勾股定理经典题型
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勾股定理
已知两边求第三边
例1.
在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长
勾股定理及其证明
1.勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a 、b 为表示两条直角边,c 表示斜边,则
222
a b c +=,如图1-1-1,其中
222222,,b c a a c b b a c -=-=+=
2.勾股定理的证明:勾股定理是通过面积拼图法来证明,其方法较多. 勾股定理的逆定理
1.在三角形中,若两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为直角三角形,即⊿ABC 中,若
222a b c +=,则∠ABC 为直角三角形,∠C=90o 这是判
定一个三角形是直角三角形的方法.
为_____________.
例2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________.
例3.在一个直角三角形中,若斜边长为5cm,直角边的长为3cm,则另一条直角边的长为 .
例4.一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为㎝,
高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出㎝,问吸
管要做多长
利用列方程求线段的长
例5.把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边,如果要使三角形的面积是9㎝2,那么还
要准备一根长为____的铁丝才能把三角
形做好.
F
E D C
B A
例6.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C点与A点重合,则EB的长是.
例7.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村
庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,
CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收
购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E
站应建在离A站多少km处
例8.如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距
离为300米,
又与公路车站(D点)的距离为500米,现要在公路上
建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离
相等,求商店与车站之间的距离.
综合其它考点的应用
例9. 如图一个圆柱,底圆周长6cm ,高4cm ,一只蚂蚁沿外
壁爬行,要从A 点爬到B 点,则最少要爬行 cm
例10. 在直角ΔABC 中,斜边长为2,周长为2+6,求ΔABC 的面积.
例11. 已知:如图,△ABC中,AB >AC ,AD 是BC 边上的高.
求证:AB 2-AC 2=BC(BD-DC).
例12. 如图∠B=90º,AB =16cm ,BC =12cm ,AD =21cm,CD=29cm
求四边形ABCD 的面积.
A
B
例13. 小明想测量学校旗杆的高度,他采用如下的方法:先将旗
杆上的绳子接长一些,1米,然后将绳子
下端拉直,使它刚好接触地面,测得绳下端离旗杆底部5米, 你能帮它计算一下旗杆的高度.
判别一个三角形是否是直角三角形
例14. 在△ABC 中,2:1:1::=c b a ,那么△ABC 是 。
例15. 如图,四边形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为BC 上一点,
且BC CE 4
1=.你能说明∠AFE 是直角吗
开放型试题
例16.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方
形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=_______.
l
3
2
1S4
S3
S2
S1
例17.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,
其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关
系(不必证明)
(2) 如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角
形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间
的关系并加以证明;
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形,其
面积分别用S1、S2、S3表示,请你猜想S1、S2、S3之间的关系.
1. 在△ABC 中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长是 。
2. 分别以下列四组数为一个三角形的边长:①6,8,10;②5
1
,41,31;
③8,15,17;④4,5,6其中一定能构成直角三角形的有 。
3. 直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ,
82cm ,则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm .
4. 已知:c b a ,,为△ABC 的三边,且满足442222b a c b c a -=-,试判断△ABC 的形状.
5. 如图,一个梯子AB 长2.5 米,顶端A 靠在墙AC 上,这时
梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米,梯子滑动后停在DE 的位置上,
测得BD 长为0.5米,求梯子顶端A 下落了多少米
6. 如图,ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋
转后,能与'
ACP
∆重合,如果AP=3,那么.
______
'=
PP
7. 细心观察图,认真分析各式,然后解答问题:
()2
1
12=
+
2
1
1
=
S
()3
1
22=
+
2
2
2
=
S
()4
1
32=
+
2
3
3
=
S
(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)推算出OA10的长;
(3)求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。
8.如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得灯塔M
在北偏西300,
1
S1
S2
S3
S4
S5
...
O A1
A2
A3
A4
A5
A6