2014年辽宁省高考数学试卷(理科)

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2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(含解析版)

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(含解析版)

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1} 2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i3.(5分)已知a=,b=log2,c=log,则()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)6.(5分)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.247.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣8.(5分)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>09.(5分)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,]上单调递减C.在区间[﹣,]上单调递减D.在区间[﹣,]上单调递增10.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.B.C.D.11.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3]B.[﹣6,﹣]C.[﹣6,﹣2]D.[﹣4,﹣3] 12.(5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

2014年高考理科数学辽宁卷

2014年高考理科数学辽宁卷

过点 P ,求 l 的方程.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) (cos x x)(π 2x) 8 (sin x 1) , 3 g(x) 3(x π)cos x 4(1 sin x) ln(3 2x) . π
证明:
(Ⅰ)存在唯一
x0
(0,
π ) ,使 2
f
(x0 )

绝密★启用前
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
此 注意事项:
数学(供理科考生使用)
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
14.正方形的四个顶点 A(1, 1) , B(1,1) , C(1,1) , D(1,1) 分别在抛物线 y x2 和 y x2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概 率是________.
15.已知椭圆 C : x2 y2 1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 94
数学试卷 第 4 页(共 6 页)
19.(本小题满分 12 分) 如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB BC BD 2 , ABC DBC 120 , E , F 分别为 AC , DC 的中点. (Ⅰ)求证: EF⊥ BC ; (Ⅱ)求二面角 E BF C 的正弦值.
0;
(Ⅱ)存在唯一
x1
(π 2
, π)
,使
g ( x1 )

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2014•辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:先求A∪B,再根据补集的定义求C U(A∪B).解答:解:A∪B={x|x≥1或x≤0},∴C U(A∪B)={x|0<x<1},故选:D.点评:本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法.2.(5分)(2014•辽宁)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:把给出的等式两边同时乘以,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z可求.解答:解:由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得:,∴z=2+3i.故选:A.点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题.3.(5分)(2014•辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a考点:对数的运算性质.专题:计算题;综合题.分析:利用指数式的运算性质得到0<a<1,由对数的运算性质得到b<0,c>1,则答案可求.解答:解:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=log=log23>log22=1,∴c>a>b.故选:C.点评:本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题.4.(5分)(2014•辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α考点:空间中直线与直线之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离.分析:A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;B.运用线面垂直的性质,即可判断;C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.解答:解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.故选B.点评:本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型.5.(5分)(2014•辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)考点:复合命题的真假;平行向量与共线向量.专题:简易逻辑.分析:根据向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.解答:解:若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•=0不一定成立,故命题p为假命题,若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题,故选:A.点评:本题主要考查复合命题之间的判断,利用向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假是解决本题的关键.6.(5分)(2014•辽宁)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.24考点:计数原理的应用.专题:应用题;排列组合.分析:使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理可得结论.解答:解:使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理,6×4=24.故选:D.点评:本题考查排列知识的运用,考查乘法原理,先排人,再插入椅子是关键.7.(5分)(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:几何体是正方体切去两个圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.解答:解:由三视图知:几何体是正方体切去两个圆柱,正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π.故选:B.点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.(5分)(2014•辽宁)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0考点:数列的函数特性.专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列.分析:由于数列{2}为递减数列,可得=<1,解出即可.解答:解:∵等差数列{a n}的公差为d,∴a n+1﹣a n=d,又数列{2}为递减数列,∴=<1,∴a1d<0.故选:C.点评:本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属于中档题.9.(5分)(2014•辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增C.在区间[﹣,]上单调递减D.在区间[﹣,]上单调递增考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[,]上单调递增,则答案可求.解答:解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].即y=3sin(2x﹣).当函数递增时,由,得.取k=0,得.∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:B.点评:本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中档题.10.(5分)(2014•辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.B.C.D.考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意先求出准线方程x=﹣2,再求出p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点,并求导,得到切线AB的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方程求出切点,再由两点的斜率公式求出BF的斜率.解答:解:∵点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,即准线方程为:x=﹣2,∴p>0,=﹣2即p=4,∴抛物线C:y2=8x,在第一象限的方程为y=2,设切点B(m,n),则n=2,又导数y′=2,则在切点处的斜率为,∴即m=2m,解得=2(舍去),∴切点B(8,8),又F(2,0),∴直线BF的斜率为,故选D.点评:本题主要考查抛物线的方程和性质,同时考查直线与抛物线相切,运用导数求切线的斜率等,是一道基础题.11.(5分)(2014•辽宁)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()C.[﹣6,﹣2]D.[﹣4,﹣3] A.[﹣5,﹣3]B.[﹣6,﹣]考点:函数恒成立问题;其他不等式的解法.专题:综合题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:分x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集.解答:解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].故选:C.点评:本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集.12.(5分)(2014•辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为()A.B.C.D.考点:函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.专题:综合题;函数的性质及应用.分析:依题意,构造函数f(x)=(0<k<),分x∈[0,],且y∈[0,];x∈[0,],且y∈[,1];x∈[0,],且y∈[,1];及当x∈[,1],且y∈[,1]时,四类情况讨论,可证得对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<恒成立,从而可得m≥,继而可得答案.解答:解:依题意,定义在[0,1]上的函数y=f(x)的斜率|k|<,依题意,k>0,构造函数f(x)=(0<k<),满足f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.当x∈[0,],且y∈[0,]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×<;当x∈[0,],且y∈[,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k(x+y)﹣k|≤|k(1+)﹣k|=<;当y∈[0,],且x∈[,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|<;当x∈[,1],且y∈[,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)|=k|x﹣y|≤k×(1﹣)=<;综上所述,对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<,∵对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,∴m≥,即m的最小值为.故选:B.点评:本题考查函数恒成立问题,着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用,考查分析、推理及运算能力,属于难题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

数学高考真题-2014辽宁卷理科

数学高考真题-2014辽宁卷理科

2014年普通高等学校招生考试辽宁卷(理科数学)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1. 已知全集U =R ,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( )A .{x |x ≥0}B .{x |x ≤1}C .{x |0≤x ≤1}D .{x |0<x <1}2. 设复数z 满足(z -2i)(2-i)=5,则z =( )A .2+3iB .2-3iC .3+2iD .3-2i3.、 已知a =2-13,b =log 213, c =log 1213,则( ) A .a >b >c B .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a4. 已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB .若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥nC .若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥αD .若m ∥α,m ⊥n ,则n ⊥α5. 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(┐p )∧(┐q )D .p ∨(┐q )6. 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A .144B .120C .72D .247.某几何体三视图如图1-1所示,则该几何体的体积为( )A .8-2πB .8-πC .8-π2D .8-π4图1-18. 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列,则( )A .d <0B .d >0C .a 1d <0D .a 1d >09. 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增 C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减 D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增 10. 已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4311. 当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[-5,-3] B.⎣⎡⎦⎤-6,-98 C .[-6,-2] D .[-4,-3]12.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足:①f (0)=f (1)=0;②对所有x ,y ∈[0,1],且x ≠y ,有|f (x )-f (y )|<12|x -y |. 若对所有x ,y ∈[0,1],|f (x )-f (y )|<k 恒成立,则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13. 执行如图1-2所示的程序框图,若输入x =9,则输出y =________.图1-214. 正方形的四个顶点A (-1,-1),B (1,-1),C (1,1),D (-1,1)分别在抛物线y =-x 2和y =x 2上,如图1-3所示.若将—个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.图1-3 15. 已知椭圆C :x 29+y 24=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=______.16. 对于c >0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab +4b 2-c =0且使|2a +b |最大时,3a -4b+5c的最小值为________. 三、解答题17.(本小题满分12分) 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC →=2,cos B =13,b =3.求: (1)a 和c 的值;(2)cos(B -C )的值.18.(本小题满分12分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图1-4所示.图1-4将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望E (X )及方差D (X ).19.(本小题满分12分) 如图1-5所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB =BC =BD =2,∠ABC =∠DBC =120°,E ,F 分别为AC ,DC 的中点.(1)求证:EF ⊥BC ;(2)求二面角E -BF -C 的正弦值.图1-520.(本小题满分12分) 圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图1-6所示).双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C 1的方程;(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点,直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ,B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.21.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x -4(1+sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3-2x π.证明: (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0; (2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图1-7所示,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上—点且PG =PD ,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .(1)求证:AB 为圆的直径;(2)若AC =BD ,求证:AB =ED .图1-723.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .(1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f (x )=2|x -1|+x -1,g (x )=16x 2-8x +1.记f (x )≤1的解集为M ,g (x )≤4的解集为N .(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f (x )+x [f (x )]2≤14.。

2014年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2014年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(卷)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|U R A x x ==≤0},{|B x x =≥1},则集合()U A B =U ð( ) A .{|x x ≥0} B .{|x x ≤1} C .{|0x ≤x ≤1} D .{|01}x x <<【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】集合的并集、补集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】由题意可知,A B U ={|01}x x x ≤或≥,所以()U A B =U ð{|01}x x <<.故选D. 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 【测量目标】复数的基本性质和运算.【考查方式】复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由(2i)(2i)5z --=,得52i 2iz -=-,故z =23i +.故选A. 3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 【测量目标】对数的基本运算.【考查方式】对数的大小比较. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】因为13021a -<=<,21log 03b =<,121log 3c =>121log 2c ==1,所以c a b >>.故选C.4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥【测量目标】空间直线与直线,直线与平面的位置关系. 【考查方式】线线平行、垂直,线面平行、垂直的判定. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知,若//,//,m n αα则m 与n 平行、相交或异面,所以A 错误;若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥,故B 正确;若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n α⊂,故C 错误.若//m α,m n ⊥,则//n α或n α⊥或n 与α相交,故D 错误.故选B.5.设,,a b c 是非零向量,已知命题P :若0⋅=a b ,0⋅=b c ,则0⋅=a c ;命题q :若//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝⌝∧D .()p q ⌝∨【测量目标】向量的平行与垂直,真假命题的判定. 【考查方式】利用向量之间的位置关系对命题的真假进行判定. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当0≠b 时,,a c 一定共线,故命题q 是真命题.故p q ∨为真命题.故选A.6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .24 【测量目标】排列组合.【考查方式】利用插空法进行排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】这是一个元素不相邻问题,采用插空法,3334A C 24=.故选D.7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π- C .π82-D .π84-第7题图 【测量目标】几何体的体积、三视图.【考查方式】利用三视图对体积的考查. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据三视图可知,该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分(占柱的14)后余下的部分,故该几何体体积为2×2×2-2×14×π×2=8-π.故选B.8.设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a 为递减数列,则( )A .0d <B .0d >C .10a d <D .10a d > 【测量目标】等差数列的基本性质.【考查方式】利用等差数列的性质对首项和公差的正负进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题分析】令12n n b a a =,因为数列{}12n a a 为递减数列,所以111111122()212n n n n n nb a a a a a a d b a a +++==-=<,所得10a d <.故选C.9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间π7π[,]1212上单调递减 B .在区间π7π[,]1212上单调递增 C .在区间ππ[,]63-上单调递减 D .在区间ππ[,]63-上单调递增 【测量目标】三角函数的平移及性质.【考查方式】求正弦型三角函数平移后的单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知,将函数π3sin(2)3y x =+的图像向右平移π2个单位长度得到函数2π3sin(2)3y x =-的图像,令π2π2k -+≤2π23x -≤π2π2k +,k ∈Z ,即ππ12k +≤x ≤7ππ12k +,k ∈Z 时,函数单调递增,即函数2π3sin(2)3y x =-的单调递增区间为π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ,可知当0k =时,函数在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故选B.10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .12 B .23 C .34 D .43【测量目标】抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系.【考查方式】求过抛物线准线并与抛物线相切的直线的斜率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】因为抛物线C :22y px =的准线为2px =-,且点(2,3)A -在准线上,所以p =4.设直线AB 的方程为2(3)x m y +=-,与抛物线方程28y x =联立得到2824160y my m -++=,由题易知V =0,解得m =12- (舍)或者m =2,这时B 点的坐标为(8,8),而焦点F 的坐标为(2,0),故直线BF 的斜率804823BF k -==-.故选D.11.当[2,1]x ∈-时,不等式3243ax x x -++≥0恒成立,则实数a 的取值围是( ) A .[5,3]-- B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]--【测量目标】函数的导函数、单调区间、最值.【考查方式】通过给定函数值的围,利用导函数求函数的单调区间并找出未知量的围. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】当2-≤0x <时,不等式转化为a ≤2343x x x --,令2343()(2x x f x x--=-≤0)x <, 则24489(9)(1)'()x x x x f x x x -++--+==,故()f x 在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,此时有a ≤14321+-=--.当0x =时,()g x 恒成立.当0x <≤1时,a ≥2343x x x --,令2343()(0x x g x x x --=<≤1),则24489(9)(1)'()x x x x g x x x-++--+==, 故()g x 在(0,1]上单调递增,此时有a ≥14361--=-.综上,6-≤a ≤2-.故选C.12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( ) A .12 B .14 C .12πD .18【测量目标】函数概念的新定义,不等式的性质.【考查方式】给出新定义的函数,利用给定条件求解未知量的围. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】不妨设0≤y ≤x ≤1.当x y -≤12时,11|()()|||()22f x f y x y x y -<-=-≤14. 12x y ->时,|()()|()(1)(()(0))f x f y f x f f y f -=---≤1()(1)()(0)2f x f f y f -+-< 111110()2224x y x y -+-=--+<.故min 14k =.故选B.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.执行右侧的程序框图,若输入9x =,则输出y = .第13题图 【测量目标】程序框图的运算.【考查方式】利用程序框图进行基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】299【试题分析】当9x =时,5y =,则4y x -=;当5x =时,113y =,则43y x -=;当113x =时,299y =,则419y x -=<.故输出299y =.14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是 .第14题图 【测量目标】定积分的求解,随机事件的概率.【考查方式】利用定积分求出面积比,进而求出随机事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题分析】正方形ABCD 的面积S =2×2=4,阴影部分的面积1231111182(1)d 2()33S x x x x --=-=-=⎰,故质点落在阴影区域的概率82343P ==.15.已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【测量目标】椭圆的定义及几何性质.【考查方式】椭圆的焦点以及椭圆的几何性质求解相关弧长. 【难易程度】中等 【参考答案】12 【试题分析】取MN 的中点为G ,点G 在椭圆C 上.设点M 关于C 的焦点1F 的对称点为A ,点M 关于C 的焦点2F 的对称点为B ,则有112GF AN =,212GF BN =,所以122()412AN BN GF GF a +=+==.16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 .【测量目标】基本不等式的基本应用.【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】-2【试题分析】由题知2222(2)3(43)c a b a b =-+++.221(43)(1)3a b ++≥222(2)43a b a b +⇔+≥23(2)4a b +,即2c ≥25(2)4a b +,当且仅当2243113a b =,即236a b λ==(同号)时, 2a b +240c λ=.223451111(4)288a b c λλλ-+=-=--≥2-, 当且仅当315,,422a b c ===时,345a b c-+取最小值2-.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角,,A B C 的对边,,a b c 且a c >,已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值.【测量目标】两角差的余弦公式、向量的数量积.【考查方式】利用正弦定理和余弦定理解三角形中的边和角. 【难易程度】中等【试题分析】(1)由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得,cos 2c a B ⋅=,又1cos 3B =,所以6ac =.由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+.又3b =,所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得2,33,2a c a c ====或. 因为a c >,3,2a c ∴==. (2)在△ABC中,sin 3B ===由正弦定理,得2sin sin 339c CB b ==⋅=,又因为a b c =>,所以C为锐角,因此7cos 9C ===. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 18. (本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:第18题图将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望()E X 及方差()D X .【测量目标】频率分布直方图,随机事件的概率随机变量的期望和方差. 【考查方式】以频率分布直方图为载体计算事件的概率、分布列、期望、方差. 【难易程度】中等 【试题分析】(Ⅰ)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,2A 表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= , 2()0.003500.15P A =⨯=,()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.21619. (本小题满分12分)如图,△ABC 和BCD △所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E F 、分别为AC 、DC 的中点.(1)求证:EF BC ⊥;(2)求二面角E BF C --的正弦值.第19题图1【测量目标】线线垂直的判定,二面角的正弦值.【考查方式】通过找线、面之间的位置关系,证明线线垂直,求二面角的三角函数值. 【难易程度】中等 【试题分析】(1)证明: (方法一)过E 作EO BC ⊥,垂足为O ,连OF ,第19题图2由△ABC ≌△DBC 可证出△FOC ≌△EOC ,所以π2EOC FOC ∠=∠=,即FO BC ⊥, 又EO BC ⊥,因此BC ⊥平面EFO , 又EF ⊂平面EFO ,所以EF BC ⊥.(方法二)由题意,以B 为坐标原点,在平面DBC 过B 作垂直BC 的直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴,在平面ABC 过B 作垂直BC 的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.第19题图3易得(0,0,0),(0,3)B A -,3,1,0)D -,(0,2,0)C ,因而1331(0,,0)22E F ,所以33((0,2,0)EF BC ==u u u r u u ur ,因此0EF BC ⋅=u u u r u u u r ,从而EF BC ⊥u u u r u u u r ,所以EF BC ⊥.(2)(方法一)在图2中,过O 作OG BF ⊥,垂足为G ,连EG ,由平面ABC ⊥平面BDC ,从而EO ⊥平面BDC ,又OG BF ⊥,由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此EGO ∠为二面角E BF C --的平面角; 在△EOC 中,113cos30222EO EC BC ==⋅=o ,由△BGO ∽△BFC知,34BO OG FC BC =⋅=,因此tan 2EOEGO OG∠==,从而sin EGO ∠=255,即二面角E BF C --的正弦值为255. (方法二)在图3中,平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)=n ,设平面BEF 的法向量2(,,)x y z =n ,又3113(,,0),(0,,)22BF BE ==u u u r u u u r ,由220BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 得其中一个2(1,3,1)=-n ,设二面角E BF C --的大小为θ,且由题意知θ为锐角,则121212,cos |cos ,|||||||5θ=<>==⋅n n n n n n ,因sin θ=5=255,即二面角E BF C --的正弦值为255.20. (本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.(1)求1C 的方程;(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆心过点P ,求l 的方程.第20题图1【测量目标】直线与圆的位置关系,双曲线的标准方程及几何性质,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用圆的切线的关系,双曲线的离心率求双曲线方程,通过椭圆与双曲线的的几何性质求解椭圆方程求出直线方程. 【难易程度】较难【试题分析】(1)设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>,则切线斜率为0x y -,切线方程为000()x y y x x y -=--,即004x x y y +=,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y =时00x y 有最大值,即S 有最小值,因此点P得坐标为 ,由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==,故1C 方程为2212y x -=. (2)由(1)知2C的焦点坐标为(,由此2C 的方程为22221113x y b b +=+,其中10b >.由P 在2C 上,得22112213b b +=+,解得213b =,因此2C 方程为22163x y +=. 显然,l 不是直线0y =.设l的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=,又12,y y 是方程的根,因此122122232y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②,由1122x my x my ==1212221212122()66()32x x m y y m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122),)AP x y BP x y ==u u u r u u u r由题意知0AP BP ⋅=u u u r u u u r ,所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤ ,将①,②,③,④代入⑤式整理得22110m -+=,解得12m =-或12m =-+,因此直线l 的方程为1)0x y --=,或1)0x y +=.21. (本小题满分12分)已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+,2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πx g x x x x =--+-. 证明:(1)存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =;(2)存在唯一1π(,π)2x ∈,使1()0g x =,且对(1)中的0x 有01πx x +<. 【测量目标】函数的零点.【考查方式】利用函数导函数的性质求解三角函数中的零点问题. 【难易程度】较难【试题分析】(1)当π(0,)2x ∈时,2'()(1sin )(π2)2cos 03f x x x x x =-++--<,函数()f x 在π(0,)2上为减函数,又28π16(0)π0,()π0323f f =->=--<,所以存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =. (2)考虑函数3(π)cos 2π()4ln(3),[,π]1sin π2x x h x x x x -=--∈+,令πt x =-,则π[,π]2x ∈时,π[0,]2t ∈,记3cos 2()(π)4ln(1)1sin πt t u t h t t t =-=-++,则3()'()(π2)(1sin )f t u t t t =++ , 由(1)得,当0(0,)t x ∈时,'()0u t >,当0π(,)2t x ∈时,'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数,又(0)0u =,从而当0(0,]t x ∈时,()0u t >,所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0π(,)2x 上()u t 是减函数,由0π()0,()4ln 202u x u >=-<,存在唯一的10π(,)2t x ∈ ,使1()0u t =.所以存在唯一的10π(,)2t x ∈使1()0u t =.因此存在唯一的11ππ(,π)2x t =-∈,使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当π(,π)2x ∈时,1sin 0x +>,故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点,所以存在唯一的1π(,π)2x ∈,使1()0g x =.因1110π,x t t x =->,所以01πx x +<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于,D G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F . (1)求证:AB 为圆的直径;(2)若AC BD =,求证:AB ED =.第22题图1【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】利用圆的性质证明相关结论. 【难易程度】中等 【试题分析】(1)因为PD PG =,所以PDG PGD ∠=∠.由于PD 为切线,故PDA DBA ∠=∠,又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠,所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠.由于AF 垂直EP ,所以90PFA ∠=o,于是90BDA ∠=o,故AB 是直径. (2)连接BC ,DC .第22题图2由于AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°,在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD , 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ,于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB .由于,AB EP ⊥所以,DC EP DCE ⊥∠为直角,于是ED 是直径,由(1)得ED =AB .23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】参数方程与极坐标方程转化为普通方程进行求解. 【难易程度】中等【试题分析】(1)设11(,)x y 为圆上的点,在已知变换下位C 上点(x ,y ),依题意,得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=,即曲线C 的方程为2214y x +=,故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩== (t为参数).(2)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =,于是所求直线方程为111()22y x -=-,化极坐标方程,并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-,即34sin 2cos ρθθ=-.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()f x ≤1的解集为M ,()g x ≤4的解集为N .(1)求M ;(2)当x M N ∈I 时,证明:22()[()]x f x x f x +≤14. 【测量目标】不等式选讲,集合的简单运算.【考查方式】函数与集合结合证明不等式. 【难易程度】中等 【试题分析】(1)33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当x ≥1时,由()33f x x =-≤1得x ≤43,故1≤x ≤43; 当1x <时,由()1f x x =-≤1得x ≥0,故0≤1x <; 所以()f x ≤1的解集为{|0M x =≤x ≤4}3.(2)由2()1681g x x x =-+≤4得2116()4x -≤4,解得14-≤x ≤34,因此1{|4N x =-≤x ≤3}4,故{|0M N x =I ≤x ≤3}4.当x M N ∈I 时,()1f x x =-,于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+211()(1)()42x f x x x x =⋅=-=--≤14.。

2014年辽宁省高考数学试卷理科

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2014年辽宁省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i3.(5分)已知a=,b=log2,c=log,则()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)6.(5分)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.247.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣8.(5分)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>09.(5分)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增C.在区间[﹣,]上单调递减D.在区间[﹣,]上单调递增10.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.B.C.D.11.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3]B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2]D.[﹣4,﹣3]12.(5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为()A.B.C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

2014年高考真题(理科数学)辽宁卷 纯Word版解析可编辑

2014年高考真题(理科数学)辽宁卷 纯Word版解析可编辑

2014·辽宁卷(理科数学)1.[2014·辽宁卷] 已知全集U =R ,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( )A .{x |x ≥0}B .{x |x ≤1}C .{x |0≤x ≤1}D .{x |0<x <1}1.D [解析] 由题意可知,A ∪B ={x |x ≤0或x ≥1},所以∁U (A ∪B )={x |0<x <1}. 2.[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z -2i)(2-i)=5,则z =( ) A .2+3i B .2-3i C .3+2i D .3-2i2.A [解析] 由(z -2i)(2-i)=5,得z -2i =52-i,故z =2+3i.3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .4.[2014·辽宁卷] 已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n C .若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α D .若m ∥α,m ⊥n ,则n ⊥α4.B [解析] B [解析] 由题可知,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 平行、相交或异面,所以A 错误;若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n ,故B 正确;若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α,故C 错误.若m ∥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交,故D 错误.5.、[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q ) 5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.6.[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .246.D [解析] 这是一个元素不相邻问题,采用插空法,A 33C 34=24. 7.、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示,则该几何体的体积为( )A .8-2πB .8-πC .8-π2D .8-π4图1-17.B [解析] 根据三视图可知,该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分,故该几何体体积为2×2×2-2×14×π×2=8-π.8.[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d <0 B .d >0 C .a 1d <0 D .a 1d >08.C [解析] 令b n =2a 1a n ,因为数列{2a 1a n }为递减数列,所以b n +1b n =2a 1a n +12a 1a n=2a 1(a n +1-a n )=2a 1d <1,所得a 1d <0.9.[2014·辽宁卷] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增9.B [解析] 由题可知,将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -23π的图像,令-π2+2k π≤2x -23π≤π2+2k π,k ∈Z ,即π12+k π≤x ≤7π12+k π,k ∈Z 时,函数单调递增,即函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12+k π,7π12+k π,k ∈Z ,可知当k =0时,函数在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增.10.[2014·辽宁卷] 已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4310.D [解析] 因为抛物线C :y 2=2px 的准线为x =-p2,且点A (-2,3)在准线上,所以p =4.设直线AB 的方程为x +2=m (y -3),与抛物线方程y 2=8x 联立得到y 2-8my +24m+16=0,由题易知Δ=0,解得m =-12(舍)或者m =2,这时B 点的坐标为(8,8),而焦点F 的坐标为(2,0),故直线BF 的斜率k BF =8-08-2=43.11.[2014·辽宁卷] 当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[-5,-3] B.⎣⎡⎦⎤-6,-98 C .[-6,-2] D .[-4,-3]11.C [解析] 当-2≤x <0时,不等式转化为a ≤x 2-4x -3x 3,令f (x )=x 2-4x -3x 3(-2≤x <0),则f ′(x )=-x 2+8x +9x 4=-(x -9)(x +1)x 4,故f (x )在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,此时有a ≤1+4-3-1=-2.当x =0时,g (x )恒成立.当0<x ≤1时,a ≥x 2-4x -3x 3,令个g (x )=x 2-4x -3x 3(0<x ≤1),则g ′(x )=-x 2+8x +9x 4=-(x -9)(x +1)x 4,故g (x )在(0,1]上单调递增,此时有a ≥1-4-31=-6.综上,-6≤a ≤-2. 12.、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足: ①f (0)=f (1)=0;②对所有x ,y ∈[0,1],且x ≠y ,有|f (x )-f (y )|<12|x -y |.若对所有x ,y ∈[0,1],|f (x )-f (y )|<k 恒成立,则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12.B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x -y ≤12时,|f (x )-f (y )|<12|x -y |=12(x -y )≤14.当x -y >12时,|f (x )-f (y )|=|f (x )-f (1)-(f (y )-f (0))|≤|f (x )-f (1)|+|f (y )-f (0)|<12|x -1|+12|y -0|=-12(x -y )+12<14.故k min =14.13.[2014·辽宁卷] 执行如图1-2所示的程序框图,若输入x =9,则输出y =________.图1-213.299 [解析] 当x =9时,y =5,则|y -x |=4;当x =5时,y =113,则|y -x |=43;当x =113时,y =299,则|y -x |=49<1.故输出y =299. 14.[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A (-1,-1),B (1,-1),C (1,1),D (-1,1)分别在抛物线y =-x 2和y =x 2上,如图1-3所示.若将—个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.图1-314.23 [解析] 正方形ABCD 的面积S =2×2=4,阴影部分的面积S 1=2⎠⎛-11(1-x 2)d x =2⎝⎛⎭⎫x -13x 31-1=83,故质点落在阴影区域的概率P =834=23. 15.[2014·辽宁卷] 已知椭圆C :x 29+y24=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=______.15.12 [解析] 取MN 的中点为G ,点G 在椭圆C 上.设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ,点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ,则有|GF 1|=12|AN |,|GF 2|=12|BN |,所以|AN |+|BN |=2(|GF 1|+|GF 2|)=4a =12.16.、[2014·辽宁卷] 对于c >0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab +4b 2-c =0且使|2a +b |最大时,3a -4b +5c的最小值为________.16.-2 [解析] 由题知2c =-(2a +b )2+3(4a 2+3b 2).(4a 2+3b 2)⎝⎛⎭⎫1+13≥(2a +b )2⇔4a 2+3b 2≥34(2a +b )2,即2c ≥54(2a +b )2, 当且仅当4a 21=3b213,即2a =3b =6λ(同号)时,|2a +b |取得最大值85c ,此时c =40λ2.3a -4b +5c =18λ2-1λ=18⎝⎛⎭⎫1λ-42-2≥-2, 当且仅当a =34,b =12,c =52时,3a -4b +5c取最小值-2.17.、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79.所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.18.、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图1-4所示.图1-4将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望E (X )及方差D (X ).18.解:(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”,A 2表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”.因此P (A 1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P (A 2)=0.003×50=0.15,P (B )=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为P (X =0)=C 03·(1-0.6)3=0.064,P (X =1)=C 13·0.6(1-0.6)2=0.288,P (X =2)=C 23·0.62(1-0.6)=0.432,P (X =3)=C 33·0.63=0.216. X 的分布列为X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X ~B (3,0.6),所以期望E (X )=3×0.6=1.8,方差D (X )=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 19.、[2014·辽宁卷] 如图1-5所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB =BC =BD =2,∠ABC =∠DBC =120°,E ,F 分别为AC ,DC 的中点.(1)求证:EF ⊥BC ; (2)求二面角E -BF -C 的正弦值.图1-519.解:(1)证明:方法一,过点E 作EO ⊥BC ,垂足为O ,连接OF .由△ABC ≌△DBC可证出△EOC ≌△FOC ,所以∠EOC =∠FOC =π2,即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ,EO ∩FO =O ,所以BC ⊥平面EFO .又EF ⊂平面EFO ,所以EF ⊥BC .图1方法二,由题意,以B 为坐标原点,在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线,并将其作为x 轴,BC 所在直线为y 轴,在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线,并将其作为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得B (0,0,0),A (0,-1,3),D (3,-1,0),C (0,2,0),因而E (0,12,32),F (32,12,0),所以EF →=(32,0,-32),BC →=(0,2,0),因此EF →·BC →=0,从而EF →⊥BC →,所以EF ⊥BC .图2(2)方法一,在图1中,过点O 作OG ⊥BF ,垂足为G ,连接EG .因为平面ABC ⊥平面BDC ,所以EO ⊥面BDC ,又OG ⊥BF ,所以由三垂线定理知EG ⊥BF ,因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角.在△EOC 中,EO =12EC =12BC ·cos 30°=32.由△BGO ∽△BFC 知,OG =BO BC ·FC =34,因此tan ∠EGO =EOOG=2,从而得sin ∠EGO=255,即二面角E -BF -C 的正弦值为2 55.方法二,在图2中,平面BFC 的一个法向量为n 1=(0,0,1). 设平面BEF 的法向量n 2=(x ,y ,z ),又BF →=(32,12,0),BE →=(0,12,32),所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →=0,n 2·BE →=0,得其中一个n 2=(1,-3,1).设二面角E -BF -C 的大小为θ,且由题知θ为锐角,则cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|=15,因此sin θ=25=2 55,即所求二面角正弦值为2 55.20.、[2014·辽宁卷] 圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图1-6所示).双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C 1的方程;(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点,直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ,B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.20.解:(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y -y 0=-x 0y 0(x -x 0),即x 0x +y 0y =4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0,0,⎝⎛⎭⎫0,4y 0.故其围成的三角形的面积S =12·4x 0·4y 0=8x 0y 0.由x 20+y 20=4≥2x 0y 0知,当且仅当x 0=y 0=2时x 0y 0有最大值2,此时S 有最小值4,因此点P 的坐标为(2,2).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2-2b 2=1,a 2+b 2=3a 2,解得a 2=1,b 2=2,故C 1的方程为x 2-y 22=1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(-3,0),(3,0),由此可设C 2的方程为x 23+b 21+y 2b 21=1,其中b 1>0.由P (2,2)在C 2上,得23+b 21+2b 21=1, 解得b 21=3,因此C 2的方程为x 26+y 23=1.显然,l 不是直线y =0.设直线l 的方程为x =my +3,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +3,x 26+y 23=1,得(m 2+2)y 2+2 3my -3=0. 又y 1,y 2是方程的根,因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-2 3mm 2+2, ①y 1y 2=-3m 2+2,②由x 1=my 1+3,x 2=my 2+3,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2 3=4 3m 2+2, ③x 1x 2=m 2y 1y 2+3m (y 1+y 2)+3=6-6m2m 2+2. ④因为AP →=(2-x 1,2-y 1),BP →=(2-x 2,2-y 2),由题意知AP →·BP →=0, 所以x 1x 2-2(x 1+x 2)+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2-2 6m +4 6-11=0,解得m =3 62-1或m =-62+1.因此直线l 的方程为x -(3 62-1)y -3=0或x +(62-1)y -3=0.21.、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x-4(1+sin x )ln⎝⎛⎭⎫3-2x π.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t 1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ). 由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π. 22.[2014·辽宁卷] 选修4-1:几何证明选讲 如图1-7所示,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上—点且PG =PD ,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .(1)求证:AB 为圆的直径;(2)若AC =BD ,求证:AB =ED .图1-722.证明:(1)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD . 由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA ,又因为∠PGD =∠EGA ,所以∠DBA =∠EGA , 所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD , 从而∠BDA =∠PF A .又AF ⊥EP ,所以∠PF A =90°,所以∠BDA =90°,故AB 为圆的直径. (2)连接BC ,DC .由于AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD ,从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB , 于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ,所以DC ⊥EP ,∠DCE 为直角,所以ED 为直径,又由(1)知AB 为圆的直径,所以ED =AB . 23.[2014·辽宁卷] 选修4-4:坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.23.解:(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x ,y ),依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1,y =2y 1,由x 21+y 21=1得x 2+⎝⎛⎭⎫y 22=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos t ,y =2sin t (t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,2x +y -2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2. 不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12,1,所求直线的斜率k =12,于是所求直线方程为y -1=12⎝⎛⎭⎫x -12, 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sin θ-2cos θ.24.[2014·辽宁卷] 选修4-5:不等式选讲设函数f (x )=2|x -1|+x -1,g (x )=16x 2-8x +1.记f (x )≤1的解集为M ,g (x )≤4的解集为N .(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f (x )+x [f (x )]2≤14.24.解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1).当x ≥1时,由f (x )=3x -3≤1得x ≤43,故1≤x ≤43;当x <1时,由f (x )=1-x ≤1得x ≥0,故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )=16x 2-8x +1≤4得16⎝⎛⎭⎫x -142≤4,解得-14≤x ≤34,因此N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x -14≤x ≤34,故M ∩N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时,f (x )=1-x ,于是x 2f (x )+x ·[f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=xf (x )=x (1-x )=14-⎝⎛⎭⎫x -122≤14.。

2014年辽宁高考理科数学试题及答案(Word版)

2014年辽宁高考理科数学试题及答案(Word版)

2014 年一般高等学校招生全国一致考试(辽宁卷)理科数学第Ⅰ卷(共 60 分)一、选择题 :本大题共 12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项是切合题目要求的 .1. 已知全集 U R, A { x | x 0}, B { x | x 1} ,则会合 C U ( A B) ()A . { x | x 0}B . { x | x 1}C . { x | 0 x 1}D . { x |0 x 1}2.设复数 z 知足 ( z 2i )(2i ) 5 ,则 z ( ) A . 2 3iB . 2 3iC . 3 2iD . 3 2i11, c1,则(3.已知 a2 3 , b log 2 log 1)323A . a b cB . a c bC . c a bD . c b a4.已知 m , n 表示两条不一样直线, 表示平面,以下说法正确的选项是( )A .若 m / / , n / / , 则 m / /nB .若 m , n ,则 m nC .若 m, m n ,则 n / /D .若 m / / , m n ,则 n5.设 a, b, c 是非零向量,学科 网已知命题 P :若 a b 0 , b c 0 ,则 a c 0 ;命题 q :若 a / /b, b / / c ,则 a / /c ,则以下命题中真命题是( )A . p qB . p qC . ( p) ( q)D . p ( q)6.6 把椅子摆成一排, 3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )A . 144B . 120C . 72D . 24 7.某几何体三视图如下图,则该几何体的体积为( ) A .8 2B . 8C . 8D . 82 48.设等差数列 { a n } 的公差为 d ,若数列 {2 a 1 a n } 为递减数列,则( )A . d 0B . d 0C . a 1d 0D . a 1d 09.将函数 y3sin(2 x ) 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数( ), 732A .在区间 [] 上单一递减12 12 B .在区间 [, 7] 上单一递加12 12 C .在区间 [, ] 上单一递减6 3D .在区间 [, ] 上单一递加6 310.已知点 A( 2,3) 在抛物线 C : y22 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相 切于点 B ,记 C 的焦点为 F ,则直线 BF 的斜率为( )1B .2C .34A .D .2 3 4 311.当 x [ 2,1] 时,不等式 ax 3 x 24x 3 0 恒建立,则实数 a 的取值范围是()A .[ 5,3]B .[ 6,9] C .[ 6, 2]D .[ 4, 3]812.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x) 知足: ① f (0) f (1) 0 ;②对全部 x, y[0,1] ,且 xy ,有 | f ( x)1 y |.f ( y) | | x2若对全部 x, y [0,1] , | f (x)f ( y) |k ,则 k 的最小值为()A .1B .1C .1D .12428第Ⅱ卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.履行右边的程序框图,若输入x 9 ,则输出 y.14.正方形的四个极点A( 1, 1), B(1, 1),C (1,1),D ( 1,1)分别在抛物线 yx 2 和 yx 2 上,如下图,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在暗影地区的概率是.15.x 2 y 2 A ,已知椭圆 C :1 ,点 M 与 C 的焦点不重合, 若 M 对于 C 的焦点的对称点分别为94B ,线段 MN 的中点在C 上,则 | AN | | BN |.16. 对于 c0 ,当非零实数 a ,b 知足 4a 2 2ab 4b 2c 0 ,且使 | 2a b | 最大时, 3 4 5.a b c 的最小值为三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)。

2014年全国高考辽宁省数学理试卷及答案精校版

2014年全国高考辽宁省数学理试卷及答案精校版

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C AB =( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量,学科 网已知命题P :若0a b •=,0b c •=,则0a c •=;命题q :若//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( ) A .p q ∨ B .p q ∧ C .()()p q ⌝∧⌝ D .()p q ∨⌝**把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π- C .82π-D .84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}na a 为递减数列,则( )A .0d <B .0d >C .10a d <D .10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .12 B .23 C .34 D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[5,3]-- B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3] 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( ) A .12 B .14 C .12π D .18第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.执行右侧的程序框图,若输入9x =,则输出y = . 14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x=上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中, 则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += . 16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC •=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值. 18. (本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望()E X 及方差()D X .19. (本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 分别为AC 、DC 的中点.(1)求证:EF BC ⊥;(2)求二面角E BF C --的正弦值.20. (本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图),双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.(1)求1C 的方程;(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆心过点P ,求l 的方程.21. (本小题满分12分)已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+,2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =;(2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若AC=BD ,求证:AB=ED.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N. (1)求M ; (2)当x MN ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学答案1. D2. A3. C4. B5. A6. D7. B8. C9. B 10. D 11. C 12. B 13.299C 14. 2315. 12 16. 2- 17.(Ⅰ)由2BA BC⋅=得,cos 2c a B ⋅=,又1cos 3B =,所以ac =6.由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+.又b =3,所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得a =2,c =3或a =3,c =2. 因为a >c ,∴ a =3,c =2. (Ⅱ)在ABC ∆中,22122sin 1cos 1().33B B =-=-=由正弦定理,得22242sin sin 339c CB b ==⋅=,又因为a b c =>,所以C 为锐角,因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 18.(Ⅰ)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,2A 表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=. ()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P********因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8,方差D (X )=3×0.6×(1-0.6)=0.72 19.(Ⅰ)证明:(方法一)过E 作EO ⊥BC ,垂足为O ,连OF ,由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ,所以∠EOC =∠FOC =2π,即FO ⊥BC , 又EO ⊥BC ,因此BC ⊥面EFO , 又EF ⊂面EFO ,所以EF ⊥BC .(方法二)由题意,以B 为坐标原点,在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴,在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易得B (0,0,0),A (0,-1,3),D (3,-1,0),C (0,2,0),因而1331(0,,),(,,0)2222E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=,因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥,所以EF BC ⊥. (Ⅱ)(方法一)在图1中,过O 作OG ⊥BF ,垂足为G ,连EG ,由平面ABC ⊥平面BDC ,从而EO ⊥平面BDC ,又OG ⊥BF ,由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角; 在△EOC 中,EO =12EC =12BC ·cos 30°=32,由△BGO ∽△BFC 知,34BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EOOG=,从而sin ∠EGO =255,即二面角E -BF -C 的正弦值为255. (方法二)在图2中,平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =,又3113(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,3,1)n =-,设二面角E -BF -C 的大小为θ,且由题意知θ为锐角,则1212121cos |cos ,|||||||5n n n n n n θ⋅=<>==⋅,因sin θ=25=255,即二面角E -BF -C 的正弦值为255. 20.(Ⅰ)设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>,则切线斜率为0x y -,切线方程为0000()x y y x x y -=--,即004x x y y +=,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值,即S 有最小值,因此点P 得坐标为(2,2) , 由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==,故1C 方程为2212y x -=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-,由此2C 的方程为22221113x y b b +=+,其中10b >.由(2,2)P 在2C 上,得22112213b b +=+, 解得b 12=3,因此C 2方程为22163x y +=显然,l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my +3,点1122(,),(,)A x y B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)2330m y my ++-=,又12,y y 是方程的根,因此12212223232my y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②,由11223,3x my x my =+=+得1212222121212243()232663()32x x m y y m m x x m y y m y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2,2)AP x y BP x y =--=--由题意知0AP BP ⋅=,所以121212122()2()40x x x x y y y y -++-++=⑤ ,将①,②,③,④代入⑤式整理得222646110m m -+-=,解得3612m =-或3612m =-+,因此直线l 的方程为36(1)302x y ---=,或36(1)302x y +--=. 21.(Ⅰ)当(0,)2x π∈时,2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<,函数()f x 在(0,)2π上为减函数,又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<,所以存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =. (Ⅱ)考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+,令t x π=-,则[,]2x ππ∈时,[0,]2t π∈, 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++,则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ , 由(Ⅰ)得,当0(0,)t x ∈时,'()0u t >,当0(,)2t x π∈时,'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数,又(0)0u =,从而当0(0,]t x ∈时,()0u t >,所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0(,)2x π上()u t 是减函数,由0()0,()4ln 202u x u π>=-<,存在唯一的10(,)2t x π∈ ,使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈,使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时,1sin 0x +>,故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点,所以存在唯一的1(,)2x ππ∈,使1()0g x =.因1110,x t t x π=->,所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(Ⅰ)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ,所以∠PF A =90°,于是∠BDA =90°,故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ,DC .由于AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°, 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD , 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ,于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径,由(Ⅰ)得ED =AB .23.(Ⅰ)设11(,)x y 为圆上的点,在已知变换下位C 上点(x ,y ),依题意,得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=,即曲线C 的方程为2214y x +=.,故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩== (t 为参数). (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩,或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =,于是所求直线方程为111()22y x -=-, 化极坐标方程,并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-,即34sin 2cos ρθθ=-.24.(Ⅰ)33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时,由()331f x x =-≤得43x ≤,故413x ≤≤; 当1x <时,由()11f x x =-≤得0x ≥,故01x ≤<; 所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤,因此13{|}44N x x =-≤≤,故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时,()1f x x =-,于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。

2014年辽宁省高考理科试卷与答案

2014年辽宁省高考理科试卷与答案

2014年辽宁高考理科数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 【2014年辽宁卷(理01)】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C AB =( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x << 【2014年辽宁卷(理02)】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( )A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 【2014年辽宁卷(理03)】已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>【2014年辽宁卷(理04)】已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )A .若//,//,m n αα则//m nB .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则//n αD .若//m α,m n ⊥,则n α⊥【2014年辽宁卷(理05)】设,,a b c 是非零向量,学科 网已知命题P :若0a b ∙=,0b c ∙=,则0a c ∙=;命题q :若//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝【2014年辽宁卷(理06)】6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .24【2014年辽宁卷(理07)】某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) 【2014年辽宁卷(理08)】设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a为递减数列,则( )A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d >【2014年辽宁卷(理09)】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( )A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增【2014年辽宁卷(理10)】已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A .12 B .23 C .34 D .43【2014年辽宁卷(理11)】当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[5,3]--B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]--【2014年辽宁卷(理12)】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足:①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( )A .12B .14C .12πD .18第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)【2014年辽宁卷(理13)】执行右侧的程序框图,若输入9x =,则输出y = .【2014年辽宁卷(理14)】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,学科网则质点落在阴影区域的概率是 .【2014年辽宁卷(理15)】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线 段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【2014年辽宁卷(理16)】对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 【2014年辽宁卷(理17)】(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求: (1)a 和c 的值; (2)cos()BC -的值.【2014年辽宁卷(理18)】(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率; (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望()E X 及方差()D X .【2014年辽宁卷(理19)】(本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 分别为AC 、DC 的中点.(1)求证:EF BC ⊥;(2)求二面角E BF C --的正弦值.【2014年辽宁卷(理20)】(本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图),双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.(1)求1C 的方程;(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆心过点P ,求l 的方程. 【2014年辽宁卷(理21)】(本小题满分12分)已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+,2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =;(2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【2014年辽宁卷(理22)】(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲学科网 如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F. (1)求证:AB 为圆的直径;(2)若AC=BD ,求证:AB=ED.【2014年辽宁卷(理23)】(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【2014年辽宁卷(理24)】(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N. (1)求M ; (2)当x M N ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.2014年辽宁高考理科数学试题答案第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:1.【答案】D 【解析】A ∪B={x|x ≥1或x ≤0},∴C U (A ∪B )={x|0<x <1},故选:D2.【答案】A 【解析】由(z ﹣2i )(2﹣i )=5,得:,∴z=2+3i .故选:A3.【答案】C 【解析】∵0<a=<20=1,b=log 2<log 21=0,c=log=log 23>log 22=1,∴c >a >b .故选:C4.【答案】B 【解析】A .若m ∥α,n ∥α,则m ,n 相交或平行或异面,故A 错;B .若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n ,故B 正确;C .若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α,故C 错;D .若m ∥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α,故D 错.故选B5.【答案】A 【解析】若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•=0不一定成立,故命题p 为假命题,若∥,∥,则∥平行,故命题q 为真命题,则p ∨q ,为真命题,p ∧q ,(¬p )∧(¬q ),p ∨(¬q )都为假命题,故选:A6.【答案】D 【解析】3人全排,有=6种方法,形成4个空,在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子,有4种方法,根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种.故选:D7.【答案】B 【解析】由三视图知:几何体是正方体切去两个圆柱,正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π.故选:B8.【答案】C 【解析】∵等差数列{a n}的公差为d,∴a n+1﹣a n=d,又数列{2}为递减数列,∴=<1,∴a1d<0.故选:C9.【答案】B 【解析】把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].即y=3sin(2x﹣).由,得.取k=0,得.∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:B10.【答案】D 【解析】∵点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,即准线方程为:x=﹣2,∴p>0,=﹣2即p=4,∴抛物线C:y2=8x,在第一象限的方程为y=2,设切点B(m,n),则n=2,又导数y′=2,则在切点处的斜率为,∴即m=2m,解得=2(舍去),∴切点B(8,8),又F(2,0),∴直线BF的斜率为,故选D11.【答案】C 【解析】当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].12.【答案】B 【解析】依题意,定义在[0,1]上的函数y=f(x)的斜率|k|<,不妨令k>0,构造函数f(x)=(0<k<),满足f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.当x∈[0,],且y∈[0,]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×<;当x∈[0,],且y∈[,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k(x+y)﹣k|≤|k(1+)﹣k|=<;当y∈[0,],且y∈[,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|<;当x∈[,1],且y∈[,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)|=k|x﹣y|≤k×(1﹣)=<;综上所述,对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<,∵对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<k恒成立,∴k≥,即k的最小值为.故选:B第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.【答案】【解析】由程序框图知:第一次循环x=9,y=+2=5,|5﹣9|=4>1;第二次循环x=5,y=+2=,|﹣5|=>1;第三次循环x=,y=+2.|+2﹣|=<1,满足条件|y﹣x|<1,跳出循环,输出y=.故答案为:14.【答案】【解析】∵A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1),∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4,根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[(1﹣)﹣(﹣1+)]=2×=,则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是.故答案为:15.【答案】12 【解析】如图:MN的中点为Q,易得,,∵Q在椭圆C上,∴|QF1|+|QF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.16.【答案】﹣2【解析】∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,∴=由柯西不等式得,[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时,有∴∴﹣+===,当b=时,取得最小值为﹣2.故答案为:﹣2三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(Ⅰ)由2BA BC⋅=得,cos 2c a B ⋅=,又1cos 3B =,所以ac =6.由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+.又b =3,所以2292213a c +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得a =2,c =3或a =3,c =2. 因为a >c ,∴ a =3,c =2. (Ⅱ)在ABC ∆中,22122sin 1cos 1().33B B =-=-=由正弦定理,得22242sin sin 339c C B b ==⋅=,又因为a b c =>,所以C 为锐角,因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 18.(Ⅰ)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,2A 表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= .2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=, 333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8,方差D (X )=3×0.6×(1-0.6)=0.72 19.(Ⅰ)证明:(方法一)过E 作EO ⊥BC ,垂足为O ,连OF ,由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ,所以∠EOC =∠FOC =2π,即FO ⊥BC ,又EO ⊥BC , 因此BC ⊥面EFO ,又EF ⊂面EFO ,所以EF ⊥BC .(方法二)由题意,以B 为坐标原点,在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴,在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 易得B (0,0,0),A (0,-1,3),D (3,-1,0),C (0,2,0),因而1331(0,,),(,,0)2222E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=,因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥,所以EF BC ⊥.(Ⅱ)(方法一)在图1中,过O 作OG ⊥BF ,垂足为G ,连EG ,由平面ABC ⊥平面BDC ,从而EO ⊥平面BDC ,又OG ⊥BF ,由三垂线定理知EG 垂直BF .因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角; 在△EOC 中,EO =12EC =12BC ·cos 30°=32,由△BGO ∽△BFC 知,34BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EO OG =,从而sin ∠EGO =255,即二面角E -BF -C 的正弦值为255. (方法二)在图2中,平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =,又3113(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,3,1)n =-,设二面角E -BF -C 的大小为θ,且由题意知θ为锐角,则1212121cos |cos ,|||||||5n n n n n n θ⋅=<>==⋅,因sin θ=25=255,即二面角E -BF -C 的正弦值为255. 20.(Ⅰ)设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>,则切线斜率为00x y -,切线方程为0000()xy y x x y -=--,即004x x y y +=,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值,即S 有最小值,因此点P 得坐标为(2,2) ,由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==,故1C 方程为2212y x -=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-,由此2C 的方程为22221113x y b b +=+, 其中10b >.由(2,2)P 在2C 上,得22112213b b +=+,解得b 12=3,因此C 2方程为22163x y += 显然,l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my +3,点1122(,),(,)A x y B x y 由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)2330m y my ++-=,又12,y y 是方程的根,因此12212223232m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②,由1123,x m yx=+=得1212222121212243()232663()32x x m y y m m x x m y y m y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2,2)AP x y BP x y =--=--由题意知AP BP ⋅=,所以121212122()2()40x x x x y y y y -++-++=⑤ ,将①,②,③,④代入⑤式整理得222646110m m -+-=,解得3612m =-或3612m =-+,因此直线l的方程为36(1)302x y ---=,或36(1)302x y +--=. 21.(Ⅰ)当(0,)2x π∈时,2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<,函数()f x 在(0,)2π上为减函数,又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<,所以存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =.(Ⅱ)考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+, 令t x π=-,则[,]2x ππ∈时,[0,]2t π∈,记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++,则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ,由(Ⅰ)得,当0(0,)t x ∈时,'()0u t >,当0(,)2t x π∈时,'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数,又(0)0u =,从而当0(0,]t x ∈时,()0u t >,所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0(,)2x π上()u t 是减函数,由0()0,()4ln 202u x u π>=-<,存在唯一的10(,)2t x π∈ ,使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈,使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时,1sin 0x +>,故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点,所以存在唯一的1(,)2x ππ∈,使1()0g x =.因1110,x t t x π=->,所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(Ⅰ)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PFA . 由于AF 垂直EP ,所以∠PFA =90°,于是∠BDA =90°,故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ,DC .由于AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°, 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD , 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ,于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角11 于是ED 是直径,由(Ⅰ)得ED =AB .23.(Ⅰ)设11(,)x y 为圆上的点,在已知变换下位C 上点(x ,y ),依题意,得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=,即曲线C 的方程为2214y x +=.,故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩== (t 为参数). (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩,或02x y =⎧⎨=⎩.不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =,于是所求直线方程为111()22y x -=-,化极坐标方程,并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-,即34s i n 2c o s ρθθ=-.24. (Ⅰ)33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩ 当1x ≥时,由()331f x x =-≤得43x ≤,故413x ≤≤;当1x <时,由()11f x x =-≤得0x ≥,故01x ≤<;所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤,因此13{|}44N x x =-≤≤,故3{|0}4M N x x =≤≤.当x M N ∈时,()1f x x =-,于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+ 2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—辽宁卷

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C AB =( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量,已知命题P :若0a b ∙=,0b c ∙=,则0a c ∙=;命题q :若//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6. 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π- C .82π-D .84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a为递减数列,则( ) A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .12 B .23 C .34 D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[5,3]-- B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( )A .12 B .14 C .12π D .18第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.执行右侧的程序框图,若输入9x =,则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求: (1)a 和c 的值; (2)cos()BC -的值. 18. (本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望()E X 及方差()D X .19. (本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 分别为AC 、DC 的中点. (1)求证:EF BC ⊥;(2)求二面角E BF C --的正弦值.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线22122:1x y C a b-=过点P (1)求1C 的方程;(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆心过点P ,求l 的方程.已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+,2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =;(2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若AC=BD ,求证:AB=ED.:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N.(1)求M ; (2)当x MN ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤. 参考答案一、选择题1. D [解析] 由题意可知,A ∪B ={x |x ≤0或x ≥1},所以∁U (A ∪B )={x |0<x <1}.2. A [解析] 由(z -2i)(2-i)=5,得z -2i =52-i,故z =2+3i.3. C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .4. B [解析] B [解析] 由题可知,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 平行、相交或异面,所以A 错误;若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n ,故B 正确;若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α,故C 错误.若m ∥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交,故D 错误. 5. A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.6. D [解析] 这是一个元素不相邻问题,采用插空法,A 33C 34=24.7. B [解析] 根据三视图可知,该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分,故该几何体体积为2×2×2-2×14×π×2=8-π8. C [解析] 令b n =2a 1a n ,因为数列{2a 1a n }为递减数列,所以b n +1b n =2a 1a n +12a 1a n=2a 1(a n +1-a n )=2a 1d <1,所得a 1d <0.9. B [解析] 由题可知,将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -23π的图像,令-π2+2k π≤2x -23π≤π2+2k π,k ∈Z ,即π12+k π≤x ≤7π12+k π,k ∈Z 时,函数单调递增,即函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12+k π,7π12+k π,k ∈Z ,可知当k =0时,函数在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增10. D [解析] 因为抛物线C :y 2=2px 的准线为x =-p2,且点A (-2,3)在准线上,所以p =4.设直线AB 的方程为x +2=m (y -3),与抛物线方程y 2=8x 联立得到y 2-8my +24m +16=0,由题易知Δ=0,解得m =-12(舍)或者m =2,这时B 点的坐标为(8,8),而焦点F 的坐标为(2,0),故直线BF 的斜率k BF =8-08-2=43. 11. C C [解析] 当-2≤x <0时,不等式转化为a ≤x 2-4x -3x 3,令f (x )=x 2-4x -3x 3(-2≤x <0),则f ′(x )=-x 2+8x +9x 4=-(x -9)(x +1)x 4,故f (x )在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,此时有a ≤1+4-3-1=-2.当x =0时,g (x )恒成立.当0<x ≤1时,a ≥x 2-4x -3x 3,令个g (x )=x 2-4x -3x 3(0<x ≤1),则g ′(x )=-x 2+8x +9x 4= -(x -9)(x +1)x 4,故g (x )在(0,1]上单调递增,此时有a ≥1-4-31=-6.综上,-6≤a ≤-2.解法一:12. B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x -y ≤12时,|f (x )-f (y )|<12|x -y |=12(x -y )≤14.当x -y >12时,|f (x )-f (y )|=|f (x )-f (1)-(f (y )-f (0))|≤|f (x )-f (1)|+|f (y )-f (0)|<12|x -1|+12|y -0|=-12(x -y )+12<14.故k min =14.解法二:解法三:解法四:13.299[解析] 当x =9时,y =5,则|y -x |=4;当x =5时,y =113,则|y -x |=43;当x =113时,y =299,则|y -x |=49<1.故输出y =299.14.23[解析] 正方形ABCD 的面积S =2×2=4,阴影部分的面积S 1=2⎠⎛-11(1-x 2)d x =2⎝⎛⎭⎫x -13x 31-1=83,故质点落在阴影区域的概率P =834=23. 15. 12 [解析] 取MN 的中点为G ,点G 在椭圆C 上.设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ,点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ,则有|GF 1|=12|AN |,|GF 2|=12|BN |,所以|AN |+|BN |=2(|GF 1|+|GF 2|)=4a =12.16. 2- [解析] 由题知2c =-(2a +b )2+3(4a 2+3b 2).(4a 2+3b 2)⎝⎛⎭⎫1+13≥(2a +b )2⇔4a 2+3b 2≥34(2a +b )2,即2c ≥54(2a +b )2, 当且仅当4a 21=3b213,即2a =3b =6λ(同号)时,|2a +b |取得最大值85c ,此时c =40λ2.3a -4b +5c =18λ2-1λ=18⎝⎛⎭⎫1λ-42-2≥-2, 当且仅当a =34,b =12,c =52时,3a -4b +5c取最小值-2.17.(Ⅰ)由2BA BC ⋅=得,cos 2c a B ⋅=,又1cos 3B =,所以ac =6.由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+.又b =3,所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得a =2,c =3或a =3,c =2. 因为a >c ,∴ a =3,c =2. (Ⅱ)在ABC ∆中,sin 3B ===由正弦定理,得2sin sin 339c CB b ==⋅=,又因为a b c =>,所以C 为锐角,因此7cos9C===.于是cos()cos cos sin sinB C B C B C-=+=1723393927⋅+⋅=.18.(Ⅰ)设1A表示事件“日销售量不低于100个”,2A表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A=++⨯=.2()0.003500.15P A=⨯=.()0.60.60.1520.108P B=⨯⨯⨯=.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C==⋅-=,333(3)0.60.216P X C==⋅=,分布列为19.(Ⅰ)证明:(方法一)过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF,由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC,所以∠EOC=∠FOC=2π,即FO⊥BC,又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO,又EF⊂面EFO,所以EF⊥BC.(方法二)由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易得B (0,0,0),A (0,-1,),D(,-1,0),C (0,2,0),因而11(0,),,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=,因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥,所以EF BC ⊥. (Ⅱ)(方法一)在图1中,过O 作OG ⊥BF ,垂足为G ,连EG ,由平面ABC ⊥平面BDC ,从而EO ⊥平面BDC ,又OG ⊥BF ,由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角; 在△EOC 中,EO =12EC=12BC ·cos 30°,由△BGO ∽△BFC 知,BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EO OG =,从而sin ∠EGO,即二面角E -BF -C (方法二)在图2中,平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =,又311(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220n BF nBE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,n =,设二面角E -BF -C 的大小为θ,且由题意知θ为锐角,则121212cos |cos ,|||||||5n nn n n n θ⋅=<>==⋅因sin θ即二面角E -BF -C 20.(Ⅰ)设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>,则切线斜率为0x y -,切线方程为0000()x y y x x y -=--,即004x x y y +=,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y =时00x y 有最大值,即S 有最小值,因此点P 得坐标为 , 由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==,故1C 方程为2212y x -=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2C的焦点坐标为(,由此2C 的方程为22221113x y b b +=+,其中10b >.由P 在2C 上,得22112213b b +=+, 解得b 12=3,因此C 2方程为22163x y += 显然,l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=,又12,y y 是方程的根,因此1212232y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩①②,由12,3x y x m=+=+得12122221212122()266()32x x m y y m m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2)AP x y BP x y =--=-由题意知0A P B P ⋅=,所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤,将①,②,③,④代入⑤式整理得22110m -+=,解得12m =-或12m =-+,因此直线l 的方程为1)0x y --=,或1)0x y +-=. 21.(Ⅰ)当(0,)2x π∈时,2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<,函数()f x 在(0,)2π上为减函数,又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<,所以存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =. (Ⅱ)考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+,令t x π=-,则[,]2x ππ∈时,[0,]2t π∈, 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++,则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ,由(Ⅰ)得,当0(0,)t x ∈时,'()0u t >,当0(,)2t x π∈时,'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数,又(0)0u =,从而当0(0,]t x ∈时,()0u t >,所以()u t 在0(0,]x 上无零点. 在0(,)2x π上()u t 是减函数,由0()0,()4ln 202u x u π>=-<,存在唯一的10(,)2t x π∈ ,使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈,使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时,1sin 0x +>,故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点,所以存在唯一的1(,)2x ππ∈,使1()0g x =.因1110,x t t x π=->,所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(Ⅰ)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ,所以∠PF A =90°,于是∠BDA =90°,故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ,DC .由于AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°, 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD , 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ,于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB .由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径,由(Ⅰ)得ED =AB .23.(Ⅰ)设11(,)x y 为圆上的点,在已知变换下位C 上点(x ,y ),依题意,得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=得22()12y x +=,即曲线C 的方程为2214y x +=.,故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩== (t 为参数).(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩,或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =,于是所求直线方程为111()22y x -=-, 化极坐标方程,并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-,即34sin 2cos ρθθ=-.24.(Ⅰ)33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时,由()331f x x =-≤得43x ≤,故413x ≤≤; 当1x <时,由()11f x x =-≤得0x ≥,故01x ≤<; 所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤,因此13{|}44N x x =-≤≤,故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时,()1f x x =-,于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。

2014年高考理科数学辽宁卷(含详细答案)

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数学试卷 第1页(共45页)数学试卷 第2页(共45页)数学试卷 第3页(共45页)绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|1}B x x =≥,则集合()UA B = ( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =( )A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则( )A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .c b a >>4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则n α∥D .若m α∥,m n ⊥,则n α⊥5.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p :若a b 0=,b c 0=,则a c 0=;命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A .144B .120C .72D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π-C .π82-D .π84-8.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n a a 为递减数列,则( )A .0d <B .0d >C .10a d <D .10a d >9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数 ( ) A .在区间π7π[,]1212上单调递减B .在区间π7π[,]1212上单调递增C .在区间ππ[,]63-上单调递减D .在区间ππ[,]63-上单调递增10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A .12B .23C .34D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是 ( )A .[5,3]--B .9[6,]8--C .[6,2]--D .[4,3]--12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足:①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y --<. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<恒成立,则k 的最小值为( )A .12B .14C .12πD .18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.执行如图所示的程序框图,若输入9x =,则输出y =________.14.正方形的四个顶点(1,1)A --,(1,1)B -,(1,1)C ,(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.15.已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=________.16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共45页)数学试卷 第5页(共45页)数学试卷 第6页(共45页)三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a c >.已知2BA BC =,1cos 3B =,3b =.求:(Ⅰ)a 和c 的值; (Ⅱ)cos()B C -的值.18.(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(Ⅱ)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列、期望()E X 及方差()D X .19.(本小题满分12分)如图,ABC △和BCD △所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,120ABC DBC ∠=∠=,E ,F 分别为AC ,DC 的中点.(Ⅰ)求证:EF ⊥BC ;(Ⅱ)求二面角E BF C --的正弦值.20.(本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).双曲线1C :22221x y a b-=过点P 且离心率为3.(Ⅰ)求1C 的方程;(Ⅱ)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.21.(本小题满分12分)已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+,2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πxg x x x x =--+-.证明:(Ⅰ)存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =;(Ⅱ)存在唯一1π(,π)2x ∈,使1()0g x =,且对(Ⅰ)中的0x ,有01πx x +<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .(Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若AC BD =,求证:AB ED =.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .(Ⅰ)写出C 的参数方程;(Ⅱ)设直线l :220x y +-=与C 的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+.记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N . (Ⅰ)求M ; (Ⅱ)当x MN ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.3 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可知,{|01}A B x x x =≤≥或,所以(){|01}UA B x x =<<.故选D.【提示】先求AB ,再根据补集的定义求()UAB .【提示】把给出的等式两边同时乘以12i-,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z 可求.【提示】利用指数式的运算性质得到01a <<,由对数的运算性质得到0b <,1c >,则答案可求. 【考点】对数的基本运算 4.【答案】B【解析】由题可知,若m α∥,n α∥则m 与n 平行、相交或异面,所以A 错误;若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥,故B 正确;若m α⊥,m n ⊥,则n α∥或n α⊂,故C 错误.若m α∥,m n ⊥,则n α∥或n α⊥或n 与α相交,故D 错误.故选B.【提示】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断; B.运用线面垂直的性质,即可判断;C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 【考点】空间直线与直线,直线与平面的位置关系 5.【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当0b ≠时,a ,c 一定共线,故命数学试卷 第10页(共45页) 数学试卷 第11页(共45页)数学试卷 第12页(共45页)题q 是真命题.故p q ∨为真命题.故选A.【提示】根据向量的有关概念和性质分别判断p ,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】向量的平行与垂直,真假命题的判定 6.【答案】D【解析】这是一个元素不相邻问题,采用插空法,333424A C =.故选D.【提示】使用“插空法”根据分步计数原理可得结论.【提示】几何体是正方体切去两个14圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.【提示】由于数列1{2}n a a 为递减数列,可得11112212n na a a d a a +=<,解出即可.5 / 15【提示】由题意先求出准线方程2px =-,再求出p ,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点,并求导,得到切线AB 的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方程求出切点,再由两点的斜率公式求出BF 的斜率.数学试卷 第16页(共45页) 数学试卷 第17页(共45页)数学试卷 第18页(共45页)【提示】利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论. 【提示】画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出||||AN BN +的值.7 / 15【提示】首先把:224240a ab b c +-=-,转化为222343(2)4a b a b +≥+,再由柯西不等式得到|2|a b +,分别用b 表示a ,c ,在代入到345a b c-+得到关于b 的二次函数,求出最小值即可. (Ⅰ)由2BA BC =得,cos 2c a B =2222cos a c b B +=+. 29213c +=+⨯.解2ac a =⎧⎨+⎩,2c =2224339=22799⎫=⎪⎪⎭. 17224223sin 393927B C =+=数学试卷 第22页(共45页) 数学试卷 第23页(共45页)数学试卷 第24页(共45页)【提示】(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简2BA BC =,将cos B 的值代入求出6ac =,再利用余弦定理列出关系式,将b ,cos B 以及ac 的值代入得到2213a c +=,联立即可求出ac 的值;(Ⅱ)由cos B 的值,利用同角三角函数间基本关系求出sin B 的值,由c ,b ,sin B ,利用正弦定理求出sin C 的值,进而求出cos C 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.033(10.6)-=130.6(10.6)-2230.6(10.6)-3330.60.216=0 0.064因为~(3,0.6)X B ,所以期望为()30.6 1.8E X =⨯=,方差()30.6(10.6)0.72D X =⨯⨯-=.【提示】(Ⅰ)由频率分布直方图求出事件1A ,2A 的概率,利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率;(Ⅱ)写出X 可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出X 取每一个值的概率;列出分布列.根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望()E X 及方差()D X . 【考点】频率分布直方图,随机事件的概率随机变量的期望和方差19.【答案】(Ⅰ)证明:方法一,过点E 作EO BC ⊥,垂足为O ,连接OF 。

2014年辽宁高考理科数学真题及答案

2014年辽宁高考理科数学真题及答案

2014年辽宁高考理科数学真题及答案第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B =U ( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( )A .23i +B .23i -C .32i +D .32i -3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )A .若//,//,m n αα则//m nB .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则//n αD .若//m α,m n ⊥,则n α⊥5.设,,a b c r r r 是非零向量,学科 网已知命题P :若0a b •=r r ,0b c •=r r ,则0a c •=r r ;命题q :若//,//a b b c r r r r ,则//a c r r ,则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )A .144B .120C .72D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .82π-B .8π-C .82π- D .84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a 为递减数列,则( )A .0d <B .0d >C .10a d <D .10a d >9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A .12B .23C .34D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[5,3]--B .9[6,]8--C .[6,2]--D .[4,3]--ZXXK12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足:①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( )A .12B .14C .12πD .18第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.执行右侧的程序框图,若输入9x =,则输出y = . ZXXK14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += . ZXXK16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分) 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC •=u u u r u u u r ,1cos 3B =,3b =,求: (1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.18. (本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望()E X 及方差()D X .19. (本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 分别为AC 、DC 的中点.(1)求证:EF BC ⊥;(2)求二面角E BF C --的正弦值.20. (本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图),双曲线22122:1x y C a b-=过点P 3(1)求1C 的方程;(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆心过点P ,求l 的方程.21. (本小题满分12分) 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+,2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-. 证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =; (2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F.(1)求证:AB 为圆的直径;(2)若AC=BD ,求证:AB=ED.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N.(1)求M ;(2)当x M N ∈I 时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题(理科)解析版

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【答案】C
【解析】
a
=
-1
23

(
1 2
,1),
b
=
log
2
1 3

(-2,-1),
c
=
log
1 2
1 3

(1,2).∴
c > a > b.选C.
4.已知 m,n 表示两条不同直线, 表示平面,下列说法正确的是( )
A.若 m / / , n / / , 则 m / /n
B.若 m , n ,则 m n
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集U R, A {x | x 0}, B {x | x 1} ,则集合 CU (A B) (
若 a / /b,b / /c ,则 a / /c ,则下列命题中真命题是( )
A. p q B. p q C. (p) (q) D. p (q)
【答案】A 【解析】命题 p 为假,命题 q 为真,所以 A 正确。选 A
6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )
8.设等差数列{an} 的公差为 d,若数列{2a1an } 为递减数列,则( )
A. d 0 B. d 0 C. a1d 0 D. a1d 0
【答案】C 【解析】
由同增异减知,a1an递减,即a1an+1 < a1an.分情况解得 : a1 > 0且d < 0;或a1 < 0且d > 0. ∴ a1d < 0.选C.

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)教师版

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2014年辽宁省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2014•辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A ∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}【分析】先求A∪B,再根据补集的定义求C U(A∪B).【解答】解:A∪B={x|x≥1或x≤0},∴C U(A∪B)={x|0<x<1},故选:D.2.(5分)(2014•辽宁)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z可求.【解答】解:由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得:,∴z=2+3i.故选:A.3.(5分)(2014•辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a【分析】利用指数式的运算性质得到0<a<1,由对数的运算性质得到b<0,c >1,则答案可求.【解答】解:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=log=log23>log22=1,∴c>a>b.故选:C.4.(5分)(2014•辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;B.运用线面垂直的性质,即可判断;C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.【解答】解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.故选:B.5.(5分)(2014•辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.【解答】解:若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•=0不一定成立,故命题p为假命题,若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题,故选:A.6.(5分)(2014•辽宁)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【分析】使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1位置与2位置之间摆放一张凳子,2位置与3位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理可得结论.【解答】解:使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1位置与2位置之间摆放一张凳子,2位置与3位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理,6×4=24.故选:D.7.(5分)(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,分别求出底面面积和高,代入柱体体积公式,可得答案.【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,其底面面积S=2×2﹣2××π×12=4﹣,柱体的高h=2,故该几何体的体积V=Sh=8﹣π,故选:B.8.(5分)(2014•辽宁)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0【分析】由于数列{2}为递减数列,可得=<1,解出即可.﹣a n=d,【解答】解:∵等差数列{a n}的公差为d,∴a n+1又数列{2}为递减数列,∴=<1,∴a1d<0.故选:C.9.(5分)(2014•辽宁)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,]上单调递减C.在区间[﹣,]上单调递减D.在区间[﹣,]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[,]上单调递增,则答案可求.【解答】解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].即y=3sin(2x﹣).当函数递增时,由,得,.取k=0,得.∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:A.10.(5分)(2014•辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.B.C.D.【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2,再求出p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点,并求导,得到切线AB的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方程求出切点,再由两点的斜率公式求出BF的斜率.【解答】解:∵点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,即准线方程为:x=﹣2,∴p>0,=﹣2即p=4,∴抛物线C:y2=8x,在第一象限的方程为y=2,设切点B(m,n),则n=2,又导数y′=2,则在切点处的斜率为,∴即m=2m,解得=2(舍去),∴切点B(8,8),又F(2,0),∴直线BF的斜率为,故选:D.11.(5分)(2014•辽宁)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3]B.[﹣6,﹣]C.[﹣6,﹣2]D.[﹣4,﹣3]【分析】分x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集.【解答】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].故选:C.12.(5分)(2014•辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为()A.B.C.D.【分析】依题意,构造函数f(x)=,,(0<k<),分x∈[0,],且y∈[0,];x∈[0,],且y∈[,1];x∈[0,],且y∈[,1];及当x∈[,1],且y∈[,1]时,四类情况讨论,可证得对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<恒成立,从而可得m≥,继而可得答案.【解答】解:依题意,定义在[0,1]上的函数y=f(x)的斜率|k|<,依题意可设k>0,构造函数f(x)=,,(0<k<),满足f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.当x∈[0,],且y∈[0,]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×<;当x∈[0,],且y∈[,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k(x+y)﹣k|≤|k(1+)﹣k|=<;当y∈[0,],且x∈[,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|<;当x∈[,1],且y∈[,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)|=k|x ﹣y|≤k×(1﹣)=<;综上所述,对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<,∵对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,∴m≥,即m的最小值为.故选:B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

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2014年辽宁省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(A∪B)=()1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁UA.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i,c=log,则()3.(5分)已知a=,b=log2A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)6.(5分)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.247.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣8.(5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>09.(5分)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增C.在区间[﹣,]上单调递减D.在区间[﹣,]上单调递增10.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.B.C.D.11.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]12.(5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

考生根据要求作答.13.(5分)执行如图的程序框图,若输入x=9,则输出y= .14.(5分)正方形的四个顶点A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1)分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是.15.(5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .16.(5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,﹣+的最小值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.18.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).19.(12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥BC;(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.20.(12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:﹣=1过点P且离心率为.(Ⅰ)求C1的方程;(Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣(sinx+1)g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣)证明:(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x)=0;(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x,有x+x1<π.四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.选修4-1:几何证明选讲.22.(10分)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.选修4-4:坐标系与参数方程23.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(Ⅰ)写出C的参数方程;(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.不等式选讲24.设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.2014年辽宁省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}【解答】解:A∪B={x|x≥1或x≤0},∴CU(A∪B)={x|0<x<1},故选:D.2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i【解答】解:由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得:,∴z=2+3i.故选:A.3.(5分)已知a=,b=log2,c=log,则()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a【解答】解:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=log=log23>log22=1,∴c>a>b.故选:C.4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解答】解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.故选B.5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)【解答】解:若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•=0不一定成立,故命题p为假命题,若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题,故选:A.6.(5分)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.24【解答】解:使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理,6×4=24.故选:D.7.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,其底面面积S=2×2﹣2××π×12=4﹣,柱体的高h=2,故该几何体的体积V=Sh=8﹣π,故选:B8.(5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0【解答】解:∵等差数列{an }的公差为d,∴an+1﹣an=d,又数列{2}为递减数列,∴=<1,∴a1d<0.故选:C.9.(5分)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增C.在区间[﹣,]上单调递减D.在区间[﹣,]上单调递增【解答】解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].即y=3sin(2x﹣).当函数递增时,由,得.取k=0,得.∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:B.10.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.B.C.D.【解答】解:∵点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,即准线方程为:x=﹣2,∴p>0,=﹣2即p=4,∴抛物线C:y2=8x,在第一象限的方程为y=2,设切点B(m,n),则n=2,又导数y′=2,则在切点处的斜率为,∴即m=2m,解得=2(舍去),∴切点B(8,8),又F(2,0),∴直线BF的斜率为,故选D.11.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]【解答】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;max当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x <0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;min综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].故选:C.12.(5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为()A.B.C.D.【解答】解:依题意,定义在[0,1]上的函数y=f(x)的斜率|k|<,依题意可设k>0,构造函数f(x)=(0<k<),满足f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.当x∈[0,],且y∈[0,]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×<;当x∈[0,],且y∈[,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k(x+y)﹣k|≤|k(1+)﹣k|=<;当y∈[0,],且x∈[,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|<;当x∈[,1],且y∈[,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)|=k|x﹣y|≤k×(1﹣)=<;综上所述,对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<,∵对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,∴m≥,即m的最小值为.故选:B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

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