勾股定理经典题型

勾股定理

已知两边求第三边

例1．

在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长

勾股定理及其证明

1．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则

222

a b c +=，如图1－1－1，其中

222222,,b c a a c b b a c -=-=+=

2．勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多． 勾股定理的逆定理

1．在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即⊿ABC 中，若

222a b c +=，则∠ABC 为直角三角形，∠C=90o 这是判

定一个三角形是直角三角形的方法．

为_____________．

例2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

例3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为 .

例4．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为㎝，

高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸

管要做多长

利用列方程求线段的长

例5．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还

要准备一根长为____的铁丝才能把三角

形做好．

F

E D C

B A

例6．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A点重合，则EB的长是．

例7．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村

庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，

CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收

购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E

站应建在离A站多少km处

例8．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距

离为300米，

又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上

建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离

相等，求商店与车站之间的距离．

综合其它考点的应用

例9． 如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm

例10． 在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．

例11． 已知：如图，△ABC中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．

求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．

例12． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm

求四边形ABCD 的面积．

A

B

例13． 小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗

杆上的绳子接长一些，1米，然后将绳子

下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米， 你能帮它计算一下旗杆的高度．

判别一个三角形是否是直角三角形

例14． 在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是 。

例15． 如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，

且BC CE 4

1=．你能说明∠AFE 是直角吗

开放型试题

例16．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方

形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

l

3

2

1S4

S3

S2

S1

例17．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，

其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关

系(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角

形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间

的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其

面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系.

1. 在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是 。

2. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6,8，10；②5

1

,41,31；

③8,15,17；④4,5，6其中一定能构成直角三角形的有 。

3. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，

82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．

4. 已知：c b a ,,为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状．

5. 如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时

梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，

测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米

6. 如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋

转后，能与'

ACP

∆重合，如果AP＝3，那么.

______

'=

PP

7. 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

()2

1

12=

+

2

1

1

=

S

()3

1

22=

+

2

2

2

=

S

()4

1

32=

+

2

3

3

=

S

（1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。

8.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M

在北偏西300，

1

S1

S2

S3

S4

S5

...

O A1

A2

A3

A4

A5

A6