高中数学解题方法系列：解析几何中减少计算量的10种方法

OQ

ON

OP
2
R2


∴ OM OQ OQ OM cos OQ ON R 2
即 OM OQ R 2 .
y
R Q
Nα
O
x
P
图3
（4）减少参数
【题 4】（北京西城元月考.13 题）双曲线 C : x2 y2 1 的渐近线方程为
既是两椭圆焦点相同，那么 c12 c22 a12 b12 a22 b22 a12 a22 b12 b22 .∴结论③
正确；
4
结论①：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解.
x2

a12 x2
a22

y2 b12 y2 b22
1
高中数学解题方法系列：解析几何中减少计算量的十种方法
在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是：
（1）设而不求.
【题 1】（湖北黄冈，元月考，10 题） 已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点，
=0.
最后的方程无解，，这就证明了结论①是正确的. 要考察结论④是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法.
既然结论①正确，即两椭圆没有公共点.已知 a1 a2 ，所以椭圆 1 在
椭圆 2 的外面. 如图 6，设两椭圆公共右焦点为 F，上顶点分别为
B1, B2，FB1B2中，FB1 - FB2 B1B2 , 故必 a1 a2 b1 b2

PF2 =r,则 PF1 3r,2a 3 1 r ， 但是F1PF2 90,
2 2 2
PF1 PF2 F1F2 ,即
3r 2 r 2 4，得r 1.
图5
于是 a 3 1 ,e c 2 3 1 ，选 D
y P
标有 4 个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.

【解析】设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 .当 PA 2AQ 时，
y1 2 y2 0 .设直线 PQ : y k x 1 .令 x=y,得
y

k
y
1, y1
36 27
2
P2(x2,y2) P1(x1,y1) H1 120° θ
OF
x
P3(x3,y3)
图 8-2
如 图 8-2 设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 , P3 x3 , y3 为 椭 圆 上 符 合 条 件 的 三 点 ， 令
1
x2
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1 a12

1 a22



y
2

1 b12
1 b22


0


x2

a22 a12 a12 a2 2

y
2

b22 b12 b12b22
0
既然结论③正确，且已知 a1

a2
， a22
a12

b22
b12

0,
故必
x2 a12a2
2

y2 b12b22
正确的解题途径是： （1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有 3 个相等的角
y
l
度，应不失时机地引入三角知识. 【解析】椭圆的半焦距 c=3，右准线 x = 12
a2 12, a2 12 3 36, b2 a2 c2 27 . c
故椭圆方程为： x2 y2 1 ，其离心率 e 1 .
AR 的中点
Q

3
2
a
,

a 2

符合所设条件且在直线
y=-x
上，
3a 2

a 2
,
得P

3 2
,
3 2

,
k
PQ

3 0
2 3

1

3
2
（5）回归定义
【题 5】（山西师大附中，元月考，8
题）设 F1，F2 是双曲线
x2 a2

y2 b2
1a 0,b 0
）
1
A.2
B.3
C.4
D.5
【分析】按常规求 m 值，必先求向量 AF与FB 之长.由于双曲线的
方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的.
注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形
状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果.
若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定
理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：
y B(0,4)
O
F(2,0)N x
C(3,-2)
M
【解析】由 4x2 5y2 80 x2 y2 1 .∴椭圆上顶点
20 16
图1
B（0，4）,右焦点 F（2,0）.为△BMN 的重心，故线段 MN 的中点为 C（3，-2）.
设直线
l
的斜率为
k.，点
M

x1,
y1 ,
N
x2 ,
y2

在椭圆上，∴
44xx1222

5y12 5y22

80 80

4 x1 x2 x1 x2 5 y1 y2 y1 y2 0 k
y1 y2 x1 x2
若双曲线 C 的右顶点为 A ，过 A 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P,Q 两点，且 PA 2AQ ，则直线 l 的斜率为
2
【分析】第一空，简单；难点是第二问.
按常规，为求直线 l 的斜率，必先确定 P 或 Q 的坐标.但由现有
条件却确定不了，因此退而求 P,Q 两坐标之间的关系.但是两点的坐
所以我们可以通过取特值，让方程具体化.
【解析】 e c 6 .不妨设 a 5, c 6,c 2 =a 2 +b2,b 11 ，双曲线 a5
方程为： x2 y2 1 ,其右焦点 F 6, 0 ，设 A 6 t, 3t ，代入双曲线方程： 25 11
116 t 2 25 3t 2 2511 64t2 132t 121 0
② a1 b1 ； a2 b2
③ a12 a2 2 b12 b2 2 ；
④ a1 a2 b1 b2 .其中，所有正确结论的序
号是（
）
A．②③④
B. ①③④
C．①②④
D. ①②③
【分析】各选项都需鉴别 3 个命题，太繁了. 此外，正面论证哪 3 个命题正确，太费事
了.于是将原命题转换为：…其中不正确结论的序号是：
b2
a2 b2
【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理.
首先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论②在特殊情况下是不正确的，
那么在一般情况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的.
以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他 3 个结论的正确性.
（2）使用特值
6
【 题 2 】（ 湖 北 重 点 中 学 4 月 联 考 ， 理 科 8 题 ） 在 离 心 率 为 的 双 曲 线
5
x2 a2

y2 b2
1a
b
0 中，F 为右焦点，过
F 点倾斜角为
60
゜的直线与双曲线右支相交于

A,B 两点，且点 A 在第一象限，若 AF mFB, 则 m =（
A. ①
B. ②
C.③
D.④
此外，4 个选项中，最容易用特值否定的是②，故有
【解析】构造椭圆 C1
:
x2 25

y2 16
1及C2
: x2 10

y2
1.显然C1与C2焦点相同.
但是 a1 5 10 2, b1 4.这里 a1 b1 ，故结论②不成立，选 B.
a2 10 2
椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l 的方
程是 (
)
A.6x－5y－28=0 B.6x+5y－28=0 C.5x+6y－28=0
D.5x－6y－28=0
【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边 MN 的中点
坐标，那么求直线 l 的方程，关键在求该直线的斜率.
y
【分析】根据向量加法的平行四边形法则， OP OF2 =OQ,
P Q

OQ F2P 且OQ必过F2P的中点 .可知 PF1F2 为直角三角形.
M
这就为用定义法求离心率创造了条件.
F1
O
F2
x
【解析】不妨设双曲线的半焦距 c=1,.令
3

2
a 3 1
（6）正难则反
【题
6】（北京海淀，5
月考，7
题）若椭圆
C1
：
x2 a12
y2 b12
1 （ a1
b1
0 ）和椭圆
C2
：
x2 a22
y2 b2 2
1（ a2
b2
0 ）的焦点相同且 a1 a2 .给出如下四个结论：①椭圆 C1 和
椭圆 C2 一定没有公共点；
点 Q，则 OM OQ = 。
【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积
容易想到直角三角形中成比例的线段.
【解析】如图 4,连 OP,则 OP⊥PQ.但是 OQ⊥PR 于 N,根据
直角三角形的射影性质有：
使 P1FP2 P2 FP3 P3 FP1 ，证明
1 1 1 为定值，并求此定值. | FP1 | | FP 2 | | FP 3 |
【分析】本题选自 07.重庆卷.22 题，是压轴题.
难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，
否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.
图 8-1
有关的 3 条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.
）
（A） 2
（B） 3
（C） 2
（D） 3
【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系
【解析】如图，圆 C 的圆心为 C（0,2）,且半径 r=1.
双曲线的渐近线 l : y b x 切圆 C 于点 A,则△AOC 是含 30•角的 a
直角三角形，AOx 60,于是 b tan 60 3, a
4 5
x1 x2 y1 y2
4 6 5 4
6 5
所求直线方程为 y 2 6 x 3 6x 5y 28 0 ，选 A.
5
【评注】我们用参数设置了 M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参
数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.

k k 1
令
x=-y,得
y

k y
1 ,
y2

k k 1
于是：
k
k 1

2k k 1

0k

0, k
1 1

k
2 1

0
O
x A( 1, 0)
Q
图4
k 1 2 k 1 0 得 k=3.
【别解】（巧用中点公式）如图设 P（a,a）,则 P 关于 A（1,0）的对称点为 R（2-a,-a）,
y
B2 B1
O
F
x
这就是说，结论④也是正确的.既然结论①③④正确，故选 B. 图6
请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？
（7）数形结合
【题
7】（北京西城.5
月考，5 题）双曲线
x2 a2

y2 b2
1的渐近线与圆 x2
(y
2)2
1相
切，则双曲线离心率为（
y A
B1
O
F A1 x
B
图2

16t

11
4t
11

0.于是
t1

11 4
,t2
11 , m 16
t1 t2
4 ，故选 C.
（3）平几给力
【题 3】（武汉四月调考.15 题）过圆 C： x2 y2 R2内一定点M (x0 , y0 ) 作一动直线
交圆 C 于两点 P、R，过坐标原点 O 作直线 ON⊥PM 于点 N，过点 P 的切线交直线 ON 于
c2 a2 a2

3
e
2
，选
C.
（8）三角代换
y
y =bx a
C0(2,)
A
O
x
y
图7 l
【题 8】（重庆卷，22 题）如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），
P2
P1
5
OF
x
P3
右准线 l 的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ，

的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使 OP OF2 F2P 0.（O 为坐标原点），


且 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心率是（
）
A. 3 2
B. 3 2
C. 3 1
D. 3 1
2
2