《直接开平方法》课件.ppt
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21.2.1 第1课时 直接开平方法 课件(共16张PPT)
. ∵ > , ∴ = + , = − + ,
∴ + = + .
例3：用直接开平方法解方程：
² − = ;
² − + = ;
− ² − = ;
+ ² = − ².
解: (1)移项,得 ² = ,整理，得 ² = ,即 = , = − .
能，请说明理由
(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)
(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何
共同规律?
(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0
时，方程的解为x₁=x₂=0)
小组讨论
方程9x2=16都可以怎样求解？哪种方法最简便？
（解法1: = , =
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发
展学生的运算能力；
2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中
数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
3.通过直接开平方法的探究活动,培养学生积极思考、勇于探索的学习习惯.
m≥-1
______.
a≤0
变式 方程y2=-a有实数根的条件是______.
【题型二】用直接开平方法解方程
例2 已知一元二次方程( − ) = 的两根分别为, ,
+ .
且 > ，则2 + = ________
点拨：解方程 − ² = ,得 = + , = − +
∴ + = + .
例3：用直接开平方法解方程：
² − = ;
² − + = ;
− ² − = ;
+ ² = − ².
解: (1)移项,得 ² = ,整理，得 ² = ,即 = , = − .
能，请说明理由
(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)
(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何
共同规律?
(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0
时，方程的解为x₁=x₂=0)
小组讨论
方程9x2=16都可以怎样求解？哪种方法最简便？
（解法1: = , =
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发
展学生的运算能力；
2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中
数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
3.通过直接开平方法的探究活动,培养学生积极思考、勇于探索的学习习惯.
m≥-1
______.
a≤0
变式 方程y2=-a有实数根的条件是______.
【题型二】用直接开平方法解方程
例2 已知一元二次方程( − ) = 的两根分别为, ,
+ .
且 > ，则2 + = ________
点拨：解方程 − ² = ,得 = + , = − +
人教九上课件 22.2.1 直接开平方法PPT教学课件
用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分 解法解。
2020/12/10
10
拓展与探究
2020/12/10
பைடு நூலகம்11
例4、用直接开平方法解方程：
a2 x c 0(a 0 )
解： a0 x2c;
(1)当c 0时，方程的根 a是
x c 1 ac;
1 . 3 (2 x 5 )2 1 2 2 (2 x 5 )2 4
2. (2x＋1)2＝(x－1)2
解：1） 3 (2 x 5 )2 2 (2 x 5 )2 1 4 ; 2
(2x5)21;6
2x54; 即 2 x 5 ： 4 或 2 x 5 4 ;
x 19 2 x 21 2
2020/12/10
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法 （square root extraction）.
2020/12/10
3
例１.用直接开平方法解下列方程： （1） y 2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 1x622 50
2020/12/10
4
随堂练习（一）
（１）方程 x2 0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5
x3 2,或 x32; x13 2,x232;
2020/12/10
6
随堂练习（二）
1.解下列方程：
(１)(x＋1)2=4
(２) (2 x 3 )2 5 ; (３)(6 x 1)2 25; (４)(x 5)2 36 0;
（5）x22x149
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7
例３、用直接开方法解方程：
a
a
即 x 1 ： 1 a a,cx 2 1 a a;c
(精编课件)直接开平方法解一元二次方程PPT.ppt
Excellent courseware
学以致用
1.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解 并说明理由.
1） x2=2 2） p2 - 49=0 3） 6 x2=3
( √) (√ ) (√ )
4）(5x+9）2+x=0
(× )
5 ) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
Excellent courseware
x1 2, x2 2 x 2 x1 2, x2 2
x 2 x1 2, x2 2
概括：一元二次方程ax2+b=0可以转化为x2=a的形 式，然后用直接开平方法解方程。
Excellent courseware
探究（三）：如何解方程：（ax+b）2=c?
举一反三：如何解下列方程？ （1）（x-3)2-4=0 （2）3(2x+1)2=12 （3）x2+4x+4=1
2、解下列方程：
（1）x2-9=0
(2)6t2-40=0
(3)16x2+45=0
(4)(2x-3)2=5
(5)(x-5)2+36=0
(6)(6x-1)2 -25(x+1)2=0
注意：解方程时， “左平方，右常数”，
应先把方程变形 常数为负，方程无解；
为：
或“左平方，右平方”。
Excellent courseware
（2）（2x+3)2 -5=0 （4）（x-3)2=(3x-2)2
Excellent courseware
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若一元二次方程方 程有两根,则分别
记为χ1,χ2
探究新知:
探究（一）：如何解方程： x2=a ？
学以致用
1.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解 并说明理由.
1） x2=2 2） p2 - 49=0 3） 6 x2=3
( √) (√ ) (√ )
4）(5x+9）2+x=0
(× )
5 ) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
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x1 2, x2 2 x 2 x1 2, x2 2
x 2 x1 2, x2 2
概括：一元二次方程ax2+b=0可以转化为x2=a的形 式，然后用直接开平方法解方程。
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探究（三）：如何解方程：（ax+b）2=c?
举一反三：如何解下列方程？ （1）（x-3)2-4=0 （2）3(2x+1)2=12 （3）x2+4x+4=1
2、解下列方程：
（1）x2-9=0
(2)6t2-40=0
(3)16x2+45=0
(4)(2x-3)2=5
(5)(x-5)2+36=0
(6)(6x-1)2 -25(x+1)2=0
注意：解方程时， “左平方，右常数”，
应先把方程变形 常数为负，方程无解；
为：
或“左平方，右平方”。
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（2）（2x+3)2 -5=0 （4）（x-3)2=(3x-2)2
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若一元二次方程方 程有两根,则分别
记为χ1,χ2
探究新知:
探究（一）：如何解方程： x2=a ？
直接开平方法课件
1 2
，x2=
1 2
典型例题
例2解下列方程：
⑴ （x＋1）2= 2
分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，
就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 2 ∴x+1= 2 或x+1= - 2
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2
典型例题
⑵ （x－1）2－4 = 0
解：移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
7
1
x1= 4 ;x2= 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,
x1= 1;x2=-4
练 2、解下列方程： 一 练 （1）x2-0.81=0
如果一个一元二次方程具有或能化为
（x＋h）2= k（k≥0）的形式，那么
就可以用直接开平方法求解。
2.任意一个一元二次方程都能用直接 开平方法求解吗？请举例说明。
（2）9x2=4
练一练： 3、解下列方程： （1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0 （3）（2x-1）2 =（3-x）2
练一练
4、一个球的表面积是100cm2， 求这个球的半径。 （球的表面积s=4∏R 2 ，其中R是 球半径）
归纳总结
1.能用直接开平方法解的一元二次方 程有什么特点？
尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
人教版九年级数学上册《直接开平方法》课件
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解 决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方 根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一 元二次方程．
重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次—— 转化的数学思想． 难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到 根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
二、探索新知 上面我们已经讲了 x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把 2t＋1 变为上面的 x，那么 2t＋1＝±3 即 2t＋1＝3，2t＋1＝－3 方程的两根为 t1＝1，t2＝－2 例 1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2 分析：(1)x2＋4x＋4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x＋3)2＝2 直接开平方，得：x＋3＝± 2 即 x＋3＝ 2，x＋3＝－ 2 所以，方程的两根 x1＝－3＋ 2，x2＝－3－ 2 解：略．
21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解 决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方 根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一 元二次方程．
重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次—— 转化的数学思想． 难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到 根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
二、探索新知 上面我们已经讲了 x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把 2t＋1 变为上面的 x，那么 2t＋1＝±3 即 2t＋1＝3，2t＋1＝－3 方程的两根为 t1＝1，t2＝－2 例 1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2 分析：(1)x2＋4x＋4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x＋3)2＝2 直接开平方，得：x＋3＝± 2 即 x＋3＝ 2，x＋3＝－ 2 所以，方程的两根 x1＝－3＋ 2，x2＝－3－ 2 解：略．
2.直接开平方法PPT课件(北师大版)
知2－练
1 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b 的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根
知2－练
2 一元二次方程(x－2)2＝1的根是( C )
A．x＝3 C．x1＝3，x2＝1
B．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝－3
解：（1）移项，得9x2＝81， 系数化为1，得x2 ＝9. 开平方，得x ＝± 3. 于是x1＝3，x2＝－3.
（2）移项，得2(x－3)2 ＝50， 系数化为1，得(x－3)2 ＝25. 开平方，得x－3 ＝± 5. 于是x1＝8，x2＝－2.
知2－讲
总结
知2－讲
解形如(mx+n)²=p(p≥0，m≠0)的方程时，先 将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一 次方程，再求解.
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知2－导
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解
方程(x＋3)2＝5?
在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.
由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，②
得
x＋3＝± 5 ，
例1 用直接开平方法解下列方程． (1)x2－81＝0；(2)4x2－64＝0
导引：用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化成 x2＝p(p≥0)的情势，再根据平方根的意义求解．
解：(1) 移项得x2＝81，于是 x＝±9， 即x1＝9，x2＝－9.
(2)移项得4x2＝64，于是x2＝16，所以x＝±4， 即x1＝4，x2＝－4.
人教版九年级数学上册《直接开平方法》课件
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法 第1课时 直接开方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解 决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方 根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一 元二次方程．
重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次—— 转化的数学思想． 难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到 根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
二、探索新知 上面我们已经讲了 x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把 2t＋1 变为上面的 x，那么 2t＋1＝±3 即 2t＋1＝3，2t＋1＝－3 方程的两根为 t1＝1，t2＝－2 例 1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2 分析：(1)x2＋4x＋4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x＋3)2＝2 直接开平方，得：x＋3＝± 2 即 x＋3＝ 2，x＋3＝－ 2 所以，方程的两根 x1＝－3＋ 2，x2＝－3－ 2 解：略．
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例2.用直接开平方法解方程.
(1)4(2x 1)2 36 0, (2)4(2 y 5)2 9(3 y 1)2
分析：(1)中把(2x－1)看作一个整体，(2)中把(2y-5)、 (3y-1)均看作一个整体.
整理得： (2 x 1) 2 9 两边直接开平方得： 2 x 1 3 1 3 即, x 2 所以原方程的解是： x1＝2，x2＝1.
解（ :1 ）直接开平方，得
x 13
解（ : 2）移项，得
解（ : 3）移项，得
x1 13, x2 13
x 2 45
直接开平方，得
122 y 2 25
方程两边都除以 122，得 25 5 y1 , y2 12 12
(1) x2－3x
4 4 (2) x x 3 9
2
2 2 (x ) 3
(2χ－3)(χ+1)
(3) 2χ2－χ－3
探索新知
为了丰富学生的学习生活，某校决定举办一次学生才艺大 比拼活动。现决定在操场正中间搭建一个面积为144平方米的 正方形舞台，那么这个舞台的各边边长将会是多少米呢？ 1.你能想到什么方法来解方程：x2＝144 对于x2＝144，意味着x是144的平方根.
对于方程(1),可以先移项
得 x2=2 根据平方根的定义可知:χ是2的(平方根 ).
x= 2 即 x1 = 2，x2 =- 2
这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 x2=2的两个根为 x1 = 2，x2 =- 2
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）一定要正确运用平方 根的性质，即正数的平 方根有两个，
青年是整个社会力量中的一部分 最积极最有生气的力量。他们最肯学 习，最少保守思想，在社会主义时代 尤其是这样。 —— 毛泽东
原方程两边直接开平方 得： 2(2 y 5) 3(3 y 1) 所以： 2(2 y 5) 3(3 y 1)或2(2 y 5) 3(3 y 1)
7 解这两个方程，得原方 程的解为： y1 , y2 1. 5
巩固练习
解下列方程： （ 1 ）x 2 169 （ ; 2） 45 x 2 0 （ ; 3）y122 25 0;
x 144,即x 12
这里得到方程的两个根，通常也表示成： x1＝12，x2＝－12.
结合实际问题这里应将x2=－12舍去. 所以这个舞台的各边连长应是12米.
掌握新知
例1.用直接开平方法解方程.
(1) x2
–
2= 0
–
(2) 16x2
25 = 0
–
(3) （x-3）2
144 = 0
25 （2）由16 x 25 0, 得x ＝ 16 5 两边直接开平方得， x＝ 4 5 5 所以原方程的解是： x1＝ ，x2＝ . 4 4 （3）由( x 3)2 144 0, 得x 2＝ 144
2 2
两边直接开平方得 , x 3＝ 144
即, x＝3 12 所以原方程的解是： x1＝ 15 ，x2＝ 9.
x 3 5
x1 3 5, x2 3 5
归纳小结
1.形如a( x h) 2 k (a 0, a, k 0), ( px m) 2 n( p 0, n 0)的 形式的方程，可以利用 直接开平方法解。
2.利用直接开平方法的注 意事项： （ 1）必须把方程化成等号 左边是一个含未知数的 一次多项式 的平方，右边是一个非 负数的形式才能解 . 它们互为相反数；零的 平方根是零，负数没有 平方根.
第22章 一元二次方程
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
第1课时 用直接开方方法解一元二次方程
驶向胜利 的彼岸
复习导入
1.如果x a(a＞0),则x就叫做a的 平方根 .
2
2 x a(a 0) 2.如果 ，则
x 。 a
3.如果
，则 x2 64
x=±。 8
χ(χ－3)
4.把下列各式分解因式：