高斯小学奥数六年级下册含答案第11讲_数论综合练习
（完整版）六年级奥数-第十一讲.数论综合（二）.教师版[1]
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（完整版）六年级奥数-第十一讲.数论综合（二）.教师版[1]第十一讲数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．【例 3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．【例4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?．把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．板块二余数问题【例5】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．【例6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=??，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．【例 7】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【例8】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．【例9】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．【例 10】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？【解析】根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷=L L 22939A K r ÷=L L 33393A K r ÷=L L由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷=L L ()22939222A K r ?÷=L L ()33393424A K r ?÷=L L这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275?-=，3934603969?-=，()1275,96951317==?．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．【例11】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】 2008222008+除以7的余数是多少？【解析】328=除以7的余数为1，200836691=?+，所以200836691366922(2)2?==?＋，其除以7的余数为：669122?=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014÷=L ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例13】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180?= (个)，100999～共900个三位数，共有数字：90032700?= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例14】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=?=?所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例15】设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？【解析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222?+==?除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324?=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B 即5D =．板块三完全平方数【例16】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=?=??，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048??=<【例 17】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==?，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x ，则它们的和为5x ，中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =?，则25x a =，2231535x a a ==??是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个，即2a 至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例19】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ?-+?-==+．推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ，因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ?++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++?+++?+++=?++所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a ，b ，c 分别是09:中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ?++．因为223422210>?，所以10a b c ++>．若11a b c ++=，则所求数为222112234208?-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430?-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652?-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874?-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥?-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21】在几进制中有413100?=？【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)?=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)?=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．所以，n 只能是6．【巩固】算式153********?=是几进制数的乘法？【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520?=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214?=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．【例 22】在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】(abc )6 =a ×62＋b ×6+c=36a+6b+c ；(cba )9=c ×92+b ×9+a=81c+9b+a ；所以36a+6b+c=81c+9b+a ；于是35a=3b+80c ；因为35a 是5的倍数，80c 也是5的倍数．所以3b 也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c ；则7a=16c ；(7，16)=1，并且a 、c ≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c ；则7a=3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0．所以c=2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc )6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习1．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=?=?，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，7练习2．有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．练习 3．将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213L 20072008，试求这个多位数除以9的余数．【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数12345678910111213L 20072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+?=，它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．练习 4．在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =?+?+=++；29()99819cba c b a c b a =?+?+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==?+=．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．【解析】有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为7914884415=+÷---）（）（，所以，被除数为3248479=+?．【备选3】1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】先将1016分解质因数：310162127=?，由于1016a ?是一个完全平方数，所以至少为422127?，故a 最小为2127254?=．【备选4】在几进制中有12512516324?=？【解析】注意101010(125)(125)(15625)?=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)?=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．。
高斯小学奥数六年级下册含答案第11讲_数论综合练习
第十一讲 数论综合练习【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8小题，每题6分）1. 进位制的换算：（1）()412321=(_______)10；（2）()1075=(_______)5．2. 求整数部分与小数部分:（1）23.3332π⎡⎤-=⎣⎦________； （2）{}23.456.7+=&&________．3. 把27化成循环小数，小数点后第2010个数字是_______．4. 2010的全部约数有_______个，这些约数的和数是_______．5. （1）如果123a b 能被72整除，则ab =_______．（2）如果201020102010a b 能被99整除，则ab =_______．6.两个自然数的最大公约数是100，最小公倍数是20100，这两个自然数的差是6400，那么这两个自然数的和是________．7.已知a是质数，b是偶数，且22010+=，则a ba b⨯=_______．8.萱萱家的门牌号是一个三位回文数aba，其中ab和ba都是质数，且aba是9的倍数，那么萱萱家的门牌号是________．二、填空题Ⅱ（本题共有4小题，每题7分）9.三个自然数A、210、2010的乘积是一个完全平方数，则A最小是_______．10.将27表示成一些合数的和，这些合数的积最大是_______．11.自然数甲有10个约数，那么甲的10倍的约数个数可能是__________________________．12.小高家的电话号码是一个六位数，其中左边三个数字是由小到大的3个连续自然数，右边三个数字都相同，6个号码的数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是_______．三、填空题Ⅲ（本题共有3小题，每题8分）13.甲、乙两数的最小公倍数是170，甲、丙两数的最小公倍数是204，乙、丙两数的最小公倍数是60，那么甲、乙、丙三个数的和最小是__________．14.算式1815222010L的乘积末尾有_______个连续的0．⨯⨯⨯⨯⨯15.已知和数123nL的个位数为6，十位数为0，百位数不为0．则n最小是________．++++第十一讲 数论综合练习1. 答案：（1）441；（2）300．解答：（1）()4123211256264316241441=⨯+⨯+⨯+⨯+=；（2）短除法．2. 答案：（1）4；（2）29．解答：（1）用103替代3.333进行计算，可估算23.3332π-是略大于4的数；（2）只要关心23.456.7+&&的小数部分即可，小数部分之和为4721999+=，所以结果为29．3. 答案：4．解答：20.2857147=&&，是循环小数，循环节长度是6．小数点后第2010个数字是4． 4. 答案：16、4896．解答：201023567=⨯⨯⨯，约数有()()()()1111111116+⨯+⨯+⨯+=个，约数之和是()()()()1213151674896+⨯+⨯+⨯+=．5. （1）答案：12．解答：要被72整除，要求同时是8和9的倍数．由8的整除性，说明23b 是8的倍数，2b =．由9的整除性质，说明1232a ++++是9的倍数，1a =．（2）答案：36．解答：由102012102063b a ab ++++++=+是99的倍数，所以36ab =． 6. 答案：7000．解答：设这两个自然数分别为100x 和100y （x y >），则(),1x y =，[],20100100201x y xy ==÷=，640010064x y -=÷=．只能是67x =，3y =，两个自然数分别是6700和300，它们的和是7000． 7. 答案：4012．解答：b 是偶数，说明2a 也是偶数，又a 是质数，所以2a =，220102006b a =-=，4012a b ⨯=．8. 答案：171．解答：ab 和ba 都是质数，说明ab 只能是13、31、17、71、37、73、79、97，其中只有17对应的三位数171是9的倍数．9. 答案：469．解答：2222102010235767A A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，所以A 最小是767469⨯=．10. 答案：3456．解答：要使乘积最大，每个合数应该尽量小，2744469=++++，乘积最大是34693456⨯⨯=．11. 答案：40、22、18、30或24、．解答：甲含有约数2、5的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，可得约数个数有五种可能：40、22、18、30和24．例如：92、425⨯、427⨯、427⨯、97的10倍分别有22、18、24、30、40个约数．12. 答案：789333．解答：设六位数为abcddd ，则3dd a b c d =+++，即()()11113d b b b d =-++++，83d b =．所以3d =，8b =，六位数为789333．13. 答案：39．解答：从约数方面考虑，甲既要是170的约数，又要是204的约数，所以甲是()170,20434=的约数；类似的，乙是10的约数，丙是12的约数．另一方面，甲、乙的最小公倍数是170，要求甲有约数17，乙有约数5，且甲、乙至少一个是2的倍数；甲、丙的最小公倍数是204，说明丙一定是12的倍数，只能是12．于是甲、乙、丙三个数的和最小是17521239+⨯+=．14. 答案：72．解答：乘数15、50、85、L 、2010中含有因数5，都除以5得到3、10、17、L 、402；其中10、45、L 、395还含有因数5，都除以5，得到2、9、16、L 、79．其中30、65里还含有因数5．我们第一次除掉了20101515835-+=个5，第二次除掉了3951011235-+=个5，最后还剩两个因数5．说明1815222010⨯⨯⨯⨯⨯L 含有5812272++=个约数5，由于其中含有的约数2是足够多的，因而乘积末尾连续的0的个数就等于约数5的个数，是72个．15. 答案：28．解答：由题意可得：456n ++++L （3n >）的末两位是00，因而是100的倍数．即()()432n n +-是100的倍数，所以()()43n n +-是200的倍数．又因为4n +、3n -两数互质，因而两个数中必有一个数是8的倍数，也必有一个数是25的倍数．于是有四种情形：()()84253n n ⎧+⎪⎨-⎪⎩、()()83254n n ⎧-⎪⎨+⎪⎩、()()84254n n ⎧+⎪⎨+⎪⎩、()()83253n n ⎧-⎪⎨-⎪⎩．每种情形对应的最小n 的值分别是28、171、196、203．所以所求的最小值是28．。
高斯小学奥数六年级下册含答案第11讲_数论综合练习
5. (1) 答案：12 •解答：要被 72 整除，要求同时是 8 和 9 的倍数•由 8 的整除性，说明 23b 是 8 的倍数，b 2 •由 9 的
整除性质，说明 a 1 2
3 2 是 9 的倍数，a 1 •
(2) 答案：36.解答：由 10 20 b 1 a2 10 20 63 ab 是 99 的倍数，所以 ab 36 .
n 3 两数互质，因而两个数中必有一个数是
8 的倍数，也
必有一个数是 25 的倍数•于是有四种情形:
84n
25 n 3
、 8n 3 、 84 n 、
25 4 n 25 4 n 25 n
8 n 3 •每种情形对应的
3
最小 n 的值分别是 28、171、196、203 .所以所求的最小值是 28.
9
3
的小数部分即可，小数部分之和为
■ 12，所以结果为-.
99 9
9
3.
答案：4 •解答：Z 0&3571 草，是循环小数，循环节长度是 6 •小数点后第 2010 个数字是 4.
4. 答案：16、4896 .解答：
2010 2 3 5 67，约数有 1
1
7
1 67 4896 .
1 1 1 1 16 个，约数之和是
6. 6400，那么这两个自
然数的和是 _________•
两个自然数的最大公约数是 100,最小公倍数是 20100，这两个自然数的差是
7._____________________________________________________ 已知 a 是质数，b 是偶数，且 a2 b 2010， 则 a b ____________________________________________________
高思数学_6年级下第十一讲组和综合练习
下册第 讲 11【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8小题，每题6分）1.箱子里有7个红球、8个白球和9个蓝球，从中摸出______个球，才能保证每种颜色的球都至少有一个．2.三位老师对四位同学的竞赛结果进行了预测．邹老师说：“墨莫第一，卡莉娅第四．”李老师说：“萱萱第一，小高第三．”杨老师说：“卡莉娅第二，萱萱第三．”结果四位同学都进入了前四名，而三位老师的预测各对了一半，那么萱萱是第________名．3.由1、4、7、10、13组成甲组数，由2、5、8、11、14组成乙组数，由3、6、9、12、15组成丙组数．现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到_______个不同的和．4.欣欣超市举办促销活动，允许用5个空瓶换一瓶啤酒．胡大伯家去年花钱先后买了89瓶啤酒，其间还不断用啤酒瓶换啤酒，胡大伯家去年共能喝到________瓶啤酒．5.把100个橘子分装在6个篮子里，每个篮子里装的橘子数都含有6．每个篮子里的橘子数由多到少分别是．6.从1，2，3， ，2010中，最多可以取出_______个数，使取出的数中任意两个数的差都不是4．7.将一张66×的纸棋盘沿竖线、横线（不计边框共有10条）折叠（不一定对折），最后成为一个11×的正方形．此时沿对边中点剪1刀，原来的棋盘被剪成了_______块．8.全家十人准备外出旅游，旅行社有以下优惠活动：若购买1张全票，其他人可享受9折优惠；若购买3张全票，其他人可享受8折优惠；若购买5张全票，其他人可享受7折优惠；若购买7张全票，其他人可享受6折优惠；若购买9张全票，其他人可享受5折优惠；3839组合综合练习则这一家人买_______张全票最合适．二、填空题Ⅱ（本题共有4小题，每题7分）9. 有两个桶，大桶容量13升，小桶容量7升．如果想从河中打上4升的水，那么至少要从河中取水_______次．10. 邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走_______千米．11. 有小高、小娅、墨莫、萱萱四个人，各对某个两位数的性质用表述如下：小高：“被3除余1，被4除余2．”小娅：“被5除余3，被6除余4．”墨莫：“被7除余5，被8除余6．” 萱萱：“被9除余7，被10除余8．”已知4个人中每人的话各对了一半．那么这个两位数是______．12. 有黑、白各8张共16张卡片，它们的正面分别写着数字0、1、2、3、4、5、6、7，写有每个数字的卡片都恰好是黑白各一张．从16张卡片中抽出4张（黑白各2张），把剩下的12张翻过来背面朝上按下列要求排列如下：■ ■ □ ■ ■ □ □ □ ■ □ ■ □已知排列满足如下规则：（1）每行从左至右按从小到大的顺序排列；（2）每行中黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．那么最初抽出的4张黑、白卡片上面写的数字分别是：黑卡片：____和____；白卡片：____和____．三、填空题Ⅲ（本题共有3小题，每题8分）13. 小高、小娅、墨莫和萱萱4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次最多只能过2人，因此必须先由2个人拿手电筒过桥，……，直到4人都通过小桥．已知：小高单独过桥要2分钟；小娅单独过桥要3分钟；墨莫单独过桥要5分钟；萱萱单独过桥要9分钟．如果两人同时过桥，则过桥所花时间按较慢的人的过桥时间计算．那么4个人都通过小木桥，最少要________分钟．第10题下册第 讲 1114.有8个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，100的所有整数克的物品来．那么这8个砝码中第二重的砝码最少是________克．15.墨莫和小高两人进行如下游戏，墨莫先开始，两人轮流从1，2，3， (100)每次任意勾去14个数，经过7次操作后，还剩两个数，这时余下的两个数之差即为墨莫的得分，如果墨莫采取正确的策略，可以保证使自己至少得到___________分．40。
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三、填空题 Ⅲ（本题共有 3 小题，每题 8 分）
13. 甲、乙两数的最小公倍数是 170，甲、丙两数的最小公倍数是 204，乙、丙两数的最小公倍数是 60， 那么甲、乙、丙三个数的和最小是 __________．
14. 算式 1 8 15 22 L 2010 的乘积末尾有 _______个连续的 0．
以 d 3 ， 约数方面考虑，甲既要是 170 的约数，又要是 204 的约数，所以甲是 170,204 34 的约数；类
似的，乙是 10 的约数，丙是 12 的约数．另一方面，甲、乙的最小公倍数是 170，要求甲有约数 17，乙有约数 5，且甲、 乙至少一个是 2 的倍数；甲、丙的最小公倍数是 204，说明丙一定是 12 的倍数，只能是 12．于是甲、乙、丙三个数的 和最小是 17 5 2 12 39 ．
1 58
个 5，第二次除掉了 395 10 1 12 35
个 5，最后还剩两个因数 5．说明 1 8 15 22 L 2010 含有 58 12 2 72 个
约数 5，由于其中含有的约数 2 是足够多的，因而乘积末尾连续的 0 的个数就等于约数 5 的个数，是 72 个．
15. 答案：28．解答：由题意可得： 4 5 6 L n （ n 3 ）的末两位是 00，因而是 100 的倍数．即
数 171 是 9 的倍数．
9. 答案： 469．解答： A
2
2
2
210 2010 2 3 5 7 67
A ，所以 A 最小是 7 67 469 ．
10. 答案：3456．解答：要使乘积最大，每个合数应该尽量小，
27 4 4 4 6 9 ，乘积最大是
3
4 6 9 3456 ．
11. 答案： 40、22、18、30 或 24、．解答：甲含有约数 2、 5 的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，可得约
6. 两个自然数的最大公约数是 然数的和是 ________．
100，最小公倍数是 20100 ，这两个自然数的差是 6400，那么这两个自
7. 已知 a 是质数， b 是偶数，且
2
a b 2010 ，则 a b _______．
8. 萱萱家的门牌号是一个三位回文数 的门牌号是 ________．
整除性质，说明 a 1 2 3 2 是 9 的倍数， a 1 ．
（ 2）答案： 36．解答：由 10 20 b 1 a 2 10 20 63 ab 是 99 的倍数，所以 ab 36 ．
6. 答案： 7000．解答：设这两个自然数分别为 100x 和 100y （ x y ），则 x, y 1 ， x, y xy 20100 100 201，
x y 6400 100 64 ．只能是 x 67 ， y 3 ，两个自然数分别是 6700 和 300，它们的和是 7000．
7. 答案： 4012．解答： b 是偶数，说明
a 也是偶数，又 a 是质数，所以 a 2
2，
b
2010
a
2
2006 ， a b
4012 ．
8. 答案： 171．解答： ab 和 ba 都是质数，说明 ab 只能是 13、31、17、71、 37、 73、 79、 97，其中只有 17 对应的三位
（ 2） 23.4& 56.7& ________．
3. 把 2 化成循环小数，小数点后第 7
2010 个数字是 _______．
4. 2010 的全部约数有 _______个，这些约数的和数是 _______．
5. （ 1）如果 a123b 能被 72 整除，则 ab _______． （ 2）如果 2010a2010b2010 能被 99 整除，则 ab _______．
15. 已知和数 1 2 3 L n 的个位数为 6，十位数为 0，百位数不为 0．则 n 最小是 ________．
第十一讲 数论综合练习
1. 答案：（1） 441；（2） 300．解答：（1）
12321 1 256 2 64 3 16 2 4 1 441 ；（2）短除法． 4
2.
答案：（1）4；（2）2
4 n n 3 是 100 2
的倍数，所以 4 n n 3 是 200 的倍数．又因为 4 n 、 n 3 两数互质，因而两个数中必有一个数是 8的倍数，也
一个数是 25 的倍数．于是有四种情形：
84 n
8n 3
、
25 n 3
25 4 n
84 n
、 25 4 n
最小 n 的值分别是 28、 171、196、 203．所以所求的最小值是 28．
4. 答 案 ： 16 、 4896 ． 解 答 ： 2010 2 3 5 67 ， 约 数 有 1 1 1 1 1 1 1 1 16 个 ， 约 数 之 和 是
1 2 1 3 1 5 1 67 4896 ．
5. （ 1）答案： 12．解答：要被 72 整除，要求同时是 8 和 9 的倍数．由 8 的整除性，说明 23b 是 8 的倍数， b 2 ．由 9 的
14. 答案： 72．解答：乘数 15、50、85、 L 、2010 中含有因数 5，都除以 5 得到 3、10、17、 L 、402；其中 10、45、 L 、
395 还含有因数 5，都除以 5，得到 2、9、16、L 、79．其中 30、65 里还含有因数 5．我们第一次除掉了
2010 15 35
aba ，其中 ab 和 ba 都是质数，且 aba 是 9 的倍数，那么萱萱家
二、填空题 Ⅱ（本题共有 4 小题，每题 7 分）
9. 三个自然数 A 、 210、2010 的乘积是一个完全平方数，则 A 最小是 _______．
10. 将 27 表示成一些合数的和，这些合数的积最大是 _______．
11. 自然数甲有 10 个约数，那么甲的 10 倍的约数个数可能是 __________________________ ．
12. 小高家的电话号码是一个六位数， 其中左边三个数字是由小到大的 3 个连续自然数， 右边三个数字
都相同， 6 个号码的数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是
_______．
数个数有五种可能： 40、22、18、 30 和 24．例如： 29 、
4
4
4
9
2 5 、 2 7 、 2 7 、 7 的 10 倍分别有 22、18、24、30、
40 个约数．
12. 答案： 789333．解答：设六位数为 abcddd ，则 dd a b c 3d ，即 11d b 1 b b 1 3d ， 8d 3b ．所
8 n 3 必有
、 25 n 3
．每种情形对应的
第十一讲 数论综合练习
【学生注意】 本讲练习满分 100 分，考试时间 70 分钟．
一、填空题 Ⅰ（本题共有 8 小题，每题 6 分）
1. 进位制的换算：
（ 1） 12321 ( _______) 10 ； 4
（ 2）
75 ( _______)
5．
10
2. 求整数部分与小数部分 : （ 1） 3.3332 2 ________；
9
．解答：（1）用 10 3
替代 3.333 进行计算，可估算 3.3332
2 是略大于 4 的数；（2）只要关心 23.4& 56.7&
的小数部分即可，小数部分之和为
47 99
2 1 9
，所以结果为
2． 9
3. 答案： 4．解答： 2 0.285714
& & ，是循环小数，循环节长度是 6．小数点后第 2010 个数字是 4． 7