数列的概念与简单表示法讲义

题组一 常识题
1.[教材改编] 已知数列的前几项为 1,-232,352,-472,则该数列的一个通项公式是
.
2.[教材改编] 已知数列 an 满足 an=(n-λ)2n(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数λ的取值范围
是
.
3.[教材改编] 在数列 an 中,若 a1=1,an=1+an1-1(n≥2),则 a3=
3.【考向 2】设函数 f x =
1 2
x
-1,x
< 2,数列{an}的通项公式为 an=f
n
(n∈N*),若数列
an
是递
(k-2)x,x ≥ 2,
减数列,则实数 k 的取值范围为 ( )
A. -∞,2
B.
-∞,
13 8
C.
-∞,
7 4
D.
13 8
,2
4.【考向 1】数列
an
的通项公式为 an=(2n+1)
像,或利用求函数最值的方法,求出 f x 的最值,进而求出数列的最大(小)项;
(2)通过通项公式 an研究数列的单调性,利用
an an
≥ ≥
aann-+11, (n≥2)确定最大项,利用
an an
≤ ≤
aann-+11, (n≥2)
确定最小项.
(3)比较法:
若有 an+1-an=f(n+1)-f(n)>0
)
A.an=n+2 1
B.an=n1-1
C.an=n+n1 D.an=n+11
3.【考向 3】 在数列 an 中,a1=3,且点 Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线 4x-y+1=0 上,则数列 an 的通项
公式为
.
4.【考向 1】已知数列 an 满足 an+1-an=2n,且 a1=1.求数列 an 的通项公式.
.
6.已知 Sn=2n+3,则 an=
.
课堂考点探究
探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式
1
(1)数列
an
的前几项为1,3,11,8,21,…,则此数列的通项公式可能是
22 2
(
)
A.an=5n2-4
B.an=3n2-2
C.an=6n2-5
D.an=102n-9
(2)数列3,-5,7,- 9 ,…的一个通项公式为( )
式题 (1)数列15,24,35,48,63,…的一个通项公式为
.
2 5 10 17 26
(2)数列1,-4,9,-16,…的一个通项公式可以为
.
3 57 9
探究点二 由 an 与 Sn 求通项公式 an
2 (1)已知数列 an 的前 n 项和 Sn=2n+n2+1(n∈N*),则通项公式为 an=
式题 (1)已知数列 an 的前 n 项和 Sn=13n2+23,则通项公式为 an=
.
(2)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2,则数列 an 的通项公式为 an=
.
探究点三 数列的函数特征 考向 1 求最大(小)项
3
(1)
已知 an=nn--
2017(n∈N*),则在数列
已知数列{an}的前
n
项和
Sn
,则
an=
S1,n = 1, Sn-Sn-1,n ≥
2.
常用结论
求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用
an an
≥ ≥
an-1, an+1
(n≥2,n∈N*)或
an an
≤ ≤
an-1, an+1
(n≥2,n∈N*)求解,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解.
6
在数列
an
中,a1=1,an=nn22-1an-1(n≥2,n∈N*),则数列
an n2
的前 n 项和 Tn=
.
[总结反思] 形如 an+1=an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时,常用累乘法求出
an与
a1
n
的关系式,进而得到
an
的通项公式.
考向 3 形如 an+1=pan+q,求 an
2 4 8 16
A.an=(-1)n·2n2+n 1
B.an=(-1)n·2n2+n 1
C.an=(-1)n+1·2n2+n 1
D.an=(-1)n+1·2n2+n 1
(3)数列 an 的前几项为 7,77,777,7777,…,则此数列的通项公式可能是
.
[总结反思] 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:
.
(2)已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=12,则通项公式为
an=
.
[总结反思]
已知 Sn 求 an 的常用方法是利用 an=
S1,n = 1, Sn-Sn-1,n
≥
2转化为关于
an
的关系式,再求通
项公式.主要分三个步骤完成:
(1)先利用 a1=S1,求得 a1;
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联 想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过 常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于 n 为一次 递增或以 2n,3n 等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同, 对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替 出现的情况,可用(-1)n 或(-1)n+1,n∈N*来处理.
考向 4 形如 an+1=BaAna+n C(A,B,C 为常数),求 an
8
已知数列
an
满足
a1=1,an+1=ana+n 2(n∈N*),若
bn+1=(n-2λ)·
1 +1
an
(n∈N*),b1=-32λ,且数列 bn
是递增数列,则实数λ的取值范围是 ( )
A.
λ<4
5
B.λ<1
C.λ<3
2
D.λ<2
wk.baidu.comy轴
一系列孤立的点表示
an= an+1= f(an) ;an+1=f(an, an-1)
3.数列的分类 分类原则 类型
递增数列 单调性 递减数列 n∈N*
常数列
周期性 周期数列
有界数列 其他标准
摆动数列
4. an 与 Sn 的关系
满足条件
an+1=an 对 n∈N*,存在正整数常数 k,
使 an+k = 存在正数 M,使 从第 2 项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项
2016
an
的前 100 项中最小项和最大项分别是
(
)
A.a1,a100
B.a100,a44
C.a45,a44
D.a44,a45
(2)已知数列
an
的通项公式为 an=(n+1)
10 11
n(n∈N*),则该数列的最大项是第
项.
[总结反思] 求数列的最大项与最小项的常用方法:
(1)将数列视为函数 f x 当 x∈N*时所对应的一列函数值,根据 f x 的类型作出相应的函数图
数列的概念与简单表示法讲义
1.数列的有关概念 有关概念 数列 数列的项
数列的通项 通项公式 前 n 项和
定义
按照
排列的一列数
数列中的
数列{an}的第 n 项 an
数列{an}的第 n 项 an 与
之间的关系式
数列{an}中,Sn =
2.数列的表示法 表示法 列表法
图像法
通项公式 公式法
递推公式
定义
通过表格表示 n 与 an 的对应关系 用平面直角坐标系内的
1 2
n
-1,则数列
an
的最大项为
.
5.【考向 2】若 an=2n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N*,且数列{an}为递增数列,则实数λ的取值
范围为
.
探究点四 由数列的递推关系式求通项公式
考向 1 形如 an+1=an+f n ,求 an
5
若数列
an
满足
a1=1,且对于任意的
n∈N*都有
an+1=an+n+1,则a11
3
[总结反思] 形如 an+1=BaAna+n C(A,B,C 为常数)的递推关系式求通项公式时,一般对递推式两边同
时取倒数,化为 1 +x=C 1 + x 的形式,构造公比为C的等比数列 1 + x ,通过求 1 + x 的通项
an+1
A an
A
an
an
公式从而求出{an}的通项公式,其中用待定系数法求 x 是关键.
.
题组二 常错题 ◆索引:忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集 N*或其子集{1,2,…,n};求数列前 n 项 和 Sn 的最值时忽视项为零的情况;根据 Sn 求 an 时忽视对 n=1 的验证.
4.在数列-1,0,19,18,…,nn-22中,0.08 是它的第
项.
5.在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前 n 项和 Sn 取最大值时,n=
强化演练 1.【考向 2】已知 a1=2,an+1=2nan,则数列 an 的通项公式 an 等于 ( )
n2-n+1
A.2 2
n2+n+1
B.2 2
n2-n+2
C.2 2
n2-n-2
D.2 2
2.【考向 4】已知数列{an}满足 a1=1,an+1=a2na+n2 (n∈N*),则数列{an}的通项公式为 (
强化演练
1.【考向 1】已知数列{an}的通项公式为 an=
-
2 3
n
,则数列{an}的最大项为
(
)
A.a1
B.a2 C.a3 D.a4
2.【考向 1】已知数列{an}的通项公式为 an=
4 9
n-1
-
2 3
n-1
,则数列{an}
(
)
A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项又没有最小项
或
an>0
时,an+1>1
an
,则 an+1>an,则数列{an}是递增数列,所以数列{an}
的最小项为 a1=f(1);
若有 an+1-an=f(n+1)-f(n)<0
或
an>0
时,an+1<1
an
,则 an+1<an,则数列{an}是递减数列,所以数列{an}
的最大项为 a1=f(1).
考向 2 单调性的应用
+ 1 +…+ 1 等于
a2
a2017
(
)
A.2017
2018
B.2016
2017
C.4032
2017
D.2107
1009
[总结反思] 形如 an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时,常用累加法求出 an-a1 与 n 的关系式,进而得到 an 的通项公式. 考向 2 形如 an+1=an·f n ,求 an
7 已知数列 an 满足 an+1=3an+2,且 a1=2.
(1)求证:数列 an + 1 是等比数列;
(2)求数列 an 的通项公式.
[总结反思] 形如 an+1=pan+q 的递推关系式求通项公式时,一般先构造公比为 p 的等比数列 {an+x},即将原递推关系式化为 an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列{an+x}的通项公式,最后求{an} 的通项公式.
(2)用 n-1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系式,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2,n∈N*时的 通项;
(3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2,n∈N*时 an 的表达式,如果符合则可以把数列的
通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写.
4 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=3n(λ-n)-6,若 an 为递减数列,则λ的取值范围是 ( )
A. -∞,2
B. -∞,3 C. -∞,4
D. -∞,5
[总结反思] 数列的单调性是数列最重要的性质之一,它在求参数的取值范围、证明不等式及 恒成立等问题中有着广泛应用.应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常 用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用 比较法判断.