空间曲线的切线
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空间曲线的切线 与法平面
空间光滑曲线在点M 处的切线为此点处割线的极限位置 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
给定光滑曲线 : x x(t), y y(t), z z(t),t [, ]
设 上的点M (x0 , y0, z0 )对应 t t0 , x(t0), y(t0 ), z(t0 ) 不全为0 则 点M的切向量：T {x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
法平面方程：
x 1 y 1 z 2 4 5 3
4(x 1) 5y 1 3z 2 0
因此，根据隐函数求导方法,得
2
x
2y
dy dx
2z
dz dx
0,
y
x
dy dx
dz dx
0.
从而得到：
dy
x yz ,
dx y xz
dz x2 y2 dx y xz
因此，切向量
T
{1, dy , dz} {1, 5 , 3}
M
dx dx M
44
于是，曲线在M处的切线方程：
解：曲线在M点出切向量为
T {1,2t,3t2} {1,2,3}
M
t1
因此M 处的切线方程：
法平面方程：
x 1 y 1 z 1 123
(x 1) 2y 1 3z 1 0
例2.求曲线xx2y
y2 z z 0
2
9
在点M(1,2,2)处的切线方程和
法平面方程.
解：选定x为参数变量，y y(x), z z(x) 由方程确定，
因此曲线 在点M 处的
切线方程
x x0 y y0 z z0
xt0 yt0 zt0
法平面方程 xt0 (x x0) yt0 ywk.baidu.com y0 zt0 z z0 0
例1.求曲线 : x t, y t 2, z t3 在点M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程.
空间光滑曲线在点M 处的切线为此点处割线的极限位置 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
给定光滑曲线 : x x(t), y y(t), z z(t),t [, ]
设 上的点M (x0 , y0, z0 )对应 t t0 , x(t0), y(t0 ), z(t0 ) 不全为0 则 点M的切向量：T {x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
法平面方程：
x 1 y 1 z 2 4 5 3
4(x 1) 5y 1 3z 2 0
因此，根据隐函数求导方法,得
2
x
2y
dy dx
2z
dz dx
0,
y
x
dy dx
dz dx
0.
从而得到：
dy
x yz ,
dx y xz
dz x2 y2 dx y xz
因此，切向量
T
{1, dy , dz} {1, 5 , 3}
M
dx dx M
44
于是，曲线在M处的切线方程：
解：曲线在M点出切向量为
T {1,2t,3t2} {1,2,3}
M
t1
因此M 处的切线方程：
法平面方程：
x 1 y 1 z 1 123
(x 1) 2y 1 3z 1 0
例2.求曲线xx2y
y2 z z 0
2
9
在点M(1,2,2)处的切线方程和
法平面方程.
解：选定x为参数变量，y y(x), z z(x) 由方程确定，
因此曲线 在点M 处的
切线方程
x x0 y y0 z z0
xt0 yt0 zt0
法平面方程 xt0 (x x0) yt0 ywk.baidu.com y0 zt0 z z0 0
例1.求曲线 : x t, y t 2, z t3 在点M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程.