意维数的集合。
如 A= { HHH，TTT } ，则 A 的对立事件的 样本点是{ HHT，HTH，HTT，THH，THT， TTH } 即三次出现的结果不全相同。
3. 随机事件的运算规则
符号 集合论含义
Ω 空间或全集
空集
元素
A
子集
A 是 A 的元素
概率论含义
样本空间或必然事件 不可能事件 样本点 随机事件
(1).事件的包含关系
如果 A 发生必然导致 B 的发生， 则称 A 包含在 B 中， 记为 A B 。
即 A 的每个样本点也都属于 B
AB
S
A = { HHH }，三次都是正面， B = { H } ， 第一次是正面。
特别的，对任意 A 有 A S
(2).事件的和运算
得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中至少有一个发生，
A B A B, A BA B
例1.7 某工程队承包建造了三幢楼房，设Ai表“第
i幢楼房经验收合格”,i=1,2,3.试用A1，A2，A3表 示下列事件:
(1) 只有第一幢楼房验收合格
(2) 恰有一幢楼房验收合格
(3) 至少有一幢楼房验收合格
(4) 至多有第一幢楼房验收随机现象； 2. 教材 5 页 第 1，2，3 题。
例1.1抛掷一枚均匀硬币，观察出现的结果。 正面( H ) 或 反面( T )
Ω ={H,T} 例1.2 抛掷一枚均匀硬币三次，观察出现的结果。 正面( H ) 或 反面( T )
Ω ={HHH,HHT,HTH,HTT, THH,THT,TTH,TTT}
思考:样本空间是唯一的吗?
例1.1.2中我们关心的问题是正面出现的次数 Ω ={1，2，3，4}
和事件 A∪B={| ∈ A或B }
AB
S
A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ，
A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S
当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
(3).事件的积运算
得到一个新事件，它的发生表示
§1.2 随机事件的概率
1.2.1 频率与概率 1.频率的定义
描述一个随机事件发生的频繁程度
定义1.2. 在相同的条件下进行了 n 次重复试 验，记nA 是 A 发生的次数 (又称频数) ； 则定义随机事件 A 发生的频率为 fn (A) = —nn—A 。
2. 频率的性质
(1) (非负有界) 0 ≤ fn (A) ≤ 1 ;
《概率论与数理统计》
东北大学数学系
版权所有 违者必究
第1章 随机事件与概率
1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 古典概型与几何概型 1.4 条件概率 1.5 全概率公式与贝叶斯公式 1.6 事件的独立性
§1.1 随机事件 1.1.1样本空间
1.随机试验
无法事先预知结果的试验或者观察
(1) 相同条件下可以重复进行，每次的结果不一 定相同
这些事件中每一个都要发生，
A
B
积事件 A∩B ={| ∈ A且∈ B }
S
A = { H }，B = { H } ； AB = { HH} 前两次都是正面
特别的，对任意的随机事件 A ，
A∩A = A， A∩ = ，A∩S = A
(4).事件的差运算
得到一个新事件。它表示
A
B
(1) 交换律 A∪B = B∪A，AB = BA ；
(2) 结合律 (A∪B)∪C = A∪( B∪C )， (A∩B)∩C = A∩(B∩C)；
(3) 分配律 A∪( B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )， A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C )。
(4) De Morgan(德莫根) 定律
一个发生而另一个不会发生，
差事件 A – B={| ∈ A且∈ B }
S
A = { HH }，B = { T } ； A – B = { HHH} 三次都是正面
A – B = A – AB 特别的，对任意的随机事件 A ，
A – = A， A – S = ， A – A =
(5).事件的互不相容(互斥) 关系
表示这些事件不会同时发生。 A 即它们没有公共样本点
B
S
A∩B=
A = { HHH }，三次都是正面， B = { TTT } ， 三次都是反面。
特别的， 与任意一个事件 A 互斥
(6).对立事件(互逆事件)
得到一个新事件，事件中有且 A A
只有一个发生，记为 A 。
S
A SA A B AB
事件 A 包含样本点
符号 集合论含义
概率论含义
A B A 是 B 的子集 A 发生将导致B 发生
AB = A、B 不相交 A、B 不可能同时发生
A∪B 并集
A、B 至少有一个发生
A∩B 交集
A、B 同时发生
A – B 差集
A 发生而B 不发生
A
补集 (余集)
A 不发生
2. 类似于集合运算，随机事件的运算满足
1.1.2 随机事件及其运算
1.随机事件
可能发生、也可能不发生的事件 随机事件是随机试验结果（样本点）组成的
集合，一般用字母A、B、…表示。
三个特殊的随机事件： 基本事件：仅由一个样本点组成的集合
必然事件：全部样本点组成的集合，即Ω 不可能事件：不包含任何样本点的集合，即
2. 事件的关系与运算
(2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值 附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的 波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。
(2) (规范性) fn (Ω) = 1 ;
(3) (有限可加) 如果 A1，A2，···，Ak 两两互不相容，则： fn ( A1＋A2＋···＋Ak ) = fn (A1)＋fn (A2)＋···＋fn (Ak)
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机 事件来说，在相同的试验次数下，得到的 频率也不一定会相同。
2.样本空间
随机试验 所有可能结果组成的集合称为它的 样本空间，用符号Ω来表示。
样本空间的元素，即实验的每一个可能结果
称为 样本点，用符号 来表示。
样本空间可以是有限 (或无限) 多个离散点， 也可以是有限(或无限)的区间；还可以是二维 或者任意维数的集合。
如 A= { HHH，TTT } ，则 A 的对立事件的 样本点是{ HHT，HTH，HTT，THH，THT， TTH } 即三次出现的结果不全相同。
3. 随机事件的运算规则
符号 集合论含义
Ω 空间或全集
空集
元素
A
子集
A 是 A 的元素
概率论含义
样本空间或必然事件 不可能事件 样本点 随机事件
(1).事件的包含关系
如果 A 发生必然导致 B 的发生， 则称 A 包含在 B 中， 记为 A B 。
即 A 的每个样本点也都属于 B
AB
S
A = { HHH }，三次都是正面， B = { H } ， 第一次是正面。
特别的，对任意 A 有 A S
(2).事件的和运算
得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中至少有一个发生，
A B A B, A BA B
例1.7 某工程队承包建造了三幢楼房，设Ai表“第
i幢楼房经验收合格”,i=1,2,3.试用A1，A2，A3表 示下列事件:
(1) 只有第一幢楼房验收合格
(2) 恰有一幢楼房验收合格
(3) 至少有一幢楼房验收合格
(4) 至多有第一幢楼房验收随机现象； 2. 教材 5 页 第 1，2，3 题。
例1.1抛掷一枚均匀硬币，观察出现的结果。 正面( H ) 或 反面( T )
Ω ={H,T} 例1.2 抛掷一枚均匀硬币三次，观察出现的结果。 正面( H ) 或 反面( T )
Ω ={HHH,HHT,HTH,HTT, THH,THT,TTH,TTT}
思考:样本空间是唯一的吗?
例1.1.2中我们关心的问题是正面出现的次数 Ω ={1，2，3，4}
和事件 A∪B={| ∈ A或B }
AB
S
A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ，
A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S
当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
(3).事件的积运算
得到一个新事件，它的发生表示
§1.2 随机事件的概率
1.2.1 频率与概率 1.频率的定义
描述一个随机事件发生的频繁程度
定义1.2. 在相同的条件下进行了 n 次重复试 验，记nA 是 A 发生的次数 (又称频数) ； 则定义随机事件 A 发生的频率为 fn (A) = —nn—A 。
2. 频率的性质
(1) (非负有界) 0 ≤ fn (A) ≤ 1 ;
《概率论与数理统计》
东北大学数学系
版权所有 违者必究
第1章 随机事件与概率
1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 古典概型与几何概型 1.4 条件概率 1.5 全概率公式与贝叶斯公式 1.6 事件的独立性
§1.1 随机事件 1.1.1样本空间
1.随机试验
无法事先预知结果的试验或者观察
(1) 相同条件下可以重复进行，每次的结果不一 定相同
这些事件中每一个都要发生，
A
B
积事件 A∩B ={| ∈ A且∈ B }
S
A = { H }，B = { H } ； AB = { HH} 前两次都是正面
特别的，对任意的随机事件 A ，
A∩A = A， A∩ = ，A∩S = A
(4).事件的差运算
得到一个新事件。它表示
A
B
(1) 交换律 A∪B = B∪A，AB = BA ；
(2) 结合律 (A∪B)∪C = A∪( B∪C )， (A∩B)∩C = A∩(B∩C)；
(3) 分配律 A∪( B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )， A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C )。
(4) De Morgan(德莫根) 定律
一个发生而另一个不会发生，
差事件 A – B={| ∈ A且∈ B }
S
A = { HH }，B = { T } ； A – B = { HHH} 三次都是正面
A – B = A – AB 特别的，对任意的随机事件 A ，
A – = A， A – S = ， A – A =
(5).事件的互不相容(互斥) 关系
表示这些事件不会同时发生。 A 即它们没有公共样本点
B
S
A∩B=
A = { HHH }，三次都是正面， B = { TTT } ， 三次都是反面。
特别的， 与任意一个事件 A 互斥
(6).对立事件(互逆事件)
得到一个新事件，事件中有且 A A
只有一个发生，记为 A 。
S
A SA A B AB
事件 A 包含样本点
符号 集合论含义
概率论含义
A B A 是 B 的子集 A 发生将导致B 发生
AB = A、B 不相交 A、B 不可能同时发生
A∪B 并集
A、B 至少有一个发生
A∩B 交集
A、B 同时发生
A – B 差集
A 发生而B 不发生
A
补集 (余集)
A 不发生
2. 类似于集合运算，随机事件的运算满足
1.1.2 随机事件及其运算
1.随机事件
可能发生、也可能不发生的事件 随机事件是随机试验结果（样本点）组成的
集合，一般用字母A、B、…表示。
三个特殊的随机事件： 基本事件：仅由一个样本点组成的集合
必然事件：全部样本点组成的集合，即Ω 不可能事件：不包含任何样本点的集合，即
2. 事件的关系与运算
(2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值 附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的 波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。
(2) (规范性) fn (Ω) = 1 ;
(3) (有限可加) 如果 A1，A2，···，Ak 两两互不相容，则： fn ( A1＋A2＋···＋Ak ) = fn (A1)＋fn (A2)＋···＋fn (Ak)
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机 事件来说，在相同的试验次数下，得到的 频率也不一定会相同。