特征函数和矩母函数

k0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P(k)(0),k0,1,2, k!
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。
(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整
(k)(0)ikEXk, k n
当k=1时，EX = (1) (0) / i ；
当k=2时，DX = (2)(0)((1)(0)/i)2。
(4) ( t )是非负定函数。
(5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量， 则X=X1+X2++Xn的特征函数为
(t)1(t)2(t)Ln(t)
则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中
ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0
设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s),
PZ(s)，即有
PX(s) pksk, PY (s) qksk
k0
k0
PZ(s) cksk k0
PX ( s) PY (s) pk s k ql s l
k2
k 1
k 2 p k kp k EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 ( EX ) 2 P (1 ) EX ( EX ) 2
P (1 ) P (1 ) [ P (1 )] 2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1, ，
P {Y k } P { N l}s k k 0 l0
P { N l} P {Y k }s k
l0
k0
P{N
l}
P
l
X
j
k
sk
l0
k 0
j1
P{N
l0
l}
l j1
k 0
P{X
j
k
}
s
k
l
P{N l} P (s)
l0
j1
P{ N l}[P (s)]l G (P (s)) l0
EY H (1) dG ( P ( s ))
ds
s 1
dG dP G ( P (1)) P (1) dP ds s1
G (1)Baidu Nhomakorabea P (1) EN EX 1
(注 P (1) 1)
二、特征函数
1 .特征函数
设X为随机变量，称复随机变量e itX
的数学期望 X (t) E[eitX ]
数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非
负整数值随机变量，则
Y
N
Xk
k 1
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
证明：(1)
n
P(s) pk sk pk sk pk sk , n 0,1,
k 0
k 0
k n1
P(n) (s) n! pn k(k 1) (k n 1) pk skn k n1
k 0
l0
pk ql s k l r pk qr k s r
k ,l0
r 0 k 0
cr s r PZ (s) r0
(4) H ( s ) P { Y k } s k k0
P
Y
k, {N
l
}
s
k
k0
l0
P {Y k , N l}s k k 0 l0
x
e itb e ita it(b a)
例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特
征函数g(t)及EX、EX2、DX。
为X的特征函数，其中t是实数。
X(t)X(it)
欧拉公式：
eicosisin
还可写成
X (t) E [cto X ] siE [stiX ]n
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散
型随机变量X，特征函数为
(t) eitxk pk k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
函数为
(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对 应且相互唯一确定。
如果随机变量X为连续型，且其特征函 数绝对可积，则有反演公式：
f(x) 1 e itx (t)dt （相差一个负号的傅立叶逆变换） 2
(t) e itxf(x)dx
（相差一个负号的傅立叶变换）
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
设相互独立的随机变量 X1， X2， ， Xr的
矩母函数分别为 1 (t) ，2 (t) ，…， r (t) ，
则其和 YX1X2Xr的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2 (t) … r (t)
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1,
则称
P(s)E(sX) pksk
求X的特征函数。
解
由于 P（Xk）k！ k e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k0
(eit)k
k！
麦克劳林公式
e eeit e(eit1)
例2 设随机变量X服从[a，b]上的均匀分布，求X的 特征函数。
解
X的概率密度为
1 f (x) ba
a x b
0 其它
所以
X(t)
e b itx 1 d a ba
令s 0,则P(n) (0) n! pn
故pn
P(n) (0)，n n!
0,1，
(2)
P (s)
p k s k , P ( s )
kp
s k 1
k
k0
k 1
E ( X ) kp k P (1 ) k 1
P ( s ) k ( k 1 ) p k s k 1 k2
P (1 ) k ( k 1 ) p k k ( k 1 ) p k
(t) e itxf(x)dx
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特 征函数为
(t)(t1,t2,L,tn)E eitX E ex p intkX k
k 1
性质：
(1) (0)1 ,(t)1 ,( t)(t)。
(2) ( t ) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则
矩母函数和特征函数
一、矩母函数
1．定义
2．原点 矩的求法
称 e tX 的数学期望 (t)E[etX]
为随机变量X的矩母函数。
利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
(t )逐次求导，并计算在 t 0 点的
值：
(t)E[XteX]
（ n)(t)E[XnetX]
（n)(0)E[Xn]
3．和的矩母函数
定理1