结构力学第四章
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s
1
Mk
1
m
ds
m
ds
Rik ic
适用于各种杆件体系(线性,非线性).
对于由线弹性直杆组成的结构，有： 求k点竖向位移.
m
FNm EA
,wk.baidu.com
m
FQm
GA
,
m
Mm EI
ds
荷载作用下，m 换成 p
适用于线弹性 直杆体系,
kp
[ FN P FNk FQ P FQk M P M k ]ds
EA
二、结构的虚变形功 平面杆系结构k状态微段外力、m状态的变形为
微段受力 微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为 Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
M
(2将)虚位移X 与/ 实C 际 力a /状b 态代无入关得,故:可设
B
X X
0
X
P
x
b1P
/
a
C
0
(3通)求常解取时关键一步X 是找1出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
2、虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
Wex =Ude
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功Wex,恒
等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Ude。
变形体虚功原理的证明:
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利用变形连续性条件计算
2.利用平衡条件计算
(2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力
平衡关系。
(4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。
虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立。 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
所有微段的外力功之和:
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
Ude =∫dWi =δWi
故有Wex = Ude成立。
几个问题:
1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。
3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，
将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，
将位移分析化为平衡问题来求解。
Wex=Ude=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
二、虚功原理的两个运用
1、虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
所有微段的外力虚功之和 Wex
所有微段的外力虚功之和 Ude
微段外力分 体系外力
为两部分
相互作用力
微段位移分 刚体位移 ab ab
为两部分
变形位移ab ab
微段外力功 分为两部分
体系外力功dWe 微段外力功 相互作用力功dWn 分为两部分
在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi
微段外力功 dW= dWe+dWn
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
由外力虚功总和为零，即：
实际受力状态的平衡方程
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
三、 本章位移计算的假定 1、 线弹性 (Linear Elastic), 2、 小变形 (Small Deformation), 3、理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§4-2. 结构的外力虚功和虚变形功
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
两种状态
FP
力状态 （虚力状态）
位移状态 （虚位移状态）
q
FP /2
FP /2
（虚）力状态
无关
（虚）位移状态
注意：
（1）属同一体系；
（2）均为可能状态。即位移应满足变 形协调条件；力状态应满足平衡 条件。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
YA
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之
点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。
由 MB 0求得： YA b / a
虚功方程为： 解得：
1 YA c 0
bc/a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。
引起结构位移的原因
荷载、 温度改变 T、 支座移动 c、 制造误差 等
二、 计算位移的目的
1、 刚度要求 如： 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
（3）位移状态与力状态完全无关；
一些基本概念：
功：力×力方向位移之总和 广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项
实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 虚功：广义力与广义位移无关时所作的功
变力功 WW==FFPP11××ΔΔ11 2/2 WWW===FFFPP2Poo2×r×r×ΔΔΔ2/221/2
§4-4. 单位荷载法
一.单位荷载法
k
求k点竖向位移.
iP
由变形体虚功方程:
P 1
Wex=Ude
变形协调的 位移状态(m)
平衡的力 状态(k)
Wex 1 km R1K 1C R2K 2C
Ude
km
FNk mds
s
FNk mds
s
s
FQk mds
s
s
FQk mds M k
1
Mk
1
m
ds
m
ds
Rik ic
适用于各种杆件体系(线性,非线性).
对于由线弹性直杆组成的结构，有： 求k点竖向位移.
m
FNm EA
,wk.baidu.com
m
FQm
GA
,
m
Mm EI
ds
荷载作用下，m 换成 p
适用于线弹性 直杆体系,
kp
[ FN P FNk FQ P FQk M P M k ]ds
EA
二、结构的虚变形功 平面杆系结构k状态微段外力、m状态的变形为
微段受力 微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为 Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
M
(2将)虚位移X 与/ 实C 际 力a /状b 态代无入关得,故:可设
B
X X
0
X
P
x
b1P
/
a
C
0
(3通)求常解取时关键一步X 是找1出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
2、虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
Wex =Ude
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功Wex,恒
等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Ude。
变形体虚功原理的证明:
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利用变形连续性条件计算
2.利用平衡条件计算
(2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力
平衡关系。
(4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。
虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立。 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
所有微段的外力功之和:
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
Ude =∫dWi =δWi
故有Wex = Ude成立。
几个问题:
1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。
3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，
将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，
将位移分析化为平衡问题来求解。
Wex=Ude=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
二、虚功原理的两个运用
1、虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
所有微段的外力虚功之和 Wex
所有微段的外力虚功之和 Ude
微段外力分 体系外力
为两部分
相互作用力
微段位移分 刚体位移 ab ab
为两部分
变形位移ab ab
微段外力功 分为两部分
体系外力功dWe 微段外力功 相互作用力功dWn 分为两部分
在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi
微段外力功 dW= dWe+dWn
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
由外力虚功总和为零，即：
实际受力状态的平衡方程
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
三、 本章位移计算的假定 1、 线弹性 (Linear Elastic), 2、 小变形 (Small Deformation), 3、理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§4-2. 结构的外力虚功和虚变形功
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
两种状态
FP
力状态 （虚力状态）
位移状态 （虚位移状态）
q
FP /2
FP /2
（虚）力状态
无关
（虚）位移状态
注意：
（1）属同一体系；
（2）均为可能状态。即位移应满足变 形协调条件；力状态应满足平衡 条件。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
YA
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之
点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。
由 MB 0求得： YA b / a
虚功方程为： 解得：
1 YA c 0
bc/a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。
引起结构位移的原因
荷载、 温度改变 T、 支座移动 c、 制造误差 等
二、 计算位移的目的
1、 刚度要求 如： 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
（3）位移状态与力状态完全无关；
一些基本概念：
功：力×力方向位移之总和 广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项
实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 虚功：广义力与广义位移无关时所作的功
变力功 WW==FFPP11××ΔΔ11 2/2 WWW===FFFPP2Poo2×r×r×ΔΔΔ2/221/2
§4-4. 单位荷载法
一.单位荷载法
k
求k点竖向位移.
iP
由变形体虚功方程:
P 1
Wex=Ude
变形协调的 位移状态(m)
平衡的力 状态(k)
Wex 1 km R1K 1C R2K 2C
Ude
km
FNk mds
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FNk mds
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FQk mds
s
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FQk mds M k