《集合与常用逻辑用语》单元测试题(理科)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是(C )A ．M ＝NB ．M ≠⊃NC ．N ≠⊂MD ．M ∩N ＝∅2．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则¬p 是¬q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p ：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( C )A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或¬q ”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“¬p 且¬q ”为假5．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为( B )A ．∅B ．{1}C ．[0，＋∞)D ．{(0,1)}6．下列结论错误的．．．是( C ) A ．命题“若p ，则q ”与命题“若¬q ，则¬p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题7．命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，则(C )A ．p 是假命题，¬p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1B ．p 是假命题，¬p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1C ．p 是真命题，¬p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1D ．p 是真命题，¬p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥18．“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0”的否命题是(D )A ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0.B ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0.C ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0.D ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0.9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }与B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }，则正确表示集合A 、B 关系的韦恩(Venn)图是( A )10．若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则f (x )＞g (x )(x ∈R )成立的充要条件是( D )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＞g (x 0)B ．有无穷多个x ∈R ，使得f (x )＞g (x )C ．∀x ∈R ，f (x )＞g (x )＋1D ．R 中不存在x 使得f (x )≤g (x )二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知命题甲：a ＋b ≠4，命题乙：a ≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的________条件． 既不充分也不必要12. 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为 m －n13．函数f (x )＝log a x －x ＋2(a >0且a ≠1)有且仅有两个零点的充要条件是___ a >1_____．14. 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则r 的取值范围是___⎝⎛⎭⎫0，125_____． 15．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题： ①曲线C 不可能为圆；②若1<t <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是___ ③④___(写出所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．[解析] 由6x ＋1－1≥0知，0<x ＋1≤6， ∴－1<x ≤5，A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2·4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．17．(本小题满分12分) 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．解析： (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则S ＝P .由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10，∴P ＝[－2,10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ，∴S ＝[1－m,1＋m ]．要使P ＝S ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9. ∴这样的m 不存在． (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则满足S P .由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10且不同时取等号，∴m ≤3. 综上可知，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．18．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3a ＋1<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a<0}． (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52<0}＝{x |2<x <52}，B ＝{x |x －94x －12<0}＝{x |12<x <94}．∴(∁U B )∩A ＝{x |x ≤12或x ≥94}∩{x |2<x <52}＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}，当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52； 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13； 综上，a ∈[－12，3－52]．19．(本小题满分12分)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．[解析] 由条件知，a ≤x 2对∀x ∈[1,2]成立，∴a ≤1；∵∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0成立，∴不等式x 2＋(a －1)x ＋1<0有解，∴Δ＝(a －1)2－4>0，∴a >3或a <－1；∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．①p 真q 假时，－1≤a ≤1；②p 假q 真时，a >3.∴实数a 的取值范围是a >3或－1≤a ≤1.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．[解析] 令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，则g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a ，令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1.(1)当a ≤1时，对所有x >0，g ′(x )>0.所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数．又g (0)＝0，所以对x ≥0，有g (x )≥g (0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有f (x )≥ax .(2)当a >1时，对于0<x <e a －1－1，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e a －1－1)上是减函数．又g (0)＝0，所以对0<x <e a －1－1，有g (x )<g (0)，即f (x )<ax .所以当a >1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立．综上所述a 的取值范围是(－∞，1]．21．(14分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点(3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析] (1)设l ：x ＝ty ＋3，代入抛物线y 2＝2x ，消去x 得y 2－2ty －6＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－6，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋y 1y 2＝－6t 2＋3t ·2t ＋9－6＝3.∴OA →·OB →＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA →·OB →＝3，则直线l 过点(3,0)”它是假命题．设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ，消去x 得y 2－2ty －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－2b .∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－2bt 2＋bt ·2t ＋b 2－2b ＝b 2－2b ， 令b 2－2b ＝3，得b ＝3或b ＝－1，此时直线l 过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．[。