高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.4.1

上一页
返回首页
下一页
【自主解答】 由已知 a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2
＝16，b2＝|b|2＝4. (1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝
2 3. (2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－
上可知①②⑥正确． 【答案】 ①②⑥
上一页
返回首页
下一页
数量积的基本运算
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 135
°时，分别求 a 与 b 的数量积. 【导学号：00680054】
【精彩点拨】 (1)当 a∥b 时，a 与 b 夹角可能为 0°或 180°.(2)当 a⊥b 时，a 与 b 夹角为 90°.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 a·b＝|a|·|b|·cos θ(θ
阅读教材 P103～P104“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量__|_a_||b_|_c_o_s_θ____叫 做 a 与 b 的__数__量__积____(或_内__积___)，记作_a_·_b__，即__a_·b_＝__|_a_||_b_|c_o_s_θ_____． 规定零向量与任一向量的数量积为___0__．
上一页
返回首页
下一页
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且 a·b＝－12，则 a 在 b 方向上的投影为________， b 在 a 方向上的投影为________．
(3)已知等腰△ABC 的底边 BC 长为 4，则B→A·B→C＝________.
【精彩点拨】 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
若 a，b 的夹角为 θ，则|b|cos θ表示向量 b 在向量 a 方向上的投影长．其中正
确的是：________．
上一页
返回首页
下一页
【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，故①正
确；
若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a·c＝－b·c，所
(4)cos θ＝|aa|·|bb|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
上一页
返回首页
下一页
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( ) (2)两个向量的数量积是向量．( )
(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，则：cos θ>0⇔a·b>0.( )
【解析】 (1)×.因向量的夹角包括 180°，直线的倾斜角不包括 180°. (2)×.因两个向量的数量积没有方向，不是向量． (3)√.由数量积的定义可知． 【答案】 (1)× (2)× (3)√
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】 (1)由数量积的定义知 a·b＝|a||b|cos θ(θ 为向量 a，b 的夹
角)． ①若 a·b＝0，则 θ＝90°或 a＝0 或 b＝0，故①错； ②若 a·b<0，则 θ 为钝角或 θ＝180°，故②错； ③由A→B·B→C＝0 知 B＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由 a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
上一页
返回首页
下一页
π 已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为 3 ，则 a 在 b 方向上的投影为________．
【解析】 【答案】
向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos π3 ＝32.
3 2
上一页
返回首页
下一页
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
上一页
返回首页
下一页
(2)设 a 与 b 的夹角为 θ，则有
a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12， 所以向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|·cos θ＝a·|b|b＝－512＝－152；向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|·cos θ＝a·|a|b＝－312＝－4.
上一页
返回首页
所以|a·b|≤|a||b|.
cos θ＝|aa|·|bb|.
上一页
返回首页
下一页
已知|a|＝3，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝3a＋5b，d＝ma －3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
【精彩点拨】 由条件计算 a·b，当 c⊥d 时，c·d＝0 列方程求解 m. 【自主解答】 由已知得 a·b＝3×2×cos 60°＝3.
上一页
图 2－4－1
返回首页
下一页
(2)数量积的几何意义： a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于__a_的__长__度__|a_|____与 b 在 a 的方向上的投影
__|_b_|c_o_s_θ____的乘积．
2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝__b_·_a___(交换律)． (2)(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)___＝_a_·_(_λ_b_)___(结合律)． (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c____(分配律)．
以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b； 对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；
当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错．综
(2)A→B与B→C的夹角为 120°， ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120° ＝1×1×－12＝－12. (3)B→C与A→C的夹角为 60°， ∴B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
上一页
返回首页
下一页
与向量模有关的问题
已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|； (2)|(a＋b)·(a－2b)|. 【精彩点拨】 利用 a·a＝a2 或|a|＝ a2求解．
上一页
返回首页
下一页
探究 3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们
的夹角 θ？
【提示】 |a·b|≤|a||b|，设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或π时，取“＝”，
由 c⊥d，知 c·d＝0，
即 c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2 ＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， ∴m＝2194，即 m＝2194时，c 与 d 垂直．
上一页
返回首页
下一页
1．已知非零向量 a，b，若 a⊥b，则 a·b＝0，反之也成立． 2．设 a 与 b 夹角为 θ，利用公式 cos θ＝|aa|·|bb|可求夹角 θ，求解时注意向
上一页
返回首页
下一页
2．向量的数量积的性质
设 a 与 b 都是非零向量，θ为 a 与 b 的夹角．
(1)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__． (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝__|a_|_|b_|__； 当 a 与 b 反向时，a·b＝_－__|a_|_|b_|___． (3)a·a＝_|_a_|2___或|a|＝ a·a＝ a2.
阶
阶
段
段
一
三
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 学
业
阶
分
段
层
二
测
评
上一页
返回首页
下一页
1．平面向量的数量积．(重点) 2．平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
上一页
返回首页
下一页
[基础·初探] 教材整理 1 向量数量积的定义及性质
上一页
返回Байду номын сангаас页
下一页
教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律
阅读教材 P104 例 1 以下至 P105 例 2 以上内容，完成下列问题． 1．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 如图 2－4－1 所示：O→A＝a，O→B＝b，过 B 作 BB1 垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝_|_b_|c_o_s_θ___． _|_b_|c_o_s_θ_____叫做向量 b 在 a 方向上的投影，___|a_|c_o_s__θ___叫做向量 a 在 b 方向上的投影．
∴a·b＝0. (3)当 a 与 b 夹角为 135°时， a·b＝|a||b|cos 135°＝－10 2.
上一页
返回首页
下一页
1．求平面向量数量积的步骤是：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；②分 别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a||b|cos θ.
2．非零向量 a 与 b 共线的条件是 a·b＝±|a||b|.
为 a，b 夹角)求值．
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】 设向量 a 与 b 的夹角为 θ，
(1)a∥b 时，有两种情况：
①若 a 和 b 同向，则 θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20； ②若 a 与 b 反向，则 θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20.
(2)当 a⊥b 时，θ＝90°，
上一页
返回首页
下一页
[探究共研型]
平面向量数量积的性质
探究 1 设 a 与 b 都是非零向量，若 a⊥b，则 a·b 等于多少？反之成立吗？ 【提示】 a⊥b⇔a·b＝0. 探究 2 当 a 与 b 同向时，a·b 等于什么？当 a 与 b 反向时，a·b 等于什么？ 特别地，a·a 等于什么？ 【提示】 当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|；a·a ＝a2＝|a|2 或|a|＝ a·a.
下一页
(3)如图，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D．
因为 AB＝AC，
所以 BD＝12BC＝2，
于是|B→A|cos∠ABC＝|B→D|
＝12|B→C|＝12×4＝2.
所以B→A·B→C
＝|B→A||B→C|cos∠ABC＝4×2＝8. 【答案】 (1)③④ (2)－152 －4 (3)8
上一页
返回首页
下一页
1．在书写数量积时，a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连 接，更不能省略不写．
2．求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b＝|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何 意义求 a·b.
上一页
返回首页
下一页
[小组合作型] 与向量数量积有关的概念
(1)以下四种说法中正确的是________． ①如果 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0； ②如果向量 a 与 b 满足 a·b<0，则 a 与 b 所成的角为钝角； ③△ABC 中，如果A→B·B→C＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.
2b)|＝12.
上一页
返回首页
下一页
1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系． 2．利用 a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 3．题干条件不变，求|a－b|. 【解】 因为|a|＝4，|b|＝2，且 a 与 b 的夹角 θ＝120°. 所以|a－b|＝ （a－b）2＝ a2－2a·b＋b2 ＝ 42－2×4×2×cos 120°＋22＝2 7， 所以|a－b|＝2 7.
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 2．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)A→B·A→C；(2)A→B·B→C； (3)B→C·A→C. 【解】 (1)A→B与A→C的夹角为 60°， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60° ＝1×1×12＝12.
上一页
返回首页
下一页
图 2－4－2
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1．给出下列判断：①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是三个非 零向量，若 a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b 共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a ＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量 a，b 满足：a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；⑧