第一类曲面积分
第一类曲面积分
2 2
D : x 2 + y 2 ≤ 2x
∂z ∂z dS = 1 + + dσ = 2dσ ∂x ∂y
于是 zdS = ∫∫ x 2 + y 2 · ∫∫
∑ D
2dσ
= 2∫
π
2 −
π
2
dθ ∫
2 cos θ 0
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y ( z , x), z ] 1 + y x + y z2 dzdx Dzx
3. 若曲面∑的方程为 x=x(y,z） ∑在yoz面上的投影区域为 D yz 则
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x y + x z2 dydz D yz
16 2 = 2 ∫ 2 cos 3 θ dθ r dr 0 3
π
32 = 2 9
x2 y2 + z 2 = 1的上半部分，点 P( x, y, z ) ∈ S， 例4. 设 S 为椭球面 + 2 2 π 为 S 在点 P 处的切平面, ρ ( x, y, z ) 为点 O(0,0,0) 到平面 π 的距离， z dS . 求 ∫∫ ρ ( x, y , z ) S
2 2 2 ∑: z = 2 R − x − y ( z ≥ R)
y 2 z 3 dS 例1 计算 ∫∫
Σ
2 dS = 1 + z x + z 2 dxdy = y
2R 2R 2 − x 2 − y 2
dxdy
两类曲面积分的关系和转换方向余弦
两类曲面积分的关系和转换方向余弦一、概述在数学和物理学中，曲面积分是一个重要的概念，它在描述曲面上各种物理量时有着重要的作用。
曲面积分分为两类：第一类和第二类曲面积分。
本文将从两类曲面积分的关系和转换方向余弦这一主题出发，探讨它们之间的关联及其重要性。
二、两类曲面积分的概念1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场函数的积分，通常以∬f(x, y, z) dS表示，其中f(x, y, z)为定义在曲面上的标量场函数，dS为曲面微元面积。
第一类曲面积分描述了标量场函数在曲面上的分布情况，是对曲面上各点的函数值进行积分，代表了曲面上的某种物理量的总量。
2. 第二类曲面积分第二类曲面积分又称为曲面上的矢量场函数的积分，通常以∬F(x, y, z) • dS表示，其中F(x, y, z)为定义在曲面上的矢量场函数，•表示点乘，dS为曲面微元面积。
第二类曲面积分描述了矢量场函数在曲面上的分布情况，代表了曲面上某种物理量的通量。
三、两类曲面积分之间的关系在数学上，第一类曲面积分与第二类曲面积分之间存在一种关系，即由第二类曲面积分可以导出第一类曲面积分。
这一关系可以通过转换方向余弦来表示和推导。
在曲面积分中，转换方向余弦可以描述曲面在空间中的方向。
假设有曲面S在空间中的参数方程为：\[\vec{r}(u, v) = x(u, v)\vec{i} + y(u, v)\vec{j} + z(u, v)\vec{k}\] 其中，\(\vec{r}(u, v)\)为曲面上的点，(u, v)为参数，(x(u, v), y(u, v), z(u, v))为曲面上点的坐标。
则曲面S在(u, v)处的法向量为：\[n(u, v) = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\] 其中，\(\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\)和\(\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\)分别为曲面S在(u, v)处的两个切向量，\(\times\)表示向量的叉乘。
9.4 第一类曲面(对面积的)积分
M = ∫∫ f ( x, y , z )dS
S
当积分曲面是封闭曲面时,常记 当积分曲面是封闭曲面时 常记
f ( x, y, z)dS ∫∫
S
9.4.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种： 按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面Σ :
则
Σ
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
2 2 其中 Σ 为抛物面 z = x + y （0 ≤ z ≤ 1）.
依对称性知： 解 依对称性知：
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称， 关于z轴对称，
被积函数| xyz |关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
y
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，( Σ 1为第一卦限部分曲面
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
1 2
Remark: (1)当曲面 Σ 为光滑或分片光滑曲面片 当曲面 为光滑或分片光滑曲面片,f(x,y,z)在Σ 在 续时,f(x,y,z)在 Σ 上必可积 以下恒设此 条 上必可积,以下恒设此 以下恒设此2条 上连 续时 在 件满足. 件满足 (2)第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略. (3)第一类曲面积分的物理意义 曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义
Σ Σ1
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
曲线积分与曲面积分-第一类曲面积分
D yz = {( y , z ) y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H }.
o
x
Σ1 R y
dS dS = 2 I = ∫∫ 2 ∫∫ R2 + z 2 2 R +z Σ1 Σ
2 d S = 1 + x 2 + xz d y d z y
= 1+ ( = R
y R y
2 2 2
)2 + 0 d y d z
Σ
Σ1 Σ2
(3) 对称性：
对面积的曲面积分
∫∫ f ( x , y , z ) d S，
Σ
对称性的利用类似于三 重积分 .
如：若 f ( x , y , z ) 在 Σ 上连续， Σ 关于 yoz 面对称， 则 f ( x, y, z) = f ( x, y, z) 0, ∫∫ f ( x, y, z)d S = 2∫∫ f ( x, y, z)d S, f ( x, y, z) = f ( x, y, z) Σ
dS , 其中 ∑是介于平面 I = ∫∫ 2 2 2 x + y +z Σ
Σ = Σ1 + Σ 2
2 2
z = 0 , z = H 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 .
解 (方法1)
Σ1 : x =
z
H
Σ2
R y ,
( y , z ) ∈ D yz
( y , z ) ∈ D yz
Σ 2 : x = R2 y 2 ,
∫∫ f ( x , y )dσ
D Ω
I是空间闭区域Ω→∫∫∫ f ( x , y , z )dv I是曲线 Γ → I是曲线 Σ →
∫ f ( x , y, z )ds
10.4第一类曲面积分
dz
o x
y
例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
x 2 a2 x 2 + a 2 dx = x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S . 解: S = ∫∫ dS ∫
Σ
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
+ ∫ d z∫
0
1
1z
0 1z
1 dx (1+ x)2 1 dy 2 (1+ y)
+ ∫ d z∫
0
1
0
3 3 = + ( 3 1) ln 2 2
3. 计算 ∫∫ ( x + y + z )ds , 其中 Σ 为平面
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分 所截得的部分.
2 2
2
π
π
例6. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
+ z = 2(x + y + z).
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用重心公式
= 4∫∫ xd S = 4 x ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S
§6.5 第一类曲面积分的计算
得投影区域Dxy ,被积函数 f x , y , z 中的z换为
曲面方程z z x , y
f x, y, z x, y
f x , y , z dS S
D
xy
z z f x, y, z x, y 1 x y dxdy .
2
2
2. 若曲面S：y y( x , z )
则
S
f ( x , y , z )dS f [ x , y( x , z ), z ] 1 y x y z dxdz;
2 2 Dxz
3. 若曲面S：x x( y , z )
则
f ( x , y , z )dS S
M i i , i , i Si ,
mi f i ,i , i Si .
求和
m f i ,i , i si .
n 1
f i ,i , i si . 取极限 m lim 0
n 1
为所有小块的最大直径 .
x 2 y 2 dS
S2
D
xy
x 2 y 2 dxdy
s1 : z
x2 y2
D
1
2 0
d r rdr
2 0
1
2
1 2 2 x y dS 2 S1 S2 S
2 1 .
三、第一类曲面积分的计算
定理 设积分面S由方程z z x , y 给出, S在
xoy平面上的投影区域为Dxy , 且z z x , y
5-曲面积分
2
2
2
2
2
2
其中 L 是球面
2 2
x + y + z = 2bx 与柱面
2
2
2
x + y = 2 ax ( b > a > 0 ) 的交线 ( z ≥ 0 ),
从 L 正向看 L 所围球面部分总在左侧.
答案:
2bπa
2
14、求
I = ∫ ( y − z )dx + ( z − x)dy + ( x − y )dz
x + y + z − 2ax − 2ay − 2az + a = 0
其中常数 a > 0. 证明:
2
2
2
2
I =
( x + y + z − 3 a ) dS ≤ 12 π a . ∫∫
S
3
练习 5 计算
∫∫ ( x + 2 y + 3 z − 4 )
S
2
dS .
其中 S 为正八面体的表面积.
S : x
S 为平面 x = ± a , y = ± b , z = ± c
围成的长方体的全表面的外侧.求：
∫∫
S
f ( x ) dydz + g ( y ) dzdx + h ( z ) dxdy
答案:
8[bcf (a) + cag (b) + abh(c)]
注: 用高斯公式 ① P , Q , R 一阶偏导连续; ② Σ 要封闭; ③ 取外侧,否则加负号.
x + y + z = 0 的交线,从 ox 轴正向向负
向看去, L 的取向为逆时针方向.
第四节第一类曲面积分
dx 0
dz
例6.
计算 x dS , 其中 是球 x y z 4 的表面.
2
2 2 2
解：方法1 关于三个坐标面均对称
z
1
而被积函数关于x , y , z均是偶函数
所以
x dS 8 x dS
1 2 2
1 Dx y 2 2
{( x , y ) | x y 1}
1
3
1
xdS xd xd y 0,
1
Dx y
对称性
2 zx
（2） 2 : z x 2, dS 1
2 2 2
2
2 z y d xd
y
2
2d xd y ,
Dx y {( x , y ) | x y 1}, xdS x 2d xd y 0,
代入 f ( x, y, z ) d S 中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z ), ( y, z ) D y z
f ( x, y, z ) d S
或
Dyz
f [ x( y, z ), y, z ] 1 x x d y d z y z
曲面面积为
• 积分的存在性.
则对面积的曲面积分存在.
在光滑曲面 上连续,
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
f ( x, y , z ) d S
1
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 不等式性质. 若在 上，f ( x, y, z)
两类曲面积分之间的联系
两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系曲面积分是向量解析中的重要内容，广泛应用于物理学、电磁学、流体力学等领域。
在曲面积分中，有两类常见的曲面积分，即第一类曲面积分和第二类曲面积分。
本文将探讨这两类曲面积分之间的联系。
首先，我们来了解一下第一类曲面积分。
第一类曲面积分也被称为曲面上的标量场积分，它是将曲面上的标量场沿曲面进行积分的一种方法。
设曲面S为参数方程形式r(u,v) (u,v)∈D，其中D是(u,v)平面上的有界闭区域，标量场f(x,y,z)在曲面S上连续，则第一类曲面积分定义为：∬Sf(x,y,z)dS = ∬Df(r(u,v)) |ru×rv| dudv其中，|ru×rv|表示r(u,v)对u和v求偏导数所得的向量的模的值。
接下来，我们来了解第二类曲面积分。
第二类曲面积分也被称为曲面上的矢量场积分，它是将曲面上的矢量场沿曲面进行积分的一种方法。
设曲面S为参数方程形式r(u,v) (u,v)∈D，其中D是(u,v)平面上的有界闭区域，矢量场F(x,y,z)在曲面S上连续，则第二类曲面积分定义为：∬SF(x,y,z)·dS = ∬DF(r(u,v)) · (ru×rv)dudv其中，(ru×rv)表示r(u,v)对u和v求偏导数所得的向量。
上述两类曲面积分看起来形式有些相似，但实际上它们之间存在着一定的联系。
一种关系是第一类曲面积分可以看作是第二类曲面积分的特殊情况。
当矢量场F(x,y,z)为(0,0,f(x,y,z))时，可以通过第二类曲面积分的公式计算得到第一类曲面积分。
另一种关系是可以通过利用格林公式或斯托克斯公式将第一类曲面积分转化为第二类曲面积分。
格林公式将曲面积分转化为二重积分，而斯托克斯公式将曲面积分转化为线积分。
通过这种转化，我们可以简化计算，尤其是在复杂的曲面上进行积分时。
最后，两类曲面积分还在某些特定的问题中有重要的应用。
第一类曲面积分公式
第一类曲面积分公式是用于计算曲面上的标量场的积分。
对于曲面S上的标量场函数f(x, y, z)，其第一类曲面积分公式如下：
∬S f(x, y, z) dS
其中，S表示曲面，dS表示曲面元素，f(x, y, z)表示在曲面上的标量场函数。
具体计算第一类曲面积分的方法取决于曲面的参数化表示。
如果曲面可以通过参数化向量函数r(u, v)来表示，其中u和v是曲面上的参数，那么曲面元素dS可以表示为：
dS = |∂r/∂u ×∂r/∂v| dudv
其中∂r/∂u和∂r/∂v分别是参数化向量函数r(u, v)对u和v的偏导数，×表示向量的叉乘，|∂r/∂u ×∂r/∂v|表示该叉乘的模。
然后，将参数化向量函数r(u, v)代入标量场函数f(x, y, z)中得到f(r(u, v))，然后进行积分计算即可得到第一类曲面积分的结果。
需要注意的是，具体的计算过程会涉及到曲面的参数化表示和积分范围的确定，因此在实际计算中可能需要使用适当的变换和技巧来简化计算。
第一类曲面积分的几何意义
领略第一类曲面积分的几何意义第一类曲面积分作为数学分析领域中的重要概念，对曲面的几何性质有着非常重要的指导意义。
它的几何意义主要体现在以下几个方面：
1. 曲面面积
第一类曲面积分最基本的几何意义是用来求解曲面的面积。
曲面在三维空间中表现为一个无限多个微小区域组成的整体，因此我们可以将曲面分割成许多微小的面积元。
在每个微小的面积元上计算函数f 的值再求和得到的结果便是曲面的面积。
2. 曲面向量
对于一个曲面上的任意一点P，我们可以定义一个向量N，它的方向垂直于曲面到该点的切平面。
通过第一类曲面积分的计算，我们可以得到曲面上每个点的向量N及其大小。
这种曲面向量有着广泛的应用，例如计算物体表面的反射或折射光线等。
3. 曲面重心
曲面上的每个微小面积元都有一个重心，通过第一类曲面积分的计算，我们可以得到每个微小面积元的质心及其大小，从而求出整个曲面的重心。
这对于研究物体运动或力学性质等问题非常有用。
通过对第一类曲面积分的深入研究和应用，我们可以更加深刻地认识曲面的几何性质，为数学分析等相关领域的研究提供了重要的理论基础和实际应用价值。
第一类曲面积分
1zx2 z2y 1 ( 1 )2 ( 1 )23 ,
从而 xyzdS xyzdS
4
3x(y1xy)dxdy,
其中 Dxy是4在xO D 面 xyy 上的投, 影区域
即由直 x线 0, y0及xy1所围成的.闭区
因此
1 1 x
xyzdS 3x d x y (1 xy )d y
00
301x(1x)y22y331 0xdx
例2
计算曲面积分 1 dS ，其中是球面 x2y2z2a2 被平面
z
zh(0<h<a)截出的顶部．
解 的 方 程 为 z a 2 x 2 y 2 ． 在 x O y 面 上 的 投 影 区 域
Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2． 又
z
1 z x 2 z y 2 a 2 a x 2 y 2 ． h
若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数
f(x,y,z)d S2f(x,y,z)dS
1
其中 1是位于对称坐标 部面 分一侧
完全类似于三重积分的对称性
练习 计算积分:
(x y z)ds, 其中 S 是上半球面 x2y2z2a2,z0;
s
z
略解：z a2 x2 y2,
zx
31x(1x)3dx
0
6
31(x3x23x3x4)d x 3 .
60
120
例5
计算
x2
1
y2
dS
其中 是介于平面
z = 0 与 z = H 之间的圆柱面x2y2R2
解 y R 2 x 2 ,曲 面 分 为 左 右 两 片 。 令 1:y R2x2
1在zo面 x 的投影区 D z x域 :0 为 z H R x R
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性质1
若 , 为常数，则有 ( F G ) dS F dS
S S
性质2
对定侧曲面的可加性
S 1 , S 2 为与 S 同侧 设 S S1 S 2 ， S1 S 2 ， 的定侧曲面，则
F dS F dS F dS
S S1 S2
7
性质3
方向性
S 若 表示曲面 S 的另一侧，则
F dS F dS .
S S
积分曲面改变为相反侧时,曲面积分变号：
P ( x, y, z ) dydz P ( x, y, z ) dydz
S S
Q( x, y, z ) dzdx Q( x, y, z ) dzdx
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xOy 面上的投影记为
(S ) x y , (S ) x y
S S
R( x, y, z ) dxdy R( x, y, z ) dxdy
S S
8
三、第二类曲面积分的计算法
1. 如果 由 z z( x, y) 给出, 则有
S上侧
z
S
R( x, y, z ) dxdy R[ x, y, z( x, y )] dxdy
n
i 1
Σ
lim P( i ,i , i ) cos i Q(i ,i , i ) cos i
0 i 1
lim
0
i 1
3
n
R(i ,i , i ) cos i Si
定义 设 S 是一个有界的定侧曲面，记 S 上每一点 M 处的沿指定侧的单位法向量为 0 n ( M ) cos i cos j cos k , 又设向量值函数 F ( M ) F ( x, y, z ) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k , 其中函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 是定义在曲面
[ P ( x , y, z ) cos Q( x , y, z ) cos R( x , y, z ) cos ]dS
4
0 F ( M ) n dS
S
[ P ( x , y, z ) cos Q( x , y, z ) cos R( x , y, z ) cos ]dS
分析: 若 是面积为S 的平面,
n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量
S
2
对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
ni vi
进行分析可得 lim vi n i Si 0
n
设 ni (cos i , cos i , cos i ) , 则
S S
z S i
S
vi
( i ,i , i )
o
y
x [ P dy dz Q dz dx R dx dy
S
6
二、第二类曲面积分的性质
光滑或分块光滑曲面．
设 F , G 是定义在定侧曲面 S 上的向量值函数，S 为
线性性质
G dS
S 上的有界函数，则函数 0 F ( M ) n P( x, y, z) cos Q( x, y, z) cos R( x, y, z) cos
在S上的第一类曲面积分
称为向量值函数F ( M ) 沿定侧曲面 S 上的第二类曲面积分．
S S
0 F ( M ) n dS
S S
[ P ( x , y , z ) dy dz Q ( x , y , z ) dz dx R( x , y , z ) dx dy
S
5
第二类曲面积分的物理意义 密度为 ( x, y, z ) 的流体以流速
V ( M ) V ( x , y, z ) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k 0 沿曲面 S 指定方向n 的流量 0 K V n dS V dS
D xy
S下侧
R( x, y, z ) dxdy R[ x, y, z( x, y )] dxdy o
D xy
一投： 将曲面 S 向 xOy 面投影，得 Dxy ; 二代： f ( x , y , z )
x
D xyyS :来自z z( x , y )f ( x , y, z( x , y )) ;
S
0 dS ， n dS 称为有向面积元素，记为
它在三个坐标平面上的投影分别记为 cos dS dy dz , cos dS dz dx , cos dS dx dy , 于是，第二类曲面积分可以写成如下形式 0 F n dS F dS
的面积为
则规定
( ) x y , 当cos 0时 ( ) x y , 当cos 0时 当cos 0时 0,
类似可规定
(S ) yz , (S ) zx
1
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
cos 0
三定号： S 上侧取“ ”号；S 下侧取“ ”号.
cos 0
9
2. 如果 S 由 x x( y, z ) 给出, 则有