有限元理论基础

有限元理论基础

有限元理论基础

2.1 数值模拟技术

2.1.1数值模拟技术简介

在工程技术领域中许多力学问题和场问题，实质上就是在一定的边界条件下求解一些微分方程。对于少数简单问题，人们可以通过建立它们的微分方程与边界约束求出该问题的解析解。但是对于比较复杂的数学方程问题以及不规则的边界条件通过激吻戏法往往难以求解，而需要借助各种数值模拟方法活的相应的工程数值解，这就是所谓的数值模拟技术。

在实际工程领域中，用数值模拟技术可以对复杂的工程结构进行受力和响应分析，这样可以在设计或者加工前预知实体结构工作状态下的大概情况。

目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法、有限差分法、边界元等但从实用性和使用范围来说，有限单元法则是随着计算机技术的发展而被广泛应用的一种行之有效的数值计算方法。

2.2.2 有限元法

有限元法是一种基于能量原理的数值计算

方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计

算工具。它是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论。

限元法是处理连续的结构体离散或有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过节点相互连续，同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律：进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。有限元求解问题中的单元分析：t t

t a

k

F=

式中：:t F单元节点作用力。

t

K:单元刚度矩阵。

t

a：单元节点位移。

通过单元分析确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元为伊关系。有限元求解问题时建立

的结构整体平衡方程：P

KU=

式中：P—结构整体等效点力载荷

K—结构总体刚度矩阵

U—结构节点位移阵列

单元内力的计算：t

DBa

=

σ

式中：D—弹性矩阵

P—应变矩阵

整个结构的有限元分析就是一句上述方程而进行的具体的有限元求解过程如图

结

构离散生

引

入

约

束

输

出

节

计

算

并

输结

构

总

体

结

构

节

点

求

解

线

性

2.2有限元法的基础理论

2.2.1 有限元法理论

在有限元法中，单元的应变—位移关系可表示

为：Bu

t=

式中：t—应变向量

u—位移向量

B—应变—位移变换矩阵

单元的应力—应变关系表示为：ε

σD

=

式中：σ—应力向量

D—材料相关系数

在线弹性材料条件下，D矩阵是一个常量：在非线性弹性材料中，D矩阵上市应变t的函数。

有限元刚度方程为：P

Ku=

式中：P—结构总体刚度矩阵

K—单元刚度矩阵

其中单元刚度矩阵K为：⎰=

v

t DBdV B

K

式中：V—积分域

对于非线性弹性材料而言，D矩阵和单元刚度矩阵K均是应变t和位移u的函数。在小变形问题中，矩阵B与位移u没有相关关系。而在大变形问题时，矩阵B和单元刚刚度矩阵K则

均是位移u的函数。

在轮胎分析中，轮胎由于充气和垂直载荷等作用，轮胎结构会产生较大的变形，轮胎集合结构的这种变形属于集合非线性问题。轮胎结构本身又是多种材料构成的复合体，其材料属性既有各向同性又有各项异性，这属于材料非线性问题。在轮胎的静态解触、自由滚动和动态接触状态下，轮胎与路面之间的接触，又涉及到接触非线性问题提。

2.2.2应力—应变理论

有限元是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论，而应力—应变理论则是里茨分析法的弹性理论的基础。因此在有限元分析中，一般使用弹性理论俺就载荷作用下物体中的内力状态和变形规律。

1.应力

物体收到外力的作用时发生变形，这种变形改变了物体内各分子间的间距，在物体内形成了一个内立场。当内力和外力相互平衡时，变形不再继续，物体达到稳定平衡状态。

这种由于物体受外力的作用因其物体的变形，而导致内部各部分之间因相对位置改变而

因其的相互作用，这种相互作用成为内力。所谓应力，就是指分布内力系在物体内某一点处的强弱的相互作用。为了研究物体内某一点C 处的内力，假设用以经过点C 的截面mm 将物体分开，在这选取包含点C 的一个部分进行研究。如图2.2所示。围绕点C 取微笑面积A ∆，A ∆上存在着分布内力系的合力F ∆，如图2.2b 所示。F ∆的大小和方向与点C 的位置和A ∆的大小密切相关。

A F ∆∆与的比值成为平均应力。

A F P m

∆∆= m P 为一矢量，表示在A ∆范围内，单位面积上内力的平均集度，称作平均应力。随着A ∆的逐渐变小，m P 的大小和方向都将逐渐变化。当A ∆趋近于零时，m P 的大小和方向都将趋近于一定极限P ，即C 点

应力P 为A F

p p A m A ∆∆==→∆→∆00lim lim

应力P 是分布内力系F ∆在点C 处的集度，反应了分布内力系F ∆在点C 处的强弱成都。对于应力P ，威力表征其与无提议的形变或者材料的相关性，通常将应力P 分解成垂直于截面的分量正应力σ和切与截面的分量切应力τ。

2. 应变