2-3 平稳随机过程的功率谱及高阶谱

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Q = A < E[ X 2 (t )] >
1 = lim T →∞ 2T a2 = 2 a2 a2 ∫−T ( 2 − π sin 2ω0t )dt
T
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功率谱密度和复频率面
σ =0
ω
S X (ω )
s = σ + jω
s = jω ω = − js
只是记号相同，函数形式不同） S X (s ) （只是记号相同，函数形式不同） ω2 + 4 jω 例：S X (ω ) = 4 ω + 10ω 2 + 9
∞
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ dω
2
2. 证明： 证明：
E[ X X (T , ω ) ] S X (ω ) = lim T →∞ 2T
= lim
1 E[ X X (T , ω ) X * (T , ω )] X T → ∞ 2T
T T 1 jωt1 E[∫ X (t1 )e dt1 ∫ X (t2 )e− jωt2 dt2 ] = lim −T −T T →∞ 2T 1 T T = lim E[ X (t1 ) X (t 2 )]e − jω ( t 2 − t1 ) dt1dt 2 T →∞ 2T ∫−T ∫−T 1 T T = lim R X (t 2 − t1 )e − jω ( t 2 − t1 ) dt1dt 2 T → ∞ 2T ∫−T ∫−T
∫
+∞
有限个极值 有限个断点
−∞
x(t ) dt < ∞
• x(t )信号的总能量有限，即 信号的总能量有限，
∫
+∞
−∞
x(t ) dt < ∞
2
断点为有限 值
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3
的傅里叶变换为： 则 x(t ) 的傅里叶变换为：
X X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
−∞ ∞
其反变换为： 其反变换为：
2T
-T
t1
τ
u = −2T − τ
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u = −2T + τ
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则
2T −τ 1 1 2T S X (ω ) = lim RX (τ )e − jωτ du { ∫0 dτ ∫ 2T − +τ 2 T → ∞ 2T
0 2T +τ 1 + ∫− 2T dτ ∫− 2T −τ RX (τ )e − jωτ du} 2
能量谱密 度
5
2.3.1 随机过程的功率谱密度
t ≤T ≤ ∞ t >T
应用截取函数
x (t ) xT (t ) = 0
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为有限值时， 当x(t)为有限值时，xT (t ) 的傅里叶变换存在 为有限值时
X X (T , ω ) = ∫ xT (t )e − jωt dt
1 x (t ) = 2π
∫
∞
−∞
X X (ω )e jωt dω
的频谱密度，也简称为频谱。 称 X X (ω )为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含： 包含：振幅谱 相位
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谱
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2 帕塞瓦等式
1 ∞ [ x(t )] dt = ∫ x(t ) ∫ X X (ω )e jωt dωdt ∫−∞ −∞ 2π −∞
−∞ ∞
RX (τ ) =
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π∫
1
∞
−∞
S X (ω ) cos ωτdω
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单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX (τ ) 的自相关函数 由于实平稳过程 是实偶函数， 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。 单边功率谱。
S X (ω )
T 2
1 Q = lim T → ∞ 2T
1 ∞ ∫−T E[ X ( t )]dt = 2π ∫− ∞ S X (ω )dω
注意： 注意： （1）Q为确定性值，不是随机变量 为确定性值， ） 为确定性值 为确定性实函数。 （2）S X (ω )为确定性实函数。 ）
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2
∞ 1 ∞ = X X (ω ) ∫ x(t )e jωt dtdω −∞ 2π ∫−∞ 1 ∞ = X X (ω )X * (ω )dω X 2π ∫−∞
∞
∞
1 = 2π
∫
∞
−∞
ຫໍສະໝຸດ Baidu
X X (ω ) dω
2
即
1 ∫−∞ [ x(t )] dt = 2π
2
∞
∫
∞
−∞
X X (ω ) dω
2
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设 则 所以： 所以：
τ = t 2 − t1 u = t 2 + t1 τ +u u −τ t2 = t1 = 2 2
1 ∂ ( t1 , t 2 ) J= = 2 ∂ (τ , u) − 1 2
u = 2T + τ
T -2T
1 2 =1 1 2 2
u 2T
t2
u = 2T − τ
况下，第二项为0) 况下，第二项为0)
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推论：对于一般的随机过程 推论：对于一般的随机过程X(t)，有： ，
S X (ω ) = ∫ A < RX (t , t + τ ) > e − jωτ dτ
−∞ ∞
平均功率为： 平均功率为：
1 T → ∞ 2T lim
T −
1 A < RX (t , t + τ ) >= 2π
↔ 功率谱密度。 功率谱密度。
1 维纳 辛钦定理 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对 是平稳的， 若随机过程 是平稳的 可积， 可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换， 氏变换，即：
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S X (ω ) = ∫ RX (τ )e − jωτ dτ
−∞
ω = − js
− ( s 2 − 4) S X (s) = 4 s − 10s 2 + 9
=
-3
-2
-1
0
1
2
3
σ
− ( s + 2)( s − 2) ( s + 1)( s − 1)( s + 3)( s − 3)
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功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： 确定信号： x (t ) ↔ X ( jω ) 随机信号： 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
2T − τ 1 1 2T = lim{ ∫ dτ ∫ RX (τ )e − jωτ du} − 2T + τ 2 T →∞ 2T − 2T 1 2T = lim (2T − τ )RX (τ )e − jωτ dτ T →∞ 2T ∫− 2T 2T τ = lim ∫ (1 − ) R X (τ )e − jωτ dτ
两个结论： 两个结论：
1 <.> 1 Q = A < E[ X ( t )] > A < . >= lim T → ∞ 2T 表示时间平均 若平稳
2
Q = A < E[ X 2 ( t )] >= E[ X 2 ( t )]＝RX ( 0)
1 2 Q= 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )dω
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2 Aβ β 2 +ω2
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例：设X (t )为随机相位随机过程
X (t ) = A cos(ω 0 t + θ )
A 其中， 为随机相位， 其中， , ω0为实常数 θ 为随机相位，在 (0,2π ) 均 匀分布。 匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随 机过程， 机过程，自相关函数为
A2 R X (τ ) = cos(ω0 t ) 2
T 2
除以2T 除以 取集合平均
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再取极限， 令 T → ∞ ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在 非负
2
1 lim T → ∞ 2T
E[ X X (T , ω ) ] 1 ∞ dω ∫−T E[ X ( t )]dt = 2π ∫− ∞ Tlim →∞ 2T
T 2
功率Q 功率
2 S X (ω ) ω ≥ 0 G X (ω ) = ω<0 0
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−β τ 例：平稳随机过程的自相关函数为RX (τ ) = Ae ， A>0， β > 0 ，求过程的功率谱密度。 求过程的功率谱密度。 ，
−β τ
解：应将积分按＋τ 和－τ 分成两部分进行 应将积分按＋
T → ∞ − 2T
2T
= ∫ RX (τ )e
−∞ ∞
∞
− jωτ
lim dτ − T →∞ ∫− 2T
2T
τ
2T
R X (τ )e − jωτ dτ
R τ 因此， (注意T → ∞，2T → 0 且 → ∞ ， X (τ ) → 0 。因此，通常情
τ
= ∫ RX (τ )e − jωτ dτ
−∞
a2 = E{ [1 + cos(2ω 0 t + 2Φ )]} 2 2 π 2 a a 22 = + ∫ cos(2ω 0 t + 2ϕ )dϕ 0 π 2 2
π a2 a2 = + sin( 2ω0 t + 2ϕ ) 02 2 2π a2 a2 = − sin 2ω0 t 2 π
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1 E[ X ( t )] = 2π
2
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∫− ∞ S X (ω )dω
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∞
ω 例：设随机过程 X (t ) = a cos(π 0t + Φ) ，其中a和ω0 皆是实常数， 皆是实常数， Φ 是服从（0， ） 2 上均匀分布的随
机变量， 的平均功率。 机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。 解： E[ X 2 (t )] = E[a 2 cos 2 (ω 0 t + Φ )]
∞ ∞
0 0
∞
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例：设随机过程 Y (t ) = aX (t ) sin ω0t其中 a, ω0 皆为 ， X 常数， 常数， (t )为具有功率谱密度 S X (ω )的平稳随机 过程。 的功率谱密度。 过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： Y (t , t + τ ) = E[Y (t )Y (t + τ )] R
S X (ω ) = ∫ Ae e
−∞ 0
βτ
− jωτ
dτ + ∫ Ae − βτ e − jωτ dτ
0
∞
=A
e
( β − jω )τ 0
β − jω
+A
−∞
e − ( β − jω ) 0
− ( β − jω )τ
∞
1 1 = A + β − jω β + jω
=
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∞ −∞ T
= ∫ x(t )e − jωt dt
−T
应用帕塞瓦等式
1 ∞ 2 ∫−T x (t )dt = 2π ∫−∞ X X (T , ω ) dω 1 T 2 1 ∞ 2 ∫−T x (t )dt = 4πT ∫−∞ X X (T ,ω ) dω 2T 2 1 T 2 1 ∞ E ∫ x (t )dt = E ∫−∞ X X (T ,ω ) dω −T 4πT 2T
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S 功率谱密度： 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度： X (ω ) 描述了随机过程 的 功率在各个不同频率上的分布—— S X (ω )称为 功率在各个不同频率上的分布 随机过程X(t)的功率谱密度。 的功率谱密度。 随机过程 的功率谱密度
对 S X (ω ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 的整个频率范围内积分， 的整个频率范围内积分 便可得到X(t)的功率。 的功率。 便可得到 的功率 对于平稳随机过程， 对于平稳随机过程，有：
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ dω
2 ∫−T E[ X ( t )]dt =
1 ∞ ∫− ∞ S X (ω )dω 2π
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成 辛钦定理表示成： 数的性质，又可将维纳 辛钦定理表示成：
S X (ω ) = 2∫ RX (τ ) cos ωτdτ
2.3 平稳随机过程的功率谱及高阶谱
本节内容
2.3.1 随机过程的功率谱密度 2.3.2 功率谱密度的性质 2.3.3 联合平稳随机过程的互功率谱密度 2.3.4 高阶统计量与高阶谱
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2.3.1 随机过程的功率谱密度
预备知识
1 付氏变换 是时间t的非周期实函数 设x(t)是时间 的非周期实函数，且x(t) 满足 是时间 的非周期实函数， • x(t )在(−∞,+∞)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即 绝对可积，
。 求 X (t )的功率谱密度 S X (ω )
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不是有限值， 解：注意此时∫－∞ RX (τ ) dτ 不是有限值，即不 可积， 的付氏变换不存在， 可积，因此 RX (τ )的付氏变换不存在，需要 函数。 引入 δ 函数。
A2 S X (ω ) = ∫ RX (τ )e − iωτ dτ = ∫ cos(ω0τ )e − iωτ dτ −∞ −∞ 2 A2 ∞ e jω τ + e − jω τ − jωτ e jω0τ + e − jω0τ = e dτ (cos(ω0τ ) = ) ∫−∞ 2 2 2 A2 ∞ jω0τ = （e + e − jω0τ）e − jωτ dτ 4 ∫−∞ πA2 = [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] (e jω0τ ↔ 2πδ (ω − ω0 )) 2