辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次适应性考试数学试题含解析
2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区八年级(上)期末数学试卷(北师大版 含答案)
2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡上，每小题2分，共20分）1．（2分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠5D．∠3+∠4＝180°3．（2分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝2∠B＝2∠C4．（2分）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．（2分）估计的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间6．（2分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处7．（2分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生，在这次义卖活动中，某班级售书情况如下表：售价3元4元5元6元数目14本11本10本15本下列说法正确的是（）A．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4元C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15元D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，平均数是4元8．（2分）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．9．（2分）已知小明从A地到B地，速度为4千米/时，A，B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（）A．y＝4x B．y＝4x﹣3C．y＝﹣4x D．y＝3﹣4x 10．（2分）已知方程组，则2x+6y的值是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）化简的结果是．12．（3分）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点A（a﹣1，4），则a的值是．13．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是．14．（3分）如图，等边△OAB的边长为，则点B的坐标为．15．（3分）若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．设BC＝a，AC＝b，若AD＝EC，则a＝（用含b的式子表示）．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：（﹣1）3+|1﹣|+．18．（8分）解方程组：．19．（8分）如图，AB∥CD，点E为CD上点，射线EF经过点A，且EC＝EA，若∠CAE ＝30°，求∠BAF的度数．四、（每题8分，共16分）20．（8分）列二元一次方程组解决问题：某校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了A，B两种型号的客车共10辆，每辆A种型号客车坐师生49人，每辆B种型号客车坐师生37人，10辆客车刚好坐满，求A，B两种型号客车各多少辆？21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．（1）画出四边形OABC关于y轴的对称图形O'A'B'C'；（2）请直接写出点C'关于x轴的对称点C''的坐标：．五、（本题10分）22．（10分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？六、（本题10分）23．（10分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A，B两种型号的一体机，经过市场调查发现，每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．（1）列二元一次方程组解决问题：求每套A型和B型一体机的价格各是多少万元？（2）由于需要，决定再次采购A型和B型一体机共1100套，此时每套A型一体机的价格比原来上涨25%，每套B型一体机的价格不变．设再次采购A型一体机m（m≤600）套，那么该市至少还需要投入多少万元？七、（本题10分）24．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD⊥BC于点D．（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°时，求线段AM的长；（2）如图2，点M在线段AD的延长线上，点N在线段AC上，（1）中其他条件不变．①线段AM的长为；②求线段AN的长．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m．（1）n的值为；（2）用含有m的式子表示线段CP的长；（3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标；（4）在（3）的条件下，把直线AB沿着y轴向下平移，交y轴于点M，交线段BP于点N，若点D的坐标为，在平移的过程中，当∠DMN＝90°时，请直接写出点N的坐标．2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡上，每小题2分，共20分）1．（2分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．2．（2分）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠5D．∠3+∠4＝180°【分析】分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴l1∥l2，故本选项错误；B、∵∠2＝∠3，∴l1∥l2，故本选项错误；C、∠3＝∠5不能判定l1∥l2，故本选项正确；D、∵∠3+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．3．（2分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝2∠B＝2∠C【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、∵52+42＝25+16＝41＝（）2，∴△ABC是直角三角形，错误；B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形，正确；D、∵∠A＝2∠B＝2∠C，∴∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°，∴△ABC是直角三角形，错误；故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．4．（2分）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】能够估算无理数π的范围，结合数轴找到点即可．【解答】解：因为无理数π大于3，在数轴上表示大于3的点为点D；故选：D．【点评】本题考查无理数和数轴的关系；能够准确估算无理数π的范围是解题的关键．5．（2分）估计的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间【分析】化简原式等于3，因为3＝，所以＜＜，即可求解；【解答】解：＝+2＝3，∵3＝，6＜＜7，故选：B．【点评】本题考查无理数的大小；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键．6．（2分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选：D．【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．7．（2分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生，在这次义卖活动中，某班级售书情况如下表：售价3元4元5元6元数目14本11本10本15本下列说法正确的是（）A．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4元C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15元D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，平均数是4元【分析】根据平均数、众数和中位数的概念逐一判断即可得．【解答】解：A．该班级所售图书的总收入是3×14+4×11+5×10+6×15＝226（元），此选项正确；B．在该班级所传图书价格组成的一组数据中，中位数是＝4.5（元），此选项错误；C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是6元，此选项错误；D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，平均数是＝4.52（元），此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查中位数、众数和平均数，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数的概念．8．（2分）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用ab＜0，且a＞b得到a＞0，b＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．【解答】解：∵ab＜0，且a＞b，∴a＞0，b＜0，∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．9．（2分）已知小明从A地到B地，速度为4千米/时，A，B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（）A．y＝4x B．y＝4x﹣3C．y＝﹣4x D．y＝3﹣4x【分析】直接利用总路程﹣行驶的路程＝余下的路程，进而得出答案．【解答】解：用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是：y＝3﹣4x．故选：D．【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意表示出行驶路程是解题关键．10．（2分）已知方程组，则2x+6y的值是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．【解答】解：两式相减，得x+3y＝﹣2，∴2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）化简的结果是4．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．12．（3分）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点A（a﹣1，4），则a的值是﹣1．【分析】由正比例函数图象过点A，可知点A的坐标满足正比例函数的关系式，由此可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点A（a﹣1，4），∴4＝﹣2（a﹣1），解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点O的坐标代入正比例函数关系得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将点的坐标代入函数解析式中找出方程是关键．13．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是25°．【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∵BE∥DC，∴∠C＝∠EBC＝25°．故答案为：25°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠EBC＝25°是解题关键．14．（3分）如图，等边△OAB的边长为，则点B的坐标为（，3）．【分析】如图，作BH⊥OA于H．解直角三角形求出OH，BH即可．【解答】解：如图，作BH⊥OA于H．∵△OAB是等边三角形，BH⊥OA，∴OH＝AH＝，∠BOH＝60°，∴BH＝OH•tan60°＝3，∴B（，3），故答案为（，3）【点评】本题考查坐标与图形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题．15．（3分）若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为．【分析】根据众数的定义先判断出x，y中至少有一个是5，再根据平均数的计算公式求出x+y＝11，然后代入方差公式即可得出答案．【解答】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，∴x，y中至少有一个是5，∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，∴（4+x+5+y+7+9）＝6，∴x+y＝11，∴x，y中一个是5，另一个是6，∴这组数据的方差为[（4﹣6）2+2（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（9﹣6）2]＝；故答案为：．【点评】此题考查了众数、平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]；解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．设BC＝a，AC＝b，若AD＝EC，则a＝（用含b的式子表示）．【分析】利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：由作图可知：AD＝AE，BC＝BD＝a，∵AD＝EC，∴AE＝EC＝AD＝b，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴（b+a）2＝a2+b2，整理得：b2＝ab，∴b≠0，∴a＝b，故答案为b．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理构建关系式解决问题．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：（﹣1）3+|1﹣|+．【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+2＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）解方程组：．【分析】①+②得出4x＝﹣8，求出x，再把x＝﹣2代入②求出y即可．【解答】解：，①+②得：4x＝﹣8，解得：x＝﹣2，将x＝﹣2代入②得：﹣2+2y＝0，解得：y＝1，所以原方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．19．（8分）如图，AB∥CD，点E为CD上点，射线EF经过点A，且EC＝EA，若∠CAE ＝30°，求∠BAF的度数．【分析】先根据EC＝EA．∠CAE＝30°得出∠C＝30°，再由三角形外角的性质得出∠AED的度数，利用平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵EC＝EA，∠CAE＝30°，∴∠C＝∠CAE＝30°，∵∠DEA是△ACE的外角，∴∠AED＝∠C+∠CAE＝30°+30°＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED＝60°．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．四、（每题8分，共16分）20．（8分）列二元一次方程组解决问题：某校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了A，B两种型号的客车共10辆，每辆A种型号客车坐师生49人，每辆B种型号客车坐师生37人，10辆客车刚好坐满，求A，B两种型号客车各多少辆？【分析】设A种型号客车x辆，B种型号客车y辆，根据A，B两种型号的客车共10辆，每种型号车的辆数乘以每辆乘坐的人数等于总人数，列出方程组即可解答．【解答】解：设A种型号客车x辆，B种型号客车y辆，依题意，得解得答：A种型号客车8辆，B种型号客车2辆．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．（1）画出四边形OABC关于y轴的对称图形O'A'B'C'；（2）请直接写出点C'关于x轴的对称点C''的坐标：（﹣2，﹣1）．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称图形，再与点O首尾顺次连接即可得；（2）根据平面直角坐标系中点的坐标对称规律求解可得．【解答】解：（1）如图所示，四边形O'A'B'C'即为所求．（2）如图，点C″即为所求，其坐标为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．五、（本题10分）22．（10分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了50名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？【分析】（1）根据总数＝个体数量之和计算即可；（2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10＝50（人），故答案为50；（2）平均数＝（4×6+10×7+15×8+11×9+10×10）＝8.26；众数：得到8分的人最多，故众数为8．中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；（3）得到10分占10÷50＝20%，500人时，估计需要一等奖奖品500×20%＝100（份）．故需准备100份“一等奖”奖品．【点评】本题考查的是条形统计图综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；六、（本题10分）23．（10分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A，B两种型号的一体机，经过市场调查发现，每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．（1）列二元一次方程组解决问题：求每套A型和B型一体机的价格各是多少万元？（2）由于需要，决定再次采购A型和B型一体机共1100套，此时每套A型一体机的价格比原来上涨25%，每套B型一体机的价格不变．设再次采购A型一体机m（m≤600）套，那么该市至少还需要投入多少万元？【分析】（1）根据今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答案；（2）设该市还需要投入W万元，由题意得W＝1.2×（1+25%）m+1.8×（1100﹣m）＝﹣0.3m+1980，由一次函数的性质即可得出答案．【解答】解：（1）设每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元．由题意可得：，解得：，答：每套A型一体机的价格是1.2万元，B型一体机的价格是1.8万元；（2）设该市还需要投入W万元，由题意得：W＝1.2×（1+25%）m+1.8×（1100﹣m）＝﹣0.3m+1980，∵﹣0.3＜0，∴W随m的增大而减小．∵m≤600，∴当m＝600时，W有最小值，W最小＝﹣0.3×600+1980＝1800，答：该市至少还需要投入1800万元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．七、（本题10分）24．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD⊥BC于点D．（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°时，求线段AM的长；（2）如图2，点M在线段AD的延长线上，点N在线段AC上，（1）中其他条件不变．①线段AM的长为；②求线段AN的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；②过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD＝∠CAD＝∠ACB＝45°，∴，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，根据勾股定理，，∴，∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，在Rt△BDM中，∠BDM＝90°，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即，解得，，∴；（2）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD＝∠CAD＝∠ACB＝45°，∴，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，根据勾股定理，，∴，∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，在Rt△BDM中，∠BDM＝90°，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即，解得，，∴AM＝AD+DM＝；故答案为：；②如图2，过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠AME＝∠ADB＝90°，∴∠E＝45°＝∠BAD，∴ME＝MA，∠E＝∠CAD＝45°，∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∠AME＝90°，∴∠BME＝30°＝∠AMN，∴△BME≌△NMA（ASA），∴BE＝AN，在Rt△AME中，∠AME＝90°，由①，∴．根据勾股定理，＝，∴AN＝BE＝AE﹣AB＝．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m．（1）n的值为7；（2）用含有m的式子表示线段CP的长；（3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标；（4）在（3）的条件下，把直线AB沿着y轴向下平移，交y轴于点M，交线段BP于点N，若点D的坐标为，在平移的过程中，当∠DMN＝90°时，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）点B（5，n）在直线y＝x+2上，则n＝7，即可求解；（2）点C的横坐标为m，点C（m，m+2），CP⊥x轴交直线于点P，则点，＝；（3）S＝△APC的面积+△BPC的面积＝＝＝＝，即可求解；（4）直线AB的倾斜角为45°，则∠GMN＝45°，∠DMN＝90°，则∠GMN＝∠MDH ＝45°，故MH＝DH，即2﹣m﹣（﹣）＝2，解得：m＝，即可求解．【解答】解：（1）点B（5，n）在直线y＝x+2上，则n＝7，故答案为：7；（2）∵点C的横坐标为m，∴点C（m，m+2），∵CP⊥x轴交直线于点P，∴点，∴＝；（3）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，∴点A（﹣2，0），S＝△APC的面积+△BPC的面积＝＝＝＝，∵，∴S随m的增大而增大，∵点C是线段AB上的一个动点，∴当点C与点B重合时，m有最大值，即m＝5时，S有最大值．当m＝5时，，∴点；（4）过点N作NG⊥y轴于点G，过点D作DH⊥y轴于点H，设直线向下平移m个单位，则平移后直线的表达式为：y＝x+2﹣m，故点M（0，2﹣m），点N（5，7﹣m），直线AB的倾斜角为45°，则∠GMN＝45°，∵∠DMN＝90°，则∠GMN＝∠MDH＝45°，故MH＝DH，即2﹣m﹣（﹣）＝2，解得：m＝，故：点．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、图形的平移、面积的计算等，综合性强，难度适中．。
北师大版2019-2020学年度九年级数学暑假开学考试适应性训练题3(含答案)
北师大版2019-2020学年度九年级数学暑假开学考试适应性训练题3（含答案）1．点P（2m+6，m﹣1）在第三象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣3 B．m＜1 C．m＞﹣3 D．﹣3＜m＜12．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动：同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以acm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P，Q 同时停止移动．设点P出发x秒时，△P AQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，线段EF所在的直线对应的函数关系式为y＝﹣4x+21，则a的值为（）A．1.5 B．2 C．3 D．43．如图，△ABC周长为1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2 016个三角形的周长为()A．22 016B．22 017C．(12)2 016D．(12)2 0154．流感病毒的直径约为0.00000072m，其中0.00000072用科学记数法可表示为（）A．7.2×107B．7.2×10-8C．7.2×10-7D．0.72×10-85．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，过点O 作BD 的垂线分别交AD，BC 于E，F 两点．若AC=4，∠AEO=120°，则OF 的长度为（）A．23B．2 C．2 D．36．下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心7．如图中的图案哪一个可以看作是由图案自身的一部分平移后得到的() A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若△ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（）cm．A．4 B．5 C．3 D．以上都不对9．不等式组的解集是，那么m 取值范围是（）A．m<2 B．C．m<2 D．10．矩形ABCD中，E在AD上，F在AB上，EF⊥CE于E，DE=AF=2，矩形的周长为24，则BF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．711．计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝_____．12．已知符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围_____13．如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，l，将线段OA分成1000等份，其分点由左向右依次为M1，M2…M999；将线段OM1分成1000等份，其分点由左向右依次为N1，N2…N999；将线段ON1分成1000等份，其分点由左向右依次为P1，P2…P999．则点P314所表示的数用科学记数法表示为_____．14．如图所示，△ABC沿着有点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=7cm，EC=4cm，那么平移的距离为______cm.15．因式分解：____．16．如图，◇ABCD中，∠A=125°，∠B=________度。
2019-2020学年辽宁省沈阳东北育才学校高部高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2019-2020学年辽宁省沈阳东北育才学校高部高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A =，，，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．如果集合{}2|410A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或4 D ．不能确定【答案】C【解析】利用0a =与0a ≠，结合集合元素个数，求解即可． 【详解】解：当0a =时，集合21{|410}{}4A x ax x =++==-，只有一个元素，满足题意；当0a ≠时，集合2{|410}A x ax x =++=中只有一个元素，可得2440a ∆=-=，解得4a =． 则a 的值是0或4． 故选：C ． 【点睛】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．3．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若AB B =，则实数m 的取值范围是（ ）【解析】由A B B =可得B A ⊆，再对集合B 分类讨论，即可得答案；【详解】A B B B A ⋂=⇒⊂①若B =∅，则121m m +>-，解得2m <；②若B ≠∅，则m 应满足：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤；综上得3m ≤． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数的取值，考查运算求解能力，求解时注意等号能否取到.4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆”是“A B =∅”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆，当UB C ⊆，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 5．下列说法中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若22a bc c <，则a b <【解析】利用不等式的性质以及举反例逐一判断即可. 【详解】对于A ，若a b >，c d >，当2,1a b ==，2,3c d =-=-时，则ac bd <，故A 不正确； 对于B ，若22a bc c<，则20c >，两边同时乘以2c ，可得a b <，故B 正确； 对于C ，若ac bc >，当0c <时，则a b <，故C 错误；对于D ，a b >，c d >，当0,2a b ==-，4,1c d ==，则a c b d -<-，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题. 6．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：a ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 7．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x ≤3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件【解析】【详解】 由|x +1|+|x −2|≤5，x ≥2时,化为2x −1≤5,解得2≤x ≤3：−1≤x <2时，化为x +1−(x −2)≤5，化为：3≤5，因此−1≤x ＜2；x ＜−1时，化为−x −1−x +2≤5，解得−2≤x ＜−1. 综上可得：−2≤x ≤3.∴“|x +1|+|x −2|≤5”是“−2≤x ≤3”的充要条件． 本题选择C 选项.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．8．已知集合21M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{N y y ==，则()M N =R （ ） A ．(]0,2 B ．[]0,2C ．∅D ．[]1,2【答案】B【解析】解出集合M 、N ，利用补集和交集的定义可求得集合()M N R .【详解】21x<，即210x -<，即20xx -<，等价于()20x x ->，解得2x >或0x <， 则()(),02,M =-∞+∞，[]0,2M ∴=R ，{[)0,N y y ===+∞，()[]0,2N M =R ，故选：B ． 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了分式不等式和函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题. 9．已知1:1p m>，q ：对于任意的2R,210x mx mx ∈++>恒成立，p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件【解析】对于p ，111001mm m m--=>⇔<<；对于q ，当0m =时，成立.当0m ≠时，2440m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得01m <<.故01m ≤<.所以p 是q 的充分不必要条件. 10．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(-∞ B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎤-⎣⎦D ．3λ=【答案】A【解析】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x x λ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而22112x x x x +=+≥=12x x =，即x =时取等号），即λ≤ A. 11．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．3519a -≤≤- B ．31a -≤≤- C ．1a ≥- D ．3a ≥-【答案】C【解析】利用换元法令yt x=，将不等式问题转化为一元二次函数的恒成立问题，即可得答案； 【详解】由题意可知：不等式222xy ax y ≤+对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立， 即：22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立，y∵22112248y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴max 1y =-， ∴1a ≥-． 故选：C ． 【点睛】本题考查换元法及一元二次函数恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意新元的取值范围的确定. 12．若正数a 、b 满足：121a b +=则2112a b +--的最小值为（ ） A ．2 BC．D ．1【答案】A【解析】由已知条件得出21a b a =-，由0b >可得出1a >，将21ab a =-代入所求代数式并化简得出21211212a ab a -+=+---，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】 正数a 、b 满足121a b +=，则2111a b a a -=-=，21a b a ∴=-， 0a >，201ab a =>-，可得1a >，所以，21212121222121112211a a a b a a a a a -+=+=+=+≥=--------， 当且仅当2112a a -=-时，即当3a b ==时取等号． 因此，2112a b +--的最小值为2. 故选：A ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．若集合{}260M x x x =+-=，{}20,N x ax a =+=∈R ，且N M ⊆，则a 的取值的集合为______．【答案】21,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】求出集合M ，由N M ⊆可分N =∅、{}3N =-、{}2N =三种情况讨论，可求得实数a 的值. 【详解】依题意得{}{}2603,2M x x x =+-==-，{}20,N x ax a =+=∈R .N M ⊆所以集合N 可为{}3-、{}2或∅．①当N =∅时，即方程20ax +=无实根，所以0a =，符合题意； ②当{}3N =-时，则3-是方程20ax +=的根，所以23a =，符合题意； ③当{}2N =时，则2是方程20ax +=的根，所以1a =-，符合题意； 综上所得，0a =或23a =或1a =-，所以a 的取值的集合为21,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．故答案为：21,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数值，解题时不要忽略对空集的讨论，考查计算能力，属于基础题.14．若关于x 的不等式220ax x a -+<的解集为∅，则实数a 的取值范围为______．【答案】4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，在0a =时检验即可，在0a ≠时，结合题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集为R . 当0a =时，可得0x -≥，解得0x ≤，不合乎题意；当0a ≠时，则20180a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是4⎫+∞⎪⎪．故答案为：4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 15．给出下列四个命题：（1）若,a b c d >>，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）a b >，则11a b a>-； （4）若110a b<<，则2ab b <． 其中正确命题的是 ．（填所有正确命题的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】【详解】（1）若,a b c d >>，d c ->-，则a d b c ->-，正确；（2）若22a x a y >，可得210a>，则x y >，正确； （3）中0a =时不等式不成立； （4）若110a b<<，a b >，则2ab b <，正确． 故正确的只有（1）（2）（4）.16．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中： ①{}0x x ∈≠Z ；②{},0x x x ∈≠R ；③1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ；④,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 以0为聚点的集合有______． 【答案】②③【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，集合X 是实数集R 的子集，如果点x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点， ①对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{}0x x x ∈∈≠Z ，都有00x x -=或者01x x -≥， 也就是说不可能000.5x x <-<，从而0不是{}0x x ∈≠Z 的聚点； ②集合{}0x x ∈≠R ，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以）， 使得02ax a <=<，∴0是集合{}0x x ∈≠R 的聚点； ③集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 中的元素是极限为0的数列， 对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n<=<， ∴0是集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 的聚点； ④中，集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足得0x a <<的x ， ∴0不是集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 的聚点． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于难题.三、解答题17．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】 本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.18．已知集合{}232A x y x x==--，{}22210B x x x m =-+-≤． （1）若3m =，求A B ；（2）若0m >，A B ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）4m ≥.【解析】（1）由集合描述分别求得{}31A x x =-≤≤，{}24B x x =-≤≤，利用集合的交运算求A B 即可；（2）根据A B ⊆有1311m m -≤-⎧⎨+≥⎩解集为m 的取值范围. 【详解】 （1）由2320x x --≥，解得31x -≤≤，即{}31A x x =-≤≤；当3m =时，22210x x m -+-≤可化为2280x x --≤，即()()420x x -+≤，解得24x -≤≤，即{}24B x x =-≤≤， ∴{}21A B x x ⋂=-≤≤；（2）0m >，{}{}22210|11B x x x m x m x m =-+-≤=-≤≤+． ∵A B ⊆，∴1311m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4m ≥， 所以m 的取值范围是4m ≥．【点睛】本题考查了集合，由集合描述求出集合，利用集合的基本运算求交集，根据包含关系求参数范围.19．设命题p ：2101x x -<-，命题q ：()()22110x a x a a -+++≤， （1）若1a =，求不等式()22110x a x a -+++≤的解集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2；2）1[0,]2.【解析】（1）当1a =时，不等式转化为232(1)(2)0x x x x -+=--≤，结合一元二次不等式的解法，即可求解.（2）分别求得命题,p q 的解集，结合p 是q 的充分不必要条件，得到p 是q 的真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，当1a =时，不等式()()22110x a x a a -+++≤， 即不等式232(1)(2)0x x x x -+=--≤，解得12x ≤≤，不等式的解集[]1,2．（2）由命题21:01x p x -<-，即()()2110x x --<，解得112x <<， 即不等式2101x x -<-解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 命题2:2110q x a x a a ，即()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，解得1a x a ≤≤+， 所以不等式()22110x a x a -+++≤的解集为[],1a a +， 因为p 是q 的充分不必要条件，即p 是q 的真子集，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，解得102a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是1[0,]2．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及利用充分条件、必要条件求解参数问题，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及充分、必要的条件的转化是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．已知集合{}220A x x x =-->，(){}222550B x x k x k =+++<．（1）若k 0<，求B ；（2）若A B 中有且仅有一个整数2-，求实数k 的取值范围．【答案】（1）52B x x k ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭；（2）[)3,2-. 【解析】（1）当k 0<时，通过解不等式()222550x k x k +++<可求得集合B ；（2）解出集合A ，对k 与52的大小进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）0k <，由()222550x k x k +++<得()()250x x k ++<，解得52x k -<<-， 因此，52B x x k ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭； （2）{}{2201A x x x x x =-->=<-或}2x >， (){}()(){}222550250B x x k x k x x x k =+++<=++<．当52k ->-时，即当52k >时，52B x k x ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭， 此时A B 中没有整数2-，不满足条件； 当52k =时，B =∅，不满足条件； 当52k <时，52k -<-，52B x x k ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭， 要使得AB 中有且仅有一个整数2-，则23k -<-≤，解得32k -≤<. 因此，实数k 的取值范围是[)3,2-.【点睛】本题考查集合的求解，同时也考查了利用交集中的元素求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()222f x x ax a =+-+．（1）若对于任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[]1,1x ∈-，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意[]1,1a ∈-，2220x ax a +-+>恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）21a -≤≤；（2）[]31-，；（3）{}1x x ≠-.【解析】（1）由题意利用二次函数的性质可得0∆，由此求得求得a 的范围． （2）由于对于任意[1x ∈-，1]，()0f x 恒成立，故()0min f x ．利用二次函数的性质，分类讨论求得a 的范围．（3）问题等价于()2(21)20g a x a x =-++>，再由(1)g -、g （1）都大于零，求得x 的范围．【详解】（1）若对于任意x ∈R ,()2220f x x ax a =+-+≥恒成立，则有()24420a a ∆=--+≤，解得21a -≤≤．（2）由于对于任意[]1,1x ∈-，()0f x ≥恒成立，故()min 0f x ≥．又函数()f x 的图象的对称轴方程为x a =-，当1a -<-时，()()min 1330f x f a =-=-≥，求得a 无解；当1a ->时，()()min 130f x f a ==+≥，求得31a -≤<-；当[]1,1a -∈-时，()()2min 2f x f a a a =-=--+，求得11a -≤≤．综上可得，a 的范围为[]3,1-．（3）若对于任意[]1,1a ∈-，2220x ax a +-+>恒成立，等价于()()22120g a x a x =-++>，∴()()2212301210g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=++>⎪⎩，求得1x ≠-，即x 的范围为{}1x x ≠-． 【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．22．已知函数()2f x x a a =--++，()124g x x x =-++.（1）解不等式()6g x <；（2）若存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()3,1-；（2）[)1,+∞.【解析】（1）分三种情况讨论即可（2）条件“存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集，然后分别求出它们的值域即可.【详解】（1）因为()33,11245,2133,2x x g x x x x x x x +≥⎧⎪=-++=+-≤<⎨⎪--<-⎩，故由()6g x <得：3361x x +<⎧⎨≥⎩或5621x x +<⎧⎨-≤<⎩或3362x x --<⎧⎨<-⎩， 解得原不等式解集为：()3,1-.（2）由（1）可知()g x 的值域为[)3,+∞，显然()f x 的值域为(],2a -∞+. 依题意得：[)(]3,,2a +∞-∞+≠∅，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】1.解含有绝对值的不等式时一般要分类讨论.2. “存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集.。
辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学2019-2020学年八年级(下)段考数学试卷(5月份) 解析版
2019-2020学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学八年级（下）段考数学试卷（5月份）一、选择题：（每题2分，共20分）1．下列不等式一定成立的是（）A．5a＞4a B．x+2＜x+3C．﹣a＞﹣2a D．2．下列两个三角形中，一定全等的是（）A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形3．不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是（）A．2x（x﹣2）B．2（x2﹣2x+1）C．2（x﹣1）2D．（2x﹣2）25．等边三角形的高为2，则它的边长为（）A．4B．3C．2D．56．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在△ABC外B．点P在△ABC底边上C．点P在△ABC内D．点P的位置与△ABC的边长有关7．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．50°8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．609．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值变为原来的（）A．倍B．3倍C．不变D．倍10．如图是一次函数y＝x+3的图象，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是（）A．x＞4B．0＜x＜2C．0＜x＜4D．2＜x＜4二、填空题：（每题3分，共18分）11．有一个等腰三角形，三边分别是3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则等腰三角形的周长．12．当m时，不等式（2﹣m）x＜8的解集为x＞．13．若关于x的方程产生增根，则m＝．14．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是．15．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝．16．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°．∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是．三．解答题（共62分）17．解不等式≤1﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．18.．19.分解因式：（1）﹣x2y+2xy2﹣y3（2）（x2﹣2x）2﹣1．20.计算：（1）；（2）．21.解分式方程：．22.如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．23.甲骑自行车从A地出发去距A地60km的B地，2.5h后乙骑摩托车也从A出发，到达B地10min后甲才到达，若乙的速度是甲速度的5倍，求甲，乙二人的速度．24.某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，如表中是近两天的销售情况：销售时段销售数量销售收入A B第一天3件5件1800元第二天4件10件3100元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1300元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．25.运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．2019-2020学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学八年级（下）段考数学试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列不等式一定成立的是（）A．5a＞4a B．x+2＜x+3C．﹣a＞﹣2a D．【分析】根据不等式的性质分析判断．【解答】解：A、因为5＞4，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即5a ≤4a，故错误；B、因为2＜3，不等式两边同时加上x，不等号方向不变，即x+2＜x+3正确；C、因为﹣1＞﹣2，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即﹣a≤﹣2a，故错误；D、因为4＞2，不等式两边同除以a，而a≤0时，不等号方向改变，即，故错误．故选：B．2．下列两个三角形中，一定全等的是（）A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、不正确，没有指明该角是顶角还是底角；B、不正确，虽然其角相等，但边不一定相等；C、正确，分析得该100度角只能为顶角，符合判定SAS；D、不正确，没有指明边与角具体是腰还是底边，是顶角还是底角．故选：C．3．不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到正整数解．【解答】解：不等式2x﹣7＜5﹣2x的解集为x＜3，正整数解为1，2，共两个．故选：B．4．分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是（）A．2x（x﹣2）B．2（x2﹣2x+1）C．2（x﹣1）2D．（2x﹣2）2【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【解答】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）﹣﹣（提取公因式）＝2（x﹣1）2．﹣﹣（完全平方公式）故选：C．5．等边三角形的高为2，则它的边长为（）A．4B．3C．2D．5【分析】根据等边三角形的性质及勾股定理先求得边长的一半，再求边长．【解答】解：设等边三角形的边长是x．根据等腰三角形的三线合一以及勾股定理，得x2＝（）2+12，x＝4．故选：A．6．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在△ABC外B．点P在△ABC底边上C．点P在△ABC内D．点P的位置与△ABC的边长有关【分析】根据题意画出草图分析．根据等腰三角形性质可得∠ABC＝∠C＝40°；证明Rt△AMP≌Rt△APO，得∠P AM＝∠P AC＝50°；根据线段垂直平分线性质知，∠PBA＝∠P AB＝50°＞∠ABC，得解．【解答】解：如图所示，设垂直平分线MN、OQ相交于点P．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵∠BAC＝100°，∴∠ABC＝（180°﹣100°）÷2＝40°．∵AM＝AB，AO＝AC，∴AM＝AO．又AP＝AP，∴Rt△AMP≌Rt△AOP，∴∠P AM＝∠P AC＝50°．∵MN垂直平分AB，∴P A＝PB．∴∠PBA＝∠P AB＝50°＞∠ABC，∴点P在△ABC的外部．故选：A．7．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．50°【分析】根据AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C，∠A，∠EBD之间的关系，再根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：设∠EBD＝x°，∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠EBD＝x°，∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2x°，∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED＝2x°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+3x+3x＝180，解得：x＝22.5，∴∠A＝2x°＝45°．故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．60【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．故选：B．9．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值变为原来的（）A．倍B．3倍C．不变D．倍【分析】把变成，再化简，即可得出答案．【解答】解：＝＝•，故选：A．10．如图是一次函数y＝x+3的图象，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是（）A．x＞4B．0＜x＜2C．0＜x＜4D．2＜x＜4【分析】观察图象，直接根据图象写出自变量的取值范围即可．【解答】解：观察图象得：当x＝0时y＝3，当x＝4时y＝﹣3，∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4，故选：C．二．填空题（共6小题）11．有一个等腰三角形，三边分别是3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则等腰三角形的周长8.5或9．【分析】题中已知三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分情况进行分析，从而求解．【解答】解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x∵三角形为等腰三角形∴4x﹣3＝6﹣2x，∴x＝1.5，∴4x﹣3＝3，6﹣2x＝3，∴3x﹣2＝2.5∴等腰三角形的周长＝3+3+2.5＝8.5②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x∵三角形为等腰三角形∴3x﹣2＝6﹣2x，∴x＝1.6，∴3x﹣2＝2.8，6﹣2x＝2.8，∴4x﹣3＝3.4∴等腰三角形的周长＝2.8+2.8+3.4＝9③当6﹣2x是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3∵三角形为等腰三角形∴3x﹣2＝4x﹣3，∴x＝1，∴3x﹣2＝1，4x﹣3＝1，∵1＝1∴6﹣2x＝4∵1+1＜4∴不能构成三角形故答案为：8.5或9．12．当m＞2时，不等式（2﹣m）x＜8的解集为x＞．【分析】根据不等式的性质，不等号的方向改变，得知，x的系数2﹣m＜0，从而解得m 的解集．【解答】解：∵不等式（2﹣m）x＜8的解集为x＞，∴2﹣m＜0，∴m＞2．13．若关于x的方程产生增根，则m＝2．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得x+2＝m+1∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝2．14．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是m≤3．【分析】先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，根据同大取大得到m≤3．【解答】解：，解①得x＞3，∵不等式组的解集为x＞3，∴m≤3．故答案为m≤3．15．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝8．【分析】由等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，求出∠DAC＝∠C，得AD＝CD，由含30°角的直角三角形的性质得AD＝BD，计算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝30°，AD＝BD，∴∠DAC＝∠C，BD＝2AD，∴CD＝AD，∴BC＝CD+BD＝CD+2CD＝24，∴CD＝8，故答案为：8．16．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°．∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是2．【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝4×＝2．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝2．故答案为：2．三．解答题17．解不等式≤1﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】利用不等式的基本性质，求出原不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母得：4x﹣2≤6﹣6x﹣3，移项得：4x+6x≤6﹣3+2，合并同类项得：10x≤5，系数化为1得：x≤，在数轴上表示为：．18.．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜﹣0.5，所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜﹣0.5．19.分解因式：（1）﹣x2y+2xy2﹣y3（2）（x2﹣2x）2﹣1．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣y（x2﹣2xy+y2）＝﹣y（x﹣y）2；（2）原式＝（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣1）＝（x﹣1）2（x2﹣2x﹣1）．20.计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据分式乘法和平方差公式、完全平方公式可以解答本题；（2）根据分式的减法和乘法可以解答本题．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝＝3（x+2）﹣（x﹣2）＝3x+6﹣x+2＝2x+8．21.解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：﹣5＝﹣2﹣x﹣x+3，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．22.如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．【分析】先利用等腰三角性质和已知条件求出∠ABD＝∠ACD，从而SAS证明△ABD≌△ACD，所以∠BAD＝∠CAD，AD平分∠BAC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠ACD，BD＝CD．在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠BAD＝∠CAD．即AD平分∠BAC．23.甲骑自行车从A地出发去距A地60km的B地，2.5h后乙骑摩托车也从A出发，到达B地10min后甲才到达，若乙的速度是甲速度的5倍，求甲，乙二人的速度．【分析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：2.5h后乙骑摩托车也从A出发，到达B地10min后甲才到达．等量关系为：甲用的时间﹣乙用的时间＝2.5+．【解答】解：设甲速为xkm/h，则乙速为5xkm/h（1分）依题意得﹣＝2.5+（3分）解之得x＝18（2分）经检验x＝18是原方程的根（1分）∴5x＝90答：甲，乙两人速度分别是18km/h，90km/h．（1分）24.某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，如表中是近两天的销售情况：销售时段销售数量销售收入A B第一天3件5件1800元第二天4件10件3100元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1300元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【分析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，根据总价＝单价×数量结合近两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不多于5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论；（3）根据总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A款T恤衫的销售单价为250元，B款T恤衫的销售单价为210元．（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，依题意，得：200m+170（30﹣m）≤5400，解得：m≤10．答：A款T恤衫最多能采购10件．（3）依题意，得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）＝1300，解得：m＝10，∴当A款T恤衫采购了10件，B款T恤衫采购了20件时，销售完这30件T恤衫的利润为1300元．25.运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．【分析】（1）连接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式底乘以高除以2分别求解，再根据S△ABC＝S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2＝h．（2）根据（1）的方法，利用三角形面积的关系求解即可；（3）先根据直线关系式求出A、B、C三点的坐标利用勾股定理求出AB＝AC，所以△ABC 是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC ＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）h1﹣h2＝h．（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：1+M y＝OB，M y＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，∴M（，2）；②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣1＝OB，M y＝3+1＝4，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，∴M（﹣，4），∴点M的坐标为（，2）或（，4）．。
北师大版2019-2020学年辽宁省沈阳市七年级(上)第一次月考数学试卷解析版
2019-2020学年辽宁省沈阳市七年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．2．（2分）2019的相反数是（）A．B．﹣C．|2019|D．﹣20193．（2分）下列图形中属于棱柱的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4．（2分）下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0B．﹣3C．﹣D．﹣15．（2分）下列哪个图形经过折叠可以得到正方体（）A．B．C．D．6．（2分）下列计算正确的是（）A．7+（﹣8）＝﹣15B．4﹣（﹣4）＝0C．0﹣3＝3D．﹣1.3+（﹣1.7）＝﹣37．（2分）用一个平面去截一个几何体，若截面形状是长方形（包括正方形），那么该几何体不可能是（）A．圆柱B．五棱柱C．圆锥D．正方体8．（2分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体得到的形状图是（）A．B．C．D．9．（2分）对4袋标注质量为450g的食品的实际质量进行检测，检测结果（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）如表；袋数．第1袋第2袋第3袋第4袋检测结果/g﹣2+3﹣5+4最接近标准质量的是（）A．第1袋B．第2袋C．第3袋D．第4袋10．（2分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值（）A．小于a B．大于b C．大于0D．小于0二、填空题（每小题3分，共18分]11．（3分）计算：﹣3+2＝．12．（3分）如果小明的爸爸收入10万元记作+10万元，那么小明的爸爸支出4万元记作万元．13．（3分）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体共有条棱．14．（3分）若A．B两地的海拔高度分别是﹣129.5米和﹣71.3米，则A．B两地相差米．15．（3分）一个小立方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6．从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是．16．（3分）若|x|＝3，|y|＝5，且x+y＞0，则x﹣y＝．三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）17．（6分）计算：18．（8分）计算：19．（8分）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中：正数集合{…}；分数集合{…}；负整数集合{…}四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某检修小组开车从A地出发，在一条东西方向的马路上检修线路，一天中行驶记录如下（向东行驶为正，向西行驶为负．单位：km）．+9，﹣8，+6，﹣13，+7，﹣12，+3，﹣2．（1）收工时检修小组在A地什么方向？距A地多远？（2）若每千米耗油0.6升，检修小组工作一天需耗油多少升？21．（8分）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数．并用“＜”将它们连接起来.五、（本题10分）22．（10分）（1）如图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在图2的方格中画出从上面和左面看到的该几何体的形状图．（只需用2B铅笔将虚线化为实线）（2）若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最大需要个小立方块．六、（本题10分）23．（10分）如图是一张长方形纸片，AB长为3cm，BC长为4cm．（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是；（2）若将这个长方形纸片绕AB边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积是cm3（结果保留π）；（3）若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积（结果保留π）．七、（本题12分）24．（12分）下表是今年某水库一周内的水位变化情况（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降），该水库的警戒水位是34m．（上周末的水位达到警戒水位）．星期一二三四五六日水位变化/m+0.22+0.81﹣0.36+0.03+0.29﹣0.35﹣0.01（1）本周星期河流的水位最高，水位是m，本周星期河流的水位最低，水位是m；（2）本周三的水位位于警戒水位之（填“上”或“下”），与警戒水位的距离是m；（3）与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？变化了多少米？八、（本题12分）25．（12分）如图，数轴的单位长度为1．点M．A．B．N是数轴上的四个点，其中点A．B表示的数是互为相反数．（1）请在数轴上确定原点“O”的位置．并用点O表示：（2）点M表示的数是，点N表示的数是，M，N两点间的距离是．（3）将点M先向有移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点C．点C表示的数是，在数轴上距离c点3个单位长度的点表示的数是．2019-2020学年辽宁省沈阳市七年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选：D．2．【解答】解：2019的相反数是﹣2019，故选：D．3．【解答】解：根据棱柱的定义可得：符合棱柱定义的有第一、二、三、七、八个几何体都是棱柱，共5个．故选：A．4．【解答】解：|﹣3|＞|﹣2|，∴﹣3＜﹣2，故选：B．5．【解答】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”，只有C选项能围成正方体，故选：C．6．【解答】解：7+（﹣8）＝﹣1因此A选项不符合题意，4﹣（﹣4）＝8因此B选项不符合题意，0﹣3＝﹣3因此C选项不符合题意，﹣1.3+（﹣1.7）＝﹣1.3﹣1.7＝﹣3因此D选项符合题意，故选：D．7．【解答】解；A、用垂直于地面的一个平面截圆柱截面为矩形，与要求不符；B、五棱柱的截面可以是长方形，与要求不符；C、圆锥由一个平面和一个曲面，截面最多有三条边，截面不可能是长方形，与要求相符；D、正方体的截面可以是长方形，与要求不符．故选：C．8．【解答】解：从正面看所得到的图形为：B故选：B．9．【解答】解：∵|﹣2|＜|+3|＜|+4|＜|﹣5|，∴第1袋最接近标准质量．故选：A．10．【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴﹣2＜a+b＜0．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分]11．【解答】解：﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．12．【解答】解：如果小明的爸爸收入10万元记作+10万元，那么小明的爸爸支出4万元记作﹣4万元．故答案为：﹣4．13．【解答】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱，如图：所以这个几何体共有9条棱．故答案为：9．14．【解答】解：根据题意得：﹣71.3﹣（﹣129.5）＝58.2（米），答：A．B两地相差58.2米；故答案为：58.2．15．【解答】解：由图可知，∵与1相邻的面的数字有2、3、4、6，∴1的对面数字是5，∵与4相邻的面的数字有1、3、5、6，∴4的对面数字是2，∴数字6的对面是3，故答案为：3．16．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝5，且x+y＞0，∴x＝3，y＝5；x＝﹣3，y＝5，则x﹣y＝﹣2或﹣8，故答案为：﹣2或﹣8．三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）17．【解答】解：原式＝﹣12+﹣8﹣＝﹣20+＝﹣．18．【解答】解：＝2.4+0.6﹣3.1+0.8＝0.7．19．【解答】解：故答案为：正数有：，7，15．分数有：，，﹣1.25，负整数有：﹣3．四、（每小题8分，共16分）20．【解答】解：（1）9﹣8+6﹣13+7﹣12+3﹣2＝﹣10 km，答：收工时检修小组在A地西面，距A地10km．（2）0.6×（9+8+6+13+7+12+3+2）＝0.6×60＝36（升）答：工作一天耗油36升．21．【解答】解：﹣（2）＜﹣1＜﹣1＜0＜|﹣3|．五、（本题10分）22．【解答】解：（1）如图所示：（2）搭这样的一个几何体最大需要5+4＝9个小立方块．故答案为：9．六、（本题10分）23．【解答】解：（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；（2）π×42×3＝48π（cm3）．故形成的几何体的体积是48πcm3；（3）情况①：π×3×2×4+π×32×2＝24π+18π＝42π（cm2）；情况②：π×4×2×3+π×42×2＝24π+32π＝56π（cm2）．故形成的几何体的表面积是42πcm2或56πcm2．故答案为：圆柱；48π．七、（本题12分）24．【解答】解：通过计算本周每一天的水位为：周一、34.22米，周二、35.03米，周三、34.67米，周四、34.7米，五周、34.99米，周六、34.64米，周日、34.63米，（1）故答案为：二，35.03，一，34.22（2）34.67米＞34米，34.67﹣34＝0.67米，故答案为：上，0.67，（3）∵34.63米＞34米，34.63﹣34＝0.63米，答：本周末河流水位是上升了，变化了0.63米．八、（本题12分）25．【解答】解：（1）距离A点和B点的距离相等的点是点O．如图所示，点O即为所求．（2）点M表示的数是﹣4，点N表示的数是5，所以M，N两点间的距离是5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．（3）如图，将点M先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点﹣2，得点C表示的数是﹣2．距离点C3个单位长度的点表示的数是﹣5或1．故答案为﹣2，﹣5或1．。
辽宁省沈阳市2023届高三三模数学试题(含解析)
辽宁省沈阳市2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．20125+B二、多选题三、填空题13．已知()1,2a =r ，(),4b x = ，若a 与b的夹角是锐角，则实数x 的取值范围是______．四、双空题五、填空题(1)求二面角A PD B --的余弦值；a b(1)求Γ的方程；(2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆PMN由．()()(2x=+-f x x b e参考答案：所以2x -项的系数为()()()()43243266641C 121C 91C 435⨯-+-⨯-+⨯-=.故选：B.5．C【分析】分析可知直线210x y -+=过圆心，由此可求得实数a 的值.【详解】圆的标准方程为()()2211x y a -+-=，圆心为()1,C a ，圆的半径为1r =，因为若圆222220x y x ay a +--+=截直线210x y -+=所得弦长为2，所以，直线210x y -+=过圆心C ，则1210a -+=，解得1a =.故选：C.6．B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可.【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论：当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B 7．A【分析】先由棱台的体积求出2EF =，再由棱台的表面积公式求解即可.【详解】由题意得，22,4EFHG ABCD S EF S EF ==，则方亭的体积为)222256443EF EF EF EF ++⋅=4,16S S ==则()0,0,0C ，()0,2,0A ，(1,0,0D ()1,2,0AD =-，()1,0,2PD =- 设平面PAD 的一个法向量n =r则2020n AD x y n PD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取2x =。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年七年级上学期数学期中考试试卷及参考答案
A . 2a+3 B . 2（a+3） C . 3a+2 D . 3（a+2）
6. 若
与
是同类项，则m，n的值分别为( )
A . 2，1 B . 2，2 C . 1，2 D . -2，1
7. 如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 下列说法:① 一定是负数；:② 一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；其中
正确的个数是( )
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
9. 岩
，则 的值是( )
A . 3 B . -1 C . 2 D . -2
10. 如图，某广场地面的图案是用大小相同的黑、白正方形地砖镶嵌而成，图中第1个黑色L形由3个正方形组成，第2
个黑色L形由7个正方形组成……那么第n个黑色L形的正方形个数是( )
13. 14.
15. 16. 17. 18. 19.
20. 21.
22. 23. 24. 25.
19. 计算 （1） (-10)-28-(-19)+(-21) （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
20. 化简下列各式： （1）
（2） 21. 先化简，在求值. （1） （2）
，其中 ，
.
，其中
，
.
22. 某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表是本星期的生产情况:
星期
一
二三四ຫໍສະໝຸດ 五六日增减/辆
-1
欧拉公式.请你观察下列儿种简单多面体模型，解答下列问题:
（1） 根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
2021-2022学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高二下学期第三次考试数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高二下学期第三次考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【分析】求出集合N 后可求M N ⋂.【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.2．曲线2x y e =在点(0,1)处的切线方程为 A ．112y x =+ B ．21y x =-+ C ．21y x =- D ．21y x =+【答案】D【详解】试题分析：由于2x y e =，可得22x y e '=，令0x =，可得0|2x y ='=，∴曲线2x y e =在点(0,1)处的切线方程为12y x -=，即21y x =+．故选D ． 【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程．3．现有一台不等臂的天平，它有左右两个托盘，若同一个物体放在左右托盘各测一次所得的质量分别是a 、b (单位：g)，则下列关于物体的真实质量m 表述正确的是（ ）A ．m <B ．2a bm +>C ．2m a b<+ D ．m >【答案】C【解析】根据杠杆平衡的条件得出m =2a b+选项．【详解】根据题意，设天平的两个力臂的长度分别为12l l ，，且12l l ≠， 若两次称重结果分别为a 、b ，且ab ，根据杠杆平衡条件1122Fl F l =有：33121010a g l m g l --⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，33121010m g l b g l --⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以2m ab =，即m =又22222++2>0242a b ab a b ab a b +-⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2a b +2m a b <+， 故选：C ．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形.下图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，若011223340.5m B B B B B B B B ====，008m A B =，则五层正六边形的周长和为（ ）A ．35mB ．45mC ．210mD ．270m【答案】C【解析】根据题意，构造等差数列，即可由等差数列的前n 项和进行求解. 【详解】根据题意，设正六边形的中心为O ，容易知4433221100,,,,OA B OA B OA B OA B OA B 均为等边三角形， 故4433221100,,,,A B A B A B A B A B 长度构成依次为6,6.5,7,7.5,8的等差数列 ∴周长总和为(68)562102+⋅⋅=， 故选：C【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求解，属基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1n n a S +=，若()0,2020n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．1118433⨯+B ．1114433⨯-C ．1018433⨯+D ．1214433⨯-【答案】A【分析】根据n a 与n S 的关系，即可求出数列{}n a 的通项公式，再利用“和谐项”的定义得出111n ≤≤，通过等比数列前n 项和公式即可求解. 【详解】由1n n a S +=，得()12n n n a S -≥=，所以11n n n n a a S S +--=-，即1n n n a a a +-=，于是有12n n a a += 因为12a =，所以2112a S a ===，所以数列{}n a 是从22a =起，公比为2的等比数列，所以2212222n n n n a a q ---==⨯=当1n =时，01212a ==≠，所以此式不满足1a ，故{}n a 的通项公式为所以()()12,12,2n n n n a -==≥⎧⎪⎨⎪⎩， 因为()0,2020n a ∈，所以111n ≤≤. 数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为：()1022222101210114144444414a a a a -++⋯++=+++⋯+=+-1111184344433-=+=⨯+.故选：A.6．若关于x 的不等式0n x bx m x c++<++的解集为{|21x x -<<-或}13x <<．则关于x 的不等式1011nx bx mx cx -+<--的解集为（ ） A ．()()1,11,3-B ．111,,132⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()3,11,2--D ．111,,123⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】由给出的不等式可知0x ≠，分子分母同时除以x 后，由关于x 的不等式0n x b x m x c++<++的解集可知113x -<<-或112x <<，即可求解.【详解】∵0x =时，不等式1011nx bx mx cx -+<--不成立， ∴不等式1011nx bx mx cx -+<--且0x ≠， ∴1011b n x m c x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+<⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴121x-<-<-或113x<-<，解得113x -<<-或112x <<．∴关于x 的不等式1011nx bx mx cx -+<--的解集为111,,132⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B .7．已知实数,a b 满足0a b >>，则“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由11a b a b ab++=，()11a c b c ab c b c a a b ++=+-+--，依题意可得只需比较()c b c a --与0的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为11a b a b ab++=，()()()11a c b c a c b a a b a b c ab c b c +==+--+++--+ 又0a b >>，则0a b +>， 所以要比较11a b +与11a c b c++-的大小，即比较1ab 与()1ab c b c a +--的大小，即比较()c b c a --与0的大小，当0a b >>且0b c >>时()0c b c a --<，且()()0a c b c +->， 即()0ab c b c a ab <+--<，所以()11ab ab c b c a <+--，即1111a b a c b c+<++-，故充分性成立，当0c b >>时()()0c b c a c a b c ⎡⎤--=---<⎣⎦，此时也满足1111a b a c b c+<++-，故必要性不成立； 即“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”充分不必要条件； 故选：A8．23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2()3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln xt x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()x f x x=，则222ln 3()33e e a f e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()xf x x-'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133e e <<<，∴b c >，b a >.若ln xt x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈， 即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t +=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln t t x x >，有212x x e > ∴当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小. 二、多选题9．若“()00,2x ∃∈，使得200210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的值是（ ）A ．1 B．C ．3D．【答案】AB【解析】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得λ的取值范围，由此可得结果.【详解】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”， 所以，221x x λ≤+，可得12x xλ≤+， 当()0,2x ∈时，由基本不等式可得12x x +≥当且仅当x =时，等号成立，所以，λ≤故选：AB.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 10．已知数列{}n a 满足()111,23nn na a a n N a *+==∈+，则下列结论正确的是（ ）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和227n n T n +=-【答案】AB【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列{}n a 满足()111,23nn na a a n N a *+==∈+，显然，0n a ≠，两边取倒数得：1123n n a a +=+，即有11132(3)n na a ++=+，而1134a +=， 因此，数列1{3}na +是首项为4，公比为2的等比数列，A 正确； 于是得1113422n n n a -++=⨯=，整理得1123n n a +=-，数列{}n a 的通项公式为1123n n a +=-，B 正确；因121112323n n n n a a +++=<=--，即数列{}n a 是递减数列，C 不正确；因1231n na +=-，则()()23124122223323412n n n n T n n n ++-=+++-=-=---，D 不正确.故选：AB11．已知函数()11ln x f x x x -=-+，下列结论成立的是（ ）A ．函数()f x 在定义域内无极值B ．函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为5ln 282y x =+- C ．函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点D ．函数()f x 在定义域内有两个零点1x ，2x ，且121x x ⋅= 【答案】ABD【分析】求出定义域与导函数可判断A ；利用导数的几何意义可判断B ；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C ；根据选项C 可判断D. 【详解】A ，函数()11ln x f x x x -=-+定义域为()()0,11,+∞，()()()()2211112011x x f x x x x x --+'=-=+>--， ()f x ∴在()0,1和()1,+∞上单调递增，则函数()f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由()()2121f x x x '=+-，则()()212522221f '=+=-， 又()212ln 23ln 221f +=-=-+-， ∴函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为()53ln 222y x +-=- 即5ln 282y x =+-，故B 正确； C ，()f x 在()1,+∞上单调递增，又()112ln 10111e ef e e e e e ++-=-=-=<---， ()22222222113ln 20111e e ef e e e e e ++-=-=-=>---，所以函数()f x 在()2,e e 存在0x ，使()00001ln 01x f x x x +=-=-， 又20111e x e<<，即0101x <<，且()0000000011111ln ln 0111x x f x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-， 即1x 为函数()f x 的一个零点，所以函数()f x 在定义域内有两个零点,故C 错误. D ，由选项C 可得10201,x x x x ==，所以121x x ⋅=，故D 正确. 故选：ABD12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取m =3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n =7.则下列命题正确的有（ ） A ．若n =2，则m 只能是4； B ．当m =17时，n =12；C ．随着m 的增大，n 也增大；D ．若n =7，则m 的取值集合为{3，20,21,128}. 【答案】ABD【分析】根据“冰雹猜想”逐一验证各选项的对错.【详解】若2n =，则数m 经过第一,步变换的结果必须为2，所以4m =，A 正确， 当17m =时，变换过程为175226134020105168421→→→→→→→→→→→→，所以12n =，B 正确，当3m =时，变换过程为3105168421→→→→→→→，此时7n =， 当4m =时，变换过程为421→→，此时2n =，C 错误，由已知可得当7n =时，第7次变换为21←，第6次变换为42←，第五次变换为84←，第四次变换为168←，第三次变换为3216←或516←，由此可得下列情况； 由1286432168421←←←←←←←可得128m =， 由216432168421←←←←←←←可得21m = 由20105168421←←←←←←←可得20m =， 由3105168421←←←←←←←可得3m =，D 正确， 故选：ABD. 三、填空题13．已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为{}|34x x <<，则25c a b++的取值范围为________________．【答案】)+∞【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把,b c 用a 表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．【详解】由不等式解集知0a <，由根与系数的关系知347,3412,bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩ 7,12b a c a ∴=-=，则225144552466c a a a b a a ++==-+≥=+--当且仅当5246a a -=-，即a =时取等号．故答案为：)+∞．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．已知数列{}n a 的前n 项和22032nn S n n =+-，则n a 的最大值为___________.【答案】199【分析】首先利用,n n a S 的关系求出n a ，然后判断出数列{}n a 的单调性即可.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22032nn S n n =+-所以当1n =时，1121a S ==当2n ≥时，()()12211203224017201312nn n n n n a n n n S S n n ---=+⎡⎤---=+-=-⎣--⎦- 所以当2n ≥时()()11140117240172402n n n n n a a n n --+-=+-----=-所以当26n ≤≤时10n n a a +-> 当7n ≥时10n n a a +-< 所以n a 的最大值为7199a = 故答案为：19915．已知正实数x ，y 满足ln e ln x x y y =+，则()4x y x -+的最大值为______．【答案】244e + 【分析】把已知等式变形为lne ln e xx y x x y=⋅，利用函数()e x f x x =（0x >）的单调性得,x y的关系，这样把()4x y x -+转化为x 的函数，再利用导数求得最大值．【详解】由ln e ln xx y y =+得ln e x x y y =，所以ln e x x x x y y =，ln e ln e x xy x x y=⋅，因为0x >，所以ln0xy>， 设()e x f x x =（0x >），则()e (1)x f x x '=+0>，()f x 递增，所以由ln e ln e xxy x x y=⋅得ln xx y =，所以e x x y =，22(4)(4)4e ex x x x x y x x x x x -+=-+=-+，设22()4ex x g x x x =-+，则22()24(2)(2)e e x x x x x g x x x -'=-+=-+， 所以02x <<时，()0g x '>，()g x 递增，2x >时，()0g x '<，()g x 递减， 所以max 24()(2)4e g x g ==+． 故答案为：244e +． 【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：lne ln e xxy x x y=⋅，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于较难题． 四、双空题16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1、2进行“扩展”，第一次得到数列1、32、2；第二次得到数列1、54、32、74、2；第n 次得到数列1、1x 、2x 、、2，则第n 次得到的数列项数为__________；记第n 次得到的数列的所有项和为1212n a x x =+++⋅⋅⋅+，则数列{}n a 的前n 项和n S =___________． 【答案】 21n + 33232nn ⋅+-【分析】设第n 次得到的数列项数为n b ，分析得出121n n b b +=-，利用待定系数法可求得数列{}n b 的通项公式，求得13322n n a -=⋅+，然后利用分组求和法可求得n S . 【详解】设第n 次得到的数列项数为n b ，则13b =，25b =，，第1n +次“扩展”后得到的数列可在第n 次“扩展”后得到的n b 项数中任意相邻的两项中取其平均数，共增加了1n b -个数，则121n n b b +=-，所以()1121n n b b +-=-， 故数列{}1-n b 是等比数列，且首项为112b -=，公比也为2， 1122n n b -∴-=⨯，21n n b ∴=+，由题意可知，每次“扩展”后所得到的数列均为等差数列，则()()1211233222nn na -++==⋅+，所以，01213333323232322222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯++⨯+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()312333231222n n n n-=+=⋅+--.故答案为：21n +；33232nn ⋅+-.五、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）12n n a +=；（2）21n -. 【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式与求和公式列关于1a 和d 的方程组，解得1a 和d 的值即可得{}n a 的通项公式；（2）求出1b 和4b 的值，即可得{}n b 的公比，再由等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意可得1122329322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以()111122n n a n +=+-=；（2）由（1）得111b a ==，41515182b a +===，设{}n b 的公比为q ，则341881b q b ===，解得：2q ，所以{}n b 的前n 项和()1122112n n n T ⨯-==--.18．已知函数()33f x x x a =-++，R a ∈．(1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 的极值．【答案】(1)函数()f x 的单调递增为()1,1-，单调递减为(),1-∞-和()1,+∞； (2)()f x 的极小值为(1)2f a -=-，极大值为(1)2f a =+.【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解； （2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解. 【详解】(1)由题意可知，()f x 的定义域为(),-∞+∞.()()()233311f x x x x '=-+=-+-令()0,f x '>即()()3110x x -+->，解得11x -<<. 令()0,f x '<即()()3110x x -+-<，解得1x <-或1x >所以函数()f x 的单调递增为()1,1-，单调递减为(),1-∞-和()1,+∞. (2)由题意可知，()f x 的定义域为(),-∞+∞.因为()33f x x x a =-++，所以()()()233311f x x x x '=-+=-+-，令()0,f x '=即()()3110x x -+-=，解得1x =-或1x =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的极小值为()()3(1)1312f a a -=--+⨯-+=-，极大值为3(1)1312f a a =-+⨯+=+.19．已知数列{}n a 满足11a =，且121,1,n n n n a n a n a n ++⎧-⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数.(1)求{}n a 的通项公式； (2)若2114n n a b +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)n a n = (2)421n nS n =+ 【分析】（1）当*k ∈N 时，由已知条件可得21212121k k a a k k +-=+-，从而可得当n 为奇数时，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，结合11a =，可得n a n =，当n 为偶数时，由已知可得n a n =，进而可求出{}n a 的通项公式， （2）由（1）可得()()22444112414121212121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，利用裂项相消求和法可得结果【详解】(1)因为121,1,n n n n a n a n a n ++⎧-⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，所以当*k ∈N 时，()21221211211121k k k k k a a a a k +--++=+=+=-，即21212121k k a a k k +-=+-. 所以当n 为奇数时，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列.又11a =，所以当n 为奇数时，111n a a n ==，即n a n =. 当n 为偶数时，1111n n a a n n +=-=+-=， 所以当*n ∈N 时，n a n =， 即{}n a 的通项公式为n a n =. (2)因为2114n n a b +=， 所以()()22444112414121212121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，所以11111111421213355721212121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 即数列{}n b 的前项和421n nS n =+. 20．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()2123C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，()36ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.【分析】（1）根据题中条件，分07x <<和7x ≥两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（2）根据（1）中解析式，分别求出7x <和7x ≥两种情况下，()P x 的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，由题意可得，当07x <<时，()()2211626224233P x x C x x x x x x =--=---=-+-；当7x ≥时，()()336266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ⎛⎫=--=-++--=-- ⎪⎝⎭；所以()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩； （2）由（1）可得，当07x <<，()()2211426101033P x x x x =-+-=--+≤，当且仅当6x =时，等号成立；当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()33221e e xP x x x x-'=-+=，所以，当37x e ≤<时，()0P x '>，即函数()315ln eP x x x=--单调递增；当3x e >时，()0P x '<，即函数()315ln eP x x x=--单调递减；所以当3x e =时，()315ln e P x x x=--取得最大值()333315ln 11e P e e e =--=；综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元. 【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般步骤：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性； （2）根据函数单调性，即可求出函数的最值. 21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a S +=，*n ∈N ，11a =，20a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++是等比数列；(2)证明：122111103n S S S ++⋅⋅⋅+<． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到212n n n a a a ++-=，即可得到()2112n n n n a a a a ++++=+()2n ≥，再由32212a a a a +=+，即可得证； （2）由（1）可得112n n n a a -++=①，再又()21122n n n n a a a a +++-=--，即可得到()11221n n n a a -+-=--，从而求出n a ，根据分组求和及等比数列求和公式得到n S ，再对n分奇偶两种情况讨论，利用放缩法计算可得； 【详解】(1)解：因为22n n a S +=，*n ∈N ，当1n =时3122a S ==，当2n ≥时112n n a S +-=，所以211222n n n n n a a S S a ++--=-=， 即212n n n a a a ++-=，即()2112n n n n a a a a ++++=+，又11a =，20a =，所以211a a +=， 所以322a a +=，所以32212a a a a +=+， 所以{}1n n a a ++是以1为首项，2为公比的等比数列；(2)解：由（1）可得112n n n a a -++=①，又()21122n n n n a a a a +++-=--，又11a =，20a =，所以2122a a -=-，所以3222a a -=，所以3221212a a a a -=--即{}12n n a a +-是以2-为首项，1-为公比的等比数列， 因此()()()1112122121n n n n a a a a --+-=--=--②，①-②可得()113221n n n a --=+-，即()112213n n n a --+-=由()()11222121263n nn n n n a S ++++---===，则132(1)n n n S =-- 当n 为奇数时，133212n n n S =<+，当n 为偶数时，13314212112nn n n S +=≤=--+， 所以1221321242111111111n n n S S S S S S S S S -⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222141311342222211112n n-⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭< 111111110244411310341131444n n n ⎛⎫⎛=⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+-< ⎪⎭=--⎝22．已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：当n ∈+N 时，()11111e ln 1123⎛⎫+++⋅⋅⋅++>+++ ⎪⎝⎭nn n n 成立．【答案】（1）[)1,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数可知,当0a ≤时不合题意,当0a >时求出函数的单调区间,进一步求出函数的最大值,由最大值小于等于0求解a 的范围; （2）由(1)可得ln 1x x <-在(0,1]x ∈上恒成立，令1n x n+=,则()11lnln 1ln n n n n n +=+-<，进而累加得()111ln 1123n n+<+++⋯+，另一方面由11ln(1)n n +<得1ln 11nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即11ne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，再根据不等式的性质即可证明. 【详解】解：（1）11'()axf x a x x， 若0a ≤,则'()0f x >,则()f x 在()0,∞+上是增函数， 而(1)1f a =-,()0f x ≤不成立,故0a >，若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, '()0f x >；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, '()0f x <，()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，()f x ∴的最大值为1ln f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使()0f x ≤恒成立,只需ln 0a -≤,解得1a ≥. 所以实数a 的取值范围[)1,+∞(2)由(1)知,当1a =时,有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立,ln 1x x ∴≤-恒成立，令1n x n +=,则()111lnln 1ln 1n n n n n n n++=+-<-=, 令1,2,3,,n n =,则有13111ln,ln ,,ln 22112n n n+<<⋯<， 以上各式两边分别相加,得1111ln ln ln1232312n n n+++⋯+<+++⋯+， 即()111ln 1123n n+<+++⋯+,又因为11ln(1)n n +<，所以1ln(1)1n n +<，即1ln 11nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以11ne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以()1111ln 11e 123nn n n ⎛⎫+++<++++⋯+ ⎪⎝⎭，证毕.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，证明不等式，考查运算求解能力，推理论证能力，化归转化思想，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于结合（1）得ln 1≤-x x ，进而令1n x n +=，进而累加法求解证明()111ln 1123n n+<+++⋯+，此外根据对数不等式得1ln 11nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，进而得11ne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.。
2019-2020学年辽宁省沈阳市皇姑区八年级(上)期末数学试卷(北师大版 含答案)
2019-2020学年辽宁省沈阳市皇姑区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）下列实数是无理数的是（）A．﹣2B．πC．D．2．（2分）下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（）A．B．C．D．6．（2分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差7．（2分）如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，那么当∠CDE 等于（）时，BC∥DE．A．40°B．50°C．70°D．130°8．（2分）若x＝﹣4，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜69．（2分）下列命题是真命题的是（）A．中位数就是一组数据中最中间的一个数B．计算两组数的方差，所S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动小C．一组数据的众数可以不唯一D．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根10．（2分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组的解是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）64的算术平方根是．12．（3分）﹣1的绝对值是．13．（3分）如图，两只福娃发现所处的位置分别为M（﹣2，2）、N（1，﹣1），则A、B、C三个点中为坐标原点的是．14．（3分）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝度．15．（3分）观察下列各等式：第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…根据上述等式反映出的规律直接写出第四个等式为；猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，若直线BC交x轴于点C，且∠ABC＝45°，则点C的横坐标为．三.（每题6分．共18分）17．（6分）计算：．18．（6分）解二元一次方程组：19．（6分）如图，在12×10的正方形网格中，△ABC是格点三角形，点B的坐标为（﹣5，1），点C的坐标为（﹣4，5）．（1）请在方格纸中画出x轴、y轴，并标出原点O；（2）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（3）若点P（a，b）在△ABC内，其关于直线l的对称点是P1，则P1的坐标是．四、（每题6分，共12分）20．（6分）为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题．（1）求本次调查获取的样本数据的平均数；（2）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？21．（6分）（列二元一次方程组解应用题）为了保护环境，某公交公司决定购买A、B两种型号的全新混合动力公交车共10辆，其中每辆A型车每年节省油量2.4万升；每辆B型车每年节省油量2.2万升；若购买这批混合动力公交车每年能节省22.6万升汽油，求购买A、B两种型号公交车各多少辆？五、（本题7分）22．（7分）如图①，某商场有可上行和下行的两条自动扶梯，扶梯上行和下行的长度相等，运行速度相同且保持不变，甲、乙两人同时站上了上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以0.8米/秒的速度往上走，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯（换乘时间忽略不计）同时以0.8米/秒的速度往下走，乙到达底端后则在原点等候甲，图②中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，离扶梯底端的路程y（米）与所用时间x（秒）的部分函数图象，结合图象解答下列问题：（1）每条扶梯的长度为米（直接填空）；（2）求点B的坐标；（3）乙到达扶梯底端后，还需等待秒，甲才到达扶梯底端（直接填空）．六、（本题7分）23．（7分）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，CM平分∠PCD．（1）如图①，当点P、M在直线AC同侧，∠AMC＝60°时，求∠APC的度数；（2）如图②，当点P、M在直线AC异侧时，直接写出∠APC与∠AMC的数量关系．七、（本题8分）24．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P1的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P1为点P的“k属派生点”．例如，P（1，4）的“2属派生点”为P1（1+2×4，2×1+4），即P1（9，6）．（1）点（﹣2，3）的“3属派生点”P1的坐标为（直接填空）（2）若点P的“5属派生点”P1的坐标为（3，﹣9），则点P坐标为（直接填空）；（3）若x轴正半轴上一点P（a，0）的“k属派生点”为P1，且线段PP1的长度为线段OP长度的2倍，则k＝（直接填空）；（4）在（3）的条件下，若点M在y轴上，连接MP、MP1，使MP1平分∠PMO，请直接写出点M的纵坐标（用含a的代数式表示）．八、（本题10分）25．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P 坐标为（3，0），过点P作PC⊥x轴于P，且△ABC为等腰直角三角形．（1）如图，当∠BAC＝90°，AB＝AC时，求证△ABO≌△CAP；（2）当AB为直角边时，请直接写出所有可能的b值．2019-2020学年辽宁省沈阳市皇姑区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）下列实数是无理数的是（）A．﹣2B．πC．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数；B．π是无理数；C．是分数，属于有理数；D．＝4，是整数，属于有理数；故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（2分）下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A．＝2，不符合题意；B．是最简二次根式；C．＝2，不符合题意；D．＝，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：点P（2，﹣3）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．（2分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别根据二次根式的加减乘除运算法则逐一判断即可．【解答】解：A.3与不能合并，故本选项不合题意；B.与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不合题意；C.，故本选项符合题意；D.，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟记二次根式的运算法则是解答本题的关键．5．（2分）下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（）A．B．C．D．【分析】将四个选项中的x与y的值代入已知方程检验，即可得到正确的选项．【解答】解：A、将x＝1，y＝﹣1代入方程左边得：x﹣3y＝1+3＝4，右边为4，本选项正确；B、将x＝2，y＝1代入方程左边得：x﹣3y＝2﹣3＝﹣1，右边为4，本选项错误；C、将x＝﹣1，y＝﹣2代入方程左边得：x﹣3y＝﹣1+6＝5，右边为4，本选项错误；D、将x＝4，y＝﹣1代入方程左边得：x﹣3y＝4+3＝7，右边为4，本选项错误．故选：A．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．（2分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D、原来数据的方差S2＝＝，添加数字2后的方差S2＝＝，故方差发生了变化．故选：D．【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．7．（2分）如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，那么当∠CDE 等于（）时，BC∥DE．A．40°B．50°C．70°D．130°【分析】首先利用平行线的性质定理得到∠BCD＝130°，然后利用同旁内角互补两直线平行得到∠CDE的度数即可．【解答】解：∵AB∥CD，且∠ABC＝130°，∴∠BCD＝∠ABC＝130°，∵当∠BCD+∠CDE＝180°时BC∥DE，∴∠CDE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质与判定方法的区别与联系．8．（2分）若x＝﹣4，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6【分析】由于36＜37＜49，则有6＜＜7，即可得到x的取值范围．【解答】解：∵36＜37＜49，∴6＜＜7，∴2＜﹣4＜3，故x的取值范围是2＜x＜3．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．9．（2分）下列命题是真命题的是（）A．中位数就是一组数据中最中间的一个数B．计算两组数的方差，所S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动小C．一组数据的众数可以不唯一D．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根【分析】直接利用方差的意义以及众数的定义和中位数的意义分别分析得出答案．【解答】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误；B、计算两组数的方差，所S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动大；故错误；C、一组数据的众数可以不唯一，故正确；D、一组数据的标准差就是这组数据的方差的算术平方根，故错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中位数的意义以及众数和方差，正确把握相关定义是解题关键．10．（2分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组的解是一次函数的交点坐标即可．【解答】解：∵直线y＝2x经过（1，a）∴a＝2，∴交点坐标为（1，2），∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，∴方程组的解，故选：A．【点评】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是厉害一次函数的交点坐标．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）64的算术平方根是8．【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵82＝64∴＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．12．（3分）﹣1的绝对值是﹣1．【分析】由于﹣1＞0，根据绝对值的意义即可得到﹣1的绝对值．【解答】解：|﹣1|＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了绝对值的意义：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0，若a＜0，则|a|＝﹣a．13．（3分）如图，两只福娃发现所处的位置分别为M（﹣2，2）、N（1，﹣1），则A、B、C三个点中为坐标原点的是A．【分析】运用平移规律确定原点的位置．【解答】解：从M（﹣2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可知点A是原点．【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，知道一个点的坐标求原点，可逆向推理即可．14．（3分）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝80度．【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2+∠C＝35°+45°＝80°，故答案为：80．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C 的度数和得出∠3＝∠2+∠C．15．（3分）观察下列各等式：第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…根据上述等式反映出的规律直接写出第四个等式为；猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为＝n．【分析】比较每个对应项找到变化规律即可．【解答】解：观察规律第四个等式为：根据规律，每个等式左侧分母恒为2，分子前两项分别是n+1，n则第n个等式为：＝n故答案为：，＝n【点评】本题为规律探究题，考查了整式的计算知识．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，若直线BC交x轴于点C，且∠ABC＝45°，则点C的横坐标为或﹣6．【分析】分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求得D点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，根据与x轴的交点的坐标特征即可求得C的横坐标．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，若点C在直线AB右侧，如图1，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E，∵∠ABC＝45°，AD⊥AB∴∠ADB＝∠ABC＝45°∴AD＝AB，∵∠BAO+∠DAC＝90°，且∠BAO+∠ABO＝90°∴∠ABO＝∠DAC，∵∠AOB＝∠AED＝90∴△ABO≌△DAE（AAS）∴AO＝DE＝1，BO＝AE＝2，∴OE＝1∴点D（1，1）∵直线y＝kx+b过点D（1，1），B（0，﹣2）．∴，解得，∴直线BC为y＝3x﹣2，令y＝0，则x＝，若点C在直线AB的左侧时，如图2同理可得D（﹣3，﹣1），∵直线y＝kx+b过点D（﹣3，﹣1），B（0，﹣2）．∴，解得∴直线BC为y＝﹣x﹣2，令y＝0，则x＝﹣6，综上所述：点C的横坐标为或﹣6，故答案为或﹣6．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三.（每题6分．共18分）17．（6分）计算：．【分析】先化简各二次根式，再计算加减可得．【解答】解：原式＝2+3﹣2＝3．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18．（6分）解二元一次方程组：【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：由②，可得：x﹣2y＝﹣3③①+②×2，可得5x＝5，解得x＝1，把x＝1代入①，解得y＝2，∴原方程组的解是．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．19．（6分）如图，在12×10的正方形网格中，△ABC是格点三角形，点B的坐标为（﹣5，1），点C的坐标为（﹣4，5）．（1）请在方格纸中画出x轴、y轴，并标出原点O；（2）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（3）若点P（a，b）在△ABC内，其关于直线l的对称点是P1，则P1的坐标是（﹣a ﹣4，b）．【分析】（1）利用A、C点的坐标画出直角坐标系；（2）利用网格点和对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；（3）先把P点向右平移2个单位（a+2，b）（相当于把直线l右平移2个单位），点（a+2，b）关于y轴的对称点为（﹣a﹣2，b），然后把（﹣a﹣2，b）向左平移2个单位，相当于把直线l向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P1的坐标为（﹣a﹣2﹣2，b）．【解答】解：（1）如图，（2）如图，△A1B1C1为所作；（3）P1的坐标是（﹣a﹣4，b）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，四、（每题6分，共12分）20．（6分）为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题．（1）求本次调查获取的样本数据的平均数；（2）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？【分析】（1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可；（2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可．【解答】解：（1）＝＝8.26分，答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分；（2）800×＝160份，答：估计需准备160份一等奖奖品．【点评】考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键．21．（6分）（列二元一次方程组解应用题）为了保护环境，某公交公司决定购买A、B两种型号的全新混合动力公交车共10辆，其中每辆A型车每年节省油量2.4万升；每辆B型车每年节省油量2.2万升；若购买这批混合动力公交车每年能节省22.6万升汽油，求购买A、B两种型号公交车各多少辆？【分析】设购买A型公交车x辆，B型公交车y辆，根据“购买A、B两种型号的全新混合动力公交车共10辆；购买这批混合动力公交车每年能节省22.6万升汽油”列方程组求解可得．【解答】解：设购买A型公交车x辆，B型公交车y辆，根据题意，得：，解得：，答：购买A型公交车3辆，B型公交车7辆．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据总节油量＝2.4×A型车购买的数量+2.2×B型车购买的数量、A型车数量+B型车数量＝10列出关于x、y的二元一次方程组．五、（本题7分）22．（7分）如图①，某商场有可上行和下行的两条自动扶梯，扶梯上行和下行的长度相等，运行速度相同且保持不变，甲、乙两人同时站上了上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以0.8米/秒的速度往上走，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯（换乘时间忽略不计）同时以0.8米/秒的速度往下走，乙到达底端后则在原点等候甲，图②中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，离扶梯底端的路程y（米）与所用时间x（秒）的部分函数图象，结合图象解答下列问题：（1）每条扶梯的长度为30米（直接填空）；（2）求点B的坐标；（3）乙到达扶梯底端后，还需等待 6.25秒，甲才到达扶梯底端（直接填空）．【分析】（1）根据题意结合图象即可得出结果；（2）可设扶梯上行和下行的速度为xm/s，根据相遇时路程和为30，可列方程7.5（2x+0.8）＝30，求得扶梯上行和下行的速度，从而求解；（3）分别求得甲、乙两人所花的时间，相减即可求解．【解答】解：（1）由图象可知，每条扶梯的长度为30米（直接填空）；故答案为：30（2）设扶梯上行和下行的速度为xm/s，则7.5（2x+0.8）＝30，解得x＝1.6，7.5（x+0.8）＝7.5×（1.6+0.8）＝7.5×2.4＝18．则点B的坐标是（7.5，18）．∴B（7.5，18）；（3）由题意，得30×2÷（1.6+0.8）﹣30÷1.6＝60÷2.4﹣18.75＝25﹣18.75＝6.25（s）．故乙到达扶梯底端后，还需等待6.25s，甲才到达扶梯底端．故答案为：6.25【点评】考查了一次函数的应用，知识点有：待定系数法求一次函数，路程、速度、时间之间的关系问题，渗透数形结合的思想．六、（本题7分）23．（7分）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，CM平分∠PCD．（1）如图①，当点P、M在直线AC同侧，∠AMC＝60°时，求∠APC的度数；（2）如图②，当点P、M在直线AC异侧时，直接写出∠APC与∠AMC的数量关系．【分析】（1）如图1，延长AP交CD于点Q，则可得到∠BAP＝∠AQC，则∠APC＝∠BAP+∠DCP＝2（∠MAP+∠MCP），连接MP并延长到点R，则可得∠APR＝∠MAP+∠AMP，∠CPR＝∠MCP+∠CMP，可得到∠APC和∠AMC的关系，从而求解；（2）如图2，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，则AB∥PQ∥MN∥CD，根据平行线的性质得到∠APQ＝180°﹣∠BAP，∠CPQ＝180°﹣∠DCP，∠AMN＝∠BAM，∠CMN＝∠DCM，根据角平分线的定义得到∠BAP＝2∠BAM，∠DCP＝2∠DCM，等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，延长AP交CD于点Q，则可得到∠BAP＝∠AQC，则∠APC＝∠BAP+∠DCP＝2（∠MAP+∠MCP），连接MP并延长到点R，则可得∠APR＝∠MAP+∠AMP，∠CPR＝∠MCP+∠CMP，所以∠APC＝∠AMC+∠MAP+∠MCP，所以∠APC＝∠AMC+∠APC，所以∠APC＝2∠AMC＝120°．（2）如图2，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，则AB∥PQ∥MN∥CD，∴∠APQ＝180°﹣∠BAP，∠CPQ＝180°﹣∠DCP，∠AMN＝∠BAM，∠CMN＝∠DCM，∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD，∴∠BAP＝2∠BAM，∠DCP＝2∠DCM，∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝180°﹣∠BAP+180°﹣∠DCP＝360°﹣2（∠BAM+∠DCM）＝360°﹣2（∠BAM+∠DCM）＝360°﹣2∠AMC，即∠APC＝360°﹣2∠AMC．【点评】本题主要考查外角的性质及角平分线的定义、平行线的性质，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到∠APC和∠AMC之间的关系．七、（本题8分）24．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P1的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P1为点P的“k属派生点”．例如，P（1，4）的“2属派生点”为P1（1+2×4，2×1+4），即P1（9，6）．（1）点（﹣2，3）的“3属派生点”P1的坐标为（7，﹣3）（直接填空）（2）若点P的“5属派生点”P1的坐标为（3，﹣9），则点P坐标为（﹣2，1）（直接填空）；（3）若x轴正半轴上一点P（a，0）的“k属派生点”为P1，且线段PP1的长度为线段OP长度的2倍，则k＝±2（直接填空）；（4）在（3）的条件下，若点M在y轴上，连接MP、MP1，使MP1平分∠PMO，请直接写出点M的纵坐标（用含a的代数式表示）．【分析】（1）P1（﹣2+3×3，﹣2×3+3），），即P1（7，﹣3）；（2）3＝a+5b，﹣9＝5a+b，求得P（﹣2，1）；（3）P（a，0）的“k属派生点”为P1（a，ka），由题意可得：|ka|＝2a，即可求k的值；（4）由（3）可知P1（a，±2a），当P1（a，2a）时，过点P1作P1B⊥MP，过点M作MC⊥P1P，可证明△MCP≌△P1PB（AAS），所以MP＝P1P＝2a，可求PC＝a．【解答】解：（1）P1（﹣2+3×3，﹣2×3+3），），即P1（7，﹣3）；故答案为（7，﹣3）；（2）3＝a+5b，﹣9＝5a+b，∴a＝﹣2，b＝1，∴P（﹣2，1），故答案为（﹣2，1）；（3）P（a，0）的“k属派生点”为P1（a，ka），∴PP1的长度为|ka|，OP长度为a，∵线段PP1的长度为线段OP长度的2倍，∴|ka|＝2a，∴k＝±2，故答案为±2；（4）∵k＝±2，∴P1（a，±2a），当P1（a，2a）时，过点P1作P1B⊥MP，过点M作MC⊥P1P，∵MP1平分∠PMO，∴AP1＝P1B＝a，∵MC＝a，∴△MCP≌△P1PB（AAS），∴MP＝P1P＝2a，∴PC＝a，∴点M的纵坐标为﹣a，当P2（a，﹣2a）时，同理可求点M的纵坐标为a．∴点M的纵坐标为±a．【点评】本题考查坐标与图形；理解定义，将所求问题转化为一元一次方程求解，三角形全等问题解题是关键．八、（本题10分）25．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P 坐标为（3，0），过点P作PC⊥x轴于P，且△ABC为等腰直角三角形．（1）如图，当∠BAC＝90°，AB＝AC时，求证△ABO≌△CAP；（2）当AB为直角边时，请直接写出所有可能的b值．【分析】（1）证出∠OAB＝∠PCA，∠AOB＝∠CP A，由AB＝CA，即可得出△ABO≌△CAP（AAS）；（2）分三种情况①由（1）得△ABO≌△CAP（AAS），得出OB＝AP＝﹣b，OP＝OA﹣AP＝﹣b＝3，则b＝﹣3；②作CM⊥y轴于M，则CM＝OP＝3，同①得△ABO≌△BCM（AAS），得出OB＝CM＝3，则b＝3；③同①得△ABO≌△CAP（AAS），得出OB＝AP＝﹣b，由OA＝﹣2b，OA+AP＝3，得出b＝﹣1．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAP＝90°，∵PC⊥x轴，∴∠CP A＝90°，∴∠PCA+∠CAP＝90°，∴∠OAB＝∠PCA，∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠CP A，在△ABO和△CAP中，，∴△ABO≌△CAP（AAS）；（2）解：分三种情况：①如图1所示：∵直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣2b，0），B（0，b），∴OA＝﹣2b，OB＝﹣b，∵点P坐标为（3，0），∴OP＝3，由（1）得：△ABO≌△CAP（AAS），∴OB＝AP＝﹣b，∴OP＝OA﹣AP＝﹣b＝3，∴b＝﹣3；②如图2所示：作CM⊥y轴于M，则CM＝OP＝3，同①得：△ABO≌△BCM（AAS），∴OB＝CM＝3，∴b＝3；③如图3所示：同①得：△ABO≌△CAP（AAS），∴OB＝AP＝﹣b，∵OA＝﹣2b，OA+AP＝3，∴﹣2b﹣b＝3，∴b＝﹣1；综上所述，当AB为直角边时，所有可能的b值为﹣3或3或﹣1．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图象的性质、分类讨论等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一上学期期中数学试题(解析版)
故选：D.
【点睛】
本题考查运用奇函数的图像的对称性与函数的单调性的关系，求解抽象不等式，关键在于由奇函数的性质和图像特征得出函数值在相应区间的符号，属于中档题.
11．设 在 上有定义，要使函数 有定义，则a的取值范围为
A． ；B． C． ；D．
【答案】B
【解析】由条件得：
【详解】
因为 ，所以 函数的函数值的求解，注意将自变量代入相应的解析式中计算，属于基础题.
7．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据已知得函数 的对称轴 ，解之可得选项.
【详解】
由已知得函数 的对称轴 ，解得 ，
当 时，要使关于 的方程 的两根分别在区间 和 内，则需满足 ，即 解得 无解，
综上可知：实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查一元二次方程的根和二次函数之间的关系，在满足一元二次方程的根的区间时，常需考虑对应的二次函数的判别式的符号，函数图像的开口方向，对称轴，特殊函数值的符号等方面，属于中档题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断 , 的符号,再根据函数零点的判定定理,可求得结论.
【详解】
因为函数 的定义域是 ，所以 无意义，
而 ， ， ， ,
所以根据零点存在定理得函数 的零点所在的区间为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的零点存在定理,注意需判断区间端点的函数值的符号，属于基础题.
对于④项，举反例，取 ，满足 且 ，但此时 ，可判断④项；
对于⑤项，举反例，当 ， 时，满足 ，此时 ，可判断⑤项；
辽宁省沈阳市东北育才实验学校2022-2023学年数学三下期末教学质量检测试题含解析
辽宁省沈阳市东北育才实验学校2022-2023学年数学三下期末教学质量检测试题一、用心思考，我会选。
1．下面算式中，商最接近60的是（）。
A．246÷4 B．492÷7 C．540÷82．小明、小华、小东的家乡分别在哈尔滨、武汉、海南中的某个地方，小明的家乡冬天经常下雪，小华的家乡不在武汉，那么小东的家乡在( )．A．哈尔滨B．武汉C．海南3．下列选项中（）的面积最接近1平方分米。
A．指甲B．粉笔盒底面C．课本封面4．下图阴影部分的面积是()．A．16平方厘米B．8平方厘米C．8 D．三角形的面积没学，无法求出5．346÷6商的最高位是（）A．个位B．十位C．百位二、认真辨析，我会判。
6．4.7和4.70的大小相等，意义相同。
（________）7．两位小数不一定比一位小数大。
（_____）8．7分是元，也可以写成0.07元。
（）9．把一个西瓜切成4块，弟弟吃了其中的1块，就是吃了这个瓜的14。
（______）10．小数每两个计数单位之间的进率是10。
（________）三、仔细观察，我会填。
11．每份快餐8元，买196份快餐需要（________）元。
12．国庆节是每年的（_____）月（_____）日，儿童节是每年的（_____）月（_____）日．13．下面是某地区十二月份的天气情况统计表。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30 31（1）完成下表。
天气情况天数（天）（________）（________）（________）（2）这个统计表一共统计了（________）天。
14．5千米=（_________）米6000千克=（_________）吨300平方厘米=（_________）平方分米20平方米=（_________）平方分米15．74×22的积是________位数，368÷6的商是________位数。
辽宁省部分重点中学协作体2023届高三下学期4月模拟数学试题
辽宁省部分重点中学协作体2023年高考模拟考试数学第一命题校：大连市第二十四中学张宁第二命题校：辽宁省东北育才学校王成栋参与命题校：沈阳市第二十中学李蕾蕾第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}{}1,1,1,2,3A B =-=-，则()U A B ⋂=ð（）A.{}1- B.{}1,3- C.{}2,3 D.{}1,2,3-2.若复数1i2i 1i z +=+-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A.3B.3iC.-3D.3i -3.0.1352,log 4,log 27a b c -===，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.c b a<<4.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用,,,A B C D 表示黄金分割点.若照片长､宽比例为4:3，设CAB ∠α=，则1cos2tan sin2ααα+-=（）A.18-B.18C.712-D.7125.现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（）种.A.144 B.72 C.36 D.246.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为4cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）B. C. D.6cm7.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n 中正六边形的个数记为n a ，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为,n n C S ，其中图n 中每个正六边形的边长是图1n -中每个正六边形边长的13，则下列说法正确的是（）A.4294a =B.31003C =C.存在正数m ，使得n C m ≤恒成立D.133729n n S -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭8.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点P ，且1224F PF S a = ，则曲线C 的离心率为（）B.5121二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若随机变量210,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的是（）A.()3731012333P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.期望()203E X =C.期望()3222E X += D.方差()3220D X +=10.已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上恰有三个零点，则（）A.ω的最大值为196B.()f x 在[]0,π上只有一个极小值点C.()f x 在[]0,π上恰有两个极大值点D.()f x 在0,5π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,A B 两点，若11225,513AF BF BF AF ==，则（）A.221:6:5AF B AF F S S =B.212tan 5AF B ∠=C.椭圆C 的离心率为12D.直线2BF 的斜率的绝对值为22912.如图，矩形ABCD 中，4,2,AB BC E ==为边AB 的中点，沿DE 将ADE 折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1AC 的中点，二面角1A DE C --大小为α，直线1A E 与平面DEBC 所成角为β，则在ADE 折起过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得1BM A D ⊥B.1A EC 面积的最大值为C.当α为锐角时，存在某个位置，使得sin 2sin αβ=D.三棱锥1A EDC -体积最大时，三棱锥1A EDC -的外接球的表面积为16π第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的90%分位数是__________.14.已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=，若()a b c +⊥ ，则t =__________.15.在平面直角坐标系xOy 中，笛卡尔曾阐述：过圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上一点()00,M x y 的切线方程()()()()200x a x a y b y b r --+--=.若22:(1)9C x y -+=，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，分别以点,A B 为切点作圆C 的切线12,l l ，设直线1l ，2l 的交点为(),P m n ；若1,4m n ==时，则直线AB 的方程是__________；若圆O ：221x y +=，且l 与圆O 相切，则m 的最小值为__________.16.关于x 的不等式221e ln 12ln 0x a x x a +-+++≥在()0,∞+上恒成立，则a 的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项的积()()()*122n n n T n N ++=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足n n b na =，求20231sin 2nn n b π=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.18.（本小题12分）某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表：体育项目第一项第二项第三项第四项第五项第六项学生人数14050300200800510未达标率0.40.20.150.250.20.1未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值.假设所有体育项目是否达标相互独立.（1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率；（2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率；（3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“1k ξ=”表示第k 项体育运动项目达标，“0k ξ=”表示第k 项体育运动项目未达标()1,2,3,4,5,6k =.计算12,D D ξξ并直接写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系（不用写出计算过程）.19.（本小题12分）将函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到()sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像.（1）设()()sin cos ,2,1,sin cos a x x b x x =-=⋅ ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()()a b h x f x ⋅= 的值域；（2）在①2cos 2B =②a =1b =三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的三条边，()2g A =，__________，__________.求ABC 的面积ABC S .20.（本小题12分）在如图的空间几何体中，ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠= ，四边形BCED 为直角梯形，,90,1,4,2,BC DE DBC BD BC DE F ∠==== ∥为AB 的中点.（1）证明：DF ∥平面ACE ；（2）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值.21.（本小题12分）已知曲线Γ在x 轴上方，它上面的每一点到点()0,2Q 的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点,,A B C 分别在该曲线Γ上，且点A C ､在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC 的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点M 且满足3AM BM <，直线BC 交y 轴于点N .记,,ABC AMG CNG 的面积分别为123,,S S S （1）求曲线Γ方程；（2）求231S S S +的取值范围.22.（本小题12分）已知函数()2ln a x f x x x=+.（1）若()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若()()g x xf x =，且()()()12123g x g x x x ==≠，证明：2212a x x ae <<.2022-2023学年度下学期模拟考试高三年级数学科试卷答案一､单选题1-8CCBDABDA二､多选题9.BCD10.BD11.ABD12.BD三､填空题13.2114.2315.94y =72-16.22e四､解答题17.解：（1）123n n T a a a a = ，∴当2n ≥时，()()()()112/221/2nn n n n n T a T n n n-+++===+.当11,3n a ==，满足上式，()2nn a n+∴=（3）2n n b na n ==+ ()()()20231357202120231sin(2)50610122n n n b b b b b b b π=∴⋅=-+-++-=-⨯=-∑ 18.（1）由题意知，全校总人数是140503002008005102000+++++=第四项体育运动中达标的人数是2000.75150⨯=故所求概率为1500.0752000=.（2）设事件A 为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则()P A 估计为0.75设事件B 为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则()P B 估计为0.8.故所求概率为()(()P AB AB P AB P AB +=+()()()()()()110.750.20.250.80.35P A P B P A P B =-+-=⨯+⨯=⋯（3）120.24,0.16D D ξξ==142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>19.解：（1）()sin cos 2sin cos sin cos 1sin2sin2x x x x x xh x x x-+-==+设()sin cos ,0,,0,1444t x x x x t πππ⎛⎫⎛⎫=-=--∈∴∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 2211sin2,1111t t x y t t t=-∴=+=+--又因为y 在()0,1t ∈上单调递增，则()1,y ∞∈+，所以()h x 的值域为()1,∞+（2）()sin 323g A A A ππ⎛⎫=+=∴= ⎪⎝⎭选①②：22sin 2cos 2sin 32a B B ab A====；1163sin 22484ABC S ab C ++=== .选①③：)1116233sin 122488ABC a S ab C ++===⋅==.选②③：因为2131212c c =+-⋅⋅⋅所以220c c --=则2c =或1c =-（舍）13sin 22ABC S bc A ==20.解：（1）法一：证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ，有//FG AC ，FG ∴∥平面ACE ，又,DG EC DG ∴∥∥平面,ACE FG DG G ⋂= ，∴平面DGF ∥平面ACE .又DF⊂平面,DGF DF ∴∥平面ACE法二：取BC AC ､中点G K ､，连接,,,EK FK F K 分别是,AB AC 的中点，,FK GC FK GC ∴=∥，又,DE GC DE GC = ∥，所以,DE FK DE FK =∥，KEDF ∴为平行四边形DF EK∴∥又DF ⊄ 平面,ACE EK ⊂平面ACE ，DF ∴∥平面ACE（2）法一： 四边形BCED 为梯形，2,4,DE BC G ==为BC 中点，DE CG ∴∥，即四边形GCED 为平行四边形，CE GD ∴∥.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接,GE AG由题意可知，,,AG BC GE BC BC ⊥⊥∴⊥面AGE ，又BC ⊂ 平面ABC ∴平面ABC ⊥平面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.,DE BC DE ∴⊥ ∥面,90,2,AGE AED DE AD AE ∠∴==== 又1,2GE AG == ∴点E 到AG 的距离为32在三棱锥D ABG -中，3D ABGE ABG V V --==，根据1,S 2ABD BD AD AB ====，记点G 到面ABD 的距离为h ，由1732213237D ABG G ABD V V h h --==⋅⋅==所以CE 与平面ABD所成角的正弦值为35h DG =法二：过点A 作平面ABC 的垂线AT ，以,,AB AC AT的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示设点()()())()0,0,0,,,,,,A B C GD a b c，1,BD CD AD ===222222222222(1(177BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪⎪∴=+-+=⎨⎪=++=⎪⎩,442a b c ∴==-=7223,,442D ⎛∴- ⎝⎭设平面ADB 的一个法向量为(),,n x y z =，(),,,442BD AB ⎛=--= ⎝⎭(00,0n BD n n AB ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩又,,,442GD GD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭2105sin cos co s |35n CE n GD α=⋅>=⋅=∣，故CE 与平面ADB 所成角的正弦值为21053521解（1）曲线上每一点到点()0,2Q 的距离减去到X 轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点()0,2Q 的距离与到直线2y =-的距离相等，所以曲线Γ为抛物线，248(0)p x y x =∴=≠ （2）设点()()()112233123,,,,,,0,0,0A x yB x yC x y x x x <>>32,ABGCBGAM CN S S S ABS BC==G 为ABC 的重心113ABG CBG S S S ∴== 213111,33AM CN S S S S AB BC∴=⋅=⋅由相似三角形可知311232,AMCN x x AB x x BC x x ==--且1230x x x ++=可得2331112321133AM CN S S x x S AB BC x x x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1121212132x x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪-+⎝⎭令2312111111,2312312S S x u u u x S u u u u ++⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()132312u u ⎛⎫=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭因为3AM BM <，所以123x x <-，故103u -<<，()()220122,29u u u u ⎛⎫-+=+-∈-- ⎪⎝⎭231113,660S S S +⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22.（1）函数()2ln a x f x x x =+的定义域为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求导得：()3ln 20x x x af x x '--=≥恒成立，即2ln a x x x ≤-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，令()ln h x x x x =-，则()ln h x x'=-当()1,1,0x h x e ⎡⎤⎥⎦'∈>⎢⎣，则()h x 单调递增，[]()1,,0x e h x ∈'<，则()h x 单调递减，而()()min 12,0,()0200h h e h x h e a a e e⎛⎫==∴==∴≤∴≤ ⎪⎝⎭（2）因为()g x ln a x x =+，则()2x ag x x -='，当0a ≤时，()0g x '>恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递增，不合题意当0a >时，()0g x '<的解集为()()0,,0a g x >'的解集为(),a ∞+，即()g x 的单调增区间为(),a ∞+，单调减区间为()0,a ，依题意：()min g()1ln 3x g a a ==+<，解得()20,a e∈，设12x x <，则120x a x <<<，要证212x x a >，即证221a x a x >>，即证()221a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证()211a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，设()()()22ln 2ln ,0,a a xx g x g x a x a x x a ϕ⎛⎫=-=+--∈ ⎪⎝⎭，则()22221()0a x a x x x a ax ϕ--=--=<'，即()x ϕ在()0,a 上单调递减，有()()0x a ϕϕ>=，即()()()2g 0,a x g x a x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，则()211g a x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，因此212x x a >成立.要证212x x ae <，即证221ae a x x <<，即证()221g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()211g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()11123ln ln 2,0,x x a x a e <-++∈，而()1111ln 33ln a x a x x x +=⇔=-，即证()()11121ln 3ln ,0,x x x a e<+-∈，令()()()22T ln 3ln ,0,x x x x e e=+-∈，则()()2113ln T x x x e =-+-'，设()()()2G 3ln ,0,x x x x e=-∈，求导得()2ln 0G x x =->'，即()G x 在()20,e 上单调递增，则有()()220G x G e e <<=，即()()0,T T x x '<在()20,e 上单调递减，而()()20,0,a e ⊆，当()0,x a ∈时，()()()21T x T a T e >>=，则当()0,x a ∈时，()21ln 3ln x x e <+-成立，故有212x x ae <成立，所以2212a x x ae <<.。
辽宁省沈阳市和平区2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷含解析
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．如果＝＝（b+d≠0），则＝（）A．B．C．D．或﹣12．二次函数y＝2（x﹣6）2+9图象的顶点坐标是（）A．（﹣6，9）B．（6，9）C．（6，﹣9）D．（﹣6，﹣9）3．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来1000元降到640元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．1000（1+x）2＝640 B．640（1+x）2＝1000C．640（1﹣x）2＝1000 D．1000（1﹣x）2＝6405．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③6．将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+5）2+6 B．y＝（x+5）2﹣6 C．y＝（x﹣5）2+6 D．y＝（x﹣5）2﹣6 7．如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（）秒时，四边形ABPQ为矩形．A．3 B．4 C．5 D．68．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝cx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．9．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（）A．（8，﹣12）B．（﹣8，12）C．（8，﹣12）或（﹣8，12）D．（5，﹣12）二．填空题（共6小题）11．小明在同一时刻测量位于同一地点的旗杆和建筑物在太阳光下的影长，测得旗杆的影长为3m，建筑物的影长为30m，已知旗杆的高为4m，则这个建筑物高为m．12．若关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值是．13．如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是．14．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为．15．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价元．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE•PF的最大值为．三．解答题（共9小题）17．解一元二次方程：（x+1）（3﹣x）＝1．18．计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）019．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．（1）布袋里红球有个；（2）先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．20．如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．21．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB＝90°，AC＝16，△ADC的周长为36时，直接写出四边形ADCE的面积为．22．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA＝8，点D为对角线OB的中点，若反比例函数y＝在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F，与矩形边AB 交于点E，反比例函数图象经过点D，且tan∠BOA＝，设直线EF的表达式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数表达式；（2）直接写出直线EF的函数表达式；（3）当x＞0时，直接写出不等式k2x+b＞的解集；（4）将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H，与y轴正半轴交于点G，直接写出线段OG的长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x的取值范围；（3）若DG＝2DE，则矩形DEFG的面积为．24．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD相交于点O．（1）如图，作射线OM与边BC相交于点E，将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，射线ON与边AB相交于点F，连接EF交BO于点G．①直接写出四边形OEBF的面积是；②求证：△OEF是等腰直角三角形；③若OG＝，求OE的长；（2）点P在射线CA上一点，若BP＝2，射线PM与直线BC相交于点E，当CE＝2时，将射线PM绕点P顺时针旋转45°，得到射线PN，射线PN与直线BC相交于点F，请直接写出BF的长．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）．过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作△CMN关于直线MC的对称图形，得到△CMD．设点N运动的时间为t秒，△CMD与△AOB重叠部分的面积为S．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜t＜2时，①求S与t的函数关系式；②直接写出当t＝时，四边形CDMN为正方形；（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当S△CBE：S△ACF＝1：3时，直接写出点E的坐标为．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果＝＝（b+d≠0），则＝（）A．B．C．D．或﹣1【分析】根据和比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（b+d≠0），∴＝．故选：A．2．二次函数y＝2（x﹣6）2+9图象的顶点坐标是（）A．（﹣6，9）B．（6，9）C．（6，﹣9）D．（﹣6，﹣9）【分析】因为y＝2（x﹣6）2+9是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣6）2+9，∴二次函数图象的顶点坐标是（6，9）．故选：B．3．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图．【解答】解：该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．故选：A．4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来1000元降到640元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．1000（1+x）2＝640 B．640（1+x）2＝1000C．640（1﹣x）2＝1000 D．1000（1﹣x）2＝640【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意，得：1000（1﹣x）2＝640．故选：D．5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③【分析】太阳光可以看做平行光线，从而可求出答案．【解答】解：太阳从东边升起，西边落下，所以先后顺序为：③④①②故选：C．6．将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+5）2+6 B．y＝（x+5）2﹣6 C．y＝（x﹣5）2+6 D．y＝（x﹣5）2﹣6 【分析】直接利用二次函数平移的性质得到平移后的解析式．【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，得到的解析式为：y＝（x+5）2，再向上平移6个单位长度，得到的解析式为：y＝（x+5）2+6，故所得抛物线相应的函数表达式是：y＝（x+5）2+6．故选：A．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（）秒时，四边形ABPQ为矩形．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】当四边形ABPQ为矩形时，AQ＝BP，据此列出方程并解答．【解答】解：设动点的运动时间为t秒，由题意，得15﹣t＝2t．解得t＝5．故选：C．8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝cx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，然后根据反比例函数的性质和正比例函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：由二次函数的图象得a＜0，c＞0，所以反比例函数y＝分布在第二、四象限，正比例函数y＝cx经过第一、三象限，所以C选项正确．故选：C．9．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据表格中的数据，可以发现：x＝1时，x2+12x﹣15＝﹣2；x＝2时，x2+12x ﹣15＝13，故一元二次方程x2+12x﹣15＝0的其中一个解x的范围是1＜x＜2，进而求解．【解答】解：根据表格中的数据，知：方程的一个解x的范围是：1＜x＜2，所以方程的其中一个解的整数部分是1．故选：A．10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（）A．（8，﹣12）B．（﹣8，12）C．（8，﹣12）或（﹣8，12）D．（5，﹣12）【分析】利用位似图形的性质结合一次函数解析式求法以及一次函数图象上点的坐标特征进而得出答案．【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，∴＝，∴＝，解得：DB′＝12，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，解得：x＝5，故B′点坐标为：（5，﹣12）．故选：D．二．填空题（共6小题）11．小明在同一时刻测量位于同一地点的旗杆和建筑物在太阳光下的影长，测得旗杆的影长为3m，建筑物的影长为30m，已知旗杆的高为4m，则这个建筑物高为40 m．【分析】根据同一时刻同一地点的物高与影长成正比即可求得答案．【解答】解：设建筑物的高为x米，根据题意得：＝，解得：x＝40，故答案为：40．12．若关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值是 2 ．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，然后解方程即可求解．【解答】解：根据题意得△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2．故答案为：2．13．如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是：1 ．【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y＝：1．故答案为：：1．14．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为3．【分析】证出△GEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出＝（）2＝，得出＝＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥EG，∴△GEC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝＝，∵BC＝6，∴EC＝3，故答案为：3．15．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价 4元．【分析】关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2400，计算得到降价多的数量即可．【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（40+5x）＝2400解方程得x＝4或x＝36，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝36不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．故答案是：4．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE•PF的最大值为36 ．【分析】设AP＝x，则PD＝20﹣x，通过证△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，分别用含x 的代数式将PE，PF表示出来，并算出其乘积，然后用二次函数的性质求出其最大值．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEA＝∠CDA＝∠PFD＝90°，又∵∠PAE＝∠CAD，∠PDF＝∠BDA，∴△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，∴＝＝，＝＝，设AP＝x，则PD＝20﹣x，∴PE＝x，PF＝（20﹣x）＝12﹣x，∴PE•PF＝x×（12﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣10）2+36，根据二次函数的图象及性质可知，当x＝10时，PE•PF有最大值，最大值为36，故答案为：36．三．解答题（共9小题）17．解一元二次方程：（x+1）（3﹣x）＝1．【分析】先将方程整理为一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：将方程整理为一般式，得：x2﹣2x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，则x＝＝1．18．计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×﹣1+2﹣（﹣2）﹣1＝3．19．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．（1）布袋里红球有 1 个；（2）先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【分析】（1）设红球的个数为x个，根据概率公式得到＝，然后解方程即可；（2）先画树状图展示所有12种等可能结果，再找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）设红球的个数为x个，根据题意得＝，解得x＝1（检验合适），所以布袋里红球有1个，故答案为：1；（2）画树状图如下：共有12种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球结果数为2种，所以两次摸到的球都是白球的概率＝＝．20．如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．【分析】作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM＝∠B，利用相似可得MN的长．【解答】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，∴MN＝3；②图2，作∠ANM＝∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，AC＝，∴MN＝，∴MN的长为3或．21．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB＝90°，AC＝16，△ADC的周长为36时，直接写出四边形ADCE的面积为96 ．【分析】（1）根据作图的过程可得AE＝EC，再证明四边形AECD是平行四边形即可；（2）根据（1）证得的菱形，可知AD＝10，AO＝8，根据勾股定理得OD＝6，进而求解．【解答】解：（1）根据作图过程可知：MN是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC，AD＝CD，AO＝CO，MN⊥AC，∴∠EAC＝∠ECA，∵CE∥AB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠EAC，AO＝AO，∠AOD＝∠AOE＝90°，∴△ADO≌△AEO（ASA），∴AD＝AE．∴AD＝EC，又AD∥EC，∴四边形ADCE是平行四边形，AE＝EC，∴▱ADCE是菱形．（2）∠ACB＝90°，∠AOD＝90°，∴OD∥BC，∵AO＝CO，∴AD＝BD，∵AD＝DC，∴BD＝DC，AC＝16，△ADC的周长为36，∴AB＝20，∴AD＝10，AO＝8，根据勾股定理，得OD＝6，∴菱形ADCE的面积为：DE•AC＝6×16＝96．故答案为96．22．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA＝8，点D为对角线OB的中点，若反比例函数y＝在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F，与矩形边AB 交于点E，反比例函数图象经过点D，且tan∠BOA＝，设直线EF的表达式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数表达式；（2）直接写出直线EF的函数表达式y＝﹣x+5 ；（3）当x＞0时，直接写出不等式k2x+b＞的解集2＜x＜8 ；（4）将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H，与y轴正半轴交于点G，直接写出线段OG的长．【分析】（1）利用正切的定义计算出AB得到B点坐标为（8，4），则可得到D（4，2），然后利用待定系数法确定反比例函数表达式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征确定E（8，1），F（2，4），然后利用待定系数法求直线EF的解析式；（3）在第一象限内，写出一次函数图象在反比例函数图象上上方所对应的自变量的范围即可；（4）连接GF，如图，设OG＝t，则CG＝4﹣t，利用折叠的性质得到GF＝OG＝t，则利用勾股定理得到22+（4﹣t）2＝t2，然后解方程求出t得到OG的长．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵tan∠BOA＝＝，∴AB＝OA＝×8＝4，∴B点坐标为（8，4），∵点D为对角线OB的中点，∴D（4，2），把D（4，2）代入y＝得k1＝4×2＝8，∴反比例函数表达式为y＝；（2）当x＝8时，y＝＝1，则E（8，1），当y＝4时，＝4，解得x＝2，则F（2，4），把E（8，1），F（2，4）代入y＝k2x+b得，解得，所以直线EF的解析式为y＝﹣x+5；（3）不等式k2x+b＞的解集为2＜x＜8；（4）连接GF，如图，设OG＝t，则CG＝4﹣t，∵将矩形折叠，使点O与点F重合，∴GF＝OG＝t，在Rt△CGF中，22+（4﹣t）2＝t2，解得t＝，即OG的长为．故答案为y＝﹣x+5；2＜x＜8；．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x的取值范围0＜x＜6 ；（3）若DG＝2DE，则矩形DEFG的面积为．【分析】（1）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得BN、AN，再证明△ADG∽△ABC，得出比例线段，利用x表示出MN，利用矩形的面积求出函数解析式；（2）由题意即可得出答案；（3）由题意得出x＝2（4﹣x），解得x＝，代入函数关系式即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AN⊥BC，∴BN＝CN＝3，AN＝＝＝4，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝4﹣x．∴y＝EF•MN＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，即y＝﹣x2+4x：（2）0＜x＜6；故答案为：0＜x＜6；（3）若DG＝2DE，则EF＝2MN，∴x＝2（4﹣x），解得：x＝，当x＝时，y＝﹣×（）2+4×＝；故答案为：．24．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD相交于点O．（1）如图，作射线OM与边BC相交于点E，将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，射线ON与边AB相交于点F，连接EF交BO于点G．①直接写出四边形OEBF的面积是16 ；②求证：△OEF是等腰直角三角形；③若OG＝，求OE的长；（2）点P在射线CA上一点，若BP＝2，射线PM与直线BC相交于点E，当CE＝2时，将射线PM绕点P顺时针旋转45°，得到射线PN，射线PN与直线BC相交于点F，请直接写出BF的长或．【分析】（1）①由“SAS”可证△BOF≌△COE，可得S△BFO＝S△CEO，即可求解；②由全等三角形的性质可得OE＝OF，即可得结论；③由面积关系可求S△EFO＝×S四边形OEBF＝，即可求OE的长；（2）过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，分两种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求PH＝10，通过证明△PFH∽△PEG，可得，即可求解．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO＝CO，AB＝BC＝8，∠ABO＝∠ACB＝∠DBC＝45°，BO⊥AC，∴AC＝8，∴AO＝OC＝BO＝4∵将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，∴∠FOE＝90°＝∠BOC，∴∠BOF＝∠COE，且BO＝CO，∠ABO＝∠BCO，∴△BOF≌△COE（SAS）∴S△BFO＝S△CEO，∴四边形OEBF的面积＝S△OBC＝×4×4＝16，故答案为16；②∵△BOF≌△COE，∴OE＝OF，且∠EOF＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形；③∵OG＝，OB＝4，∴BG＝，∵S△BFG：S△FGO＝BG：GO＝7：25，S△BEG：S△EGO＝BG：GO＝7：25，∴S△BEF：S△EFO＝7：25，∴S△EFO＝×S四边形OEBF＝，∴OE2＝，∴OE＝5；（2）如图2，当点E在线段BC上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，∵∠ACB＝45°，PH⊥BC，∴∠HPC＝∠PCH＝45°，∴PH＝HC，∵PB2＝PH2+BH2，∴4×26＝PH2+（PH﹣8）2，∴PH＝10，PH＝﹣2（舍去），∴PH＝CH＝10，∴HB＝2，PC＝10，∵EC＝2，EG⊥AC，∠ACB＝45°，∴GC＝＝GE，∴PG＝9，∵∠FPE＝45°＝∠HPC，∴∠FPH＝∠EPG，且∠PHF＝∠PGE，∴△PFH∽△PEG，∴，∴，∴HF＝，∴BF＝2+＝；当点E在BC延长线上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，同理可得：PH＝10，EG＝CG＝，△PFH∽△PEG，∴，∴，∴FH＝，∴BF＝2﹣＝，综上所述：BF的长为：或，故答案为：或．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）．过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作△CMN关于直线MC的对称图形，得到△CMD．设点N运动的时间为t秒，△CMD与△AOB重叠部分的面积为S．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜t＜2时，①求S与t的函数关系式；②直接写出当t＝时，四边形CDMN为正方形；（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当S△CBE：S△ACF＝1：3时，直接写出点E的坐标为（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a （x2+6x﹣16），故﹣16a＝﹣4，解得：a＝，即可求解；（2）①OM＝ON＝t，则AM＝8﹣t，∵MC∥y轴，则，即，解得：MC＝（8﹣t），S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t；②MC＝ND＝2t，即可求解；（3）DM＝MN＝t，即（3t﹣8）2+t2＝2t2，解得：t＝2或4，故点C（﹣2，﹣3）；S△：S△ACF＝1：3，EM＝FN，故点C是MN的中点，即可求解．CBE【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），故﹣16a＝﹣4，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4；（2）①抛物线的对称轴为：x＝﹣3，OM＝ON＝t，则AM＝8﹣t，∵MC∥y轴，则，即，解得：MC＝（8﹣t），S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t；②四边形CDMN为正方形时，MC＝ND＝2t，即MC＝（8﹣t）＝2t，解得：t＝，故答案为；（3）由点A、B的坐标可得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣4，当点D在AB上时，在CD在直线AB上，设点M（﹣t，0），则点M（2t﹣8，﹣t），由题意得：DM＝MN＝t，即（3t﹣8）2+t2＝2t2，解得：t＝2或4，当t＝4时，S△CBE：S△ACF＝1：3不成立，故t＝2，故点C（﹣2，﹣3）；则AC＝3＝3CB，过点E、F分别作AB的垂线交于点M、N，∵S△CBE：S△ACF＝1：3，∴EM＝FN，故点C是MN的中点，设点F（m，0），点C（﹣2，﹣3），由中点公式得：点E（﹣4﹣m，﹣6），将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0或﹣2，故点E的坐标为：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6），故答案为：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．。
2023—2024学年辽宁省沈阳市高三上学期9月月考数学试题(含答案)
0
，
3
所以
h
x
1
e
A． c b a
B． b c a
C． c a b
8．设 a 1.01 ， b e0.01 ， c ln 1.01e ，则（ ）
1.01
A． a b c
B． b a c
C． b c a
D． a c b D． c b a
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合
19．记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 Sn n2 n . (1)求 an 的通项公式；
(2)设 Tn a1 3a1 a2 3a2 an 3an ，求 Tn .
20．函数 f x x3 ax2 x 1， x R ，已知 x x1 和 x x2 分别是函数 f x 的极大值点和极小值
【详解】已知 a, b R ，由 a b 2 ab ，得 ab (a b)2 1 ， 4
故“ a b 2 ”是“ ab 1”的充分条件；
若
ab
1，令
a
100,b
1 100
，但
a
b
100
1 100
2
，
故“ a b 2 ”是“ ab 1”的不必要条件.
故选：B.
4．D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可.
由 13b 3 27 47c 2 25 ，得 133 b 472 c ，即 2197b 2209c ，
b lg 2197 c lg 2209 ， b c lg 2209 c ， lg 2197
因为
7 3
a
7 3
log5
2
log125
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辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．2．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 22224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.3．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】由于ba=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.4．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据21211p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】因为随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1ii i i i E p D p p ξξ==-，因为21211p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．22【答案】D 【解析】 【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56 B ．72 C ．88 D ．40【答案】B 【解析】 【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可. 【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.7．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 13m n a a a ⋅=，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（ ）A ．32B ．2C ．73D ．94【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可. 【详解】65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=； 当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.8．已知双曲线222:1(0)3-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 BC ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a +=，解可得1a =，由离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线28x y =的焦点为(0,2)，则双曲线22213y x a -=的焦点也为(0,2)，即2c =，则有234a +=，解可得1a =， 双曲线的离心率2ce a==.故选：A ． 【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得,12||||||22p pAB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,设点()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线的定义可知()1212||||||22p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为24y x =. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 10． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选B 【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.11．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．12．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且3PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】 如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又1303PF a k -==2a c ∴= 223a b ∴=，解得3ba= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知曲线2222:1(0)2x y Q x a a-=>，点A ，B 在曲线Q 上，且以AB 为直径的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=．则a =_______．【答案】2± 【解析】 【分析】设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-设A ､B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，代入曲线方程，两式作差可得121212121141222y y x x x x y y -+==⨯=-+，从而可得直线的斜率，联立直线AB 与Q 的方程，由||2AB =，利用弦长公式即可求解. 【详解】因为AB 是圆的直径，必过圆心(2,1)点， 设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-设A ､B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，故2211222222221212x y a a x y a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减， 可得()()()()12121212222x x x x y y y y a a -+-+=121212121141222y y x x x x y y -+⇒==⨯=-+(因为(2,1)是AB 的中点)，即1k = 联立直线AB 与Q 的方程：2222221422012y x x x a x y aa =-⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩ 又||2AB =，即2|4|AB =，即()()2212124x x y y -+-=又因为1212y y x x -=-，则有()()221212124224x x x x x x ⎡⎤=-=+-⎣⎦()2224422a ⎡⎤=-+⎣⎦即2882a -=∴2a =±.故答案为：2± 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题. 14．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60 【解析】 【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60． 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15．平面向量a v 与b v的夹角为12a π=v ，，1b =v ，，则32a b -=v v __________．【解析】 【分析】由平面向量模的计算公式，直接计算即可. 【详解】因为平面向量a v与b v的夹角为2π，所以0a b =v n v，所以32a b -==v v ;【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.16．已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切圆方程是________.【答案】224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】 利用公式212ABF S lr ∆=计算出r ，其中l 为2ABF ∆的周长，r 为2ABF ∆内切圆半径，再利用圆心到直线AB 的距离等于半径可得到圆心坐标. 【详解】 由已知，6(2,3A -，6(2,3B --，2(2,0)F ，设内切圆的圆心为(,0)(2)t t >-，半径为r ，则 21222111()4222ABF S AB F F AB AF BF r a r ∆=⨯⨯=⨯++⨯=⨯⨯，故有6463r ⨯=， 解得23r =，由2|(2)|3t --=，43t =-或83t =-（舍），所以2ABF ∆的内切圆方程为224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 故答案为：224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。