数学归纳法以及其在数论中的应用开题报告
数学归纳法及其应用
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【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。
本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。
并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。
关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。
ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。
数学归纳法以及其在初等数论中的应用
+14 28 4 · ·高二第二次阶段测试化学试卷12、21班级 姓名 学号可能用到的相对原子质量：H —1 O —16 Na-23 Cl —35.5Mn-55 Ag-108一、选择题（每题只有1个选项符合题意。
本大题共23题，每题3分,共69分)1．现代社会提倡低碳生活。
下列燃料能实现二氧化碳零排放的是 A ．氢气 B ．天然气 C ．石油 D ．煤炭2．下列化学用语正确的是A ．硅的原子结构示意图:B ．乙烯分子比例模型：C ．次氯酸分子的电子式：D ．乙酸分子的结构简式：C 2H 4O 23．下列气体中，有颜色且具有刺激性气味的是A ．SO 2B ．NOC ．NH 3D ．Cl 2 4．胶体区别于其它分散系的本质特征是A ．胶体稳定B ．胶体有丁达尔效应C ．胶体能净水D ．胶粒直径在1—100nm 之间5．下列物质中只含有离子键的是A ．NaOHB ．CO 2C ．MgCl 2D ．HClH H H HC ＝CH ∶Cl ∶O ∶6．运输乙醇或汽油的车辆，贴有的危险化学品标志是A B C D 7．下列物质中，属于纯净物的是A．氯水B．聚乙烯C．蔗糖．D、加碘食盐8．下列物质不．需．经过化学变化就能从海水中获得的是A．烧碱B．食盐C．单质镁D．单质溴9．下列物质互为同分异构体的一组是A．35Cl和37Cl B．O2和O3C．CH3CH2OH和CH3OCH3D．甲烷和丁烷10．下列物质间的转化，通过一步反应不能完成的是A、FeCl3→FeCl2B、NO2→HNO3C、Al2O3→NaAlO2D、SiO2→H2SiO311．某溶液中存在大量的OHˉ、Clˉ、CO32ˉ，该溶液中还可能大量存在的离子是A．NH4+B．Ca2+C．HCO3ˉD．SO42ˉ12．N2+3H22NH3是工业制氮肥的重要反应。
下列关于该反应的说法正确的是A ．增加N 2的浓度能加快反应速率B ．降低体系温度能加快反应速率C ．使用催化剂不影响反应速率D ．若反应在密闭容器中进行,通过改变条件可以使N 2和H 2能完全转化为NH 313．下列反应中生成物总能量高于反应物总能量的是 A ．氧化钙溶于水 B ．乙醇燃烧C ．铝粉与氧化铁粉末反应D ．断开1mol 氮气分子中的氮氮叁键14．下列图示装置的实验中,操作正确的是A ．图1分离碘酒中的碘和酒精B ．图2稀释浓硫酸C ．图3从食盐水中获得食盐晶体D ．图4除去HCl 中的Cl 2并副产漂白粉15．下列反应中，与其它三个反应不属于同一类型的反应是A ．B ．C ．D ．图1 图2 图3 图4碘酒HCl(Cl 2)石灰水溶液浓硫酸 H 2O16．食品的主要成分大都是有机化合物。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
数学归纳法在初等数论教学中的应用
知识文库 第20期197数学归纳法在初等数论教学中的应用杨全会数学归纳法是数学中一种极为重要的数学方法，它在数学各个分支中都有着举足轻重的作用.本文通过举例说明它在数论中的一些应用.数学归纳法是数学中极为重要的一种方法，它又分为第一数学归纳法，第二数学归纳法，跳跃数学归纳法，反向归纳法，螺旋归纳法，加强数学归纳法等. 合理的运用好数学归纳法并不是一件容易的事情. 下面我们以初等数论的例题教学为例，简单介绍一下何时用数学归纳法.证明过程中条件不够的情形.我们在证明结论时，发现题目并没有条件，或者根据现有的条件不能直接推出结论. 在这种情况下，我们要证明出结论必须要增加新的条件，此时我们可以想到用数学归纳法，它可以增加“归纳假设”这一新的条件，让解题柳暗花明又一村. 下面我们看这个例子.例1. 对于正整数,210n a a a a <<<< 证明：.211],[1],[1],[112110n n n a a a a a a -≤+++-证明：当1=n 时，由于21≥a ，故命题显然成立. 假设命题对)2(1≥-=m m n 成立，下证命题对m n =成立.情形1:m m a 2≤. 由于对m k ,,2,1 =均有,11),(],[1111111k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a -=-≤=------ 故.211111111],[101111m m m mk k k mk k k a a a a a a a -≤-≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∑∑=-=- 情形2: .2m m a >由归纳假设知，1111211],[1--=--≤∑m m k k k a a 因此.21121211],[1211],[111111m m m m m m mk k k a a a a -=+-<+-≤---=-∑ 综上可得命题对m n =也成立. 因此命题得证.1.命题可等价转化到变量较小的情形.当证明关于n 的命题)(n P 时，若)(n P 与)(m P 等价，其中n m <，则此时我们可用数学归纳法. 下面我们看如下例子.例2. 对于任意的整数1≥n ，证明数列 ,2,2,2222自某项起, 各项对模n 同余.证明：显然当1=n时结论成立. 假设)2(1≥-≤m m n 时结论成立，下证命题对m n=也成立. 设12m m k =，其中1m 为奇数, 则只要证明自某项起, 各项分别对模k2和模1m 同余. 显然自某项起，各项对模k2同余. 当mm <1时, 由归纳假设知，自某项起模1m 同余. 下面不妨设m m =1. 用i a 表示该数列的第i 项. 要证存在s ，当s i ≥时, )(mod 11m a a s i ++≡, 即)(mod 22m sia a ≡.这等价于)()(mod 12s i m s i a a ≥≡-.设δ为最小的正整数使得)(mod 12m ≡δ，则s i a a -|δ,即)(mod δs i a a ≡. 由欧拉定理知，m m <≤)(ϕδ. 因此，由归纳假设可得，存在s 使得当s i ≥时，).(mod δs i a a ≡因此，命题对m n =成立, 故命题得证.2.小结我们一般在解题过程中没有招时可想一想数学归纳法是否可行，它本质上反应了问题的继承关系，能够降低问题的难度。
数学归纳整理报告
数学归纳整理报告导言数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明一般性命题的正确性。
它的基本思想是通过证明某个命题在基础情况下成立，并证明某个情况下命题成立则在下一个情况下也成立，从而推出该命题在所有情况下成立。
这种方法在数学领域中具有广泛的应用，并被广泛认可和接受。
本报告将对数学归纳法的基本概念和应用进行整理和归纳，以便读者更好地理解和运用数学归纳法。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种基于自然数的推理方法。
它的基本思想可以用以下的形式化描述：•步骤1：证明基础情况下命题成立。
通常，基础情况是指最小的自然数或者一个特定的自然数。
•步骤2：假设命题对于某个自然数 n 成立。
•步骤3：证明在命题对于 n 成立的情况下，命题对于 n+1 也成立。
根据以上步骤，可以通过数学归纳法证明一个命题在所有自然数下都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在数学领域中有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 证明数列性质的正确性数列是一系列有规律的数字的排列。
数学归纳法可以用来证明某个数列满足某种性质。
具体步骤如下：•步骤1：证明基础情况下数列的第一个数字满足性质。
•步骤2：假设数列的前 n 个数字满足性质。
•步骤3：证明在数列的前 n 个数字满足性质的情况下，数列的第 n+1 个数字也满足性质。
通过数学归纳法可以证明数列在所有位置上都满足某种性质。
2. 证明不等式的成立数学归纳法也可以用于证明不等式的成立。
具体步骤如下：•步骤1：证明基础情况下不等式成立。
•步骤2：假设不等式在某个自然数 n 成立。
•步骤3：证明在不等式在 n 成立的情况下，不等式在 n+1 也成立。
通过数学归纳法可以证明不等式在所有自然数下都成立。
3. 证明递推关系的正确性递推关系是描述数列或函数之间关系的表达式。
数学归纳法可以用来证明递推关系的正确性。
具体步骤如下：•步骤1：证明基础情况下递推关系成立。
•步骤2：假设递推关系在某个自然数 n 成立。
数学归纳法的原理及应用论文前期报告
河北工业大学本科毕业设计（论文）前期报告一﹑工作过程本课题主要研究的是数学归纳法的原理及应用。
毕业设计工作的过程大致分为：首先熟悉毕业设计任务，收集相关资料。
研究数学归纳法的基本原理，及其各种表现形式和应用，为后期的工作做准备。
然后系统地介绍数学归纳法的原理，讨论基本表现形式和性质，并利用大量例证来讨论数学归纳法在数学证明中应用。
采用的研究手段是查阅文献资料，结合查找的资料，进行系统的归纳，提炼，总结，论述数学归纳法的相关性质及与各方面的联系和应用等。
毕业设计（论文）工作进度：现已按时顺利完成任务书要求前期工作。
二、文献综述数学归纳法是数学中一种重要的证明方法。
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：（1）证明当n=1时命题成立。
（2）证明如果在n=k时命题成立，那么可以推导出在n=k+1时命题也成立。
（k代表任意自然数）1.数学归纳法的发展历程数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学归纳法已经有两千多年的历史了。
数学归纳法最早可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里德素数无限的证明中都可以找到这种踪迹。
李文林翻译的美国数学史教授V•J•Katz在《数学史通论》（第二版）中表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师莱维•本•热尔森（Levi ben Gerson，1288~1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法的归纳推理。
但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F.Maurolycus,1494-1575），但他也未对数学归纳法证明中的奠基和归纳推理这两个步骤进行明确的描述。
数学归纳法及其在证明中的应用
数学归纳法及其在证明中的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，在数学领域中具有广泛的应用。
它基于数学归纳原理，通过证明某一命题在基础情形下成立，并且在前一情形成立的前提下，推导出在后一情形下成立，从而证明该命题对于所有情形都成立。
本文将介绍数学归纳法的基本原理及其在证明中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以简述为：若能证明命题在基础情形下成立，并且在前一情形成立的前提下，能推导出在后一情形下也成立，则该命题对于所有情形都成立。
具体而言，数学归纳法一般包含以下三个步骤：1. 基础情形的证明：首先证明当n取某个特定值时，命题成立。
这个特定值称为基础情形。
证明这一步骤通常是较为简单和直接的。
2. 归纳假设的建立：假设当n=k时命题成立，其中k是某个自然数。
这个假设被称为归纳假设，它是推导下一情形的前提。
3. 归纳步骤的证明：在归纳假设的前提下，证明当n=k+1时命题也成立。
这一步骤需要推导并证明命题成立的过程。
通过以上三个步骤，我们可以逐步推导出命题对于所有正整数都成立的结论。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在证明数学命题中有着广泛的应用。
下面将介绍数学归纳法在代数、数论和组合数学等领域中的具体应用。
1. 代数中的应用在代数中，数学归纳法常用于证明与自然数相关的性质。
例如，我们可以利用数学归纳法证明自然数n的平方和公式：1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1))/6首先，我们证明当n=1时，公式成立。
然后，假设当n=k时公式成立，即1² + 2² + 3² + ... + k² = (k(k+1)(2k+1))/6。
接下来，我们需要证明当n=k+1时公式也成立。
利用归纳假设，我们可以得到：1² + 2² + 3² + ... + k² + (k+1)² = (k(k+1)(2k+1))/6 + (k+1)²通过化简和运算，我们可以证明等式成立，从而得出结论：对于所有自然数n，平方和公式都成立。
数学归纳法的应用研究报告
数学归纳法的应用研究报告
标题：数学归纳法的应用研究报告
摘要：数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它在数学和计算机科学领域具有广泛的应用。
本报告对数学归纳法的应用进行了深入研究和分析，包括数列的性质证明、自然数间的关系推导、复杂算法的正确性证明等方面。
通过案例研究和实际例子，我们展示了数学归纳法在解决各种数学问题中的有效性和优势。
1. 引言
1.1 研究背景
1.2 研究目的
2. 数学归纳法的原理和基本步骤
2.1 数学归纳法的原理
2.2 数学归纳法的基本步骤
3. 数学归纳法在数学领域的应用
3.1 数列的性质证明
3.1.1 斐波那契数列的性质证明
3.1.2 调和级数的性质证明
3.2 自然数间的关系推导
3.2.1 整数的奇偶性证明
3.2.2 平方数和立方数的关系推导
4. 数学归纳法在计算机科学领域的应用
4.1 算法的正确性证明
4.1.1 插入排序算法的正确性证明
4.1.2 递归算法的正确性证明
4.2 数据结构的性质证明
4.2.1 二叉树的性质证明
4.2.2 图的连通性证明
5. 数学归纳法的优势和不足
5.1 优势
5.2 不足
6. 结论
参考文献
附录：数学归纳法的详细证明步骤、数学归纳法的证明示例、计算机算法和数据结构的数学归纳法证明示例。
数学归纳法在中学数学教学中的应用（精选五篇）
数学归纳法在中学数学教学中的应用（精选五篇）第一篇：数学归纳法在中学数学教学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。
本文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法来说明数学归纳法在中学数学教学中的应用。
关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用引言数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使用数学归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。
正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法被广泛用来解决一些数列、不等式、整除等问题。
一、数学归纳法的概念在介绍什么是数学归纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归纳法的：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。
[1]”由此可见数学归纳法是多么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要是从特殊到一般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判断，作为证明某些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。
在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步是证明命题n=n0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。
而数学归纳法所依据的数学公理是意大利数学家皮亚诺提出的皮亚诺自然数公理的的第五条（归纳公理）：任意一个自然数集合N，1属于N；假定N包含n，N也一定包含后继数n'，则N包含所有自然数。
[2] 归纳公理用准确的逻辑术语表达了自然数的性质，这是数学归纳原理的数学依据。
从1开始，一个一个地选取可以达到任意自然数。
数学归纳法以及其在初等数论中的应用论文答辩
洛阳师范学院
数学归纳法在初等数论中应注意的问题 4.1起步错误 容易忽略,觉得无关紧要,可有可无,不去认真的验证这一步,或者 根本没有这一步,都可能陷入错误之中,推出看似正确的答案. 4.2 机械套用数学归纳法的两个步骤致误 有时直接应用第一类或者第二类条件是不足的，此时，应该用 其他，但是往往不注意. 4.3 混淆概念所致 套用不完全归纳法
数学归纳法以及在初等数论中的应用
指导老师：**
答辩人：孙**
洛阳师范学院
1
2 3
选题的意义
论文轮廓
主要内容
4
论文的不足
洛阳师范学院
选题的意义
1
数学归纳法我 们从中学就开 始接触，但是 有时对的原理 并非特别清楚。
2
独特性，在诸多 证明方法中，由 于数学归纳法那 种机械又明快的 结构，特立独行 .。
洛阳师范学院
4.4 归纳递推的必要性 这步致错的原因往往是没有用到归纳假设，直接得 的正确性.
出式子
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结 论
用数学归纳法证明命题可以降低过程的复 杂性,使推理过程简单,清晰,也保证了推理的 严谨性,特别是在初等数论中的众多命题的证 明时,使得证明过程简洁明了,而不失严密性, 数学归纳法是一种行之有效的证明方法.
在用数学归纳法证明与自然数有关的命题 时,两个基本步骤是不可缺少的,否则命题不一 定成立.
洛阳师范学院
论文不足
第一：数学归纳法的应用非常广泛，由于本人涉 及方面有限，本文只对一些基本应用做了论述， 旨在说明一种基本的数学证明思维方法.
第二：数学归纳法可以证明很多有关自然数的 命题，特别是在初等数论中.但是由于本文篇幅 有限，只是叙述了部分命题.
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高中数学的归纳数列与数论的性质与应用
高中数学的归纳数列与数论的性质与应用（文章正文）在高中数学中，归纳数列和数论是两个重要的概念。
归纳数列是指通过观察数列的规律，猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法证明该公式的正确性。
而数论则研究整数之间的性质和关系，并在实际问题中应用数论的知识解决问题。
一、归纳数列的概念和性质归纳数列是由一系列的数按照一定的规律排列而成，可以用以下形式表示：a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……。
其中a₁，a₂，a₃，……为数列的前n项，aₙ为数列的第n项。
归纳数列的通项公式是用来表示数列的第n项和n的关系的。
归纳数列的性质有以下几个方面：1. 公式性质：归纳数列的通项公式是数列的重要性质之一，它可以用来求解数列的各项数值。
2. 递推性质：归纳数列的后一项可以通过前一项计算得到，可以利用递推关系简化计算过程。
3. 递归性质：一些归纳数列的通项公式可以通过将前一项插入到式子中得到，这种递归关系可以被用来证明数列的正确性。
4. 初项和公差：对于等差数列来说，初项和公差是数列的重要性质，可以通过这两个参数确定数列的特征。
二、数论的概念和应用数论是研究整数之间的性质和关系的数学分支。
它与归纳数列有着紧密的联系，并且在实际问题中有着广泛的应用。
数论的主要研究内容包括素数、最大公约数、同余等。
数论的应用主要体现在以下几个方面：1. 密码学：数论的相关理论和方法在密码学中有着广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于质数分解的难题设计的，利用了数论中的一些重要性质。
2. 信息编码：数论的一些性质和理论在信息编码中也有重要的应用。
其中，汉明码和循环码都是基于数论相关概念设计的。
3. 计算机科学：在计算机算法设计中，数论的相关知识可以用来设计高效的算法，并解决一些时间复杂度较高的问题。
4. 数字证书：在网络安全领域，数字证书的生成和验证涉及到数论中的一些概念和算法，用来确保通信的安全性和可信度。
总结：高中数学的归纳数列与数论的性质与应用是数学学习中重要的部分。
数学归纳法以及其在数论中的应用开题报告
_成 绩评定答辩小组评语：论文首先介绍了五种数学归纳法，并给出相关的例题。
紧接着又介绍了数学归纳法在初等数论中的应用且应注意的问题。
该生参考了一定的文献资料，对其理解和应用一般，文章篇幅基本符合学院规定，内容基本完整，层次结构安排基本恰当，但论文选题一般且缺乏个人见解。
论文选题符合专业培养目标，题目有一定难度，但工作量一般，基本达到了本科毕业论文的要求。
论文观点明确，文字基本通顺，答辩时表达基本清楚，回答问题基本正确，经答辩小组充分讨论，一致同意通过毕业论文答辩。
评定成绩（优秀、良好、中等、及格、不及格）： 答辩小组组长签名： 年 月 日分学位委员会意见：分学位委员会主席签名： 年 月 日洛阳师范学院本科生毕业论文（设计）基本情况表__数学科学学院__院（系）开 题 报 告姓 名 性别 学 号 专 业 年 级 孙**女110412016数学与应用数学2011级 题 目数学归纳法及其在初等数论中的应用课题来源 （2）综述 选题目的、国外研究现状、选题意义、需要解决的主要问题及可行性等。
选题目的：数学归纳法我们从中学就开始接触，但是有时对的原理并非特别清楚。
在诸多证明方法中，数学归纳法那种机械又明快的结构，特立独行. 它的思想性价值很高，是从有限通向无限的第一条高速公路，有里程碑式的作用。
特别是在初等数论中的应用。
国内外研究现状：在国内外大学教育中，数学归纳法是数学研究中必不可少的一部分，具有特别重要的地位，因此引起了大量学者对它的研究，其研究也是比较完整和全面的。
选题意义：虽然在课本上有许多例题应用数学归纳法，但是并没有详细介绍它的来源和原理，而且它在证明初等数论中的定理和各种各样的数学问题时，还有着非常广泛的应用，这就是这篇论文产生的必要性。
需要解决的主要问题及可行性：大学课本上关于数学归纳法定理的证明不是十分完整。
本文将会补充完整.说明一些定理在初等数论中成立，最后再将这些定理通过一些例题进行应用。
数学归纳法在数论中的应用
数学归纳法在数论中的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，尤其在数论中的应用十分广泛。
数论是研究整数性质和整数关系的数学分支，常常涉及到对整数性质和结论进行证明。
本文将介绍数学归纳法在数论中的应用，以展示它在解决数学问题上的重要性。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法，也称为数学归纳证明，是一种证明某个性质对于所有自然数都成立的方法。
其基本原理可以归纳为以下三步：•基础步骤：证明性质对于最小的自然数（通常是0或1）成立。
•归纳步骤：假设性质对于某个自然数n成立，然后证明在这个假设下，性质对于n+1也成立。
•归纳假设结果：根据归纳原理，可得出性质对于所有自然数都成立。
数学归纳法的核心思想是通过证明最小情况成立，并从这个情况推导出后续情况的成立，从而得出性质对于所有自然数都成立的结论。
2. 数学归纳法在数论中的应用举例2.1 素数的无穷性证明素数是指只能被1和自身整除的自然数。
我们要证明素数是无穷多个，即不存在最大的素数。
使用数学归纳法可以很容易地证明这一结论。
基础步骤：最小的素数是2，满足条件。
归纳步骤：假设存在一个最大的素数p，考虑p的某个整数倍p’。
由于p是素数，除了1和p本身，p’不能被其他的素数整除。
所以，p’必定也是个新的素数。
因此，不存在最大的素数。
归纳假设结果：根据数学归纳法，可得出素数是无穷多个的结论。
2.2 斐波那契数列性质证明斐波那契数列是一个非常著名的数列，其中每个数都是前两个数的和。
我们要证明一个有关斐波那契数列的性质：任意两个相邻的斐波那契数之间的最大公约数是1。
基础步骤：考察最小的斐波那契数列，即0和1。
它们之间的最大公约数是1，满足条件。
归纳步骤：假设对于某个斐波那契数n，它与之前的斐波那契数n-1的最大公约数是1。
我们需要证明对于斐波那契数n+1，它与n的最大公约数也是1。
利用斐波那契数列的定义可以得到n+1 = n + (n-1)，换句话说，n+1是n和n-1的和。
如何利用题型归纳法迅速提升高中数学解题技巧的开题报告
如何利用题型归纳法迅速提升高中数学解题技巧的开题报告一、研究背景对于大多数高中生来说，数学是一门较为困难的学科，需要掌握复杂的理论知识和解题技巧。
然而，如何快速提升自己的数学解题技巧是一个难题。
题型归纳法是一种较为有效的方法，可以帮助学生迅速掌握各种数学题型的解题方法。
因此，本文将研究如何利用题型归纳法提升高中数学解题技巧。
二、研究目的本文的研究目的在于：1. 探究题型归纳法的原理和方法，帮助学生理解其作用和意义。
2. 分析和总结各类数学题型的解题方法和技巧，通过归纳总结的方式帮助学生掌握各种数学题型的解题方法。
3. 实现题型归纳法的应用，通过实际解题案例的演示和讲解，帮助学生掌握如何运用题型归纳法解决实际问题。
三、研究方法本文采用文献资料法、案例分析法和实验研究法相结合的方法进行研究。
首先，通过文献资料法对题型归纳法进行深入探究和分析，了解其原理和方法。
其次，通过案例分析法对各类数学题型的解题方法和技巧进行总结和归纳。
最后，通过实验研究法，在实际解题过程中运用题型归纳法进行演示和讲解，检验其实际效果。
四、研究内容本文主要研究内容包括以下三个方面：1. 题型归纳法的原理和方法题型归纳法是指通过对一类问题的多次解答和总结，发现它们之间的相似之处和规律，进而归纳出其解题的一般方法和技巧的过程。
本文将对题型归纳法的原理和方法进行详细阐述和分析。
2. 各类数学题型的解题方法和技巧的总结和归纳本文将对高中数学中出现的各类题型进行分析和总结，包括代数式计算、函数图像分析、平面几何、解析几何、三角函数等，通过归纳总结的方式帮助学生掌握各种数学题型的解题方法和技巧。
3. 题型归纳法的应用实例本文将通过实际解题案例的演示和讲解，帮助学生掌握如何运用题型归纳法解决实际问题。
同时，通过实验研究法检验题型归纳法的实际效果。
五、预期结果通过本文的研究，预期达到以下效果：1. 帮助学生全面了解题型归纳法的原理和方法。
2. 帮助学生掌握各种数学题型的解题方法和技巧。
谈数学归纳法及其应用开题报告（可编辑）
谈数学归纳法及其应用开题报告新乡学院毕业论文(设计)开题报告表院(系)名称专业名称年级学生姓名学号指导教师姓名填表时间:年月日拟选题目谈数学归纳法及其应用选题依据及研究意义 :数学归纳法可以说是贯穿了整个数学的始终,就像我们大家所熟知的奇数与偶数的定义,合数与质数,等腰三角形与等边三角形定义,等差数列与等比数列的定义等等都是由归纳与类比得出来的。
数学归纳法在一些困难问题上发挥着重要的作用,它不仅在中学数学中有用,在我们的基础学科:数学分析,高等代数等学科中也发挥着其作用。
它不仅贯穿于我们数学的各门学科中,而且在我们生活中也起着不同凡响的作用。
数学归纳法体现了人的认识从有限到无限的飞跃。
在人类数学的进步中起着非常广泛的作用。
选题的研究现状:数学归纳法有完全归纳法和不完全归纳法。
它与一般证法不同之处,在于它直接利用了结论来证明,这在一般证法是不允许的,因为这样就犯了循环论证的错误。
但是数学归纳法的“循环论证”却又是严密的:首先要验证K1(或其他初值)的情况,打下基础;然后就是利用结论推导。
这一过程中,如果只是有限次的推导,显然是不成立的;而数学归纳法的精髓,就在于它从特殊值成立的情况上升到了一般情况的高度,这样就使不严密变得严密。
从另一个角度讲,每一个使结论成立的特殊值,都是结论成立的必要条件;全体必要条件就够成了充分条件,因而可以推导出结论。
从哲学角度讲,这是一个从量变到质变的过程。
哲学是所有学科的抽象,自然科学理应不违背哲学理论。
拟研究的主要内容和思路研究的主要内容:数学归纳法的原理,数学归纳法的具体表现形式和数学归纳法的应用。
研究的主要思路:1、简述数学归纳法的发展起源;2、从其原理出发对其进行剖析;3、对其几种表现形式进行类比分析;4、通过列举实例说明其在数学学科中的应用。
主要参考文献[1]程克玲.数学归纳法及其应用.赤峰学院学报,2011,03:22-23.[2]赵小云,蒋亦东.数学归纳法及其应用.数学通讯,2000,10:44-47.[3]宋家彬.浅谈数学归纳法在解题中的应用.成功?教育,2009,04.[4]肖业亮,刘会民.浅谈数学归纳法在解题中的应用.高等数学研究,2009,04.[5]郭兆高.数学归纳法在中学数学解题中的妙用.科技信息,2009,04.其他说明指导教师意见指导教师签名:年月日指导教师小组意见指导教师小组负责人:年月日院(系)备案意见院(系)公章年月日新乡学院毕业论文设计指导记录表学生姓名学号年级院系名称专业指导教师姓名职称拟选题目指导记录1指导教师签名: 年月日指导记录2 指导教师签名: 年月日指导记录3 指导教师签名: 年月日指导记录4 指导教师签名: 年月日说明:1.此表为指导教师指导学生撰写和修改毕业论文(设计)的动态记录表,供指导教师在每次指导学生撰写或修改毕业论文(设计)时用兰色或黑色水笔认真填写并签名。
数学归纳法论文文献综述
数学归纳法论文文献综述本科毕业论文文献综述题目数学归纳法及其在数列中的应用学院数学与信息科学专业班级学生姓名11数本一夏博温州大学教务处制学号指导教师数学与应用数学 11109334132 何文明1数学归纳法及其在数列中的应用文献综述摘要：数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自然数集相关的命题．但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义．普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”，自然也需要一个漫长的认识过程。
在中学中，数学归纳法是解决数列问题的一种重要手段，只有在理解了数学归纳法的数学思想，理解了数学归纳法的原理和实质，掌握数学归纳法的步骤才能更为有效的解决数列问题。
关键字：数学归纳法；数列§1、前言一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥拉斯时代。
毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的。
他由有限个特殊情况而作出一般结论, 具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理。
完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前 3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明。
其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理。
16 纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F・Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究。
莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,是严格意义上的数学证明, 要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的,因为自然数有无穷多个。
那么对于这类问题该如何解决呢?1575 年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法。
法国数学家 B・帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。
在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表,中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题。
归纳法开题报告范文
归纳法开题报告范文归纳法开题报告范文一、引言归纳法是一种研究方法，通过总结和归纳已有的观察结果和实验数据，从而得出一般性的结论。
它在科学研究、逻辑推理和问题解决中都有广泛的应用。
本文旨在探讨归纳法的原理、特点和应用，以及它在不同学科领域中的具体案例。
二、归纳法的原理和特点1. 原理归纳法基于观察和实验，通过总结和归纳已有的事实和数据，寻找其中的共性和规律性，从而得出一般性的结论。
它是从特殊到一般的推理过程，通过具体的实例来推断普遍的规律。
2. 特点归纳法具有以下几个特点：- 具有普遍性：通过归纳法得出的结论具有普遍性，能够适用于更广泛的情况和对象。
- 可靠性较低：归纳法得出的结论不具备绝对的准确性，因为它是基于有限的观察和实验数据进行推理的。
- 可验证性：通过进一步的观察和实验，可以验证归纳法得出的结论是否正确。
- 灵活性：归纳法适用于各种学科领域和问题类型，能够灵活应用于不同的研究对象和情境。
三、归纳法的应用领域1. 科学研究归纳法在科学研究中有着广泛的应用。
科学家通过观察和实验，总结和归纳已有的研究结果，从而得出一般性的理论和规律。
例如，达尔文通过观察和比较不同物种的特征和行为，归纳出了进化论的理论。
2. 逻辑推理归纳法在逻辑推理中也起着重要的作用。
通过观察和总结已有的事实和例子，可以推断出一般性的结论。
例如，通过观察多个例子，我们可以归纳出“所有人类都会呼吸”。
3. 问题解决归纳法在问题解决中也有着实际应用。
当我们遇到一个新问题时，可以通过观察和总结类似问题的解决方法，归纳出一般性的解决策略。
例如，当我们遇到一个数学问题时，可以通过总结已有的解题方法，归纳出一般的解题思路。
四、归纳法的具体案例1. 数学在数学中，归纳法是一种常用的证明方法。
通过观察和总结特定的数值例子，可以归纳出一般的数学规律。
例如，通过观察自然数序列1、2、3、4、5...，我们可以归纳出“自然数序列的通项公式为n”。
2. 社会科学在社会科学中，归纳法也有广泛的应用。
数学归纳法及其在数论方面的应用
这就是说, 当 n = k + 1时命题也成立. 所以, 由第二数学归纳法知, 对一切正整数 n命题都成立.
例 3 设 x 2, p 为素数, 则 ∋ lnp < ( 2 ln 2) x. px
证明: 显见只要考虑 x 是整数的情形即可. 对 x 施用第二数学归纳法. 当 x = 2时, 结论显然成立. 假设对所有的 2 x k - 1结论成立. 若 k 是合数, 则当 x = k时, 结论显然成立. 若 k 是奇素数, 设 k = 2n + 1( n 1), 由归纳假设知
∋ lnp < ( 2 ln 2) ( n + 1) (* * )
p n+ 1
归纳推理开题报告
归纳推理开题报告归纳推理开题报告引言归纳推理作为一种重要的思维方式，被广泛应用于各个领域。
它通过从特殊到一般的推理，从个别事物中总结出普遍规律，帮助我们理解世界、解决问题。
本文将探讨归纳推理的定义、特点以及在科学、教育和日常生活中的应用。
第一部分归纳推理的定义与特点归纳推理是一种从特殊到一般的推理方式，通过观察和总结个别事物的共同特征，得出普遍规律。
与之相对的是演绎推理，后者是从一般到特殊的推理方式，通过已知的前提推导出结论。
归纳推理的特点包括：1. 基于观察和经验：归纳推理依赖于对个别事物的观察和经验，通过总结归纳出普遍规律。
例如，通过观察多个苹果都是红色的，我们可以得出“苹果是红色的”这一普遍规律。
2. 不确定性：归纳推理的结论不具有绝对的确定性，而是基于概率和可能性。
虽然通过多次观察可以增加结论的可靠性，但仍存在例外情况。
3. 创造性：归纳推理需要我们具备创造性思维，能够从个别事物中发现共同点，并将其推广到更广泛的范围。
第二部分归纳推理在科学中的应用归纳推理在科学研究中具有重要作用。
科学家通过观察和实验，总结出规律性的现象和定律。
例如，牛顿通过观察苹果落地的现象，归纳出了引力定律。
归纳推理帮助科学家从个别实验中找到普遍规律，为进一步的研究和发现提供了基础。
第三部分归纳推理在教育中的应用归纳推理在教育中也扮演着重要的角色。
在学习过程中，学生通过观察和实践，从具体的例子中总结出规律和概念。
教师可以引导学生进行归纳推理，帮助他们理解抽象概念和解决问题。
例如，在学习数学时，教师可以通过给出一系列具体的数学问题，引导学生归纳出相应的数学规律，从而提高他们的数学思维能力。
第四部分归纳推理在日常生活中的应用归纳推理在我们的日常生活中也随处可见。
我们通过观察和经验，总结出很多日常生活中的普遍规律。
例如，我们通过多次观察，归纳出“天空晴朗时，气温较高”的规律，从而合理安排出门的衣着。
此外，归纳推理还可以帮助我们解决问题和做出决策。
在高中数学教学中培养学生归纳推理能力的实践研究的开题报告
在高中数学教学中培养学生归纳推理能力的实践研究的开题报告一、研究背景及意义高中阶段是数学学科中最为重要的阶段之一，也是学生数学自主学习能力的形成阶段。
在学生学习高中数学时，培养学生归纳推理能力显得尤为重要。
归纳推理能力是指学生利用已知事实或事例推出一般规律的过程，是从具体到抽象的过程，这种能力不仅对于解决数学问题有着十分重要的作用，而且对学生将来的学习和生活也具有很大的帮助。
因此，本研究旨在探究如何有效地在高中数学教学中培养学生的归纳推理能力，以提高学生的数学学习能力和数学解决问题的能力。
二、研究内容和目的2.1 研究内容本研究将围绕以下问题展开：（1）高中数学教材中涉及到的归纳推理知识点分析及教学方法研究。
（2）针对不同层次的学生制定相应的归纳推理适应性教学策略。
（3）在高中数学教学中运用现代教育技术手段，如数字化教学平台、多媒体教学辅助工具、网络配套教育资源等手段，提高教学效果。
2.2 研究目的本研究旨在：（1）探究高中数学教学中如何有效地运用归纳推理教学模式，提高学生的归纳推理能力。
（2）制定适合不同学习层次学生的归纳推理教学策略。
（3）在高中数学教学中利用现代教育技术手段，提高教学效果，促进学生数学自主学习能力的培养。
三、研究方法与步骤3.1 研究方法本研究将采用文献资料法、实地调查法和实验对比法等方式，对高中数学教学中如何有效地培养学生的归纳推理能力进行研究。
3.2 研究步骤（1）文献资料法：通过查阅重要的教育学、心理学和数学教育学方面的文献资料，系统了解国内外关于数学归纳推理能力培养的研究现状，并针对性地整理和分析。
（2）实地调查法：通过实际访谈、调研学生和教师的实际情况，掌握学生学习数学中遇到的主要难点和问题，进一步明确培养归纳推理能力的具体方式和方法。
（3）实验对比法：在实验班进行归纳推理教学及普通教学，对比实验班和普通班学生成绩、学习兴趣等多个维度的差异，从而更好地判断本研究的教学方案的有效性。
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_
成 绩
评
定
答辩小组评语：
论文首先介绍了五种数学归纳法，并给出相关的例题。
紧接着又介绍了数学归纳法在初等数论中的应用且应注意的问题。
该生参考了一定的文献资料，对其理解和应用一般，文章篇幅基本符合学院规定，内容基本完整，层次结构安排基本恰当，但论文选题一般且缺乏个人见解。
论文选题符合专业培养目标，题目有一定难度，但工作量一般，基本达到了本科毕业论文的要求。
论文观点明确，文字基本通顺，答辩时表达基本清楚，回答问题基本正确，经答辩小组充分讨论，一致同意通过毕业论文答辩。
评定成绩（优秀、良好、中等、及格、不及格）： 答辩小组组长签名： 年 月 日
分学位委员会意见：
分学位委员会主席签名： 年 月 日
洛阳师范学院
本科生毕业论文（设计）基本情况表
__数学科学学院__院（系）
开 题 报 告
姓 名 性别 学 号 专 业 年 级 孙**
女
110412016
数学与应用数学
2011级 题 目
数学归纳法及其在初等数论中的应用
课题来源 （2）
综
述 选题目的、国外研究现状、选题意义、需要解决的主要问题及可行性等。
选题目的：数学归纳法我们从中学就开始接触，但是有时对的原理并非特别清楚。
在诸多证明方法中，数学归纳法那种机械又明快的结构，特立独行. 它的思想性价值很高，是从有限通向无限的第一条高速公路，有里程碑式的作用。
特别是在初等数论中的应用。
国内外研究现状：在国内外大学教育中，数学归纳法是数学研究中必不可少的一部分，具有特别重要的地位，因此引起了大量学者对它的研究，其研究也是比较完整和全面的。
选题意义：虽然在课本上有许多例题应用数学归纳法，但是并没有详细介绍它的来源和原理，而且它在证明初等数论中的定理和各种各样的数学问题时，还有着非常广泛
的应用，这就是这篇论文产生的必要性。
需要解决的主要问题及可行性：大学课本上关于数学归纳法定理的证明不是十分完整。
本文将会补充完整.说明一些定理在初等数论中成立，最后再将这些定理通过一些例题进行应用。
思
路
及
方
法
思路：首先叙述数学归纳法内容和它的定理的证明，在此基础上再用数学归纳法来
证明初等数论中的例题，最后说明应用数学归纳法在初等数论中应该注意的问题。
方法：本论文采用文献研究法，演绎推理，反证法等多种方法。
指导教师签名： 年 月 日
课题来源：（1）教师建议；（2）学生拟定；（3）企业和社会征集；（4）科研单位提供
指导情况记录
第一次指导
指导时间：2012年12月22号
指导内容：指导毕业论文的选题，确定了毕业论文的选题方向及其思路，提供相关的参考文献。
指导开题报告格式及相关内容。
第二次指导
指导时间：2012年12月30号
指导内容：审阅并修改了开题报告，指导制定写作提纲，指导在图书馆电子阅览室如何检索文献，帮助搜集资料。
第三次指导
指导时间：2013年3月15号
指导内容：为论文第一次修改，对文章的主要内容提出几点新的意见，其中包括对实数完备性等价性证明方面的分析，以及用实数完备性证明其它几个定理及实数完备性应用做了指导.
第四次指导
指导时间：2013年4月19号
指导内容：对本论文的框架结构做了详细的调整，审阅参考文献的引用情况。
第五次指导
指导时间：2013年5月09号
指导内容：指导论文格式，润饰语言，从而使论文结构严谨，清晰明了，指导打印格式。
第六次指导
指导时间：2013年5月15号
指导内容：指导论文格式，使论文结构严谨，指导参考文献的标注，且指导PPT的制作方法和应注意事项。
全面审阅论文，使论文在内容和格式上基本符合要求。
选题变更申请报告变更理由：
学生签名：
指导教师意见：指导教师签名：年月日
答
辩申请报告本人承诺：该论文无抄袭剽窃现象。
愿意承担因抄袭剽窃带来的一切后果。
学生签名：
指导教师意见：指导教师签名：年月日
答
辩
记
录
论文
答辩
小组
成员
姓名职称工作单位签名
卫宗礼教授洛阳师范学院
刘青青副教授洛阳师范学院
薛琳讲师洛阳师范学院
魏春艳讲师洛阳师范学院
刘华煜讲师洛阳师范学院
答辩中提出的主要问题及回答的简要情况：
1、问：什么是反向数学归纳法？
答：设)
(n
p表示一个与自然数有关n的命题,若(1))
(n
p对无数多个自然数n都成立;(2)假
设)
(k
p成立,可推出)1
(-
k
p也成立;那么)
(n
p对一切自然数n都成立.
2、问：试证)
,
(
2为自然数
n
m
m n
mn>？
答：当1
=
=n
m,有1
11
2>,显然)1,1(p.假设对任一1
≥
k,1
≥
l,),
(l
k
p为真,即l
kl k
>
2成
立.下面证明)
,1
(l
k
p+和)1
,
(+
l
k
p都成立.
()()()l
l
l
l
kl
l
kl
l
k k
k
k1
2
2
2
2
2
21+
≥
≥
⋅
>
⋅
=
=+
+.
即有)
,1
(l
k
p+成立.
()1
12
2
2
2
2+
+
+≥
⋅
>
⋅
>
⋅
=
=l
l
k
l
k
kl
k
kl
l
k k
k
k
k.
即有)1
,
(+
l
k
p成立.
由二重归纳法可知,对任意的1
,1≥
≥n
m,)
,
(
2为自然数
n
m
m n
m n>.
3、问：什么是跳跃数学归纳法？
答：设)
(n
p是一个表示与正整数n有关的命题,如果)
(n
p满足(1)当2,1
=
n时,)1(p和)2(p
都成立;(2)假设当k
n=时,命题)
(k
p成立,则当2
+
=k
n时,命题)2
(+
k
p也成立,那么)
(n
p
对于一切自然数n都成立.
4、问：第一第二数学归纳法的区别是什么？
答：第一类第二类数学归纳法形式的主要区别是第一类的假设为当k
n=时,命题)
(k
p成立,
第二类的假设为假设)
(n
p对于所有满足k
n<的自然数n成立时,则)
(k
p也成立.在有些情况
下,仅仅依靠k
n=时,命题成立,还不够,还需要依赖前面各步成立.此时需要用第二类数学归纳
法.
记录员签名：年月日。