期末总复习3(近世代数)

Z = (1 ) = { k ⋅ 1 k ∈Z }. 同样可知Z = (-1) .
第二章
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群
循环群与群同构
例2 模m的剩余类加群 Zm = { 0, 1, 2, L, m − 1 }是 一个循环群. 实因, k = k1 , 即 Z m = ( 1 ) .
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第二章
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群
循环群与群同构
例5 设 G = Z 3 = { 0, 1, 2 } 为模3的剩余类加群, G = U 3 = { 1, ε , ε 2 } 为3次单位根的乘法群. 于是, G 的加法表和 G 的乘法表分别为: + 0 1 2 ⋅ 1 ε ε2 σ :G → G 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1
(4)消去律: 对∀a, b, c∈G,
若ab = ac , 则 b = c(左消去律), 若ba = ca , 则 b = c(右消去律).
定理 2.2 在群G中, 方程 ax = b 与 ya = b (对∀a, b∈G ) 总都有解, 且解都唯一.
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第二章
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第二章
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群
群
定理 2.4 设a为群G中阶为m的元. 则 an = e ⇔ m | n .
k n mk m k 设 m | n , 即 n = km . 证明 则 a = a = (a ) = e = e . 反之, 设 a n = e , 且 n = mk + r (0 ≤ r < m ), 则
称群G与群 G 是同构的, 记为 σ : G ≅ G , 简记为 G ≅ G . 定理 2.6 设G = (a)为循环群, 那么下述结论成立: (1)若a的阶无限, 则 G ≅ Z (整数加群), 且 G = { L, a , a , e , a , a , a , L } 无相同元
定义 2.6 (1)设(G, ◦)是一个群, 取定a∈G, 子群H=({a}), 简记为 H=(a),称为由a生成的循环子群. 容易看出:
H = ( a ) = { x x ∈ G, x = an , n ∈ Z }
(2)对群G , 若存在一个元a∈G, 使得G = (a), 则称G 为由a生成的循环群, a称为G的生成元. 例1 整数加群(Z, +) 是由1生成的循环群, 实因, k个 647 48 对任意正整数k, k = k1 = 1 + 1 + L + 1 , − 1 = −1 ⋅ 1 , k个 64447 4448 − k = ( −1) + ( −1) + L + ( −1) , 0 = 0 ⋅ 1 . 因此,
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第二章
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群
例 4 Z 7 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } “星期数”. a = { 7k + a k ∈ Z }, a = 0, 1, L, 6. (1) 规定加法“+”: a + b = a + b , 对 ∀ a , b ∈ Z7 , 则(Z7, +)是交换群. 称之为模7的剩余类加群. (2) 规定乘法“×”: a × b = a × b, 则(Z7, ×)是一个交换么半群. 例 取自然数m, a = { km + a k ∈ Z }, a = 0, 1, L, m − 1.
近世代数
第二章 群
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§2.1 群 定义2.1 设G是有一个二元运算◦ 的非空集合, 满足:
么 半 群
(1)结合律: 对∀a, b, c∈G, 有 (a◦b)◦c = a◦(b◦c) .半群 (2)∃e∈G,使对∀a∈G,有e◦a = a◦e = a (称为e单位元). (3)对∀a∈G, ∃b∈G, 使a◦b = b◦a = e, 记 b = a − 1 ,a的逆元. 则称(G, ◦)是一个群, 简称G是一个群. 且 a◦b 记为ab. 若(G, ◦)是群, 且 (4)对∀a, b∈G, 有 a◦b = b◦a , 交换律 则称(G, ◦)是一个交换群, 或是一个阿贝尔群(Abel群).
e = a n = a mk + r = (a m )k a r = a r , 由 0 ≤ r < m 和|a|= m.
则 r = 0 . 即n = mk. 因此 m | n . 结论 设a是群G中阶为无限的元. 那么: (1)对任意整数m, 只要 m ≠ 0, 就有 a m ≠ e .
m n (2)对∀m, n∈Z, 当 m ≠ n 时, 便有 a ≠ a .
2 1 ε ε 1 2 ε ε ε 1
ε2 ε2 1 ε
0 a 1, 1a ε, 2 a ε 2.
就元素来看, G 与 G 是完全不同的东西. 但从运算的 角度看, 它们极为相似: 都含三个元素, 即存在G到 G 的双射σ , 且σ 保持运算: σ ( a + b) = σ ( a ) ⋅ σ ( b) G 与 G 中单位元相互对应, 逆元的像与像的逆元对应. 即G与 G本质上没有什么区别. 有下面群同构的概念.15
第三章
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Baidu Nhomakorabea
环与域
群
例 1 (Z*, ×)构成一个半群, 但不是一个群. 例 2非零有理数所成的集Q* 按照数的乘法 ×, (Q*, ×) 构成一个群. 例 3 Z, Q, R等集合, 按通常数的加法, (Z, +), (Q, +), (Q, +)都是群. 思考题: Q, R等集合, 按照数的乘法 ×, (Q, ×), (R, ×) 是否是群?
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第二章
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群
子群
定义 2.5 设S是群G的非空子集, 子群
( S ) = I{ H H ≤ G , S ⊆ H } 称为由S生成的子群.
例3 对整数加群(Z, +), 4Z = { 4k | k ∈ Z } 和
群
群
定义 2.3 设G是一个群, e为G中单位元. 对a∈G, (1)若存在使 a n = e 的最小正整数 n, 则称a的阶 (周期) 为n, 记为 |a|= n . (2)若这样的n不存在, 则称a是无限阶的(周期无限的). 注 1 在任意群中, 单位元的阶为1. 注 2 对∀a∈G, 元a-1与a同阶.实因, a-n =(a-1)n =(an)-1, 从而 an = e ⇔ a-n = e . 例 8 加群Z 7 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }中, 每个非0元的阶为7. 例 9 加群 Z 6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }中, 元 2 的阶为3, 实因, 3 2 = 2 + 2 + 2 = 0, 且3是这样的最小正整数. 3的阶为2 .
H = ( a ) = { x x ∈ G, x = an , n ∈ Z }
3 3 次 单位 根 的乘法群 U = { x ∈ C x =1 } 例3 3 2π i 3 4π i 3
= { 1, ε = e
,ε2 = e
} 是一个循环群.实因,
U 3 = ( ε ) = { 1 = ε 0 , ε , ε 2 }.
群
3 U = { x ∈ C x =1 } 例 5 3次单位根的乘法群 3
= { 1, ε = e
2π i 3
,ε2 = e
4π i 3
} 是一个群. 其乘法运算 · 可看 0 = x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1) −1+ 3i , x1 = 1, x2 = ε = 2 −1− 3i 2 x3 = =ε . 2
6Z = { 6 k | k ∈ Z } 都是(Z, +)的子群, 4Z∩6Z 也是
(Z, +)的子群, 并且 4Z I 6Z = 12Z = { 12k | k ∈ Z }.
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第二章
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群
循环群与群同构
第二章
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群
群
群的一些基本性质: 定理2.1 设G是群. 则下述结论成立: (1)单位元e 唯一; (2)每个元的逆元唯一;
−1 −1 −1 −1 −1 a = a ( ) , ( ab ) = b a ; (3)
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第二章
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群
子群
定义 2.4 设H是群G的非空子集, 若H对于G的运算 也构成群, 则称H为G的一个子群. 记作 H ≤ G . 例 1 任意群G都有两个平凡子群 G 和 {e}. 例 2 对加群 Z 6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, H 1 = { 0, 2, 4 } 和 H 2 = { 0, 3 } 都是 Z6 的非平凡子群. 定理 2.5 设H是群G的非空子集, 则下述条件等价: (1) H ≤ G ; (2)对∀a, b∈H, 必有ab∈H, 对∀a∈H, 必有a-1∈H; (3)对∀a, b∈H, 必有ab-1∈H.
Z m = { 0, 1, 2, L , m − 1 }.
Zm上加法运算“+”: a + b = a + b , 则(Zm, +)是交换群. 乘法运算“×”: a × b = a × b, (Zm, ×)是交换么半群.
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代数在编码中的应用
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代数在编码中的应用
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环与域
定义 一个非空集合R 连同两个二元运算 + 与 ◦ 一起, 记为(R, +, ◦), 称为一个环, 倘若它们满足: (1) (R, +)是一个交换群(即加法群). (2) (R, ◦)是一个半群. (3)左分配律: a ( b + c ) = ab + ac 对∀a, b, c∈R 成立. 右分配律: ( b + c )a = ba + ca 其中+称为加法运算, ◦ 称为乗法运算, 加法群(R, +)中 的单位元 0 称为环(R, +, ◦)的零元, 环(R, +, ◦)简记为R. (4)若(R, ◦)有单位元, 称(R, +, ◦)是有单位元的环, 单位元e 也记为1. (5)若(R*, ◦)是交换群, 则称(R, +, ◦)是域.
2 1 ε ε 下表: ⋅ 1 1 ε ε2 2 ε ε 1 ε
ε2 ε2 1 ε
(U3, ◦)是一个交换群 ( 阿贝尔群(Abel群) ).
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第二章
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群
群
定义 2.2 设(G, ◦)是一个群, 若G的元素个数有限, 则称 G为有限群, 否则称G为无限群. 有限群G中元素的个数称为群G的阶, 用|G|表示. 例 6 (Z7, +)是有限交换群. 它的阶为7. a b a , b, c , d ∈ R , 且ad − bc ≠ 0, 例 7 GL2 ( R ) = c d (GL2 ( R ), ×)为无限非交换群. 注1交换群运算用加号“+”表示时, 常记G的单位元为0, 称0为G的零元; 元a的逆元记作-a , 称-a为a的负元. 注2 当群G为交换群时, 常用“+”来表示群的运算, 此时称其为加法群(加群).
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群
循环群与群同构
定义 2.7 设 ( G , ⋅ ), ( G , o )是两个群, 若存在G到 G 的 双射σ , 满足: 对∀a, b∈G, 均有 σ (a ⋅ b) = σ ( a ) o σ ( b) (保持运算) 则称σ是群G到群 G上的一个同构映射. 此时,