高二数学竞赛班一试讲义(精品文档)

高二数学竞赛班一试讲义

第七讲 复数与单位根

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一、知识要点：

1．复数模、共轭

复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式121212z z z z z z -≤±≤+ 模与共轭的联系2

zz z = 2．复数的几何（向量）意义

z x yi =+在复平面上对应点(,)Z x y ，也对应着向量

OZ

复数z 满足z a z b -=-，轨迹表示复数,a b 对应的点,A B 组成的线段的中垂线

复数z 满足0z z r -=，轨迹表示以0z 为圆心，r 为半径的圆

复数z 满足,1,z a z b R λλλ+

-=-≠∈，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3．复数的三角形式(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，

θ是复数的辐角，[0,2)θπ∈时称为复数的辐角主值

运算法则：11111(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，22222(cos sin ),0z r i r θθ=+≥ 乘法121212121(cos()sin()),0z z r r i r θθθθ=+++≥ 除法

11

1212122

(cos()sin()),0z r i r z r θθθθ=-+-≥ 乘方(cos sin ),0n n

z r n i n r θθ=+≥

开方(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，

z 有n 个n 次方根：22sin ),0,1,2,...,1k k k z i k n n n

πθπθ

++=

+=- 4．单位根：记222cos sin i

n e i n n

πππζ==+，其中i 为虚数单位，多项式1n

x -有n 个互不 相等的根2,,,(1)n

ζζζ⋅⋅⋅=，它们称为n 次单位根。易于看到，在复平面上，n 个n 次 单位根对应的点恰是单位圆的内接正n 边形的顶点。 5．n 次单位根的性质：

（1）设k 和l 是整数，则k l ζζ=的充分必要条件是(mod )k l n ≡

（2）任意两个n 次单位根的乘积仍是一个n 次单位根；任意一个n 次单位根的倒数也是一 个n 次单位根。

（3）设k 是整数，(,)1k n =，则()(1,2,,)k l

l n ζ=⋅⋅⋅恰给出全体n 次单位根。 证明：因为(,)1k n =，所以,2,,k k nk ⋅⋅⋅是模n 的一个完系

6．因2,,,(1)n ζζζ⋅⋅⋅=是1n

x -的n 个不同的根，故有11(1)()()n n x x x x ζζ--=--⋅⋅⋅-，

又)1)(1(12

21+++⋅⋅⋅++-=---x x x x x x n n n ，所以

（1）)())((11

2221----⋅⋅⋅--=+++⋅⋅⋅++n n n x x x x x x x ζζζ

（2）011

2=+⋅⋅⋅+++-n ζ

ζζ

7．3

10x -=的根为2

1,,x ωω=，（可设122

ω=-+）

，有 （1）2

10ωω++=，（2）3313221,,n

n n ω

ωωωω++===，（3）

221

,1ωωωω

==--

二、例题精析

例1．（1） z 为模大于1的复数，155cos sin 22

i

z z θθ+=-，则z= ． （2）（13北约6）模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则

BC CA AB

A B C

++=++( ) A. 1

2

- B. 1 C. 2 D. 无法确定

例2．（2006年上海交大）已知1z =，k 是实数，z 是复数，求21z kz ++的最大值。

例3．若关于x 的二次方程2220x x -+=，2

210x mx ++=的解在复平面上对应的四个不 同的点共圆，求实数m 的取值范围。

例4．设M 是单位圆12

2=+y x 上的动点，点N 与定点A(2, 0)和点M 构成一个等边三角 形的顶点，并且M →N →A →M 成逆时针方向，当M 点移动时，求点N 的轨迹。

例5．已知单位圆的内接正n 边形1,,n A A ⋅⋅⋅及圆周上一点P ，求证：2

1

2n

k k PA n ==∑。

例6．设n 是正整数，证明：

（1）0

3

6

9

01(22cos )33n n n n n n S C C C C π=++++⋅⋅⋅=

+ （2）14710

11(2)(22cos )33n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+

（3）25811

21(4)(22cos )33

n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+

例7．(2011年清华金秋营)求sin

n πsin n π2sin n

n π

)1(-的值。

三、精选习题

1．（13华约5）若复数

11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应1

1w

+的点，则点(),Z x y 的轨 迹是（ ）

(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧

2．关于()x x C ∈的一元二次方程2

10x x m ++-=有一根模长为1，则m =___________

3．若虚数ω满足3

1ω=，则21________n

n ω

ω++=，其中n 是正整数。

4．已知12122,3,4z z z z ==+=，则12

________z

z =。

5．（2006年清华）求最小正整数n ，使得1()

2n I =+

为纯虚数，并求出I ．