概率论课件东北大学

这些事件中每一个都要发生，
A
B
积事件 A∩B ={| ∈ A且∈ B }
S
A = { H }，B = { H } ； AB = { HH} 前两次都是正面
特别的，对任意的随机事件 A ，
A∩A = A， A∩ = ，A∩S = A
(4).事件的差运算
得到一个新事件。它表示
A
B
1.1.2 随机事件及其运算
1.随机事件
可能发生、也可能不发生的事件 随机事件是随机试验结果（样本点）组成的
集合，一般用字母A、B、…表示。
三个特殊的随机事件： 基本事件：仅由一个样本点组成的集合
必然事件：全部样本点组成的集合，即Ω 不可能事件：不包含任何样本点的集合，即
2. 事件的关系与运算
(1).事件的包含关系
如果 A 发生必然导致 B 的发生， 则称 A 包含在 B 中， 记为 A B 。
即 A 的每个样本点也都属于 B
AB
S
A = { HHH }，三次都是正面， B = { H } ， 第一次是正面。
特别的，对任意 A 有 A S
(2).事件的和运算
得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中至少有一个发生，
A B A B, A BA B
例1.7 某工程队承包建造了三幢楼房，设Ai表“第
i幢楼房经验收合格”,i=1,2,3.试用A1，A2，A3表 示下列事件:
(1) 只有第一幢楼房验收合格
(2) 恰有一幢楼房验收合格
(3) 至少有一幢楼房验收合格
(4) 至多有第一幢楼房验收合格
习题 1.1
1. 给出生活中的 5 个随机现象； 2. 教材 5 页 第 1，2，3 题。
《概率论与数理统计》
东北大学数学系
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第1章 随机事件与概率
1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 古典概型与几何概型 1.4 条件概率 1.5 全概率公式与贝叶斯公式 1.6 事件的独立性
§1.1 随机事件 1.1.1样本空间
1.随机试验
无法事先预知结果的试验或者观察
(1) 相同条件下可以重复进行，每次的结果不一 定相同
一个发生而另一个不会发生，
差事件 A – B={| ∈ A且∈ B }
S
A = { HH }，B = { T } ； A – B = { HHH} 三次都是正面
A – B = A – AB 特别的，对任意的随机事件 A ，
A – = A， A – S = ， A – A =
(5).事件的互不相容(互斥) 关系
(2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值 附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的 波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。
表示这些事件不会同时发生。 A 即它们没有公共样本点
B
S
A∩B=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A = { HHH }，三次都是正面， B = { TTT } ， 三次都是反面。
特别的， 与任意一个事件 A 互斥
(6).对立事件(互逆事件)
得到一个新事件，事件中有且 A A
只有一个发生，记为 A 。
S
A SA A B AB
和事件 A∪B={| ∈ A或B }
AB
S
A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ，
A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S
当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
(3).事件的积运算
得到一个新事件，它的发生表示
事件 A 包含样本点
符号 集合论含义
概率论含义
A B A 是 B 的子集 A 发生将导致B 发生
AB = A、B 不相交 A、B 不可能同时发生
A∪B 并集
A、B 至少有一个发生
A∩B 交集
A、B 同时发生
A – B 差集
A 发生而B 不发生
A
补集 (余集)
A 不发生
2. 类似于集合运算，随机事件的运算满足
(2) (规范性) fn (Ω) = 1 ;
(3) (有限可加) 如果 A1，A2，···，Ak 两两互不相容，则： fn ( A1＋A2＋···＋Ak ) = fn (A1)＋fn (A2)＋···＋fn (Ak)
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机 事件来说，在相同的试验次数下，得到的 频率也不一定会相同。
例1.1抛掷一枚均匀硬币，观察出现的结果。 正面( H ) 或 反面( T )
Ω ={H,T} 例1.2 抛掷一枚均匀硬币三次，观察出现的结果。 正面( H ) 或 反面( T )
Ω ={HHH,HHT,HTH,HTT, THH,THT,TTH,TTT}
思考:样本空间是唯一的吗?
例1.1.2中我们关心的问题是正面出现的次数 Ω ={1，2，3，4}
(1) 交换律 A∪B = B∪A，AB = BA ；
(2) 结合律 (A∪B)∪C = A∪( B∪C )， (A∩B)∩C = A∩(B∩C)；
(3) 分配律 A∪( B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )， A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C )。
(4) De Morgan(德莫根) 定律
§1.2 随机事件的概率
1.2.1 频率与概率 1.频率的定义
描述一个随机事件发生的频繁程度
定义1.2. 在相同的条件下进行了 n 次重复试 验，记nA 是 A 发生的次数 (又称频数) ； 则定义随机事件 A 发生的频率为 fn (A) = —nn—A 。
2. 频率的性质
(1) (非负有界) 0 ≤ fn (A) ≤ 1 ;
如 A= { HHH，TTT } ，则 A 的对立事件的 样本点是{ HHT，HTH，HTT，THH，THT， TTH } 即三次出现的结果不全相同。
3. 随机事件的运算规则
符号 集合论含义
Ω 空间或全集

空集

元素
A
子集
A 是 A 的元素
概率论含义
样本空间或必然事件 不可能事件 样本点 随机事件
(2) 实验可能出现的一切结果可事先预知，但不 能事先预知每次实验会出现哪一个结果。
2.样本空间
随机试验 所有可能结果组成的集合称为它的 样本空间，用符号Ω来表示。
样本空间的元素，即实验的每一个可能结果
称为 样本点，用符号 来表示。
样本空间可以是有限 (或无限) 多个离散点， 也可以是有限(或无限)的区间；还可以是二维 或者任意维数的集合。