2020学年上海市格致中学高二下学期期中数学试题(解析版)

上海市格致中学高二下学期期中数学试题

一、单选题 1．给出下列命题

（1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面； （2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面；

（3）若直线a 与直线b 异面，直线b 与直线c 异面，那么直线a 与直线c 异面； （4）若直线a 与直线b 垂直，直线b 与直线c 垂直，那么直线a 与直线c 平行； 其中正确的命题个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【答案】A

【解析】根据空间直线与平面平行垂直的性质与判定逐个分析即可. 【详解】

(1)如正四面体的任意一定点经过的三条棱均相交,但这三条直线异面.故(1)错误.

(2)如直三棱柱的三条高均互相平行,但这三条直线异面.故(2)错误.

(3)当a 与c 相交且,a c α⊂,b α⊥时可满足直线a 与直线b 异面,直线b 与直线

c 异面,但直线a 与直线c 共面.故(3)错误.

(4)同(3)可知(4)错误. 故选：A 【点睛】

本题主要考查了线面平行垂直的判定,需举出反例证明结论不正确,属于基础题.

2．在复数范围内，有下列命题：

（1）若z 是非零复数，则z z -一定是纯虚数；

（2）若复数z 满足22

||z z =-，则z 是纯虚数；

（3）若复数1z 、2z 满足22

120z z +=，则10z =且20z =；

（4）若1z 、2z 为两个虚数，则1212z z z z +一定是实数； 其中正确的命题个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【答案】A

【解析】(1)设(),,z a bi a b R =+∈再运算分析即可. (2)取0z =分析即可. (3)举出反例分析即可.

(4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈再运算分析即可. 【详解】

(1)设(),,z a bi a b R =+∈则()2z z a bi a bi bi -=+--=,当0,0a b ≠=时可知(1)错误.

(2)取0z =满足22

||z z =-,但z 不是纯虚数.故(2)错误. (3)当11z =、2z i =时也满足22

120z z +=,故(3)错误.

(4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈,

则()()()()121222a bi c di a bi c di z z z a z c bd =+-+-+=++为实数.故(4)正确. 故选：A 【点睛】

本题主要考查了复数的运算运用,需要根据题意找到反例或者设复数的表达式计算分析.属于中档题.

3．已知复数

i z x y =+（,x y ∈R ）满足|2|z -=，则

y

x

的最大值为（ ）

A ．1

2

B ．

3

C ．

2

D 【答案】D

【解析】根据复数的几何意义求出复数i z x y =+的轨迹方程再根据y

x

的几何意义求解即可. 【详解】

因为|2|3z -=,故()23x yi -+=,即()2

2

23x y -+=.又

y

x

的几何意义为(),x y 到()0,0的斜率.故当过原点的直线与()2223x y -+=切于第一象限时

y x 取得最大值.此时设切线的倾斜角为θ则3

sin θ=,易得3πθ=.故y x 的最大值为tan

33

π

=.

故选：D 【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题.

4．某课外定向小组在一次课外定向活动中要经过A 、B 、C 、D 、E 、F 六个打卡点，要求是：（1）地点A 必须在前三次完成，且在A 处打卡后需立即赶到地点E 打卡；（2）地点B 与地点C 不能相邻打卡，则不同的打卡顺序有（ ） A ．36种 B ．44种 C ．48种 D ．54种

【答案】B

【解析】根据题意可分地点A 分别在第1,2,3次打卡三种情况进行计算即可. 【详解】

当地点A 在第1次打卡时, 地点E 在第2次打卡,又地点B 与地点C 不能相邻

打卡,故此时有()

22

422312A A -⨯=种情况.

当地点A 在第2次打卡时, 地点E 在第3次打卡, 又地点B 与地点C 不能相

邻打卡,故此时有1222

2222316A A A A ⨯⨯+⨯=种情况.

当地点A 在第3次打卡时, 地点E 在第4次打卡, 又地点B 与地点C 不能相

邻打卡,故此时有1122

222216C C A A =种情况.

故共有12+16+16=44种情况. 故选：B 【点睛】

本题主要考查了排列组合的综合问题,需要根据题意分三种情况进行求解,根据题中的特殊元素满足的条件分析即可.属于中档题. 二、填空题

5．设复数z 满足()132i z i +=-+,则z =_________. 【答案】13i -.

【解析】利用复数的运算法则首先可得出z ，再根据共轭复数的概念可得结果. 【详解】

∵复数z 满足()132i z i +=-+， ∴32123i

z i i

-++=

=+，∴13z i =+， 故而可得13z i =-，故答案为13i -. 【点睛】

本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．