高二数学竞赛班一试讲义(精品文档)
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义_几个初等函数的性质
几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：n m n mn nn m nm nnaa a aa a a a1,1,,1====--。
3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。
当0<a <1，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数。
4．对数的性质（M>0, N >0）；1）a x=M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ；3）log a （NM）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).5. 函数y =x +xa（a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[),a -和(]a ,0。
（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a <b , f (x )在[a , b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )=0在（a ,b ）上至少有一个实根。
二、方法与例题 1．构造函数解题。
例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。
高中数学竞赛讲义第十章 直线与圆的方程【讲义】
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
高二数学竞赛班一试讲义
p 0,1 的递推式求通项，可两边同除以 p n1 转化为形
如 an 1 an q n 的递推式。
Aan B Ax B 的分式递推式：记特征函数 f x 的不动点为 , ，当 Can D Cx D
时，
an 1 成等比数列。 成等差数列；当 时， an an
4
5
高二数学竞赛讲义
数列和与通项
1
参考答案
一、例题分析 例 2． （1）设 an 1 n 1 p an n ， , 为常数， 用待定系数法求得 1, 0 ， n 1 所以 an 1 ( n 1) 2(an n) ，故 an n 成等比数列， an n (a1 1) 2
2
an 3 (n N ) ，则 a20 3an 1
。 ． ．
．
2．数列 {an } 中， a1 1 ， an 1 10an ，则通项 an 3．已知数列满足 a1 1 ， an 1 an
an an 1 ，则 a n =
4．已知数列 {an } 中， a1 1 ， an an 1 2n ，你有多少种方法求 an ？
3
4
5．已知数列 {an } 满足： a1 1 ， an 1
3an 8 ，求通项 a n 。 2an 3
6．数列 {a n } 满足 a1 2, a2 5, an 2 3an 1 2an ，求数列 {a n } 的通项公式 an 。
7．已知数列 {xn } 满足 x0 0, xn 1 xn a b 4axn , n 0,1, 2, ，其中 a, b 是给定的
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛试题汇编一二《集合与简易逻辑》《复数》讲义
1. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定 （A ）所有实数的平方都不是正数 （B ）有的实数的平方是正数（C ）至少有一个实数的平方不是正数 （D ）至少有一个实数的平方是正数2. 集合{11}P x x =-<{1},Q x x a =-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤ 3. 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知全集U R =，集合112xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680M x x x =-+≤，图中阴影部分所表示的集合为 （A ）{}0x x ≤（B ）{}24x x ≤≤ （C ）{}024x x x <≤≥或 （D ）{}024x x x ≤<>或 5. 已知集合{}23100A x x x =--≤，{}121B x m x m =+≤≤-，当A B =∅ 时，实数m 的取值范围是(A) 24m << (B) 24m m <>或(C) 142m -<< (D) 142m m <->或6. 已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，“20a b +>”是“()0f x >恒成立”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件7. 已知{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭， 则A B = .8. 设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{},C a b a A b B =+∈∈，则集合C 中所有的元素之和为 . 9. 设AB 是两个非空的有限集，全集U A B = 且U 中含有m 个元素，若()()U U C A C B 中含有n 个元素，则A B 中含有元素的个数为 . 10. 设{}2A x x a =-<，{}2230B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 . 11.设{}20122013log log A x x x =<，{}2B x x ax a x =-+< 且A B ⊆，则a 的取值范围是 . 12设{}0,1,2,3A =，{}2,2B x x A x A =-∈-∉，则集合B 的所有元素之和为 .13. 已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = .14. 已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 .15. 已知i 是虚数单位，2342013i i i i i+++++= .16. i 是虚数单位，23420131z i i i i i=++++++ ，复数z 的共轭复数记为z ，则z z = . 17. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ） (A) 22z i =+ (B) 22z i =--(C) 22,z i =-+或22z i =- (D) 22,z i =+或22z i =--UNM高中数学竞赛试题汇编一《集合与简易逻辑》《复数》讲义。
高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列【讲义】
第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
高二数学竞赛班一试讲义
高二数学比赛班一试讲义第 3 讲函数与反函数班级姓名一、知识重点：1、函数与映照的定义函数：若 A， B 都是非空数集，依对应法例 f，若对 A 中的随意一个数 x，在 B 中都有独一一个数 y 与之对应，则称 f: A→ B 为 A 到 B 上的一个函数。
A 称为它的定义域，会合 { f(x)|x∈A} 叫函数的值域。
（ 1）映照，对于随意两个会合A，B，依对应法例f，若对 A 中的随意一个元素x，在 B 中都有独一一个元素与之对应，则称f: A→ B 为一个映照。
（ 2）单射，若f: A→ B 是一个映照且对随意x, y∈ A, x y, 都有 f(x) f(y)则称之为单射。
（ 3）满射，若f: A→ B 是映照且对随意y∈ B，都有一个x∈A 使得 f(x)= y，则称 f: A→B 是A 到 B 上的满射。
（ 4）一一映照，若f: A→B 既是单射又是满射，则叫做一一映照，只有一一映照存在逆映射，即从 B 到 A 由相反的对应法例f-1组成的映照，记作 f-1 : A→ B。
2、反函数若函数 f: A→ B（往常记作 y=f(x)）是一一映照，则它的逆映照f-1 : A→B 叫原函数的反函数，往常写作 y=f-1( x). 这里求反函数的过程是：在分析式y=f(x)中反解 x 得 x=f-1 (y)，而后将 x, y 交换得 y=f-1 (x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
比如：函数 y 2a x 2 1 的反函数是y log a x 1 2 .2定理 1 互为反函数的两个函数的图象对于直线y=x 对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就对于直线y x 对称。
定理 2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
二、例题精析2292例 1．（ 1）求函数f x9x 312x 2x29x2的最小值．4（ 2）若实数x, y知足x2y225 ，求函数 f (x, y)8y6x50 8y 6x 50的最大值．例 2．求函数 f ( x)x210x 9x268x256 的最大值．例 3． 方程x 122011 2011 一共有个解 .例 4． k 是 数， f ( x)x 4kx 21随意三个 数 a,b, c 存在一个以 f (a), f (b), f (c)x 4 x 2 1 三 的三角形，求k 的取 范 .例 5．（ 2014 ）（Ⅰ）求 ： yf ( g(x)) 的反函数y g 1 ( f 1 ( x)) ； （Ⅱ） F ( x)f ( x) ， G(x)f 1 ( x) ，若 F (x)G 1(x) ，求 ：f (x) 奇函数．例 6．（ 2014 ） 已知 nN ， xn ，求 ： n n(1x )ne xx 2．n例 7． u 是方程 x 33x 10 0 ⋯ ①的根， f ( x) 是系数 有理数的二次多 式，且 1 (u 2 u 2), f ( ) u ，求 f (0) ．（ 2010 ）2三、优选习题1．已知f ( x), g( x), h( x)为一次函数，若对实数x 知足1, x1f (x)g (x)h( x)3x2,1x 0 ，则 h( x) 的表达式为（）。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2 如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x=，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lgx的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx2=2lgx。
由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设px=有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p xx x⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0pxx p px xx x p x⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043pxppx x⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件24(4)4448(2)33p ppp--≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是43p≤≤。
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竞赛讲座01－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A 是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。
高中数学竞赛讲义_立体几何
立体几何一、基础知识公理1 一条直线。
上如果有两个不同的点在平面。
内．则这条直线在这个平面内，记作：a⊂a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。
即不共线的三点确定一个平面．推论l 直线与直线外一点确定一个平面．推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义 2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。
高中数学竞赛讲义_整数问题
整数问题一、常用定义定理1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。
b 不能被a 整除，记作a b.2.带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≢r<|a|，当r=0时a|b 。
3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|； u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2； u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3； …u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1； u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ； u k =q k u k+1.4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x 0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k ak aap p p n 2121=，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。
6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。
7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。
8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p≡a(modp).9．若(a,m)=1，则)(m aϕ≡1(modm),ϕ(m)称欧拉函数。
(word完整版)高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义-涂色问题
§29涂色问题涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。
另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。
有些问题，本来就属于图论的内容。
有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。
这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。
1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.2．线段染色和点染色(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例题讲解1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。
过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。
每一个矩形又被对角线BD 分成两部分。
将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。
证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。
2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。
试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。
4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。
求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。
5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。
将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。
高中数学竞赛标准讲义
高中数学竞赛标准讲义高中数学竞赛是对学生数学知识和解题能力的一次全面考验，也是培养学生逻辑思维和数学兴趣的重要途径。
在参加数学竞赛的过程中，学生需要掌握一定的数学知识和解题技巧，才能取得好成绩。
本讲义将从高中数学竞赛的题型、考点和解题技巧等方面进行详细介绍，希望能够帮助广大学生更好地备战数学竞赛。
一、高中数学竞赛题型。
高中数学竞赛的题型主要包括选择题、填空题、解答题和证明题。
选择题是考查学生对基本概念和定理的理解和掌握程度，填空题则更加注重学生对知识的灵活运用能力，解答题和证明题则需要学生具备较强的逻辑思维和解题技巧。
在备战数学竞赛的过程中，学生需要根据不同题型的特点有针对性地进行练习和训练，做到对各种题型都能够熟练应对。
二、高中数学竞赛考点。
高中数学竞赛的考点主要包括数列、函数、方程不等式、三角函数、数学归纳法、排列组合、数论等内容。
这些考点是数学竞赛中经常出现的题型，也是学生备战竞赛时需要重点关注和加强练习的内容。
在备战数学竞赛的过程中，学生需要对这些考点进行系统性的学习和掌握，做到能够熟练运用于解题中。
三、高中数学竞赛解题技巧。
在解高中数学竞赛的题目时，学生需要具备一定的解题技巧。
首先，要注意审题，理清题意，明确问题所求；其次，要善于归纳总结，发现问题的规律，找到解题的突破口；再次，要注重细节，避免粗心导致的错误；最后，要善于思考，灵活运用所学知识，多角度思考问题，找到解题的最佳方法。
通过不断的练习和总结，学生可以逐渐提高解题的能力和技巧，取得更好的成绩。
四、高中数学竞赛备考建议。
在备战高中数学竞赛时，学生需要有计划地进行复习和练习。
首先，要对各个考点进行系统性的复习，巩固基础知识；其次，要针对不同题型进行有针对性的练习，提高解题能力；再次，要多参加模拟考试，检验备考效果，发现问题并及时调整学习计划；最后，要保持良好的心态，相信自己的能力，不断提升自己的数学水平。
通过科学合理的备考方法，相信每位学生都能够在数学竞赛中取得优异的成绩。
高二数学竞赛培训讲义6-10套
映射与函数的最值一、基础知识 1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →. 2．单射若:f A B →是一个映射且对任意,x y A ∈，x y ≠，都有()()f x f y ≠，则称之为单射.3．满射若:f A B →是一个映射且对任意y B ∈，都有一个x A ∈，使得()f x y =，则称:f A B →是A 到B 上的满射.4．一一映射一般地，设A ，B 是两个集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射.（即:f A B →既是单射又是满射）只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则1f-构成的映射，记作：1:f B A -→.5．函数设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射:f A B →就叫做从A 到B 的函数，记做()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象集合A 叫做函数()f x 的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B ⊆. 6．反函数若函数:f A B →是一一映射，则它的逆映射1:f B A -→叫原函数的反函数，通常记作1()y f x -=.二、基础训练1、在19×93的方格纸上画出主对角线，则它穿过_________个单位方格的内部.【解】主对角线穿过一个方格时，就会在方格内部留下一小段线段，因此每个方格对应于其内的这条小线段.这个网格共有20条竖线和94条横线，主对角线和所有竖线与横线共有112个交点，这112个交点可组成111条小线段.2、函数y =的最大值是_________，最小值是_________【解】导数法.y '==故y 在51[4,]12上单调增，在51[,5]12上单调减，从而max 2y =，min 1y =. 3、设定义在整数集上的函数()f x 满足52000()[(8)]2000n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，则(1993)f =_____【解】(1993)[(19938)](1996)[(19968)](1999)f f f f f f f =+==+=[(19998)](2002)1997f f f =+==.4、求函数y =.AB【解】y =x 轴上点(,0)x到点(1,1)-和(1,1)的距离之和，故值域为)+∞.三、典型例题1、设集合{|011,}M x x x =≤≤∈Z ，集合{(,,,)|,,,F a b c d a b cd M =∈，映射:f F Z →使得(,,,)fa b c d a bc d→-，已知(,,,)39,(,,,)66f fu v x y u y x v →→，求,,,x y u v 的值. 【解】由f 的定义和已知数据，得3966(,,,)uv xy uy xv u v x y M -=⎧⎨-=∈⎩，将两式相加，相减并分别分解因式得()()105y v u x +-=，()()27y v u x -+=，显然，0,0u x y v -≥-≥，在,,,{|011,}x y u v x x x ∈≤≤∈Z 的条件下，011u x ≤-≤，105[]12211y v +≤+≤，即1022y v ≤+≤，但()|105y v +，可见1()15y v +=， 2()21y v +=，对应可知1()7u x -=，2()5u x -=.同理，由011y v ≤-≤，27[12211u x +≤+≤知322u x ≤+≤， 又有1()3u x +=，2()9u x +=.对应地1()9y v -=，2()3y v -=，于是有以下两种可能：（Ⅰ）15,7,9,3;y x u x u x y v +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围，因此（Ⅱ）无解. 2、设,x y R +∈，求u =.【解】将已知式变形为：u =222cos30x y xy ++-⋅.构造等腰直角三角形AOD ，如图，||||OA OD ==,OB OC 是AOD ∠的三等分线，||OB x =，||OC y =，则||||||||u AB BC CD AD =++≥= 由等面积法可解得，当3x y ==.3、求函数3422(21)x x y x x -=++的值域.【解法一】由于函数为奇函数，故只需考虑0x ≥的情形.（1）当01x ≤<时，由均值不等式有22222111()8118x x x y x x-+=≤+=++； （2）当1x =时，0y =；（3）当1x >时，222222211111||()2118118x x x x x x y x x x x +--+=⋅⋅≤+=++++，当1x =所以原函数的值域为11[,]88-.【解法二】222121411x x y x x-=⋅⋅++，令tan ,[0,)2x παα=∈，则111sin 4[,]888y α=∈-. 4、若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求u =.【解法一】易证222222222333(),(),()444x y xy x y y z yz z y z x zx x z ++≥+++≥+++≥+，所以[()()()]u x y y z z x ≥=+++++=13x y z ===时取等号）【解法二】设11()2z x y yi =+，21()2z y z zi =++，31()2z z x xi =+，所以123123||||||||u z z z z z z =++≥++【解法三】设1()2A x y y +，31())22B x y z y z +++，3(())2C x y z x y z ++++，则u OA AB BC OC =++≥5、在圆周上给定21(3)n n -≥个点，从中任选n 个点染成黑色，试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n 个给定的点. 【证明】若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第1n -个点都是白点，因而对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点.这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有2n 个白点（包括重复计数）.又因为每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有n 个不同的白点，这与共有21n -个点矛盾，故命题成立.6、把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平行四边形的个数.【解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形. 把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接B ′C ′. 将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交， 连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，{(,,,)|12}B i j k l i j k l n =≤<<<≤+.把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：:f A B →，下面我们证明f 是A 与B 的一一对应.事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同. 所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组(,,,)i j k l ，12i j k l n ≤<<<≤+，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有42()()n card A card B C +==.加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C四、课后作业金版奥数教程高一分册P109-116同余（一）知识、技能、方法 一、同余的概念及性质定义：设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 用m 除所得的余数相同，则称a ，b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）；若所得的余数不相同，称a ，b 对模m 不同余，记为a ≡b （mod m ）.例如，15≡7（mod 4），－23≡12（mod 7）.当0b m ≤<时，a ≡b （mod m ），则称b 是a 对模m 的最小非负剩余.同余有如下两种等价定义法：①若m|a －b ，则称a 、b 对模m 同余；②若a =b+mt （t ∈Z ），则称a 、b 对模m 同余.性质：（1）0(mod )|a m m a ≡⇔； （2）(mod )a a m ≡（反身性）(mod )(mod )a b m b a m ≡⇔≡（对称性） (mod )(mod )(mod )a b m a c m b c m ≡⎫⇒≡⎬≡⎭（传递性）（3）若(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡，则① (mod )a c b d m ±≡±； ② (mod )ac bd m ≡.（4）若(mod ),0,1,2,,i i a b m i n ≡=，则1010(mod )nn n n a x a x a b x b x b m +++≡+++.特别地，设10()()n n i f x a x a x a a Z =+++∈，若(mod )a b m ≡，则()()(mod )f a f b m ≡.（5）若(mod )ac bc m ≡，则(mod)(,)ma b m c ≡.特别地，又若(,)1m c =，则(mod )a b m ≡. 这个性质说明同余式两边的同一非零因数，不能像等式那样“约去”，只有当这非零因数与模互质时，才可“约去”.（6）(mod )a b m ≡，而|(0)d m d >，则(mod )a b d ≡. （7）设(mod )a b m ≡，①若0c >，则(mod )ac bc mc ≡；②d 为a 、b 、m 的任一公约数，则(mod )a b m d d d≡. （8）若1(mod )a b m ≡，2(mod )a b m ≡且12(,)1m m =，则12(mod )a b m m ≡. （9）若(mod )a b m ≡，则(,)(,)a m b m =.（10）每一个整数a 恰与0，1，…，m -1这m 个数中的某一个对模m 同余. 二、剩余类和完全剩余系（1）剩余类：设m ∈N*，把全体整数按其对模m 的余数r （0≤r ≤m －1）归于一类，记为r k ，每一类r k （r=0，1，…，m －1）均称模m 的剩余类（也称为同余类）.根据定义，剩余类具有如下性质：①0121m Z k k k k -=⋃⋃⋃，其中()i j k k i j φ⋂=≠；②对任一数n ∈Z ，有惟一的0r 使0r n k ∈； ③对任意的,a b ∈Z ，,(mod )r a b k a b m ∈⇔≡. （2）完全剩余类：设011,,,m k k k -是模m 的（全部）剩余类，从每个r k 中任取一个数r a ，这m 个数110,,,-m a a a 组成的一个组称为模m 的一个完全剩余系，简称完系.显然，模m 的完全剩余系有无穷多个，但最常用的是下面两种：① 非负数最小完全剩余系：0，1，2，…，m －1； ② 绝对值最小完全剩余系：它随m 的奇偶性不同而略有区别.当21m k =+时为,(1),,1,0,1,,(1),k k k k -----（对称式）当2m k =时为(1),(2),,1,0,1,(1),k k k k ------或,(1),,1,0,1,,(1)k k k ----- 由定义不难得到如下判别完全剩余系的方法：定理一：m 个整数m a a a ,,,21 是模m 的一个完系⇔当i j ≠时，i a ≡)(mod m a j . 定理二：设（b ，m ）=1，c 为任意整数，若12,,,n a a a 为一个完系，则12,,,m ba c ba c ba c +++也是模m的一个完全剩余系.特别地，任意m 个连续整数构成模m 的一个完全剩余系.（3）欧拉函数：设m 为一正整数，用记号()m ϕ表示0，1，…，m －1中与m 互质的数的个数，把()m ϕ称为欧拉函数.（4）简化剩余系：如果一个模m 的剩余类r k 中任一数与m 互质，则称r k 是与模m 互质的剩余类；在与模m 互质的每个剩余类中任取一个数（共)(m ϕ个）所组成的数组，称为模m 的一个简化剩余系. 定理三: 12(),,,m a a a ϕ是模m 的简化剩余系(,)1i a m ⇔=且(mod )(,,1,2,())i j a a m i j i j m ϕ≡≠=.（判别方法）定理四：在模m 的一个完全剩余系中，取出所有与m 互质的数组成的数组，就是一个模m 的简化剩余系. （构造方法） 定理五：设12(),,,m a a a ϕ是模m 的简化剩余系，若（k ，m ）=1，则)(21,,,m ka ka ka ϕ 也是模m 的简化剩余系.三、一次同余方程（1）设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++为x 的整系数多项式，同余式()0(mod )f x m ≡，0(mod )n a m ≡叫做一元n 次同余方程；若c 使得()0(mod )f c m ≡成立，则(mod )x c m ≡叫做同余方程)(mod 0)(m x f ≡的一个解.（2）)(mod m b ax ≡（其中m | a ）称为一次同余方程. 定理一：若(,)1a m =，则)(mod m b ax ≡有一个解.定理二：若(,)1a m d =>，d|b ，则)(mod m b ax ≡无解，其中)(mod 0m a ≡.定理三：若(,)1a m d =>，则)(m o d m b ax ≡有d 个解.并且，若)(m o d 1m x βα=的一个解为1(mod )x r m ≡，则d 个解为：1,,1,0),(mod 1-=+≡d k m km r x ，其中.,,1dm m db da ===βα定理四：对同余方程组⎩⎨⎧≡≡).(mod ),(mod 2211m c x m c x 记.],[,),(2121M m m d m m ==①若d | 21c c -，则此同余方程组无解；②若21|c c d -，则此同余方程组有对模M 的一类剩余解.四、模m 的阶定义：设m>1是一个固定的整数，a 是与m 互素的整数，则存在整数k ，1≤k ＜m ，使得)(mod 1m a k ≡，我们将具有这一性质的最小正整数（仍记为k ）称为a 模m 的阶.性质：①设(,)1a m =，k 是a m 模的阶，ν,u 是任意整数，则(mod )u va a m ≡的充要条件是(mod )u k ν≡.特别地，)(mod 1m a u≡的充分必要条件是k | u .②设a m a ,2),(=模m 的阶为k ，则数列,,,,32 a a a 模m 是周期的，且最小正周期是k ，而k 个数k a a a ,,,2 模m 互不同余.③设(,)1a m =，则a 模m 的阶整除欧拉函数()m ϕ．特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1.（二）例题分析例1、求使21n+能被3整除的一切自然数n .例2、求2999最后两位数字.例3、求证31980+41981能被5整除.例4、证明：正整数a 是9的倍数的充要条件是a 的各位数码之和是9的倍数.例5、设101010a =，计算某星期一后的第a 天是星期几？例6、求所有的素数p ，使241p +与261p +也是素数.例7、求满足|125|7m n -=的全部正整数,m n .例8、连续写出19到80的两位数，问：所得到的数192020……780能被1980整除吗？例9、试判断282726197319721971++能否被3整除？例10、求出所有满足8x +15y =17z 的正整数三元组（x ，y ，z ）.例11、证明：对于任意的非负整数n ，19×8n +17是合数.例12、设p 是一个素数，11k p ≤≤-，试证：1(1)(mod )k kp C p -≡-.例13、设a 和m 都是正整数，a >1，证明：).1(|-m a m ϕ例14、设m,a ,b 都是正整数，m>1，则.1)1,1),(-=--b a b a m m m例15、设1n >，证明：21n-不能被n 整除.数列的求和一、知识回顾本节主要内容有S n 与a n 的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等． 1.重要公式①1+2+…+n =21n (n +1) ②12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1) ③13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)22.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3. 在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项：等)!1(1!1)!1(1④,ctg2ctg 2sin 1③,!)!1(!②,111)1(1①+-=+-=α-+=⋅+-=+n n n ααn n n n n n n n 5.错项相消法6.并项求和法二、基本训练1、数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1(21nn n a a S +=,则n a =______.2、（200 6天津）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，dc b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 ．3、（2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 _______4、(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
高二数学奥赛讲义
高二数学奥赛讲义一、整除1. 整数的简单性质（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，还有其他正因数的数叫做合数，1既不是素数也不是合数.{正整数}={1}⋃{素数}⋃{合数}.（2）互素；如果两个整数p 与q 没有共同的素因数，则称p 与q 互素，记为（p ，q ）=1. （3）设a 为大于1的整数，则a 的大于1的最小因数一定是素数.（4）设a 为大于1p ，有p ？q （表示a 不被p 整除），则a 是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为2()n n Z ∈的形式；不能被2整除的数称为奇数，可表示为21()n n Z -∈的形式.（2）奇数与偶数的性质：①奇数≠偶数；②奇数个奇数之和为奇数，偶数个奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；③两数和与两数差的奇偶性相同；④积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；⑤偶数与任何整数的乘积都为偶数；⑥n 个偶数的积为2n 的倍数. 3. 带余除法若,a b 是两个整数，0b ≠，则一定有且只有两个整数q ，r ，使得(0)a bq r r b =+≤<成立. 0r =时，称b 整除a ，记作|b a .（1）若两个整数m 与n 被b 除的余数相同，则();|()m n b m n b --反之,若，则m 与n 被b 除的余数相同；（2）n 个连续整数中有且仅有一个是n 的倍数；（3）设b 是整数，则任意()p p b >个整数中，至少有两个数被b 除的余数相同.4. 整除的性质设d 为,a b 的最大公因数，记为(,);,a b d m a b =是的最小公倍数，记为[,]a b m =，整除有以下性质； （1）若|,|,|a b b c a c 则； （2）若|,0,|a b c ac bc ≠则； （3）若|,|,,,|;c a c b m n c ma nb +则对任何有 （4）若(),1,|,|a b a bc ab c =则（5）若(,)1,|,|,|a b a c b c ab c =则 （6）若(,)1,(,)(,)a b ac b c b ==则（7）若(,),(,)()a b d a b ta d t =+=则为整数； （8）若0,c >则(,)(,)a b c ac bc ⋅=；（9）若0,c >且c 是,a b 的公因数，则(,),;a b a b c c c⎛⎫=⎪⎝⎭（10）[,a b ](,)a b a b ⋅=⋅；（11）*||()n n b a b n N a ⇔∈；（12）若p 为素数，1 1.(,)1,|n a p p a -==则例1.证明：对于任何自然数n k 和,数3410(.)2k k n f n k n ++=都不能分解成若干个连续的正整数之积. 例2. 设127,,a a a 是1，2，，7的一个排列，求证：127(1)(2)(7)p a a a =--- 必是偶数.例3. 若三个大于3的素数,,a b c 满足关系式25,9|.a b c a b c +=++求证:例4. 试求出所有的正整数,,a b c ，其中1,(1)(1)(1)1a b c a b c abc <<<----使得是的因数.例5. 设a 是正整数，3100,23a a <+并且能被24整除，求所有这样的a 的个数.二、同余 定义设m 是一个给定的正整数，如果两个整数,a b m 用除所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记为(mod )a b m = 同余的基本性质（1）反身性：(mod )a a m =.（2）对称性：若(mod )a b m =，则(mod )b a m =.（3）传递性：若(mod ),(mod ),(mod )a b m b c m a c m ===则. （4）若(mod ),(mod ),(mod )a b m c d m a c b d m ==±=±则 （5）若(mod ),(mod ),(mod )a b m c d m ac bd m ===则 （6）若*(mod )(mod )()nna b m a b m n N ==∈则.（7）若(mod ),0,(mod),(,)1,(mod ).(,)mac bc m c a b c m a b m c m =≠===则当时有 （8）若*(mod ),|,,(mod )a b m n m n N a b n =∈=则 （9）若*12(mod ),1,2,,,(mod[,,])()i n a b m i n a b m m m n N ===∈（10）完全平方数模4同余于0或1；模8同余于0，1或4；模3同余于0或1；模5同余于0，1或-1，完全立方数模9同余于0，1或-1，整数的四次方模16同余于0，1. 例1. 求2004818(736)+的个位数字是？例2.若*n N ∈，且2131n n ++与都是完全平方数，那么n 必为40的倍数.例 3. 设12100{1,2,3,,200},{,,,},E G a a a E G ⊂≠==且具有下列两条性质；（1）对任何1100,i j ≤<≤恒有201;i j a a +≠ （2）100110080i ai ==∑.证明：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定值.例4. 写出所有的由3个素数组成公差为8的等差数列.三、抽屉原理 抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法. 定理1 把1mn +个元素分成n 个集合，其中必有一个集合至少含有1m +个元素. 定理1还有无限形式，但不管是有限还是无限形式，我们考虑的总是元素多的集合，其实元素少的集合有时也很有用，所以抽屉原理还有另一种形式； 定理2 把1mn -个元素分成n 个集合，其中必有一个集合至多含有1m -个元素. 我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题，关键是构造合适的抽屉.例1. 设θ为无理数.证明：对任意的正整数n ，存在整数,(||)p q q n ≤，满足1.q p nθ-<例2. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,,50}M =的任意35元子集至少存在两个不同的元素a.b满足.a b n a b n +=-=或例3. 设有六个点，每两点之间用红色或蓝色线段相连，且任意三点不共线，求证：总可以找到三个点，以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色.例4. 在ABC ∆中，求证：3cos cos cos .2A B C ++≤变式：在ABC ∆中，求证：2229sin sin sin .4A B C ++≤四、客斥原理 客斥原理，又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义，即先计算一个较大集合的元素的个数，再把多计算的那一部分去掉.它由英国数学家J.J.西尔维斯特首先创立.当12,,,n A A A 是有限集合A 的一个分划，即12,,n i j A A A A A A ==∅⋃⋃⋃⋂这时我们有12.n A A A A =+++这实际上是组合计数中的加法原理.但当i j A A =∅⋂时，又该如何计数A 呢？这就有下面的所谓的容斥原理.容斥原理设12,,,n A A A 为集合A 的有限子集，其元素个数分别为1A ，2A ，，n A ，则12111n i i j i j k i j ni j ni j k nA A A A A A A A A ≤≤≤≤≤≤≤<<≤=-+⋃⋃⋃⋂⋂⋂∑∑∑1(1)n --+-12.n A A A ⋂⋂⋂由集合知识，有1212,n n A A A A A A =⋂⋂⋂⋃⋃⋃从而容斥原理还有另一种表现形式1212111(1)n n i i j i j k ni ni j ni j k nA A A A A A A A A A A A A ≤≤≤<≤≤<<≤=-+-++-⋂⋂⋂⋂⋂⋂⋂⋂⋂∑∑∑容斥原理可用数学归纳法证明.对于n=2的情形，可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。
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高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根班级 姓名一、知识要点：1．复数模、共轭复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式121212z z z z z z -≤±≤+ 模与共轭的联系2zz z = 2．复数的几何（向量）意义z x yi =+在复平面上对应点(,)Z x y ，也对应着向量OZ复数z 满足z a z b -=-，轨迹表示复数,a b 对应的点,A B 组成的线段的中垂线复数z 满足0z z r -=，轨迹表示以0z 为圆心，r 为半径的圆复数z 满足,1,z a z b R λλλ+-=-≠∈，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3．复数的三角形式(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，θ是复数的辐角，[0,2)θπ∈时称为复数的辐角主值运算法则：11111(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，22222(cos sin ),0z r i r θθ=+≥ 乘法121212121(cos()sin()),0z z r r i r θθθθ=+++≥ 除法111212122(cos()sin()),0z r i r z r θθθθ=-+-≥ 乘方(cos sin ),0n nz r n i n r θθ=+≥开方(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，z 有n 个n 次方根：22sin ),0,1,2,...,1k k k z i k n n nπθπθ++=+=- 4．单位根：记222cos sin in e i n nπππζ==+，其中i 为虚数单位，多项式1nx -有n 个互不 相等的根2,,,(1)nζζζ⋅⋅⋅=，它们称为n 次单位根。
易于看到，在复平面上，n 个n 次 单位根对应的点恰是单位圆的内接正n 边形的顶点。
5．n 次单位根的性质：（1）设k 和l 是整数，则k l ζζ=的充分必要条件是(mod )k l n ≡（2）任意两个n 次单位根的乘积仍是一个n 次单位根；任意一个n 次单位根的倒数也是一 个n 次单位根。
（3）设k 是整数，(,)1k n =，则()(1,2,,)k ll n ζ=⋅⋅⋅恰给出全体n 次单位根。
证明：因为(,)1k n =，所以,2,,k k nk ⋅⋅⋅是模n 的一个完系6．因2,,,(1)n ζζζ⋅⋅⋅=是1nx -的n 个不同的根，故有11(1)()()n n x x x x ζζ--=--⋅⋅⋅-，又)1)(1(1221+++⋅⋅⋅++-=---x x x x x x n n n ，所以（1）)())((112221----⋅⋅⋅--=+++⋅⋅⋅++n n n x x x x x x x ζζζ（2）0112=+⋅⋅⋅+++-n ζζζ7．310x -=的根为21,,x ωω=，（可设122ω=-+），有 （1）210ωω++=，（2）3313221,,nn n ωωωωω++===，（3）221,1ωωωω==--二、例题精析例1．（1） z 为模大于1的复数，155cos sin 22iz z θθ+=-，则z= ． （2）（13北约6）模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC CA ABA B C++=++( ) A. 12- B. 1 C. 2 D. 无法确定例2．（2006年上海交大）已知1z =，k 是实数，z 是复数，求21z kz ++的最大值。
例3．若关于x 的二次方程2220x x -+=，2210x mx ++=的解在复平面上对应的四个不 同的点共圆，求实数m 的取值范围。
例4．设M 是单位圆122=+y x 上的动点，点N 与定点A(2, 0)和点M 构成一个等边三角 形的顶点，并且M →N →A →M 成逆时针方向，当M 点移动时，求点N 的轨迹。
例5．已知单位圆的内接正n 边形1,,n A A ⋅⋅⋅及圆周上一点P ，求证：212nk k PA n ==∑。
例6．设n 是正整数，证明：（1）036901(22cos )33n n n n n n S C C C C π=++++⋅⋅⋅=+ （2）1471011(2)(22cos )33n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+（3）2581121(4)(22cos )33n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+例7．(2011年清华金秋营)求sinn πsin n π2sin nn π)1(-的值。
三、精选习题1．（13华约5）若复数11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应11w+的点，则点(),Z x y 的轨 迹是（ ）(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧2．关于()x x C ∈的一元二次方程210x x m ++-=有一根模长为1，则m =___________3．若虚数ω满足31ω=，则21________nn ωω++=，其中n 是正整数。
4．已知12122,3,4z z z z ==+=，则12________zz =。
5．（2006年清华）求最小正整数n ，使得1()2n I =+为纯虚数，并求出I ．6．设P 为椭圆14922=+y x 上任意一点，以OP 为边长作矩形OPQR （字母顺序按逆时针 方向），使OP OR 2=，求动点R 的轨迹．7．（2011年卓越）i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，求2221z z z i-+-+的最大值。
8．复平面内区域A 由复数z 对应的点Z 组成，若40z 与40z的实部与虚部都在0与1之间， 求区域A 的面积。
9．(2013北大）求265522i ieeππ++的值。
10．若复数z 满足1z =，且存在负数a ，使得2220z az a a -+-=，求a 的值。
11．证明：048121(22cos)24nn nnnn C C C π-+++⋅⋅⋅=+。
高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根例1．（1）【解】21155cos sin 22z zz iz z θθ++⇔==-两边取模21555cos sin 222z i z θθ+⇔=-=得1(2z =舍去)或2，故5=2(cos sin )55cos sin 22z i i θθθθ=+-（2）【解】方法一：2zz z =由题知1AA BB CC ===,所以2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C++++++=⨯++++++, 也即2BC AC AB BC AC AB BC AC AB A B C A B C A B C++++++=⨯++++++ 313B A C A AB CB AC BCAB AC B A BC C A CB++++++==++++++,故选B. 方法二：由题知1AA BB CC ===,所以1A A =，1B B =，1C C=例4．300300(cos sin )AM i AN=+⋅300300(cos sin )()OM OA i ON OA -=+⋅-1222()x y i x yi -''+-=+-222x y i +--+=+x y ''==221x y ''+=221+=整理得22230x y x +-++=即22(1)(1x y -+-= 例5．证明：设222cossin i nei n n πππζ==+，1,,n A A ⋅⋅⋅对应的复数是211,,,,n ζζζ-⋅⋅⋅。
又设P 对应的复数为cos sin i z e i θθθ==+，1112221()()(1)nn n n k kkk k k k k k k PA z z z z z z ζζζζζ-----=====-=--=--+∑∑∑∑11122n n n kk k k k z z z n n ζζ----====--+=∑∑∑例6．在二项展开式01(1)n n nn n n x C C x C x +=++⋅⋅⋅+中，依次取21,,x ωω=（设122i ω=-+），则0122012220122(1)(1)n nnS S S S S S S S S ωωωωωω⎧++=⎪++=+⎨⎪++=+⎩相加得2032(1)(1)2(cos sin )(cos sin )3333nnnnn n S i i ππππωω=++++=+++- 得036901(22cos )33n n n n n n S C C C C π=++++⋅⋅⋅=+ 在0122012220122(1)(1)nnn S S S S S S S S S ωωωωωω⎧++=⎪++=+⎨⎪++=+⎩中从上到下各式分别乘以21,,ωω，求得 22111(2)(2(1)(1))(22cos )333n n n n n S πωωωω-=++++=+从上到下各式分别乘以21,,ωω，求得22211(4)(2(1)(1))(22cos )333n n n n n S πωωωω-=++++=+例7．解：设ni n ππεsincos+=（i 为虚数单位）,则1,)1(22,,-n εεε 为012=-nx的根。
k k k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，sin n πsin n π2sin nn π)1(-=)1(2111)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεε =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεε =1)1(2422)1()1)(1(-----n n εεε ,而)())(()1(224222----n x x x εεε =12)2(2)1(2+++--x x x n n ,n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεε12)1(sin 2sin sin -=-∴n n n n n n πππ2．实系数一元二次方程，0∆<时有两个共轭的虚数根，且根的情况一般要分实数、虚数讨论。
【解】1) 504m ∆≥⇔≥时，方程有两个实根，其中有一根为1或-1 代入得11m =-或2) 504m ∆<⇔>时，方程有两个共轭的虚根，由韦达定理2112zz m z m =-==⇒=综上所述：1m =±或26．椭圆1361622=+y x 8．【解】设,,z x yi x y R =+∈040040404040x z x yi y ≤≤⎧=+⇒⎨≤≤⎩ 2222222240014040404001xx yx y i yz x y x y x y⎧≤≤⎪+⎪=+⇒⎨++⎪≤≤⎪+⎩2222040040400400x y x y x x y y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⇒⎨+-≥⎪⎪+-≥⎩ 由线性规划知图中阴影部分即为区域A故面积为22314020120020042ππ⨯-=- 11．在二项展开式01(1)n n nn n n x C C x C x +=++⋅⋅⋅+中， 依次取1,1,,x i i =--（4次单位根），则相加得0484()2(11)(1)(1)n n n nn n n C C C i i +++⋅⋅⋅=+-+++-2222(cossin )2(cos sin )4444nn nnn i i ππππ=+++- 所以048121(22cos)24nn n n n n C C C π-+++⋅⋅⋅=+。