质点力学习题课
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质点习题课
选择题答案应选【c】。
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
6.质点力学习题课
v = u − v′ = u − 2gl (1− cosϕ)
以地面为参考系，对系统（小球与地球） 以地面为参考系，对系统（小球与地球）应用功能 原理， 原理，则摆线对小球作的总功为
1 2 1 2 A = mv − mu + mgl (1 − cosϕ) 2 2 = − mu 2 gl (1 − cosϕ )
(2 )
= acosωti + bsinωtj × − mωasinωti + mωbcosωtj 2 2 = mωab cos ωtk − (− m ω ab sin ω t k )
(
L = r × mv
)(
)
= mωabk
i a cosωt
j k bsinωt 0
−ωa sinωt ωbcosωt 0
2 2
[
(
)
](
(
)
)
t 的时间内， t r 在 >0 的时间内，当 = 2时， ⋅ a = 0 υ ⋅ a = 2 i − 2 tj ⋅ − 2 j = 4 t 所以， t 的时间内， 所以，在 > 0 的时间内， ⋅ a ≠ 0. υ
[
](
)
)
(
)
(
)(
牛顿定律部分
牛顿定律部分
1.如图所示，用一斜向上的力F (与水平成300 角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F都不能使 木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数µ的大小为：
υ 船，岸 = ui + Vj V = V0 x
t
x=
∫ y = ∫ vdt = ∫
0 t
udt = ut
t
习题课-质点力学
d 2s v2 dv v2 v ˆ ˆ ˆ a = 2 τˆ + n = τˆ + n = aττˆ + an n dt R dt R
角加速度
dω β= dt v v
aτ = β R an = ω R
2
3. 运动学两类问题的求解 已知质点的运动方程，求质点的状态 微分 已知质点的运动方程，求质点的状态—微分 已知质点的状态，求质点的运动方程 积分 已知质点的状态，求质点的运动方程—积分 三 注意区分
t1
v v 1 dA = F ⋅ dr = dEk Ek = mv 2
Aab = ∫
rb ra
力的空间积累效应
2 v v F ⋅ dr = Ekb − Eka
uu d L v M= u v dtv v L=r×p
第三定律
v v v v v v Fij + Fji = 0, ri × Fij + rj × Fji = 0
dx 2 v= = 9t − 6t dt
d2x a = 2 = 9 − 12t dt
从上式可见质点开始时沿x 正向运动， 从上式可见质点开始时沿 正向运动，而加 速度在0.75s后反向，所以运动有折返。正确的解 后反向， 速度在 后反向 所以运动有折返。 法是找到运动折返的时刻。 法是找到运动折返的时刻。 dx v=0 即 =0 由 dt x1.5 = xmax t = 1.5s 得 x1 所以 x2 X1.5
dω = 2dt
∫θ
t
θ + 75
dθ = ∫
t +5
t
2tdt
∫
ω
0
d ω = ∫ 2dt
0
75 = (t + 5)2 − t 2
质点力学习题课
G
3
例.一质点沿 X轴作直线运动，其 v t曲线 如图所示。当 t 0时，质点位于坐标原点 ，
vm
s
则t 4.5s时，质点在 X轴上的位置为： A 0. B 5m. C 2m. D 2m. E 5m.
2
1
0
解：x v( t )dt
2.5 4.5
v
m m′
(m m)v m(u v) mv ( m m)v mu v m m
u
v
20
例、 半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水 平面上，在其正上方放置一质量为m的小滑块，当小滑块 从顶端无初速度地滑下后，在图示的 角位置处开始脱 离半径。已知 cos 0.7，求M/m 解：选择m+M为系统，系统水平方向动量守恒：有 m 0 0 MV mv
f G
N
解：受力分析如图： 列 方 程 N F cos300 0
0
30
F
则
F sin300 f G 0
由于 F G
F sin300 G 得出： F cos 300
F sin300 1 0 F cos 30 3
f N
选 B
8
例.设有水平力 F作用于斜面上的质点 m.为了使
y 水 流
变的划速 u 垂直于水流方向离岸划出，求船划过中流
之前相对于岸的运动轨迹。 解： 船，岸 船，水 水，岸 V0 ui xj d/2 t
x
t 0
0
udt ut
o u
V
x 划 船
2
y
V0 xdt d 2
质点力学习题课
E = 5000 × 0.02 = 100 J
如果把石块换成钢板，那么钢板获得的动能增大 警告：没有经过训练的人，切勿去尝试， 以免造成伤害！
6、习题1-5
v0
h
y O
l
x
v
x
θ
r
分析：绳上各点的速度相同吗？ 思考：小船越走越快吗？
h v0 a=− 3 i x
2 2
7、一艘小船在静止水中的速度为3m/s，一 个船夫要驾此船渡河，同时需要在渡河时的 距离最短，若水流速度为4m/s，问船夫应选 择向哪个方向划行？假设水流的速度在各处 都相同。
1 1 2 2 mgh = MvM + mvm 2 2
动量在水平方向上守恒
m(vm )x + M (vM )x = 0
vm = vr + v M
αm
m M h M
(vm )x = vM − vr cos α
vM 2 gh = m cos α 2 (M + m) M + m sin α
∆r
v
r′
o r
A
2、斜抛运动，求最高点处的曲率半径
v0
P A
o
θ
3、轻弹簧，k，原长 l0 ，吊天花板， 将弹簧由长 l1 为变为 l2 ，此过程中弹 性力作的功是多少？
4 、 m1 、 m2 ， 两块水平木板， B 放在地面上，若以 A 在弹 簧（ k ）上的平衡位置为重 力和弹性势能的零点，试 写出系统（A、弹簧、地球） 的总势能表达式. 设弹簧原长时A处于x0位置
v0 = 2 gh
1 2 Ek = Mv 2
m m ∴v = v0 ≈ v0 M +m M
质点力学习题课
Fdt mdv
设t1时刻t质t12点F的dt速度为vv12v1m, 设dvt2时刻m质v点2 的m速v度1 为v2，则
I P2 P1
此式说明：物体在运动过程中，所受合外力的冲量等 于该物体动量的增量。
第十一页，编辑于星期五：五点 四十六分。
8．有一质点作直线运动，其运动方程 为x=6t2-2t3 (SI制)，试求：
4．一子弹以水平速度v0射入一静止于光滑水平面上的 木块后，随木块一起运动。对于这一过程正确的分 析是 (A)子弹、木块组成的系统机械能守恒； (B)子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒；
(C)子弹所受的冲量等于木块所受的冲量；
(D)子弹动能的减少等于木块动能的增加。 [B]
第九页，编辑于星期五：五点 四十六分。
（1）第二秒内的平均速度； （2）第三秒末的速度； （3）第一秒末的加速度； （4）质点作什么类型的运动？
解：(1)先求出质点在第二秒内的位移。由运动方程可知 t=1s，x1=6×12-2×13=4m t=2s，x2=6×22-2×23=8m
第二秒内的平均速度为:
v x2 x1 8 4 4m s1
i0
i0
i0
i0
第六页，编辑于星期五：五点 四十六分。
1．某质点的运动方程为 x=3t-5t3+6(SI) ， 则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿X正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X负方向； (C) 变加速直线运动，加速度沿X正方向； (D) 变加速直线运动，加速度沿X负方向。
[D]
解：设三角形木块相对地面的加速度 为a1，小木块相对地面的加速度为a2 ，小木块相对三角形木块的加速度为 a2’，小木块与三角形木块之间的作 用力为N1和N，地面对三角形木块的支 持力为N2。
质点力学习题课
v v v P = P0 = C
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质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
（3）力的空间累积 ） 变力的功： 变力的功： = A 势能： 势能：
∫
b
a
v v b F ⋅ d r = ∫ F cos θdr
a
动能定理： 动能定理：A = E k − E k 0
E p ( x, y, z) =
M
B
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质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
点时相对M的速度为 解: (1)设m在B点时相对 的速度为 ，M 设 在 点时相对 的速度为v， 对地的速度为V， 对地的速度为 ，对m,M系统水平方向动 系统水平方向动 量守恒， 地系统机械能守恒. 量守恒，对m,M,地系统机械能守恒 地系统机械能守恒 m ( v − V ) − MV = 0
0
x ∫0 2vdv = −∫l2 g1− l dx m 1 1 v v = 3gl2 =1.21 m/s m g 1 2
v
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v T
3
1
v T′
l2
o
v x mg
质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
7. 如图所示，已知：半径为 的光滑球面， 如图所示，已知：半径为R的光滑球面 的光滑球面， 质量为M的滑块 质量为m 水平速度v 的滑块， 质量为 的滑块 ， 质量为 、 水平速度 0的 油灰球。 油灰球 。 求 ： （ 1） 它们滑至何处 ） 它们滑至何处(θ=？ )脱 ？ 脱 离球面？ 离球面 ？ （ 2） 如欲使二者在 处就脱离球 ） 如欲使二者在A处就脱离球 则油灰球的入射速率至少为多少？ 面，则油灰球的入射速率至少为多少？ v v0 M
力学(质点力学习题课)
d
m1k m m1m 2
2 2
d l d
2 2
如图，质量M =2.0kg 的笼子，用轻弹簧悬挂 起来，静止在平衡位置，弹簧伸长 x 0 0 . 10 m ，今有m =2.0kg 的油灰由距离笼底高 h =0.30m 处自由落到笼子上， 求笼子向下移动的最大距离。
习题四
解：由题意得弹簧的劲度系数
A
m1
k
B
m2
解：（1）释放后，弹簧恢复到原长时，A 要离开墙壁，
设此时 B 的速度为
vB0
，由机械能守恒得
1 2
kx
2 0
1 2
3 m v
2 B0
v B 0 x0
k 3m
A 离墙后，系统在光滑水平面上运动，动量守 恒和机械能守恒，有
m 1 v1 m 2 v 2 m 2 v B 0
k
A
m1
T
B
m2
F
k
O
A
m1
T
B
m2
F
x1
x1 F k
x
解：建立坐标系，设弹簧伸长 x 1 时，A、B所受合外力 为零，有
F kx 1 0
m 对 m 1 、 2 系统（T为内力），由动能定理
WF WK 1 2 1 2
m 1 m 2 v 2
2
m 1v
1 2 m 2v W F
2
代入（2）式得
WT 2
F
2 m1 m 2 k m1 m 2
2
W T 1 W T 2
F
2 m1 m 2 k m1 m 2
2
8质点力学习题课(2008)
2 2
r1 r r2
(3)计算t=1s 时电子的切向加速度、法向加速 度及轨道上该点的曲率半径..
2 2 v 3i 6 tj , v 3 36t , dv 36 t 6 at |t 1 s 2.68 m/s 2 2 dt 5 3 36 t a 6 j , a 6 m/s
m v0 e k
k t m
m v0 k
4.设汽车的牵引力为 F , 求牵引力做功：
F
以地为参考系，位移为 x ： A F Δx 以车为参考系，位移为0：A 0 以另一车为参考系，位移为 Δx : A F Δx 求汽车的动能：
1 ——车对地的速度） 以地为参考系： k mv 2（ v E 2 以车为参考系: E k 0 ——车对另 1 2（ v 以另一车为参考系: E k m v 一车的速度） 2
质点系：
累积作用
F合外 dt mi vi mi vi0 F合外 0 动量守恒
对空间：
（转下页）
对时间： (上页） 1 2 1 2 F 对空间：质点： F合 dr mv mv 0 2 2
质点系：
1 2 1 2 A外 A内 mi v i mi v i0 2 2
质点系： M 合外dt Li Li0
提高之处： 对知识面有所拓展—— 如：基本自然力、惯性力、科里奥利力、潮 汐、质心、质心运动定理、角动量、角动量定理、 角动量守恒定律、火箭飞行的原理…… 对概念的理解有所深化—— 如：保守力、一对力的功、系统的势能、对 守恒的进一步理解； 解题的综合性和复杂性有所提高—— 变力；一般曲线运动 (切线加速度与法线加速度)； 相对运动 （参照系变换）； 静摩擦； 加入引力势能；加入角动量及其守恒； 重视系统和参照系的选取；用了一点微积分……
r1 r r2
(3)计算t=1s 时电子的切向加速度、法向加速 度及轨道上该点的曲率半径..
2 2 v 3i 6 tj , v 3 36t , dv 36 t 6 at |t 1 s 2.68 m/s 2 2 dt 5 3 36 t a 6 j , a 6 m/s
m v0 e k
k t m
m v0 k
4.设汽车的牵引力为 F , 求牵引力做功：
F
以地为参考系，位移为 x ： A F Δx 以车为参考系，位移为0：A 0 以另一车为参考系，位移为 Δx : A F Δx 求汽车的动能：
1 ——车对地的速度） 以地为参考系： k mv 2（ v E 2 以车为参考系: E k 0 ——车对另 1 2（ v 以另一车为参考系: E k m v 一车的速度） 2
质点系：
累积作用
F合外 dt mi vi mi vi0 F合外 0 动量守恒
对空间：
（转下页）
对时间： (上页） 1 2 1 2 F 对空间：质点： F合 dr mv mv 0 2 2
质点系：
1 2 1 2 A外 A内 mi v i mi v i0 2 2
质点系： M 合外dt Li Li0
提高之处： 对知识面有所拓展—— 如：基本自然力、惯性力、科里奥利力、潮 汐、质心、质心运动定理、角动量、角动量定理、 角动量守恒定律、火箭飞行的原理…… 对概念的理解有所深化—— 如：保守力、一对力的功、系统的势能、对 守恒的进一步理解； 解题的综合性和复杂性有所提高—— 变力；一般曲线运动 (切线加速度与法线加速度)； 相对运动 （参照系变换）； 静摩擦； 加入引力势能；加入角动量及其守恒； 重视系统和参照系的选取；用了一点微积分……
质点力学习题课
质点力学习题课
【例3】已知质点运动方程 r 2ti (4 t 2 ) j ①质点的初速度和初加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。
(3)、因为任一时刻的速度大小为
2 2 v vx vy 2 1 t2
解：设子弹穿过后两物体的速度分别为vA、 vB， 子弹穿过物体A时有: A B
F t1 ( m A m B )v A F t 1 vA m A mB
子弹继续穿过物体B时有
F t 2 m B v B m B v A F t 2 vB v A mB
例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地 面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引 力的功是多少？ a 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h R b A F d r Rh R R Mm G dr 2 o Rh r
u
（1）在地面上的人认为刚抛出 瞬时小球的动能
1 1 2 2 对不对？ Ek mu mv 2 2 1 1 1 2 2 2 Ek mu地 mu mv mu v 2 2 2
（2）当车上的人沿车前进的方向抛出小球，车上和地上的 人看抛出小球过程所作的功是否一样？
v
GMm
R Rh
GMmh R (R h)
dr 1 1 GMm 2 r R h R
【例3】已知质点运动方程 r 2ti (4 t 2 ) j (SI)，求： ①质点的初速度和加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。 dr 解：（1）、 v 2 i 2 tj , a 2 j dt -1 故v 0 2i (m s ), a 0 2 j (m s - 2 ) (2)、r1 2i 3 j r2 4i r r2 r1 2i 3 j (m) r v 2i 3 j (m s -1 ) t
质点力学习题课
B m2
T2 m3
质点力学习题课
a 2 a a1
解上述方程得：
a3 a a1
a 为m2 相对B的加速度
(m1 2m2 ) g (m1 2m2 )a1 2 a 3.92 m/s 2m2 m1m2 m1m3 4m2 m3 2 a1 g 1.96m/s (下) m1m2 m1m3 4m2 m3
质点力学习题课
一、内容小结
1.运动学
r xi yj zk r r2 r1
dr v dt d r a 2 dt
2
2
v dv a an a n dt
质点力学习题课
dv 由 a 可求： v v0 a dt S S 0 vdt dt
角量与线量的关系：
d d 2 dt dt dr R d
2
v R a R an R
2
质点力学习题课 2.动力学 （1）牛顿运动定律： 自然坐标系
F ma
直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m v
同理
a2 1.96 m/s (下) a3 5.88 m/s 2 (上)
2
T1 m1 ( g a1 ) 1.57N T2 T1 / 2 0.784N
2
Fx ma x Fy ma y Fz ma z
质点力学习题课
（2）力的时间累积。
动 量：
P mv
I
冲
量：
动量定理：
I P P0
F dt
大学物理-质点力学习题课ppt课件
x1
顿第二定律，小球的运动方程可以得到：
f2 G
x
mdd2tx21 kx1mgF(t)， 即dd2tx21m kx1gFm (t)
令 2=k/m，将F(t)代入，可以得到：
d 2 x1 dt2
2 x1
g
at m
此方程对应的齐次方程的通解为(c1cos t+c2sin t)，
其中c1、c2为两个任意常数，非齐次方程的特解为
• 加速度是位置的函数a=a(x):即a=(F0 / m)+(k/m)x,
d vd v d x d v x
v
a v , a d x v d v
d t d x d t d x 0
v 0
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之 前关闭发动机这时的速率为v0，设水的阻力与轮船的速率 成正比,比例常数为k，求发动机停机后, C所能前进的最大 距离。
;并讨论. d d r t、 d d r t、 d d r t； d d v t、 d d v t、 d d v t 各式的含义.
解： (1)不y正确，以圆周x运R动c为os例t ：
t x
yRsint r x2y2 R vddrt0,add22 rt 0
结果不正确，做圆周运动的物体的速度和加速度显然
质点力学
运动学的基 本物理量 r,v,a
动力学的基本物 理量之一——力
复习
质点运动的描述 〔在直角坐标系 和自然坐标系）
运动学的两类问题
难
新 内 容
点新
兼
内 容
重
牛顿第二定律的 描述〔在直角坐
切向 法向
点
积分微分 问题
标系和自然坐标 系）
质点力学第10讲——质点力学习题课2
2、 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮， 质量皆为m的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一 高度静止开始加速上爬。 1) 以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否 守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是 否守恒？ 2) 当甲相对绳的运动速度u是乙相对 R 绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度 各是多少？
g
dv y （2） 是否变化？ v0 dt dv 答： at g sin ，变化。 0 dt
at
an
v
（3）法向加速度是否变化？ 答： an g cos ， 变化。 （4）最大和最小曲率半径在何处？
v2 v2 答：曲率半径 an g cos
g
x
v 起、落点： 0 v ， 0
一端固定，另一端系一质量为 M 的小球。置于光滑 的水平桌面上，弹簧的伸长是均匀的。现将小球拉 至 A点 (OA l ) , 然后无初速地突然释放小球，求 小球经过原位置 O 时的速度。
解：
建立如图所示的坐标。 由于弹簧的伸长是均匀 的，当以 表示小球 在 O点的速度时，弹簧 上位置为 x 长度为 dx 的一段的速度为：
(1) 子弹在射入 A 的过程中， B A B 受到 A 的作用力的大小； 0 (2) 当子弹留在 B 中时，A 和 B 的速度大小。 已知： A 2 kg , mB 3 kg , m 0.1 kg , 0 800 m / s , m
t 0.01 s , f 3 10 N .
3.18 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬。 1)二人是否同时到达顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系 统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量 是否守恒？ 2) 当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二 人的速度各是多少？
质点力学-前4章-习题课
就算是超人也有难度 让我们假设一个超人拯救失足坠落美女的场景。一个美女从 7 层楼高的空中坠落，受 到的重力是 mg，假如不考虑空气阻力，她最终的速度可以通过如下公式求出：
假设她是从静止下落，也就是初速度 v 0 为 0米/秒，层高 3 米， 7 层楼高度为 18 米。据此我们可以算出美女落到地面的最终速度：
基本概念：
位置矢量、位移、速度与加速度 位矢、位移是矢量，位矢随时间变化的关系称运动方程 速度、加速度是矢量，它具有矢量性
r r(t )
质点做变速运动中各个时刻的速度不一定相同，它具有瞬时性 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性
平均速度
r （t t ) r(t ) v t
E p E p0 A保 末 F保 dr "0"
Ep2
"0" 末
系统在任意状态时的势能等于系统保守力所做功的负值。
F保 dr
功与能
1 1 2 2 Aab E mv mv A E b a 2 kt 2 k0
A外 A内 E k t E k 0
cos30º 20× 9.8
得
30.6(m)
练习：汽车在半径为200m的圆弧公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方 程为 s = 20t - 0.2t3 求汽车在 t =1s时的加速度。
解：根据加速度的定义
ds vt 20 0.6t 2 dt
dvt at 1.2t dt
vt2 dv an , at R dt
法向单位矢量 ：n
dv d 2 S at dt dt 2
v2 an
直角坐标系
假设她是从静止下落，也就是初速度 v 0 为 0米/秒，层高 3 米， 7 层楼高度为 18 米。据此我们可以算出美女落到地面的最终速度：
基本概念：
位置矢量、位移、速度与加速度 位矢、位移是矢量，位矢随时间变化的关系称运动方程 速度、加速度是矢量，它具有矢量性
r r(t )
质点做变速运动中各个时刻的速度不一定相同，它具有瞬时性 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性
平均速度
r （t t ) r(t ) v t
E p E p0 A保 末 F保 dr "0"
Ep2
"0" 末
系统在任意状态时的势能等于系统保守力所做功的负值。
F保 dr
功与能
1 1 2 2 Aab E mv mv A E b a 2 kt 2 k0
A外 A内 E k t E k 0
cos30º 20× 9.8
得
30.6(m)
练习：汽车在半径为200m的圆弧公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方 程为 s = 20t - 0.2t3 求汽车在 t =1s时的加速度。
解：根据加速度的定义
ds vt 20 0.6t 2 dt
dvt at 1.2t dt
vt2 dv an , at R dt
法向单位矢量 ：n
dv d 2 S at dt dt 2
v2 an
直角坐标系
质点力学习题课
3 m> M； 2
条件下， （2）在满足上述条件下，求大环开始升起时小珠与环中心连线 ） 满足上述条件下 与竖直线的夹角。 与竖直线的夹角。
m
m
θ
O M
9. 如图所示，半径为 R、质量为 M、表面光滑的半 如图所示， 、 、 球放在光滑的水平面上， 球放在光滑的水平面上， 在其正上方置一质量为 m 的 小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后， 小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在图示的 角位置处开始脱离半球， 已知 cosθ ＝0.7， M/m。 ， 求 。 θ 角位置处开始脱离半球，
v v v 3 2 r =[(− +2 )i +(t −3 ) j](m 。求： t t t ) v （1）t=2（s）时质点所受的合力 F； ） （） r v （2）t=2（s）时力 F对坐标原点的力矩 M； ） （） v （3）t=2（s）时力 F的功率 P； ） （） ； r v （4）t=0（s）至 t=2（s）时间内 F的冲量 I ； ） （） （） v （5）t=0（s）至 t=2（s）时间内 F所作的功 A。 ） （） （）
O l/2 m A l/2 m B
D
m
M
θ
v
பைடு நூலகம்
10. 如图， 如图， 长为 2l， ， 质量可忽略的杆的两端固 质量可忽略的杆的两端固 的两端 、 。开始时系 定有两质量均为 m 的小球 A、B。开始时系 竖直放在光滑的水平桌面上。 统竖直放在光滑的水平桌面上。系统受外界 微扰而在竖直面内倒下。 微扰而在竖直面内倒下。求当细棒与水平面 质心的速度和细棒 细棒绕质心转动的 夹角为θ 时质心的速度和细棒绕质心转动的 角速度。 角速度。
2
m1 m2 m3
质点力学第9讲——质点力学习题课1
课堂讲解
第7题 假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动 过程中，卫星对地球中心的 ( A ) （Ａ）角动量守恒，动能也守恒． （Ｂ）角动量守恒，动能不守恒． （Ｃ）角动量不守恒，动能守恒． （Ｄ）角动量不守恒，动量也不守恒． （Ｅ）角动量守恒，动量也守恒．
课堂讲解
第8 题 如图示，两木块质量为 m1 和 m2 ，由一轻弹 簧连接，放在光滑水平桌面上，先使两木块靠近而将弹 簧压紧，然后由静止释放．若在弹簧伸长到原长时，m1 的速率为 v1 ，则弹簧原来在压缩状态时所具有的势能 是(D )
O w
0
r2 a/2
m3 m2
2 3
课堂讲解
பைடு நூலகம்
第2题 一人造地球卫星到地球中心的最大距离和最小 距离分别是 R A 和 R B．设卫星对应的角动量分别是 L A 、 LB ，动能分别是 E kA、E kB ，则应有 ( E )
E E L L （Ａ） B L A ， kB EkA．（Ｂ） B L A ， kB EkA ．
（Ｃ）LB L A ， kB EkA．（Ｄ） B L A ， kB EkA ． L E E （Ｅ）LB L A ， kB EkA ． E
B RB
RA
A
课堂讲解
第3题 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的 水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌 面中心的小孔，该物体原以角速度 w 在距孔为 R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体 ( E ) （Ａ）动能不变，动量改变． （Ｂ）动量不变，动能改变． （Ｃ）角动量不变，动量不变． （Ｄ）角动量改变，动量改变． （Ｅ）角动量不变，动能、动量都改变．
mgl sin
质点力学习题课
解： ( 1 )a
F m
3
4t 10
( 2 )a
F m
3
4 10
x
0.3 0.4x
0. 3 0. 4t a x 3m 1.5m/s2
a t 3s 1 . 5 m / s2
A
3
0
Fdx
3( 3
0
4x)dx
27
I
3( 3
0
4t)dt
27
I mv mv0 mv 10v
v t 3s 2. 7m /s
（C）匀变速直线运动 （D）一般曲线运动
解：
y
b a
x
v
dr dt
2 a ti
2btj
a
dv dt
2ai
2bj
【例】一质点沿半径为R的圆周运动，且加速度 a与速度v之间的夹角θ保持不变，已知初速率 为v0,试求质点速率v随时间的变化规律。
解：an
at
tgθ
v2 R
dv dt v2 Rtgθ
• 解：由质点动量定理：
7
0
F
dt
mv
0
mv
7
0
F
dt
1 2
7
10 35
7 F dt
0
m
35 1
35 m/s
F(N) 10
t(s)
0
57
【例】某汽车启动后牵引力变化如图，其中 曲线部分恰好是四分之一圆弧，求汽车启动 后行驶7米牵引力所做的功。
• 解：以启动位置为坐 标原点。
由功的定义：
Ao c
则
mivi
C
i
b
a
F
dr
习题课(质点力学)
α
F
mg
f
F
α
N
F
由牛顿二定律列方程： 由牛顿二定律列方程：
x方向:
α
mg
f
α
x
mg sin α − F cos α + f = 0
− µN < f < µN
y
y方向:
N − mg cos α − F sin α = 0
代入 µ = tgε ,
结果： g 结果： m ⋅ tg(α − ε) < F < m ⋅ tg(α + ε) g
0
2.设有水平力 作用于斜面上的质点 .为了使 F m 物体不滑动，对 的大小有何限制？ 物体不滑动， F的大小有何限制？
α µ 为斜面的摩擦角。 已知斜面倾角 ，且 = tgε, ε为斜面的摩擦角。 µ为质点与斜面间的摩擦 系数。 系数。 m 解：研究
m
受力分析如图： 受力分析如图： N
(A )
dυ = a dt
(B )
dr = υ dt
(C )
ds =υ dt
(D )
dυ = at dt
(c 答案： 答案：)
2. 质点在 质点在xoy平面内运动，运动方程为： 平面内运动， 平面内运动 运动方程为： x=2t , y=19-2t2 (SI) 求： （1）质点运动的轨迹方程； ）质点运动的轨迹方程； 时的速度和加速度； （2）t=1 s时的速度和加速度； ） 时的速度和加速度 （3）t=2 s时的位置矢量； 时的位置矢量； ） 时的位置矢量 时的位移矢量； （4）t=1 s到t=2 s时的位移矢量； ） 到 时的位移矢量 （5）何时位置矢量与速度相互垂直？ ）何时位置矢量与速度相互垂直？
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Harbin Engineering University
质点力学的教学要求
1、熟练掌握在平面内运动时的位矢、位移、速度、加速度的计算。 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度，切向加速度和法 向加速度。 2、熟练掌握牛顿运动定律及其适用条件。能用微积分方法求解变力 作用下的质点动力学问题。
3、掌握功的概念，掌握变力功的计算。理解保守力做功的特点及势 能的概念。 4、掌握质点的动能定理和动量定理。通过质点在平面内运动情况理 解角动量和角动量守恒定律，并能用它们分析、解决质点在平面 内运动时的简单力学问题。掌握机械能守恒定律，动量守恒定 律，能够运用守恒定律分析问题的思想和方法，分析简单系统在 平面内运动的力学问题。 5、掌握对心完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞以及一般碰撞之间的区 别，能解决二维碰撞问题。
2 Rg M ( M m)
M
A
m
2( M m ) Rg M
B
Harbin Engineering University
(2)当m到达B点时M以V运动,可看成惯性系,以M为参照系
v N mg m R
2
3 M 2m N ( )mg M
Harbin Engineering University
p2 p1
v ，I
W E k 2 E k1
系统
W 外 W内非 E 2 E 1
v ，W
W 外 W内非 0
E 2 E1
Harbin Engineering University
三、典型例题
1.已知运动方程求相应物理量 2.已知某些条件给出运动方程 3.一些物理量的计算 4.利用作用的效果解决问题 5.质点力学的综合问题
1 2 y h v 22 t gt 2
3. 已知：
a x 0, a y g
v 21 x 1000m / s v 22 14.7 m / s v 21 y 14.7 m / s
v 0 x v 21 x 1000m / s x 0 1000m t 0 y 0 19.6m v 0 y v 21 y 14.7m / s
Harbin Engineering University
例1.一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h=19.6m处炸裂 成质量相等的两快，其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正 下方的地面上设此处与发射点的距离为1000米，问:另一块 落地与发射点的距离是多少？(空气阻力不计）
Harbin Engineering University
A
m
M
B
Harbin Engineering University
解:(1)设m在B点时相对M的速度为v，M对地的速度为V，对 m,M系统水平方向动量守恒，对m,M,地系统机械能守恒.
m(v V ) MV 0
1 1 2 m(v V ) MV 2 mgR 2 2
V m
v
但 cos 〈 2 / 3 ，并不等于大环一定上升，要看其受力
Harbin Engineering University
以大环为研究对象， cos〈2 / 3 受力分析如图
T 2 N cos Mg MaM
大环上升的瞬间有：
N´
T N´
T 0
aM 0
2 N cos Mg 2 N | N | 3mg ( cos ) 3 6m cos 4m cos M 0
t2 I x F x dt mv 2 x mv 1 x t1 t2 I y F y dt mv 2 y mv 1 y t1 t2 I F dt mv mv 2z 1z z z t1
f 内 F
m i v ix c 1 i m i v iy c 2 i m i v iz c 3 i
F ma
直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m v
2
Fx ma x Fy ma y Fz ma z
Harbin Engineering University
（2）质点的动量定理
I p2 p1
（3）质点系的动量守恒定律 条件: F 0
mv d v d x S 2 v 0 mg (C x C y )v 0
1 m 2 C x C y
0
0
S
v0
d[ mg (C x C y )v 2 ]
mg (C x C y )v
2
S
1 2 m mg ( C C )v x y 0 2 S ln C x C y mg
2
Mg
Harbin Engineering University
2m 4m 6Mm cos 6m 因 cos 必为实数，所以有：
2
4m 6Mm 0
此时：
2
3 即：m M 2
2
2m 4m 6Mm cos1 6m 2m 4m 6Mm cos 2 6m
r (t )
运动学
微分
dr dv v a dt dt
d d dt dt F, a
力 学
F 0 时间积累 I p2 p1 f F 动力学
空间积累
瞬时性 F ma
积分 (t ) 2 1
mgh 1 kx 2 2 G Mm r
Ep
(J)
8、冲量（描述力对时间积累的物理量）
I
t2
t1
Fdt
(Ns)
Harbin Engineering University
在直角坐标系下：
I x I y Iz
Harbin Engineering University
一、基本概念
1、位置矢量（描述质点位置的物理量）
r
(m)
质点作圆周运动
在直角坐标系下：
r xi yj zk
(rad)
2、位移矢量（描述质点位置变动的物理量）
r (m)
质点作圆周运动
r r2 r1
d dt
(rad.s-1)
4、加速度矢量（描述质点运动状态变化快慢的物理量）
dv a dt
(ms-2)
质点作圆周运动
d dt
(rad.s-2)
Harbin Engineering University
在直角坐标系下：
dv x dv y dv z ai j k dt dt dt
Cx 2 a mg C y v v m m
2
已知：
t 0
x0 0
v0 v
Cx 2 dv dv 2 v mg C y v v dt dx m m
mvdv dx 2 2 mg C y v C x v
Harbin Engineering University
(rad)
2 1
Harbin Engineering University
dr (ms-1) v dt
3、速度矢量（描述质点位置变动快慢的物理量） 质点作圆周运动
在直角坐标系下： 在自然坐标系下：
v v
dx dy dz v i j k dt dt dt
2 0
Harbin Engineering University
例3. 已知：大环质量M，两个质量均为m的均匀小环， 无摩擦，系统开始静止。若两个小环同时从大环顶部由 静止开始向两边滑下，试证：若 m≥3M/2, 则在两个小环 下滑至某一位置时大环会升起，并求出大环开始上升时 小环下滑的角度θ。
m θθ M
Harbin Engineering University
解：
y F2 F1
N
o x方向：
f
mg
x
F1 f ma N F2 mg 0
F1 C x v 2
y方向：
其中
F2 C y v 2
f N
Harbin Engineering University
mg C y v 2 C x v 2 ma
解：
y
v21 2 v1 v22
o 1
3x
1. 1-2 斜抛运动
物理过程 2. 在2处 动量守恒
3. 2-3 斜抛运动
Harbin Engineering University
1. 选坐标
v y v0 y gt vx v0 x
1 2 y v0 y t gt 2 x v0 x t
2
取
1
Harbin Engineering University
例 4. 质量为 M ，半径为 R 的 1/4 圆周的光滑弧形滑块，静 止于光滑桌面上，今有质量为m 的物体由弧的上端 A点 由静止滑下，试求: 当m 滑到最低点B时，(1)m相对于M 的速度v及M 相对于地的速度V；(2)M 对m 的作用力N。
2 v dv a n dt
在自然坐标系下：
5、动量（描述质点运动所具有的运动量）
P mv
kgms-1
6、动能（描述质点运动所具有的能量）
1 2 Ek mv 2
(J)
Harbin Engineering University
7、势能（描述质点在某一位置所具有的能量）
质点力学的教学要求
1、熟练掌握在平面内运动时的位矢、位移、速度、加速度的计算。 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度，切向加速度和法 向加速度。 2、熟练掌握牛顿运动定律及其适用条件。能用微积分方法求解变力 作用下的质点动力学问题。
3、掌握功的概念，掌握变力功的计算。理解保守力做功的特点及势 能的概念。 4、掌握质点的动能定理和动量定理。通过质点在平面内运动情况理 解角动量和角动量守恒定律，并能用它们分析、解决质点在平面 内运动时的简单力学问题。掌握机械能守恒定律，动量守恒定 律，能够运用守恒定律分析问题的思想和方法，分析简单系统在 平面内运动的力学问题。 5、掌握对心完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞以及一般碰撞之间的区 别，能解决二维碰撞问题。
2 Rg M ( M m)
M
A
m
2( M m ) Rg M
B
Harbin Engineering University
(2)当m到达B点时M以V运动,可看成惯性系,以M为参照系
v N mg m R
2
3 M 2m N ( )mg M
Harbin Engineering University
p2 p1
v ，I
W E k 2 E k1
系统
W 外 W内非 E 2 E 1
v ，W
W 外 W内非 0
E 2 E1
Harbin Engineering University
三、典型例题
1.已知运动方程求相应物理量 2.已知某些条件给出运动方程 3.一些物理量的计算 4.利用作用的效果解决问题 5.质点力学的综合问题
1 2 y h v 22 t gt 2
3. 已知：
a x 0, a y g
v 21 x 1000m / s v 22 14.7 m / s v 21 y 14.7 m / s
v 0 x v 21 x 1000m / s x 0 1000m t 0 y 0 19.6m v 0 y v 21 y 14.7m / s
Harbin Engineering University
例1.一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h=19.6m处炸裂 成质量相等的两快，其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正 下方的地面上设此处与发射点的距离为1000米，问:另一块 落地与发射点的距离是多少？(空气阻力不计）
Harbin Engineering University
A
m
M
B
Harbin Engineering University
解:(1)设m在B点时相对M的速度为v，M对地的速度为V，对 m,M系统水平方向动量守恒，对m,M,地系统机械能守恒.
m(v V ) MV 0
1 1 2 m(v V ) MV 2 mgR 2 2
V m
v
但 cos 〈 2 / 3 ，并不等于大环一定上升，要看其受力
Harbin Engineering University
以大环为研究对象， cos〈2 / 3 受力分析如图
T 2 N cos Mg MaM
大环上升的瞬间有：
N´
T N´
T 0
aM 0
2 N cos Mg 2 N | N | 3mg ( cos ) 3 6m cos 4m cos M 0
t2 I x F x dt mv 2 x mv 1 x t1 t2 I y F y dt mv 2 y mv 1 y t1 t2 I F dt mv mv 2z 1z z z t1
f 内 F
m i v ix c 1 i m i v iy c 2 i m i v iz c 3 i
F ma
直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m v
2
Fx ma x Fy ma y Fz ma z
Harbin Engineering University
（2）质点的动量定理
I p2 p1
（3）质点系的动量守恒定律 条件: F 0
mv d v d x S 2 v 0 mg (C x C y )v 0
1 m 2 C x C y
0
0
S
v0
d[ mg (C x C y )v 2 ]
mg (C x C y )v
2
S
1 2 m mg ( C C )v x y 0 2 S ln C x C y mg
2
Mg
Harbin Engineering University
2m 4m 6Mm cos 6m 因 cos 必为实数，所以有：
2
4m 6Mm 0
此时：
2
3 即：m M 2
2
2m 4m 6Mm cos1 6m 2m 4m 6Mm cos 2 6m
r (t )
运动学
微分
dr dv v a dt dt
d d dt dt F, a
力 学
F 0 时间积累 I p2 p1 f F 动力学
空间积累
瞬时性 F ma
积分 (t ) 2 1
mgh 1 kx 2 2 G Mm r
Ep
(J)
8、冲量（描述力对时间积累的物理量）
I
t2
t1
Fdt
(Ns)
Harbin Engineering University
在直角坐标系下：
I x I y Iz
Harbin Engineering University
一、基本概念
1、位置矢量（描述质点位置的物理量）
r
(m)
质点作圆周运动
在直角坐标系下：
r xi yj zk
(rad)
2、位移矢量（描述质点位置变动的物理量）
r (m)
质点作圆周运动
r r2 r1
d dt
(rad.s-1)
4、加速度矢量（描述质点运动状态变化快慢的物理量）
dv a dt
(ms-2)
质点作圆周运动
d dt
(rad.s-2)
Harbin Engineering University
在直角坐标系下：
dv x dv y dv z ai j k dt dt dt
Cx 2 a mg C y v v m m
2
已知：
t 0
x0 0
v0 v
Cx 2 dv dv 2 v mg C y v v dt dx m m
mvdv dx 2 2 mg C y v C x v
Harbin Engineering University
(rad)
2 1
Harbin Engineering University
dr (ms-1) v dt
3、速度矢量（描述质点位置变动快慢的物理量） 质点作圆周运动
在直角坐标系下： 在自然坐标系下：
v v
dx dy dz v i j k dt dt dt
2 0
Harbin Engineering University
例3. 已知：大环质量M，两个质量均为m的均匀小环， 无摩擦，系统开始静止。若两个小环同时从大环顶部由 静止开始向两边滑下，试证：若 m≥3M/2, 则在两个小环 下滑至某一位置时大环会升起，并求出大环开始上升时 小环下滑的角度θ。
m θθ M
Harbin Engineering University
解：
y F2 F1
N
o x方向：
f
mg
x
F1 f ma N F2 mg 0
F1 C x v 2
y方向：
其中
F2 C y v 2
f N
Harbin Engineering University
mg C y v 2 C x v 2 ma
解：
y
v21 2 v1 v22
o 1
3x
1. 1-2 斜抛运动
物理过程 2. 在2处 动量守恒
3. 2-3 斜抛运动
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1. 选坐标
v y v0 y gt vx v0 x
1 2 y v0 y t gt 2 x v0 x t
2
取
1
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例 4. 质量为 M ，半径为 R 的 1/4 圆周的光滑弧形滑块，静 止于光滑桌面上，今有质量为m 的物体由弧的上端 A点 由静止滑下，试求: 当m 滑到最低点B时，(1)m相对于M 的速度v及M 相对于地的速度V；(2)M 对m 的作用力N。
2 v dv a n dt
在自然坐标系下：
5、动量（描述质点运动所具有的运动量）
P mv
kgms-1
6、动能（描述质点运动所具有的能量）
1 2 Ek mv 2
(J)
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7、势能（描述质点在某一位置所具有的能量）