高中数学课件-抛物线及其标准方程公开课一等奖优秀课件
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《抛物线及其标准方程》省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内; 2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心; 3.抛物线只有一种顶点、 一种焦点、一条准线; 4.抛物线旳离心率是拟定旳,为1;
y
P(x, y)
o F( p ,0) x
2
补充（1）通径： 经过焦点且垂直对称轴旳直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点旳线段叫做抛物线旳通径。
2
⑵有两个公共点
k 0 △ 16(2k 2 k 1) 0
1 k 0, 或0 k 1 2
⑶没有公共点
k 0 △ 16(2k 2
k
1)
0
k
1,
或k 1 2
综上所述
当k 1,或k 0,或k 1 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2
当 1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
解:因焦点在y轴旳负半轴上,且p=4,故其原则 方程为:x 2= - 8y
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线旳原则方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线旳距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
4
O
x
当焦点在x轴旳负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
∴抛物3线旳原则方程为x2
=
9
y或y2
=
4
x
。
2
3
思索题、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
抛物线及其标准方程优质课-PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
代入解得 p 1 故所求方程为 y2 2x 或 x2 2 y
(3)原则方程为
y2
2 px ，由
p1得
24
p1 2
，
所求方程为 y2 x
(4)焦点是直线x+y+1=0与坐标轴旳交点, 故 F (0, 1)
或F ( 1, 0) ，所以
y2 4x
p 2
1,
p
2
，故方程为
x2
4 y
或
例2 一种卫星接收天线的轴 截面如图2.3
的抛物线的标准方程?
y
y
OF x
x
FO
y2=2px
想一想
如右图所示，两抛物线 有关y轴对称,只需在 y2 2 px 中以-x 代换x即可.
M y2 2 px
M' y2=2px
思索
请根据前面求出旳抛物线旳原则方程完毕下表:
图形
• 原则方 程
y2 2 px
p 0
焦点坐标 准线方程
p ,0 2
3 1 所示.卫星波束呈近似平行状 态射入轴
截面为抛物线的接收天 线,经反射聚集到焦
点处 .已知接收天线的口径 直径为 4.8m,深
度为0.5m,求抛物线的标准方程和 焦点坐标 . y A
1
图2.3 3
O
Fx
B
2
y
解 如图2.3 3 2,在接收天
A
线的轴截面所在平面内建立
直角坐标系,使接收天线的顶 O
例3 根据已知条件，求抛物线旳原则方程.
(1)焦点坐标为 F 0,2 (2)经过点(2 , 2)
(3)准线方程为 x 1 (4)焦点在直线x+y+1=0
抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线与圆的 焦点与准线： 对于抛物线， 焦点在准线上； 对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的 离心率：对于 抛物线，离心 率恒为1；对 于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方 程
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汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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汇报人：PPT
第一章
抛物线的定义与性质
抛物线方程市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
﹒o x ﹒y
ox
y
o
x
开口方向
向右 向左 向上
向下
标准方程
焦点
y2 2 px
p
F ( , 0)
( p 0)
2
y2 2 px F ( p , 0)
( p 0)
2
x2 2 py F (0, p )
( p 0)
2
x2 2 py F (0, p )
( p 0)
2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2 第14页
３、例题讲解： 例1 (1)已知抛物线标准方程是 y2 6，x求它焦点坐
标和准线方程；
（2）已知抛物线方程是 y 6，x2 求它焦点坐标和准线
方程；
(3)已知抛物线焦点坐标是F(0,-2)，求它标准方程．
第15页
练习
1、求以下抛物线焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）y=－2x2
距离相等点轨迹叫做抛物线.
N
定点 F 叫做抛物线焦点,
M· ·F
定直线 l 叫做抛物线准线.
即: 若 MF 1, 则点M的轨迹是抛物线. MN
第7页
2.抛物线标准方程
求曲线方程 基本步骤是
怎样？
· l
N
M
·F
建系
设点
列式 化简 证实
第8页
2-1.抛物线标准方程推导
设一个定点F到一条定直线l距离为常数p (p>0)，
怎样建立直角坐标系,求出抛物线方程呢？
· l
N
M
· K
F
第9页
取过点Ｆ且垂直于l 直线为x轴，x轴与l交于Ｋ，以
线段ＫＦ垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
ox
y
o
x
开口方向
向右 向左 向上
向下
标准方程
焦点
y2 2 px
p
F ( , 0)
( p 0)
2
y2 2 px F ( p , 0)
( p 0)
2
x2 2 py F (0, p )
( p 0)
2
x2 2 py F (0, p )
( p 0)
2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2 第14页
３、例题讲解： 例1 (1)已知抛物线标准方程是 y2 6，x求它焦点坐
标和准线方程；
（2）已知抛物线方程是 y 6，x2 求它焦点坐标和准线
方程；
(3)已知抛物线焦点坐标是F(0,-2)，求它标准方程．
第15页
练习
1、求以下抛物线焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）y=－2x2
距离相等点轨迹叫做抛物线.
N
定点 F 叫做抛物线焦点,
M· ·F
定直线 l 叫做抛物线准线.
即: 若 MF 1, 则点M的轨迹是抛物线. MN
第7页
2.抛物线标准方程
求曲线方程 基本步骤是
怎样？
· l
N
M
·F
建系
设点
列式 化简 证实
第8页
2-1.抛物线标准方程推导
设一个定点F到一条定直线l距离为常数p (p>0)，
怎样建立直角坐标系,求出抛物线方程呢？
· l
N
M
· K
F
第9页
取过点Ｆ且垂直于l 直线为x轴，x轴与l交于Ｋ，以
线段ＫＦ垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
高中数学选修2-1抛物线及其标准方程(一)市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
准线L:
p x .
2
L
则
2
1.建立坐标系 2.设动点坐标
(x p )2 y2 | x p |
2
2
3.列方程
两边平方,整顿得
4.化简,整顿
y2=2px(p>0)
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线旳原 则方程。其中p为正常数,表达焦点在x轴 正半轴上.
焦点坐标是( p , 0) 准线: x p
于9旳点旳坐标是 (6, 6 2) .
3.将绳另一端固定在定点F.
4.用笔扣住绳子,使A到笔旳 绳紧靠着直角边,然后将三角 板沿直尺上下滑动.
5.观察笔描出旳图形是什么?
● 数学试验
▪ 定义:
▪ 平面内与一种定点F和一条定直线L 旳距离相等旳点旳轨迹---------抛物线.
▪ 其中: F---焦点, 直线L-----准线.
一般地， 圆锥曲线的定义可统一 为：
▪ 则它旳原则方程为-------. ▪ 若抛物线旳准线方程是x=-2,则它旳原
则方程为-------. ▪ 3.焦点在直线x-2y+3=0上旳抛物线原
则方程为-------.
4.已知抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,若抛 物线上一点A(m,-3)到焦点旳距离是5,则该 抛物线方程是------------.
2
2
P旳几何意义是: 焦点到准线旳距离
y
想一想? y
K
0
方程是 什么? x
x 0
x2 2 py( p 0)
y2=2px（P>0）
(三)抛物线旳原则方程
﹒ 图 形 y
焦点 ( p ,0)
ox 2
y
﹒o
x
高中数学抛物线及其标准方程公开课精品课件
变式：求过点A（3，2）的抛物线或的x标2 =准4方y或程x2 = -4y
先定位，后定量 y 2 =43 x 或 92x 2
=y
课堂小结
问题6：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获. 1.知识内容：
（1）抛物线的定义：M MF d, F l
（2）抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
2.学习流程： 图像-画法-定义-方程推导-标准方程-应用 3.思想方法： （1）直接法（建系-设点-列式-化简); （2）待定系数法;（3）数形结合思想;（4）具体与抽象 的思想;（5）方程思想
抛物线标准方程的四种形式
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程 “标准”就是：
ly OF x
y2=2px (p>0)
( p ,0) 2
xp 2
顶点在坐标原点， 焦点在坐标轴上
p的几何意义： 焦点到准线的距离.
yl
FO
焦x y点2(p=>-20先p)x 看(一p2 ,0次) ，x 再p2 看正负
y
F
O
x
l
l
d M(x, y)
y
l
d M (x, y)
(K )O
F p,0
x
K O F p ,0
x
K O F0,0
x
2
y2 2 px p2
y2 2 px
y2 2 px p2
第1步：建系
以经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，
以线段KF与抛物线的交点为坐标原点，建立直角坐标
系xoy(如图)
KF p( p 0)
F
设 ( p ,0) 定直线 l 的方程是 ，x p .
则定点 2 的坐标是
2.3.1《抛物线及标准方程》课件 公开课一等奖课件
2 . 解：因为点（－8,8）在第二象限，所以 抛物线开口向上或者开口向左，设抛 物线方程为y2=-2P1x或x2=2P2y,由x=-8时， y=8得：P1＝4，P2＝4， 所以：所求抛物线方程为： y2= - 8x 或 x2= 8y
1 . 抛物线的定义 :
平面内与一个定点F和一条定直线L的 距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 ．点F叫
设｜KF｜＝ ( >0)，那么焦点F的坐标为
p p （ ,0 ）,准线L的方程为x= 2 2
设点M（x,y）是抛物线上任意一 点，点M到L的距离为d。由抛物线的 定义，抛物线就是集合 P＝{M|MF|=d}。
转化出关于 x ．y的等式化简得抛 物线的方程
方程①叫做抛物线的标准方程．它 表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上， p p , 0 坐标是（ ）,它的准线方程是x= 2 2
椭圆 (0<e<1)
双曲线
(e > 1)
图8-19
平面内与一个定点F和一条定 直线L的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。点F叫做抛物线的焦点， 直线L叫做抛物线的准线。
如图8－20，建立 直 角 坐 标 系 xOy ， 使 x 轴经过点 F 且垂直于直 线 L ，垂足为 K ，并使 原 点 与 线 段 KF 的 中 点 重合。
• 能力目标： • （1）重视基础知识的教学、基本技能的训练 和能力的培养； • （2）启发学生能够发现问题和提出问题，善 于独立思考，学会分析问题和创造地解决问 题； • （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生 抽象概括能力和逻辑思维能力
与一个定点的距离和一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹 是什么 ？
(A) y2 = - 4x
(C) y2 = 4x
抛物线及其标准方程(优秀课件)
形状和性质
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
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二、标准方程的推导
y 解法一：以 为L轴，过点 垂直于F的直线为 L轴建立直角坐标系（x如下图所示）,
则定点M (x, y) 设动点点 F ( p, o)
(x p)2 y2 x
化简得：y 2
Hale Waihona Puke 2 pxp
2
(
p
0)
y
. M(X,y)
O
. F
x
l
二、标准方程的推导
解法二：以定点F为原点，过点 F垂直于L的直线为x轴建立直角坐标系（如下图所 示），则定点 F(0, 0)，L的方程为 x p
人教版高中数学选修二
POWERPOINT DESIGN
问题 探究：
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定 直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
我们把这样的一条曲线叫做
一、抛物线的定义:
2
2
依题意得 ( x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
这就是所求的轨迹方程.
y
M(x,y)
Ko F x
l
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦
点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
准线方程为: x p 2
﹒ ﹒ ﹒ 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？
y
y
y
ox
ox
ox
﹒y o x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
四．四种抛物线的对比
P的意义:抛物线的焦 点到准线的距离
方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决 定了焦点的位置.
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
① 点F叫抛物线的焦点,
② 直线l 叫抛物线的准线 即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线.
d
· d M
H
C
焦点
·F
那么如何建立坐标系，使抛物线的 方程更简单，其标准方程式是怎样？
l
准线
e=1
d 为 M 到 l 的距离
学习小结:
1.抛物线的定义: 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式: 每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是: 4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
人教版高中数学选修二
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设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
二、标准方程的推导
解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角 坐标系xoy.
设 M( x, y), FK p ,
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p