2018年河南专升本高等数学公式大全汇总
(完整版)专升本数学公式大全
专升本高等数学公式大全导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(完整版)专升本高数公式大全
高等数学公式求导公式表：（为常数）； （为实数）；()0C '=C 1()x x ααα-'=α；；()ln (0,1)x x a a aa a '=>≠()x x e e '=； ；1(log )(0,1)ln x a a a x a'=>≠1(ln )x x '=；；(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-； ；12(tan )sec 2cos x x x'==(sec )sec tan x x x '=⋅； ；12(cot )csc 2sin x x x'=-=-(csc )csc cot x x x '=-⋅(arcsin )x '(arccos )x '； .1(arctan )21x x '=+1(arccot )21x x '=-+基本积分表：（k 为常数）.特别地，当时，.d k x kx C=+⎰0k =0d x C =⎰11d 1x x C ααα+=++⎰(1)α≠-1d ln ||x x Cx =+⎰ .d ln x xa a x C a=+⎰(0,1)a a >≠.d x xe x e C =+⎰.sin d cos x x x C=-+⎰.cos d sin x x x C=+⎰.22d sec d tan cos xx x x C x==+⎰⎰.22d csc d cot sin xx x x C x==-+⎰⎰.sec tan d sec x x x x C =+⎰.csc cot d csc x x x x C=-+⎰h i narcsin x x C=+.arccos x C '=-+21d arctan 1x x Cx =++⎰.cot arc x C '=-+.tan d ln cos x x x C =-+⎰.cot d ln sin x x x C=+⎰.sec d ln sec tan x x x x C =++⎰.csc d ln csc cot x x x x C =-+. 1arctan xC a a+.1ln 2x aCa x a -++.arcsin (0)xx C a a =+>.x .21arcsin 22a x x C a =+31sec d sec tan ln sec tan 2x x x x x x C ⎡⎤=+++⎣⎦⎰三角函数的有理式积分：2222212sin cos tan1121u u xdu x x u dx u u u -====+++， ， ， 一些初等函数：()(0,1)log (0,1)sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc arcsin ,arccos ,arctan ,arccot x a y x y a a a y x a a y x y x y x y x y x y xy x y x y x y xμμ==>≠=>≠==========幂函数:为实数指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：:2:2:x xx xx xx xe e shx e e chx shx e e thx chx e e -----=+=-==+双曲正弦双曲余弦双曲正切ln(ln(11ln21arshx x archx x x arthx x=+=±++=-两个重要极限：sin lim 1x x x =→()11lim 1lim 10x xx e x x x ⎛⎫+=+= ⎪→∞→⎝⎭等价无穷小量替换当时,0x →~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x,~ln(1)~x +1xe -,121cos ~2x x -2~sin 2~tan 2x x x 11~2x-三角函数公式：·诱导公式：函数角A sin cos Tan cot-α-sinαcosα-tanα-cotα90°-αcosαsinαCotαtanα90°+αcosα-sinα-cotα-tanα180°-αsinα-cosα-tanα-cotα180°+α-sinα-cosαTanαcotα270°-α-cosα-sinαCotαtanα270°+α-cosαsinα-cotα-tanα360°-α-sinαcosα-tanα-cotα360°+αsinαcosαTanαcotα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββα±=±±=±±=⋅⋅±=±Al l g si rga ·倍角公式：·半角公式：sincos 221cos sin 1cos sin tancot 2sin 1cos 2sin 1cos αααααααααααα==-+======+- ·正弦定理：·余弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcsin arccos arctan cot 22x x x arc xππ=-=- 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u vu C uv +++--++''-+'+==---=-∑ 中值定理与导数应用：()0()()()()()()()()()()F()f f b f a f b a f b f a f F b F a F x xξξξξ'='-=-'-='-=罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高等数学专升本公式集合
高等数学专升本公式集合以下是高等数学专升本常用公式集合：1.导数公式：1)反函数求导：如果y=f(x) （x在某区间上连续、可导），f'(x)≠0，且存在f'(x)的逆函数，则y=f^(-1)(x)在对应的区间上可导，且有(f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))；2)乘积法则：(uv)' = u'v + uv'；3)商法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2；4)链式法则：(F(g(x)))' = F'(g(x)) * g'(x)，其中F(u)是u的原函数。
2.积分公式：1)基本积分公式：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C （这里C是常数）；2)分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du；3)替换法：设x=g(t)，则dx=g'(t) dt，将dx替换为g'(t) dt 来进行积分。
3.泰勒级数公式：1)常用泰勒级数展开：- e^x = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + ...；- sin x = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - ...；- cos x = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - ...；- ln(1+x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 - ...。
4.极限公式：1)常用极限：- lim(x→0) (sin x / x) = 1；- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e；- lim(x→a) (f(x))^g(x) = lim(x→a) e^(g(x) * ln(f(x)))。
5.级数公式：1)常用级数：-等比数列求和：∑(n=0)^(∞) ar^n = a / (1-r)，其中|r|<1；-幂级数求和：∑(n=0)^(∞) a(n)x^n，其中a(n)是常数。
专升本数学公式大全及解析
专升本数学公式大全及解析
很抱歉，由于文本输入长度限制，无法给出完整的专升本数学公式大全及解析。
以下是一些常见的数学公式及简要解析：
1. 一元二次方程公式：ax^2 + bx + c = 0
解析：可以使用求根公式或配方法等来求解一元二次方程的根。
2. 平方差公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
解析：平方差公式可以帮助我们快速展开平方求和。
3. 三角函数的和差公式：
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
解析：和差公式可以帮助我们计算三角函数的和差。
4. 概率公式：
- 事件的概率 P(A) = 事件 A 的发生次数 / 总的试验次数
- 与事件 A 相反的事件的概率 P(A') = 1 - P(A)
- 事件 A 和 B 同时发生的概率P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)
- 事件 A 和 B 至少发生一个的概率 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
解析：概率公式可以帮助我们计算事件发生的可能性。
这些只是数学公式的一小部分，数学是个广阔的学科，公式也非常多。
希望这些简要的公式介绍对你有所帮助。
如果你对特
定的数学公式或解析有更具体的需求，请告诉我，我将尽力为你提供更准确和详细的信息。
专升本高等数学公式大全
专升本高等数学公式大全以下是一些高等数学常用的公式：1. 导数与微分公式：- 基本导数公式：(常数函数)' = 0，(x^n)' = nx^(n-1)，(e^x)' = e^x，(a^x)' = a^xlna，(ln x)' = 1/x，(sin x)' = cos x，(cos x)' = -sin x，(tan x)' = sec^2 x，(cot x)' = -csc^2 x，(sec x)' = sec x tan x，(csc x)' = -csc x cot x- 乘积法则：(uv)' = u'v + uv'- 商法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2- 链式法则：如果y = f(u)和u = g(x)，则dy/dx = dy/du * du/dx2. 微分中值定理：- 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)- 柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x) ≠ 0，则存在一个c∈(a, b)，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]3. 积分公式：- 基本积分公式：∫k dx = kx + C，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)，∫(1/x) dx = ln|x| + C，∫e^x dx = e^x + C，∫a^x dx = (a^x)/lna + C，∫sin x dx = -cos x + C，∫cos x dx = sin x + C，∫t an x dx = -ln|cos x| + C，∫cot x dx = ln|sin x| + C，∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C，∫csc x dx = ln|csc x - cot x|+ C- 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)] dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx- 分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du4. 泰勒公式：- 一阶泰勒公式：f(x)≈f(a) + f'(a)(x - a)- 麦克劳林公式：f(x)≈f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n!以上仅是一些高等数学中的基本公式，实际应用中还有更多公式与定理。
专升本同学必备的高等数学公式大全.
高等数学公式高等数学公式导数公式：(tgx)'=sec2x(ctgx)'=-csc2x(secx)'=secx⋅tgx(cscx)'=-cscx⋅ctgx(ax)'=axlna(logax)'=1xlna(arcsinx)'=1-x21(arccosx)'=--x21(arctgx)'=1+x21(arcctgx)'=-1+x基本积分表：三角函数的有理式积分：⎰tgxdx=-lncosx+C⎰ctgxdx=lnsinx+C⎰secxdx=lnsecx+tgx+C⎰cscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+C⎰a2+x2aadx1x-a=ln⎰x2-a22ax+a+Cdx1a+x=ln⎰a2-x22aa-x+Cdxx=arcsin+C⎰a2-x2aπ2ndx2=sec⎰cos2x⎰xdx=tgx+Cdx2⎰sin2x=⎰cscxdx=-ctgx+C⎰secx⋅tgxdx=secx+C⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+Cax⎰adx=lna+Cx⎰shxdx=chx+C⎰chxdx=shx+C⎰dxx2±a2=ln(x+x2±a2)+Cπ2 In=⎰sinxdx=⎰cosnxdx=00n-1In-2n⎰⎰⎰xa222x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22xa22222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22xa2x2222a-xdx=a-x+arcsin+C22a222u1-u2x2dusinx=，cosx=，u=tg，dx=2221+u1+u1+u2一些初等函数：两个重要极限：1 / 12高等数学公式ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=shxex-e-x双曲正切:thx==chxex+e-xarshx=ln(x+x+1）archx=±ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： ·诱导公式：limsinx=1x→0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045...x→∞x·和差角公式： ·和差化积公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβtg(α±β)= tgα±tgβ1 tgα⋅tgβctgα⋅ctgβ 1ctg(α±β)=ctgβ±ctgαsinα+sinβ=2sinα+β22α+βα-βsinα-sinβ=2cossin22α+βα-βcosα+cosβ=2coscos22α+βα-βcosα-cosβ=2sinsin22cosα-β2 / 12高等数学公式 ·倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2αctg2α-1ctg2α=2ctgα2tgαtg2α=1-tg2α·半角公式：sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα3tgα-tg3αtg3α=1-3tg2αsintgα2=±=±-cosαα+cosαcos=±222-cosα1-cosαsinαα1+cosα1+cosαsinα==ctg=±==1+cosαsinα1+cosα21-cosαsinα1-cosαα2 ·正弦定理：abc===2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinCarcsinx=·反三角函数性质：π2-arccosx arctgx=π2-arcctgx高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=∑Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v'+中值定理与导数应用： n(n-1)(n-2)n(n-1) (n-k+1)(n-k)(k)uv''+ +uv+ +uv(n)2!k!拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)f(b)-f(a)f'(ξ)=F(b)-F(a)F'(ξ)曲率：当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式（全）常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 幂级数：函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 可降阶的高阶微分方程类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n duu y f x f x dx -=⇒=⇒令多次积分求类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dpp y f x p dx =⇒=⇒令一阶微分方程类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy =⇒==⇒⇒令类型二类型四：)()('x Q y x p y =+若Q(X)等于0，则通解为⎰=-dxx p Ce y )(（一阶齐次线性）。
若不等于0，通解⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()(（一阶齐次非线性）。
一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。
三、线性微分方程类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x 则：1122()()()y x c y x c y x =+类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程）解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程）解法（特征方程法）：21,20p q λλλ++=⇒=（一）122121240x x p q y c e c e λλλλ∆=->⇒≠⇒=+（二）12120()x y c c x e λλλλ∆=⇒==⇒=+（三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ∆<⇒=+=-⇒=+导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限： ·和差角公式： ·和差化积公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ中值定理与导数应用： ：空间解析几何和向量代数 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分：。
2018年河南专升本高等数学公式大全汇总
2018年河南专升本高等数学公式大全汇总小耶给同学们整理了2018年河南专升本高等数学公式大全，考试科目是高等数学的同学，可以参考一下：导数公式： 基本积分表：kdx kx C =+⎰（k 为常数） 11u ux x dx C u +=++⎰1ln dx x C x =+⎰ 21arctan 1dx x C x =++⎰arcsin x C =+ cos sin xdx x C =+⎰sin cos xdx x C =-+⎰221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰ sec tan sec x xdx x C =+⎰csc cot csc x xdx x C =-+⎰ x xe dx eC =+⎰ln xxa a dx C a =+⎰两个重要极限：三角函数公式：sin 22sin cos ααα= 2222cos 22cos 112sin cos sin ααααα=-=-=-22sin cos 1αα+= 22sec 1tan αα=+零点定理： 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 上至少一点ε，使()0f ε=。
（考点：利用定理证明方程根的存在性。
当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性） 罗尔定理：如果函数()f x 满足三个条件：22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln 1(log )ln x x a x x x x x x x x x x a a a x x a'='=-'=⋅'=-⋅'='=22(arcsin )(arccos )1(arctan )11(arccot )1x x x x x x '='='=+'=-+0sin lim11lim(1)x x x xx e x →→∞=+=（1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使得()'0f ε=。
专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式全集高等数学是专升本考试中的重要科目，掌握好相关公式是取得好成绩的关键。
以下为大家整理了一份较为全面的专升本高等数学公式，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数的定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)， x ∈ D。
函数的定义域：使函数有意义的自变量 x 的取值范围。
函数的值域：函数值的集合。
2、极限的概念数列的极限：对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，则称 A 为数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞）an ＝ A。
函数的极限：当自变量x 趋近于某个值x0（或趋近于无穷大）时，函数 f(x) 趋近于一个常数 A，则称 A 为函数 f(x) 在该点的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞） f(x) ＝ A。
3、极限的运算四则运算：若lim(x→x0) f(x) ＝ A，lim(x→x0) g(x) ＝ B，则lim(x→x0) f(x) ± g(x) ＝ A ± Blim(x→x0) f(x) × g(x) ＝ A × Blim(x→x0) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）无穷小量与无穷大量：无穷小量：以 0 为极限的变量。
若lim(x→x0) f(x) ＝ 0，则称 f(x) 是x → x0 时的无穷小量。
无穷大量：绝对值无限增大的变量。
若lim(x→x0) f(x) ＝∞，则称f(x) 是x → x0 时的无穷大量。
无穷小量的性质：有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界量的乘积是无穷小量。
无穷小量与无穷大量的关系：在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量的倒数是无穷大量。
专升本高等数学公式全集
常数项级数： 专升本高等数学公式（全）n等比数列： 1 qq 2q n 11 q1 q等差数列： 1 2 3 n ( n 1) n2调和级数： 11 1231 是发散的n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判1时，级数收敛 别法）：设：lim nn u n ，则1时，级数发散 1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limnU n 1 ，则U n1时，级数发散 1时，不确定3、定义法： s nu 1 u 2 u n ; lim ns n 存在，则收敛；否则发散。
交错级数 u 1 u 2 u 3 u 4u n(或 u n 1u 1 u 2 u 3 ,u n0) 的审敛法— —莱布尼兹定理：如果交错级数满足lim u nn，那么级数收敛且其和 s 0u 1,其余项r n 的绝对值 r n u n 1 。
绝对收敛与条件收敛：(1) u 1 u 2 u n (2) u 1u 2u 3，其中 u nu n 为任意实数；如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果 ( 2)发散，而 1 (1) 收敛，则称 ( (1) 为条件收敛级数。
1) n调和级数：发散，而 n 收敛； n 级数： 1收敛； n 2p 级数： 1n pｐ １时发散 p 1时收敛2 n 03幂级数：1 x x2x3xnx 1时，收敛于11 xx 1时，发散对于级数 ( 3) a 0a 1 x a x 2a xnx，如果它不是仅在原点 R 时收敛收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在R ，使x R 时发散 xR 时不定，其中 R 称为收敛半径。
0时， R1求收敛半径的方法：设limna n 1a n ，其中 a n ， a n 1是(3)的系数，则0时， R时， R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x )f ( x 0 )( xx 0 )f ( x 0 ) ( x 2!x 0 )f( n)( x ) ( x n!x 0 )余项： Rf ( n 1)( )( x x ) n1, f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R(n 1)!f ( 0) 2 nnf( n )( 0)nx 00时即为麦克劳林公式：f ( x ) f ( 0) f ( 0) xx x2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x)1 mx m( m 2!1) x m( m 1) ( m n!n 1) x( 1x 1)sin xxx x ( 1) n 12 n 1( x)3!5!( 2 n 1)!可降阶的高阶微分方程类型一： y( n )f ( x)解法（多次积分法）： 令u ydu f (x)dx多次积分求f ( x)类型二： y '' f (x, y ')解法： 令p y 'dp f ( x , p )dx一阶微分方程类型三： y '' f ( y, y ')m2n( n 2nn5 x1)p( x) dx1 212121 2121 2解法： 令p y 'dp dp dy p dpf ( y , p )类型二dxdy dx dy类型四： y 'p ( x ) y Q ( x )若 Q(X) 等于 0，则通解为 y Ce（一阶齐次线性）。
专升本数学必考公式大全
专升本数学必考公式大全
以下是一些专升本数学考试中常用的公式：
1. 平方差公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b²
2. 二次方程的根公式：对于 ax² + bx + c = 0，根的公式为 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
3. 三角函数和三角恒等式：
- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC
- 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC
- 正弦恒等式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB
- 余弦恒等式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
4. 指数与对数运算：
- a^x = b，则x = log(a, b)。
其中，log(a, x)表示以a为底，x
的对数。
- 对数公式：log(a*b) = loga + logb；log(a/b) = loga - logb
5. 概率公式：
- 事件A的概率：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A
的样本点个数，n(S)表示样本空间的样本点个数。
- 事件A和事件B同时发生的概率：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
- 事件A和事件B至少一个发生的概率：P(A∪B) = P(A) +
P(B) - P(A∩B)
这只是一些常用的数学公式，专升本数学考试还涵盖其他各个分支的知识，建议针对具体考试大纲进行深入学习和准备。
[整理]专升本高等数学公式全集.
![[整理]专升本高等数学公式全集.](https://img.taocdn.com/s3/m/1ea64d4eaf45b307e9719738.png)
专升本高等数学公式（全）常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnn n q q q q q nn 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++-级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n幂级数：010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n nn n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于ρρρρρ函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 可降阶的高阶微分方程类型一：()()n y f x =解法（多次积分法）：(1)()()n duu y f x f x dx-=⇒=⇒令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dpp y f x p dx=⇒=⇒令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y =解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy=⇒==⇒⇒令类型二 类型四：)()('x Q y x p y =+若Q(X)等于0，则通解为⎰=-dxx p Ce y )(（一阶齐次线性）。
(完整版)专升本数学公式大全(可编辑修改word版)
1- x 2 1- x 2 x 2 ± a 2x 2 + a 2 x 2 - a 2 a 2 - x 2导数公式：专升本高等数学公式大全(tgx )' = sec 2x (ctgx )' = -csc 2 x (sec x )' = sec x ⋅ t gx (arcsin x )' =1(arccos x )' = - 1(csc x )' = -csc x ⋅ ctgx (a x )' = a x ln a(arctgx )' =11+ x 2(log a x )' =1x ln a(arcctgx )' = -11+ x 2基本积分表：三角函数的有理式积分：⎰ t gxdx = -ln cos x + C ⎰ c tgxdx = ln sin x + Cdxcos 2xdx= ⎰sec 2 xdx = tgx + C⎰sec xdx = ln sec x + tgx + C ⎰ sin 2 x = ⎰csc 2 xdx = -ctgx + C⎰ c sc xdx = ln csc x - ctgx + C dx = 1 arctgx+C⎰sec x ⋅ tgxdx = sec x + C ⎰csc x ⋅ ctgxdx = -csc x + C⎰ a 2 + x 2a dx =1a lnx - a + C ⎰ a xdx = a x Cln a ⎰ x 2 - a 2 dx a 2 - x 2 2a x + a= 1 ln a + x + C 2a a - x ⎰ s hxdx = chx + C⎰chxdx = shx + C dx = arcsin x+ Ca⎰ dx = ln(x + x 2 ± a 2 ) + C2 I n = ⎰sin 02xdx =⎰cos nxdx =n -1 n a 2I n -2⎰ dx = ⎰ dx = + 2- a 2 2 a 2ln(x + ln x + x) + C+ C⎰dx = + arcsin + C 2 aa 2 - x 2 0 x 2 x 2+ a 2 x 2 + a 2 x2 x 2 - a 2 x 2 - a 2 x 2a 2 - x 2 ⎰ ⎰ ⎰ + nsin x = 2u1+u2，c os x =1-u2，1+u2u =t gx，2dx =2du1+u 2一些初等函数：两个重要极限：e x -e-x双曲正弦: shx = lim sin x= 12 x→0 x 双曲余弦: chx = e x +e-x lim(1+1)x=e = 2.718281828459045...双曲正切: thx =2shx=chxe x -e-xe x +e-xx→∞xarshx = ln(x + archx =±ln(x + x2+1）x2-1)arthx =1ln1+x 2 1-x三角函数公式：·诱导公式：函数角Asin cos tg ctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：sin(±) = sin cos ± cos sincos(±) = cos cos s in sintg(±) =tg±tg1 tg⋅tg sin+s in =2 s in+2sin-s in =2c os+2+-2-2-ctg(±) = ctg⋅ctg 1cos+c os =2c os cos2 2ctg±ctg cos-c os =2 s in +2-2 cossinsiny ' (1+ y '2 )3(uv ) = ∑C uv. ·倍角公式：sin 2= 2 sin coscos 2= 2 c os 2-1 = 1- 2 s in2= c os 2- s in2ctg 2-1sin 3= 3sin - 4 s in 3 cos 3= 4 c os 3- 3cos ctg 2=tg 2=2ctg2tgtg 3=3tg - t g 3 1- 3tg 21- tg 2·半角公式：sin = ± 2tg= ± 1- cos2 1- c os = 1- c os =sin cos = ± 2ctg= ± 1+ c os2 1+ c os = 1+ c os =sin 2 1+ c os sin 1+ cos2 1- c os sin 1- cos·正弦定理：asin A = b sin B = c sin C= 2R ·余弦定理： c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C·反三角函数性质： arcsin x =- a rccos x 2arctgx =- arcctgx 2高阶导数公式——莱布尼兹（L e i b n i z ）公式：n(n ) k (n -k ) (k )n k =0= u (n ) v + nu (n -1) v ' +n (n -1) u (n -2) v ' + + n (n -1) (n - k +1) u (n -k ) v (k )+ + uv (n )2! k !中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b ) - f (a ) = f '()(b - a ) f (b ) - f (a ) f '()柯西中值定理： F (b ) - = F (a )F '()当F(x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
专升本数学公式汇总
专升本数学公式汇总在专升本的数学考试中，理解和记忆数学公式是至关重要的。
下面，我们整理了一些在专升本数学考试中常用的数学公式，供大家参考。
1、求和公式本文(n=1,∞) x^n = 1/ (1 - x)2、幂运算公式本文a^m)^n = a^(mn) （m,n为正整数）本文ab)^n = a^n b^n （n为正整数）a^mn = (a^m)^n （m,n为正整数）本文a/b)^n = a^n / b^n （n为正整数）本文a^m) / (a^n) = a^(m-n) （a≠0，m，n为正整数）本文a/b) / (c/d) = (a/b) × (d/c) （a、b、c、d≠0）本文a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^23、对数公式log(a) (M N) = log(a) M + log(a) N，log(a) (M / N) = log(a) M - log(a) N，log(a) M^n = nlog(a) M，log(a) b^n = nlog(a) b，log(a) b/c = log(a) b - log(a) c，log(a) (b c) = log(a) b + log(a) c，log(a) b的n次方 = nlog(a) b，log(a) (b的n次方)= nlog(a) b。
4、三角函数公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB，cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB，tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)，tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。
以上是专升本数学考试中常用的一些公式，希望大家能够熟练掌握并应用于解题中。
也要注意公式的适用范围和条件，避免在解题中出现错误。
专升本高等数学公式大全
专升本高等数学公式大全1.极限公式：- $\lim\limits_{x\to a}(c)=c$，常数函数的极限等于常数c- $\lim\limits_{x\to a}(x)=a$，自变量x的极限等于自变量x的值a- $\lim\limits_{x\to a}(x^n)=a^n$，幂函数的极限等于它的自变量的值的n次幂- $\lim\limits_{x\to a}(c\cdot f(x))=c\cdot\lim\limits_{x\to a}(f(x))$，常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限的乘积- $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\toa}(f(x))+\lim\limits_{x\to a}(g(x))$，函数和的极限等于函数极限的和- $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\toa}(f(x))-\lim\limits_{x\to a}(g(x))$，函数差的极限等于函数极限的差- $\lim\limits_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim\limits_{x\to a}(f(x))\cdot \lim\limits_{x\to a}(g(x))$，函数积的极限等于函数极限的积- $\lim\limits_{x\toa}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\lim\limits_{x\toa}(f(x))}{\lim\limits_{x\to a}(g(x))}$，函数商的极限等于函数极限的商（如果分母函数不等于0）2.微分和导数公式：- $y=f(x)$，则$dy=f'(x)\cdot dx$，微分形式为微分=导数乘以微小增量-$(c)'=0$，常数的导数等于0- $(x^n)'=nx^{n-1}$，幂函数的导数等于自变量的幂次减1再乘以原来的幂次-$(e^x)'=e^x$，指数函数的导数等于指数函数本身- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$，自然对数函数的导数等于1除以自变量3.积分公式：- $\int c\,dx=cx$- $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$，幂函数的不定积分等于自变量的幂次加1再除以幂次加1再加上常数C- $\int e^x\,dx=e^x+C$，指数函数的不定积分等于自身再加上常数C- $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln，x，+C$，自然对数函数的不定积分等于自然对数绝对值再加上常数C。
河南专升本考试高等数学常用公式大汇总
全微分的近似计算：Δz ≈ dz = f x ( x, y ) Δx + f y ( x, y ) Δy 多元复合函数的求导法： dz ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u (t ), v(t )] = ⋅ + ⋅ dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， du = ∂u ∂u ∂v ∂v dx + dy dv = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y
2 2 2
α
1 − cosα 1 − cosα sin α α 1 + cosα 1 + cosα sin α = = ctg = ± = = 1 + cosα sin α 1 + cosα 2 1 − cosα sin α 1 − cosα
·余弦定理： c = a + b − 2ab cos C
平面的方程： v 1、点法式：A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
= ln( x + x 2 ± a 2 ) + C
专升本高等数学必备公式(修订版)
（3）
1 x2
dx
1 x
C
（5）
1dx x
ln
x
C
指数函数：（6）
a
x dx
ax ln a
C
1）
（4） x 1 2x
（6） (e x ) e x （8） (ln x) 1
x （10） (cos x) sin x
（12） (cot x) csc2 x
（14） (csc x) csc x cot x
（6）1 tan 2 x sec2 x
（7） 1 cot 2 x csc2 x
（8） sin x 1 csc x
（10） tan x 1 cot x
（9） cos x 1 sec x
4、等价无穷小（11 个)：
当 0时： sin~
arcsin~
tan~
e 1 ~
ln(1) ~
1 cos~ 2 2
（16） sec xdx ln sec x tan x C
（17） csc xdx ln csc x cot x C
（18） 1 dx arcsin x C
1 x2
（20）
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
（19）
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
（21）
a2
1
x2 dx
1 a
arctan
x a
C
（22）
1 dx ln x x2 a2 C x2 a2
（23）
1 dx ln x x2 a2 C x2 a2
（24）
x2
1
a2
dx
1 ln 2a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年河南专升本高等数学公式大全汇总小耶给同学们整理了2018年河南专升本高等数学公式大全，考试科目是高等数学的同学，可以参考一下：导数公式： 基本积分表：kdx kx C =+⎰（k 为常数） 11u ux x dx C u +=++⎰1ln dx x C x =+⎰ 21arctan 1dx x C x =++⎰arcsin x C =+ cos sin xdx x C =+⎰sin cos xdx x C =-+⎰221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰ sec tan sec x xdx x C =+⎰csc cot csc x xdx x C =-+⎰ x xe dx eC =+⎰ln xxa a dx C a =+⎰两个重要极限：三角函数公式：sin 22sin cos ααα= 2222cos 22cos 112sin cos sin ααααα=-=-=-22sin cos 1αα+= 22sec 1tan αα=+零点定理： 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 上至少一点ε，使()0f ε=。
（考点：利用定理证明方程根的存在性。
当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性） 罗尔定理：如果函数()f x 满足三个条件：22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln 1(log )ln x x a x x x x x x x x x x a a a x x a'='=-'=⋅'=-⋅'='=22(arcsin )(arccos )1(arctan )11(arccot )1x x x x x x '='='=+'=-+0sin lim11lim(1)x x x xx e x →→∞=+=（1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使得()'0f ε=。
（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题） 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足 （1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导，那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使等式()()()()f b f a f b a ε'-=-成立。
（证明题） 定积分应用相关公式函数的平均值()1b ay f x dx b a =-⎰空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离12d M M ==向量b 在向量a 方向上的投影()Pr j cos ,a b b a b = 设(),,x y z a a a a =，(),,x y z b b b b =，则两向量的数量积cos x x y y z z a b a b a b a b a b θ⋅=⋅=++是一个数，θ为a 与b 的夹角；a 与b 的夹角 cos a b a b a b θ++=。
两向量的向量积xy z xy zij ka b a a a b b b ⨯=，sin a b a b θ⨯=⋅。
（考点：利用向量积求三角形的面积）平面的方程：1、点法式方程：()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，其中{},,n A B C =为平面的法线向量，()0000,,M x y z 为平面上的一点。
2、一般式方程：0Ax By Cz D +++=，其中平面的一个法线向量{},,n A B C =。
3、截距式方程：1x y za b c++=，,,a b c 为平面在,,x y z 轴上的截距。
平面外任意一点到该平面的距离：d =。
、空间直线的方程：1、直线的点向式方程（对称式方程）000x x y y z z t m n p---===，其中直线的一方向向量(),,s m n p =； 2、直线的参数方程：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zudy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
在是单位向量。
方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。
轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l fl j i e e y x f lf j yf i x f y x f y x p y x f z l x y fx f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=∂∂=ϕϕϕϕϕ多元函数的极值及其求法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x曲线积分：⎩⎨⎧==<'+'=≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y tx dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lϕβαψϕψϕβαψϕβα 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。
，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。
注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。
上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩⎨⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yPx Q yPx Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D LD LDL LLLβαβαψψϕϕψϕψϕβα三个常用的正项级数： 1、等比级数 11n n aq ∞-=∑ 当1q <时，该级数收敛于1aq-；当1q ≥时，该级数发散。
2、p 级数 11pn n∞=∑当1p >时，该级数收敛；当1p ≤时，该级数发散。
特别地，当1p =时，11n n ∞=∑称为调和级数。
级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。